周周练05 第五章一元函数的导数及其应用单元复习（数学人教A版选择性必修第二册）

2025-2026学年高二下学期数学周周练05 第五章 一元函数的导数及其应用单元复习 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 D C A D D C C B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BCD BC AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．/ 13．1 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（本小题满分14分） (1) (2) 【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可； （2）求出函数的定义域，对函数求导，然后分和两种情况讨论函数的单调性，求出函数的最小值，列方程可求出a的值． 【详解】（1）当时，，则， 由，得， 所以所求的切线方程为，即． （2）由题意得的定义域为． 由，得． 当时，，在上单调递增，没有最小值． 当时，令，得，令，得， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以， 得，得． 16．（本小题满分15分） （1）；（2）函数的增区间为、，单调递减区间为，最大值为，最小值为. 【分析】（1）求出、的值，利用点斜式可得出所求切线的方程； （2）由可求得实数的值，然后利用导数分析函数的单调性与极值，由此可得出结果. 【详解】（1）当时，，则，，， 此时，曲线在点处的切线方程为，即； （2）因为，则， 由题意可得，解得， 故，，列表如下： 增 极大值 减 极小值 增 所以，函数的增区间为、，单调递减区间为. 当时，；当时，. 所以，，. 17．（本小题满分15分） (1)函数的单调增区间是，单调减区间是和； (2) 【分析】（1）求导，由，求解即可； （2）由题意得到在上恒成立，参变分离求最值即可； 【详解】（1）当时， ，易知， , 由，可得， 由，可得或， 所以函数的单调增区间是，单调减区间是和； （2）由，可知在单调递减； 故在上恒成立； 即在上恒成立， 令，易知当，取最小值， 所以， 所以实数的取值范围是. 18．（本小题满分16分） (1) (2) 【分析】（1）根据长方体的体积公式进行求解即可； （2）利用导数进行求解即可. 【详解】（1）由题意可知：无盖方盒的棱长分别为：，，， 所以方盒的容积； （2） 解得：， 当时函数递减，当时函数递增，所以当时，盒的容积V最大. 19．（本小题满分17分） (1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）先求导，再分类讨论与两种情况，结合导数与函数单调性的关系即可得解； （2）方法一：结合（1）中结论，将问题转化为的恒成立问题，构造函数，利用导数证得即可. 方法二：构造函数，证得，从而得到，进而将问题转化为的恒成立问题，由此得证. 【详解】（1）因为，定义域为，所以， 当时，由于，则，故恒成立， 所以在上单调递减； 当时，令，解得， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增； 综上：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）方法一： 由（1）得，， 要证，即证，即证恒成立， 令，则， 令，则；令，则； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，则恒成立， 所以当时，恒成立，证毕. 方法二： 令，则， 由于在上单调递增，所以在上单调递增， 又， 所以当时，；当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增， 故，则，当且仅当时，等号成立， 因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以要证，即证，即证， 令，则， 令，则；令，则； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，则恒成立， 所以当时，恒成立，证毕. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二下学期数学周周练05 第五章一元函数的导数及其应用单元复习 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知函数，则（    ） A．3 B．6 C． D． 【答案】D 【分析】求，结合导函数的定义计算可得出答案. 【详解】因为，所以， 则 故选：D 2．已知函数，是函数的导函数，则的图像大致是（    ） A．   B．   C．   D．     【答案】C 【分析】对函数求导得，易知为奇函数，排除B、D选项；再对求导，易得在是递减，即可求解. 【详解】，为奇函数，则函数的图像关于原点对称，排除选项B、D， 令，， 当，，也就是在递减，排除A，故C正确. 故选：C． 3．已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用当时，判断，通过函数在是减函数判断. 【详解】当时，设，则， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以， 也就是说当时，， 用代替，可得，即， 所以，即． 又知，所以，所以． 故选：A 4．若直线是曲线和的公切线，则实数k的值是（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】D 【分析】设直线与曲线、分别相切于点、，利用导数求出曲线在点处的切线方程，以及曲线在点处的切线方程，可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可求得的值． 【详解】设直线与曲线、分别相切于点、， 对函数求导得，则， 曲线在点处的切线方程为，即， 对函数求导得，则， 曲线在点处的切线方程为，即， 所以，，化简可得． 故选：D. 5．若点是曲线上任意一点，则点到直线距离的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】先分析出当切线与直线平行时，点到直线距离最小，设出切点，求导后利用斜率得到切点坐标，求出答案. 【详解】过点作曲线的切线，当切线与直线平行时，点到直线距离最小. 设切点为， 所以切线斜率为，由题知，解得或（舍）， ，此时点到直线距离. 故选：D 6．对任意的，当时，恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将不等式等价变形，构造函数，再借助函数单调性、最值求解作答. 【详解】依题意，，令，， 则对任意的，当时，，即有函数在上单调递减， 因此，，，而，则， 所以实数的取值范围是. 故选：C 7．已知函数在区间上的最小值为，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分，和三种情况，结合函数在特殊点的函数值，分类讨论得到实数a的取值范围. 【详解】当时，单调递减， 故在处取得最小值，最小值为，满足要求， 当或时，， 令得或， 当时，恒成立， 故表格如下： 0 + 0 极小值 极大值 故在上取得极小值， 且，， 要想在区间上的最小值为， 则要，变形得到， 令，， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 且，， 故的解集为， 时，令可得， 当时，， 令得， 故在上单调递减， 故在处取得最小值，最小值为，满足要求， 当时，恒成立， 故表格如下： + 0 0 + 极大值 极小值 故在上取得极小值， 且，， 要想在区间上的最小值为， 则要，变形得到， 令，， 时，，单调递增， 又，故上，无解， 综上：实数a的取值范围是. 故选：C 【点睛】三次函数是近两年高考常考考点，需要对三次函数图象理解到位，由于三次函数的导函数为二次函数，故常常利用二次函数的性质来研究三次函数的性质，比如三次函数零点问题，极值点情况等. 8．若函数在上有且仅有一个极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意分离参数可知在区间上只有一个变号的根，构造函数即可得解. 【详解】，令，得，由题意知在区间上只有一个变号的根， 令，则，令，得， 当时，单调递减；当时，单调递增． 又， 所以当时，在区间上只有一个变号的根， 即函数在上有且仅有一个极值点时，的取值范围是． 故选：B． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．下列求导数运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据导数的运算法则依次判断即可. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，由指数函数求导公式可得，故B正确； 对于，故C正确； 对于，故D正确. 故选：BCD. 10．已知，下列说法正确的是（    ） A．在处的切线方程为 B．的单调递减区间为 C．的极大值为 D．方程有两个不同的解 【答案】BC 【分析】对于A，利用导数的几何意义求解，对于B，求导后，由导数小于零求解，对于C，求导后求极值，对于D，函数与的交点个数判断 【详解】对于A，由（），得，，则，所以在处的切线方程为，所以A错误， 对于B，由，得，，所以的单调递减区间为，所以B正确， 对于C，由，得，当时，，当时，，所以当时，取得极大值，所以C正确， 对于D，由C选项可知的最大值为，且当时，，当时，， 所以函数与的交点个数为1，所以有1个解，所以D错误， 故选：BC 11．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的极小值点为 B．的最小值为 C．过原点且与曲线相切的直线有条 D．若，、且，则的最小值为 【答案】AD 【分析】利用导数分析函数的单调性，结合极值点的定义可判断A选项；由可判断B选项；设切点为，利用导数写出切线的方程，再将原点代入切线方程，可得出关于的等式，判断关于的方程的解的个数，可判断C选项；由已知可得出，令，可得出，利用导数求出函数在上的最小值，可判断D选项. 【详解】对于A选项，函数的定义域是， ，令，得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 所以的极小值点为，A对； 对于B选项，，故函数的最小值不可能为，B错； 对于C选项，设切点坐标为，则切线斜率为， 所以切线方程为， 又切线过原点，则有，即，无解， 即过原点且与曲线相切的直线不存在，C错； 对于D选项，由，得， 即， 又、，且，所以， 又，则，则， ， 令，则，， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以，所以的最小值为，D对． 故选：AD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．曲线在点处的切线与直线垂直，则 . 【答案】/ 【分析】由直线垂直可得切线斜率为，再对曲线求导，根据导数的几何意义有，即可求a值. 【详解】由题设知：处的切线的斜率为，而， ∴，可得. 故答案为： 13．函数的最小值为 . 【答案】1 【分析】由解析式知定义域为，讨论、、，并结合导数研究的单调性，即可求最小值. 【详解】由题设知：定义域为， ∴当时，，此时单调递减； 当时，，有，此时单调递减； 当时，，有，此时单调递增； 又在各分段的界点处连续， ∴综上有：时，单调递减，时，单调递增； ∴ 故答案为：1. 14．若函数在定义域内的一个子区间上不是单调函数，则实数的取值范围 . 【答案】 【分析】因为函数在定义域的子区间上不是单调函数，所以根据题意可知函数的极值点在区间内，列出不等式，即可求解． 【详解】因为f（x）定义域为（0，+∞），又f′(x)=4x-， 由f'（x）=0，得x=1/2． 当x∈（0，1/2）时，f'（x）＜0，当x∈（1/2，+∞）时，f'（x）＞0 据题意，k-1＜1/2＜k+1，又k-1≥0， 解得1≤k＜3/2. 四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分) 已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若的最小值为，求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可； （2）求出函数的定义域，对函数求导，然后分和两种情况讨论函数的单调性，求出函数的最小值，列方程可求出a的值． 【详解】（1）当时，，则， 由，得， 所以所求的切线方程为，即． （2）由题意得的定义域为． 由，得． 当时，，在上单调递增，没有最小值． 当时，令，得，令，得， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以， 得，得． 16．(本小题满分15分) 已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值． 【答案】（1）；（2）函数的增区间为、，单调递减区间为，最大值为，最小值为. 【分析】（1）求出、的值，利用点斜式可得出所求切线的方程； （2）由可求得实数的值，然后利用导数分析函数的单调性与极值，由此可得出结果. 【详解】（1）当时，，则，，， 此时，曲线在点处的切线方程为，即； （2）因为，则， 由题意可得，解得， 故，，列表如下： 增 极大值 减 极小值 增 所以，函数的增区间为、，单调递减区间为. 当时，；当时，. 所以，，. 17．(本小题满分15分) 已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若，都有恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)函数的单调增区间是，单调减区间是和； (2) 【分析】（1）求导，由，求解即可； （2）由题意得到在上恒成立，参变分离求最值即可； 【详解】（1）当时， ，易知， , 由，可得， 由，可得或， 所以函数的单调增区间是，单调减区间是和； （2）由，可知在单调递减； 故在上恒成立； 即在上恒成立， 令，易知当，取最小值， 所以， 所以实数的取值范围是. 18．(本小题满分16分)将一个边长为a的正方形铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形，做成一个无盖方盒． (1)试把方盒的容积V表示为x的函数； (2)x多大时，方盒的容积V最大？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据长方体的体积公式进行求解即可； （2）利用导数进行求解即可. 【详解】（1）由题意可知：无盖方盒的棱长分别为：，，， 所以方盒的容积； （2） 解得：， 当时函数递减，当时函数递增，所以当时，盒的容积V最大. 19．(本小题满分17分)已知函数． (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）先求导，再分类讨论与两种情况，结合导数与函数单调性的关系即可得解； （2）方法一：结合（1）中结论，将问题转化为的恒成立问题，构造函数，利用导数证得即可. 方法二：构造函数，证得，从而得到，进而将问题转化为的恒成立问题，由此得证. 【详解】（1）因为，定义域为，所以， 当时，由于，则，故恒成立， 所以在上单调递减； 当时，令，解得， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增； 综上：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）方法一： 由（1）得，， 要证，即证，即证恒成立， 令，则， 令，则；令，则； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，则恒成立， 所以当时，恒成立，证毕. 方法二： 令，则， 由于在上单调递增，所以在上单调递增， 又， 所以当时，；当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增， 故，则，当且仅当时，等号成立， 因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以要证，即证，即证， 令，则， 令，则；令，则； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，则恒成立， 所以当时，恒成立，证毕. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二下学期数学周周练05 第五章一元函数的导数及其应用单元复习 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知函数，则（    ） A．3 B．6 C． D． 2．已知函数，是函数的导函数，则的图像大致是（    ） A．   B．   C．   D．     3．已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 4．若直线是曲线和的公切线，则实数k的值是（    ） A． B． C．0 D．1 5．若点是曲线上任意一点，则点到直线距离的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 6．对任意的，当时，恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知函数在区间上的最小值为，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．若函数在上有且仅有一个极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．下列求导数运算正确的是（    ） A． B． C． D． 10．已知，下列说法正确的是（    ） A．在处的切线方程为 B．的单调递减区间为 C．的极大值为 D．方程有两个不同的解 11．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的极小值点为 B．的最小值为 C．过原点且与曲线相切的直线有条 D．若，、且，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．曲线在点处的切线与直线垂直，则 . 13．函数的最小值为 . 14．若函数在定义域内的一个子区间上不是单调函数，则实数的取值范围 . 四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若的最小值为，求a的值． 16．已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值． 17．已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若，都有恒成立，求实数的取值范围. 18．将一个边长为a的正方形铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形，做成一个无盖方盒． (1)试把方盒的容积V表示为x的函数； (2)x多大时，方盒的容积V最大？ 19．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $