周周练03 5.3.2导数在研究函数的极值与最值（数学人教A版选择性必修第二册）

2025-2026学年高二学期数学周周练03 5.3.2导数在研究函数的极值与最值 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列函数中，存在极值的是（   ） A． B． C． D． 2．函数的极小值为（   ） A． B． C． D．不存在 3．若函数既有极大值又有极小值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．若函数（）在上的最大值为，则（   ） A． B． C． D． 5．若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．若函数在上的最大值为2，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知函数f（x）＝lnx﹣ax（x∈[1，+∞）），若不等式f（x）≤0恒成立，则实数a的取值范围为（　　　　） A．[1，+∞） B．（﹣∞，） C．[，+∞） D．[0，+∞） 8．已知函数，（是自然对数的底数），若对，，使得成立，则正数的最小值为 A． B．1 C． D． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．时，取得最大值 D．时，取得最小值 10．设为函数的导函数，已知，，则下列结论正确的是（   ） A．在单调递增 B．在单调递减 C．在上有极大值 D．在上有极小值 11．设函数，，则下列命题正确的是（   ） A．不等式的解集为 B．函数在上单调递增，在上单调递减 C．当时，恒成立，则 D．若函数有两个极值点，则实数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若函数在区间内恰有一个极值点，则实数的取值范围为 ． 13．设函数，若当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 14．若函数在区间上有最小值，则实数的取值范围是 . 四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．求下列函数的最值： （1）； （2），； （3），． 16．已知函数． （Ⅰ）若曲线在处的切线方程为，求的值； （Ⅱ）求函数在区间上的极值． 17．已知函数， (1)讨论函数的单调性； (2)若函数有最小值，证明：在上恒成立. 18．时下，网校教学越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量（单位：千套）与销售价格（单位：元/套）满足的关系式，其中，为常数.已知销售价格为4元/套时，每日可售出套题21千套. （1）求的值； （2）假设网校的员工工资，办公等所有开销折合为每套题2元（只考虑销售出的套数），试确定销售价格的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大.（保留1位小数） 19．已知函数. （1）当时，求函数的单调区间和极值； （2）若函数在区间上取得最小值4，求的值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二学期数学周周练03 5.3.2导数在研究函数的极值与最值 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 D A B D A D C C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AB AD AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（本小题满分14分） （1）最小值为，最大值为2； （2）最大值为2，最小值为； （3）最大值为，最小值为. 【分析】（1）求得，由导数的符号，求得单调性，结合函数的单调性，即可求解； （2）求得，令，得到或，分别求得，比较大小确定函数的最值； （3）求得，求得函数的单调性，结合函数的单调性和极值及端点的函数值，即可求解. 【详解】（1）由题意，函数 可得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以当时，函数取得最大值，最大值为， 又由，，所以函数的最小值为， 所以的最小值为，最大值为． （2）由题意，函数，可得， 令，解得或， 又由，，，， 所以的最大值为2，最小值为． （3）由函数，可得， 令，解得， 在上，当变化时，与的变化情况如下表： 1 0 单调递减 极小值 单调递增 所以在上，当时取得极小值，也是最小值，且， 又因为，， 所以， 所以，所以在上的最大值为，最小值为． 16．（本小题满分15分） （Ⅰ）0（Ⅱ）详见解析 【分析】（Ⅰ）求出的导数，求出切线方程，然后求解a即可． （Ⅱ）求出，通过①当2a≤1，即时，②当2a≥2，③当1＜2a＜2，判断导函数的符号，函数的单调性，然后求解函数的极值． 【详解】解：（Ⅰ）因为， 所以， 所以. 因为在处的切线方程为. 所以， 解得. （Ⅱ）因为，， 所以， ①当，即时，在恒成立， 所以在单调递增； 所以在无极值； ②当，即时，在恒成立， 所以在单调递减， 所以在无极值； ③当，即时， 变化如下表： - 0 + 单调递减↘ 极小值 单调递增↗ 因此，的减区间为，增区间为． 所以当时，有极小值为，无极大值. 【点睛】本题考查函数的导数的应用，切线方程以及函数的极值的求法，考查转化思想以及计算能力． 17．（本小题满分15分） (1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调区间. （2）根据（1）的结论可得函数的最小值，再利用导数可证不等式. 【详解】（1）函数的定义域为，且， 当时，在上恒成立，所以此时在上为增函数， 当时，由，解得， 由，解得， 所以在上为减函数，在上为增函数， 综上：当时，在上为增函数， 当时，在上为减函数，在上为增函数； （2）由（1）知:当时，在上为增函数，无最小值. 当时，在上上为减函数，在上为增函数， 所以，即， 则， 由，解得， 由，解得， 所以在上为增函数，在上为减函数， 所以， 即在上恒成立. 18．（本小题满分16分） （1）10. （2）当销售价格为3.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大. 【详解】（1）当时，，代入，求出； （2）每日销售套题所获得的利润等于每日的销售量乘以每套题的利润，整理得每日销售套题所获得的利润，求导数研究单调性可求出销售价格的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大. 解：（1）因为时，， 代入关系式，得， 解得. （2）由（1）可知，套题每日的销售量， 所以每日销售套题所获得的利润 ，从而. 令，得,且在上,，函数单调递增；在上，，函数单调递减， 所以是函数在内的极大值点，也是最大值点， 所以当时，函数取得最大值. 故当销售价格为3.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大. 19．（本小题满分17分） （1）的递增区间，递减区间，极小值，无极大值；（2）. 【分析】（1）求得，以及函数的单调性，即可求得单调区间和极值； （2）对参数进行分类讨论，求得不同情况下的单调性和最值，结合已知条件，即可求得参数值. 【详解】（1）当时，，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以的递增区间，递减区间，极小值，无极大值 （2） ①当时，，在单调递增， ，解得不满足，故舍去 ②当时，时，，单调递减 时，，单调递增 ， 解得，不满足，故舍去 ③当时，，在单调递减， ， 解得，满足 综上： 【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间和极值，以及利用导数研究函数的单调性，属综合基础题. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二下学期数学周周练03 5.3.2导数在研究函数的极值与最值 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列函数中，存在极值的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据极值定义逐一分析即可. 【详解】对于：函数是实数集上的增函数，不存在极值； 对于：函数在上单调递增，不存在极值； 对于：函数在区间上单调递减，不存在极值； 对于：在上单调递增，在上单调递减， 因此是函数的极小值点，符合题意. 故选：D. 2．函数的极小值为（   ） A． B． C． D．不存在 【答案】A 【分析】利用导函数直接求解单调区间，即可得到极小值. 【详解】由题知函数的定义域为， 则. 令，得（舍去）. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以函数的极小值为. 故选：A 3．若函数既有极大值又有极小值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先求函数的导数，由题意转化为导函数有两个不相等的正零点，即可求解. 【详解】因为既有极大值又有极小值， 且， 所以有两个不相等的正实数解，所以且，解得且. 故选：B 4．若函数（）在上的最大值为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对函数进行求导，并通过讨论 的取值范围，利用导数求出函数的最大值即可得解. 【详解】由题意得， 若，则当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故当时，取得极大值，也是最大值，为， 解得，不符合题意； 若，则当时，，且不恒为0， 故在上单调递减，，不符合题意； 若，则当时，，在上单调递减， ，解得，符合题意. 故选：D. 5．若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据导函数有2个不同的零点，且两个零点均大于零可求解. 【详解】函数的定义域为， 因为函数有两个不同的极值点， 所以有两个不同正根， 即有两个不同正根， 所以解得， 故选:A. 6．若函数在上的最大值为2，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用导数求出函数在区间上的最大值为，再对的符号分类讨论函数在上的单调性，得出可解出实数的取值范围． 【详解】当时，，则． 当时，；当时，． 所以，函数在处取得极大值，亦即最大值，即． 当时，函数在上单调递增，由题意可知，， 得，解得，此时，； 当时，且当时，合乎题意； 当时，函数在上单调递减，此时，，合乎题意． 综上所述，实数的取值范围是， 故选：D 7．已知函数f（x）＝lnx﹣ax（x∈[1，+∞）），若不等式f（x）≤0恒成立，则实数a的取值范围为（　　　　） A．[1，+∞） B．（﹣∞，） C．[，+∞） D．[0，+∞） 【答案】C 【分析】由题知： 等价于：，恒成立.令，即：即可. 【详解】由题知：，恒成立， 等价于：，恒成立. 令，即：即可. 令，. ，，为增函数， ，，为减函数， ，所以. 故选：C 【点睛】本题主要考查导数中的恒成立问题，分离参数是解决本题的关键，同时考查了学生的转化能力，属于中档题. 8．已知函数，（是自然对数的底数），若对，，使得成立，则正数的最小值为 A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】，，使得成立，说明，分别求出与的最小值，建立不等关系求解. 【详解】“，，使得成立”等价于      当时，令，解得：， 在上单调递减，上单调递增     当时，令，解得： 在上单调递减，上单调递增 当时，此时在上单调递增，上单调递增减 ，，无最小值，不合题意 综上所述：，      令，解得： 在上单调递减，在上单调递增          本题正确选项： 【点睛】本题考查导数中的恒成立和能成立的综合问题，关键在于通过成立条件，将问题转化为最值之间的比较；难点在于求解时，需要对的范围进行讨论，才能最终确定取值. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．时，取得最大值 D．时，取得最小值 【答案】AB 【分析】由图象可确定的单调性，结合单调性依次判断各个选项即可得到结果. 【详解】由图象可知：当时，；当时，； 在，上单调递增，在上单调递减； 对于A，，，A正确； 对于B，，，B正确； 对于C，由单调性知为极大值，当时，可能存在，C错误； 对于D，由单调性知，D错误. 故选：AB. 10．设为函数的导函数，已知，，则下列结论正确的是（   ） A．在单调递增 B．在单调递减 C．在上有极大值 D．在上有极小值 【答案】AD 【分析】根据题意，由条件可得，从而可得的单调区间，即可得到结果. 【详解】由得，则，即， 设，由得， 由得， 即函数在单调递增，在单调递减， 即当时，函数取得极小值， 故选：AD. 11．设函数，，则下列命题正确的是（   ） A．不等式的解集为 B．函数在上单调递增，在上单调递减 C．当时，恒成立，则 D．若函数有两个极值点，则实数 【答案】AC 【分析】求出函数的导数，根据函数的单调性分别判断即可. 【详解】的导函数为， 则，， 对于A，，即，解得，故A正确； 对于B，，当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减，故B错误： 对于C，可化为. 设，又， 在上单调递减， 在上恒成立， 即在上恒成立. 又在上单调递增，在上单调递减， ∴在处取得最大值，，，故C正确； 对于D，若函数有两个极值点， 则有两个零点，即，即有两个不等实根. 又在上单调递增，在上单调递减，，时，，， 所以，即，故D错误. 故选：AC. 【点睛】关键点点睛：判断选项C时，根据题设条件变形，并构造函数，利用参数分离法求出 的最小值是解题关键，此题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，属于较难题. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若函数在区间内恰有一个极值点，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【详解】试题分析：由题意，，则，解得 考点：函数在某点取得极值的条件． 点评：考查利用导数研究函数的极值问题，体现了数形结合和转化的思想方法． 13．设函数，若当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】由恒成立的不等式可知，利用导数可求得在上的单调性，进而得到，由此得到结果. 【详解】. 由：得：或. 当时，；当时，， 在上单调递减，在上单调递增，， ，即实数的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】本题考查利用导数处理恒成立问题，关键是能够将恒成立问题转化为参数与函数最值之间的大小关系问题，利用导数求得函数的最值，从而求得结果. 14．若函数在区间上有最小值，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】先求的极小值点，的极小值点在区间上，由此可得的范围． 【详解】，当或时，，当时，，∴是函数的极小值点． ∵函数在区间上有最小值，即为极小值． ∴，解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查导数与最值的关系．连续函数在的最小值就是极小值，最大值就是极大值．但在是的最值不一定是极值． 四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分) 求下列函数的最值： （1）； （2），； （3），． 【答案】（1）最小值为，最大值为2； （2）最大值为2，最小值为； （3）最大值为，最小值为. 【分析】（1）求得，由导数的符号，求得单调性，结合函数的单调性，即可求解； （2）求得，令，得到或，分别求得，比较大小确定函数的最值； （3）求得，求得函数的单调性，结合函数的单调性和极值及端点的函数值，即可求解. 【详解】（1）由题意，函数 可得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以当时，函数取得最大值，最大值为， 又由，，所以函数的最小值为， 所以的最小值为，最大值为． （2）由题意，函数，可得， 令，解得或， 又由，，，， 所以的最大值为2，最小值为． （3）由函数，可得， 令，解得， 在上，当变化时，与的变化情况如下表： 1 0 单调递减 极小值 单调递增 所以在上，当时取得极小值，也是最小值，且， 又因为，， 所以， 所以，所以在上的最大值为，最小值为． 16．(本小题满分15分) 已知函数． （Ⅰ）若曲线在处的切线方程为，求的值； （Ⅱ）求函数在区间上的极值． 【答案】（Ⅰ）0（Ⅱ）详见解析 【分析】（Ⅰ）求出的导数，求出切线方程，然后求解a即可． （Ⅱ）求出，通过①当2a≤1，即时，②当2a≥2，③当1＜2a＜2，判断导函数的符号，函数的单调性，然后求解函数的极值． 【详解】解：（Ⅰ）因为， 所以， 所以. 因为在处的切线方程为. 所以， 解得. （Ⅱ）因为，， 所以， ①当，即时，在恒成立， 所以在单调递增； 所以在无极值； ②当，即时，在恒成立， 所以在单调递减， 所以在无极值； ③当，即时， 变化如下表： - 0 + 单调递减↘ 极小值 单调递增↗ 因此，的减区间为，增区间为． 所以当时，有极小值为，无极大值. 【点睛】本题考查函数的导数的应用，切线方程以及函数的极值的求法，考查转化思想以及计算能力． 17．(本小题满分15分) 已知函数， (1)讨论函数的单调性； (2)若函数有最小值，证明：在上恒成立. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调区间. （2）根据（1）的结论可得函数的最小值，再利用导数可证不等式. 【详解】（1）函数的定义域为，且， 当时，在上恒成立，所以此时在上为增函数， 当时，由，解得， 由，解得， 所以在上为减函数，在上为增函数， 综上：当时，在上为增函数， 当时，在上为减函数，在上为增函数； （2）由（1）知:当时，在上为增函数，无最小值. 当时，在上上为减函数，在上为增函数， 所以，即， 则， 由，解得， 由，解得， 所以在上为增函数，在上为减函数， 所以， 即在上恒成立. 18．(本小题满分16分) 时下，网校教学越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量（单位：千套）与销售价格（单位：元/套）满足的关系式，其中，为常数.已知销售价格为4元/套时，每日可售出套题21千套. （1）求的值； （2）假设网校的员工工资，办公等所有开销折合为每套题2元（只考虑销售出的套数），试确定销售价格的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大.（保留1位小数） 【答案】（1）10. （2）当销售价格为3.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大. 【详解】（1）当时，，代入，求出； （2）每日销售套题所获得的利润等于每日的销售量乘以每套题的利润，整理得每日销售套题所获得的利润，求导数研究单调性可求出销售价格的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大. 解：（1）因为时，， 代入关系式，得， 解得. （2）由（1）可知，套题每日的销售量， 所以每日销售套题所获得的利润 ，从而. 令，得,且在上,，函数单调递增；在上，，函数单调递减， 所以是函数在内的极大值点，也是最大值点， 所以当时，函数取得最大值. 故当销售价格为3.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大. 19. (本小题满分17分) 已知函数. （1）当时，求函数的单调区间和极值； （2）若函数在区间上取得最小值4，求的值. 【答案】（1）的递增区间，递减区间，极小值，无极大值；（2）. 【分析】（1）求得，以及函数的单调性，即可求得单调区间和极值； （2）对参数进行分类讨论，求得不同情况下的单调性和最值，结合已知条件，即可求得参数值. 【详解】（1）当时，，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以的递增区间，递减区间，极小值，无极大值 （2） ①当时，，在单调递增， ，解得不满足，故舍去 ②当时，时，，单调递减 时，，单调递增 ， 解得，不满足，故舍去 ③当时，，在单调递减， ， 解得，满足 综上： 【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间和极值，以及利用导数研究函数的单调性，属综合基础题. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $