第六章 计数原理（举一反三讲义·培优篇）高二数学人教A版选择性必修第三册

该高中数学计数原理单元复习讲义通过题型分类框架系统梳理知识体系，将涂色问题、排列组合、二项式定理等十一大压轴题型按逻辑递进组织，用例题解析呈现计数原理的核心脉络，突出相邻不相邻排列、分组分配等重难点的内在联系。 讲义亮点在于“题型举一反三”的练习设计，如通过五区域地图涂色问题培养逻辑推理能力，结合分组分配实例强化数学建模意识，覆盖选择、填空、解答题梯度训练。每个题型配方法归纳，基础生可掌握通法，优生能拓展思维，助力教师实施分层教学与精准突破。

第六章 计数原理全章十一大压轴题型归纳（举一反三讲义·培优篇） 【人教A版】 题型1 涂色问题  1．（24-25高二下·福建·期末）在一个具有五个行政区域的地图上，用6种颜色着色，若相邻的区域不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有（   ） A．1450种 B．1480种 C．1520种 D．1560种 【答案】D 【解题思路】先涂3区域，然后涂1区域，然后涂5区域，进而分若1和5区域同色与不同色两种情况求解即可. 【解答过程】先涂3区域，共有6种涂法，然后涂1区域，共有5种涂法， 然后涂5区域，若1和5区域同色，一共的涂法种数为； 若1和5区不同色，一共的涂法种数为 . 故一共的涂色总数为. 故选：D. 2．（24-25高二下·海南海口·期末）如图，现要用4种不同的颜色对海口市的4个区地图进行着色，要求有公共边的2个区不能用同一种颜色，则不同的着色方法的种数为（    ） A．24 B．48 C．72 D．120 【答案】C 【解题思路】先选择秀英区与龙华区，然后分别对琼山区，美兰区与秀英区是否同色进行讨论，然后计算可得结果. 【解答过程】秀英区有4种选择，龙华区有3种选择， 当琼山区与秀英区同色，则美兰区有2种选择； 当琼山区与秀英区不同色，美兰区与秀英区同色，琼山区有2种选择； 当琼山区与秀英区不同色，美兰区与秀英区不同色，琼山区有2种选择，美兰区有1种选择； 所以不同的着色方法的种数为. 故选：C. 3．（24-25高二下·河北保定·期中）如图“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．现有红、黄、蓝、绿四种不同的颜色供选择给赵爽弦图涂色，要求每个区域只涂一种颜色且相邻两个区域颜色不同，不同的涂色方法总数为（   ） A．48 B．24 C．144 D．72 【答案】D 【解题思路】根据题意，分选三种颜色与选四种颜色讨论，结合排列数代入计算，即可得到结果. 【解答过程】若选三种颜色，则①③同色且②④同色， 则有种方法； 若选四种颜色，则①③同色或②④同色， 则有种方法； 所以一共有种方法. 故选：D. 4．（24-25高二下·山西·期末）某公园设计了如图所示的观赏花坛，现有四种不同的鲜花可供摆放，要求有公共边的区域摆放不同种类的鲜花，则摆放鲜花的不同方法种数为 .    【答案】120 【解题思路】根据分步乘法计数原理，结合4，5以及1，2是否同色，分类即可求解. 【解答过程】先排1，3，5区域，此时从4种鲜花中任选3种全排列，故共有种方法， 接下来排区域4，2，6， 若4与5同色，1，2同色，此时区域6有2种选择， 若4与5同色，1，2不同色，此时区域2只有一种选择，区域6也只有1种选择， 若4与5不同色，此时1，2只能同色，此时区域6有2种选择， 故涂区域2，4，6共有种方法， 因此总的涂法共有， 故答案为：120. 5．（24-25高二下·湖南衡阳·期中）如图，已知四棱锥. (1)从5种颜色中选出3种颜色，涂在四棱锥的5个顶点上，每个顶点涂1种颜色，并使同一条棱上的2个顶点异色，求不同的涂色方法数； (2)从5种颜色中选出4种颜色，涂在四棱锥的5个顶点上，每个顶点涂1种颜色，并使同一条棱上的2个顶点异色，求不同的涂色方法数. 【答案】(1)60 (2)240 【解题思路】（1）由分步乘法原理，先涂S，再涂A，再涂B，最后涂CD计算即可. （2）解法一：由分步乘法原理，先涂AC，再一次涂SAB，计算即可；解法二：分类分步原理，先按照A与C颜色相同与不同分类，再用分步乘法，最后求和即可. 【解答过程】（1）由题意知，四棱锥的顶点S，A，B所涂颜色互不相同， 则A，C颜色相同，且B，D颜色相同， 所以共有种不同的涂色方法. （2）解法一：由题意知，四棱锥的顶点S，A，B所涂颜色互不相同， 则A，C可以颜色相同，B，D可以颜色相同，并且两组中必有一组颜色相同， 所以先从两组中选出一组涂同一颜色，有2种选法（如：B，D颜色相同）； 再从5种颜色中，选出4种颜色涂在S，A，B，C四个顶点上， 最后D涂B的颜色，有种不同的涂色方法. 根据分步计数原理知，共有种不同的涂色方法. 解法二：分两类. 第一类，A与C颜色相同， 由题意知，四棱锥的顶点S，A，B所涂颜色互不相同， 它们有种不同的涂色方法， 所以共有种不同的涂色方法； 第二类，A与C颜色不同， 由题意知，四棱锥的顶点S，A，B所涂颜色互不相同， 它们有种不同的涂色方法， 所以共有种不同的涂色方法. 根据分类计数原理知，共有种不同的涂色方法. 题型2 两个计数原理的综合应用 1．（24-25高二下·河北唐山·月考）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（   ） A．48个 B．52个 C．60个 D．120个 【答案】B 【解题思路】根据分类加法和分步乘法计数原理，分类讨论，求出结果. 【解答过程】由题意可知，分为两种情况： 情况一：个位是0，则有不同的结果个； 情况二：个位不是0，则有不同结果个； 所以共有个； 故选：B. 2．（24-25高二下·广西百色·期末）如图所示，从甲地到丙地有2条公路可走，从丙地到乙地有3条公路可走，从甲地不经过丙地到乙地有2条水路可走.则从甲地到乙地的走法种数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【解题思路】根据分类加法计数原理和分步乘法计数原理即可求解. 【解答过程】由分步乘法计数原理可知：从甲地经过丙地到乙地共有种走法； 又从甲地不经过丙地到乙地有2条水路可走， 所以根据分类加法计数原理可得：从甲地到乙地的走法种数为. 故选：D. 3．（24-25高二下·安徽·月考）已知有4名工人分别在4个不同的岗位，现根据需要进行轮岗调整，则至少有3名工人岗位变动的轮岗方式种数有 . 【答案】17 【解题思路】根据分类加法原理和分步乘法原理求解即可. 【解答过程】分两类：当恰有3名工人岗位变动时，则先从4名工人中选出1名保持岗位不变， 剩余3名工人进行错位排列有种； 当4名工人岗位全部变动时，则不妨记4名工人分别为，对应的岗位分别为， 工人有3种岗位选择，若工人选择岗位时， 则工人选择对应的岗位为、或共3种轮岗方式， 同理工人选择岗位时有3种轮岗方式，工人选择岗位时有3种轮岗方式， 所以4名工人进行错位排列有种； 综上，共有种轮岗方式. 故答案为：17. 4．（24-25高二下·江苏南通·月考）在这个数字中选择若干个数. (1)能组成多少个无重复数字且为的倍数的五位数？ (2)能组成多少个无重复数字且不大于的四位数？ 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）分个位数为和两种情况讨论，再根据分步乘法计数原理和分类加法计数原理即可得解； （2）分千位数为或和两种情况讨论，再根据分步乘法计数原理和分类加法计数原理即可得解. 【解答过程】（1）当个位数为时，则万位数有种选法， 则千位数有种选法，百位数有种选法，十位数有种选法， 所以能组成个无重复数字且为5的倍数的五位数； 当个位数为时，则万位数有种选法， 则千位数有种选法，百位数有种选法，十位数有种选法， 所以能组成个无重复数字且为5的倍数的五位数， 综上所述，能组成个无重复数字且为5的倍数的五位数； （2）当千位数为或时， 则能组成个无重复数字且不大于3450的四位数； 当千位数为，百位数为，十位数为时，则符合题意的数只有一个； 当千位数为，百位数为，十位数不为时， 则十位数有种选法，个位数有种选法， 所以符合题意的数有种； 当千位数为，百位数不为， 则百位数有种选法，十位数有种选法，个位数有种选法， 所以符合题意的数有种， 综上所述，能组成个无重复数字且不大于3450的四位数. 5．（24-25高二下·全国·课后作业）用0，1，2，3，…，9这十个数字． (1)可组成多少个三位数？ (2)可组成多少个无重复数字的三位数？ (3)可组成多少个小于500且没有重复数字的自然数？ 【答案】(1)900； (2)648； (3)379 【解题思路】（1）（2）根据分步乘法计数原理，先确定百位上的数字，再分析十位与个位，进而计算出正确答案. （3）根据分类加法、分步乘法计数原理，分别分析1位数，两位数与三位数满足条件的数字计算出正确答案. 【解答过程】（1）要确定一个三位数，可分三步进行：第一步，确定百位数，百位不能为0，有9种选法； 第二步，确定十位数，有10种选法；第三步，确定个位数，有10种选法， 根据分步乘法计数原理，共有个. （2）要确定一个无重复数字的三位数，可分三步进行：第一步，确定百位数，有9种选法； 第二步，确定十位数，有9种选法；第三步，确定个位数，有8种选法， 根据分步乘法计数原理，无重复数字的三位数共有个． （3）作用题意，小于500且没有重复数字的自然数分为以下三类： 第一类，满足条件的一位自然数：有10个， 第二类，满足条件的两位自然数：有个， 第三类，满足条件的三位自然数： 第一步，确定百位数，百位数字可取1，2，3，4，有4种选法； 第二步，确定十位数，有9种选法； 第三步，确定个位数，有8种选法，根据分步乘法计数原理，有个， 所以小于500且没有重复数字的自然数共有（个）. 题型3 元素（位置）有限制的排列问题 1．（24-25高二下·江苏南京·期中）甲乙丙等人站在一排，且甲不在两端，乙和丙中间恰好有两人，则不同排法共有（    ） A．24种 B．16种 C．12种 D．8种 【答案】B 【解题思路】由分步乘法计数原理即可求解. 【解答过程】因为甲一定在乙丙之间，否则将在两端，先排乙丙有种排法， 其次选一人在乙丙中间有种排法， 然后乙丙中间排序有种排法， 最后另一人选在排头排尾有种排法， 共种排法. 故选：B. 2．（24-25高二下·福建三明·期末）由0，1，2，3，5组成的无重复数字的4位数共有（    ） A．24个 B．72个 C．96个 D．120个 【答案】C 【解题思路】分这个4位数含0和不含0两种情况讨论即可. 【解答过程】若组成的4位数不含0，则有个； 若组成的4位数含0，因为0不能在首位，所以首位有种排法，后面的三位有种排法，所以含0的4位数有个. 所以由0，1，2，3，5组成的无重复数字的4位数共有：个. 故选：C. 3．（24-25高二下·湖北武汉·期末）某单位劳动节共有五天假期，但每天都需要留一名员工值班，现从A、B、C、D、E、F、G七人中选择五人值班，每名员工最多值班一天，已知A不在第一天值班，B不在第五天值班，则值班安排共有（   ） A．1740种 B．1760种 C．1800种 D．1860种 【答案】D 【解题思路】根据给定条件，利用分类加法计数原理，结合排列、组合计数问题列式计算即得. 【解答过程】若A、B不值班，值班安排有种； 若A、B只有一人不值班，值班安排有种； 若A、B都值班，值班安排有种， 所以值班安排共有1860种. 故选：D. 4．（24-25高二下·四川雅安·期末）某班级周一的课程表要排入语文、数学、英语、物理、化学、体育共6节课，其中要求体育课不能排在第一节，且数学课不能排在最后一节，则共有 种不同的排法.（用数字作答） 【答案】 【解题思路】根据题意，分为体育课排在最后一节和体育课不排在第一节和最后一节，两种情况，分别求得相应的排法数，结合分类计算原理，即可求解. 【解答过程】根据题意，可分为两类： （1）若体育课排在最后一节，则有种不同的排法； （2）若体育课不排在第一节和最后一节，则有种不同的排法， 由分类计数原理得，共有种不同的排法. 故答案为：. 5．（24-25高二下·全国·课后作业）让6名学生排成一排，按下列条件，求分别有多少种不同的排法． (1)甲必须在排头； (2)甲不在排头也不在排尾； (3)甲不在排头，乙不在排尾． 【答案】(1)120 (2)480 (3)504 【解题思路】（1）甲必须在排头，其他人全排即可； （2）方法一：甲不在排头也不在排尾，甲有种排法，其他全排即可；方法二：先排排头和排尾，其他全排即可； （3）分甲在排尾和甲不在排尾进行讨论排列即可. 【解答过程】（1）先排甲，有1种排法，再排其他5人，有种排法，所以共有（种）排法． （2）方法一：特殊元素法：先排甲，有种排法，再排其他5人，有种排法， 所以共有（种）排法． 方法二：特殊位置法：先排排头和排尾，有种排法，再排其他4个位置，有种排法， 所以共有（种）排法． （3）对甲进行分类，第一类，甲在排尾，有（种）排法； 第二类，甲不在排尾，有（种）排法， 所以共有（种）排法． 题型4 相邻、不相邻排列问题 1．（24-25高二下·贵州遵义·月考）某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”“雨水”“惊蛰”“春分”“清明”“谷雨”六张知识展板放置在六个并列的文化橱窗里，要求“立春”和“春分”两块展板相邻，且“清明”和“惊蛰”两块展板不相邻，则不同的放置方式种数为（   ） A．24 B．48 C．144 D．240 【答案】C 【解题思路】利用捆绑法和插空法，结合排列知识进行求解. 【解答过程】将“立春”和“春分”两块展板捆绑成一个整体，有种放置方法， 捆绑后的“立春”和“春分”整体与“雨水”，“谷雨”进行全排列，共有种方法， 再将“清明”和“惊蛰”进行插空，4个空选择2个，共有种方法， 综上，共有种放置方式. 故选：C. 2．（24-25高二下·重庆长寿·期末）甲、乙、丙、丁四人站成一排，要求甲、乙必须相邻，丙、丁不相邻，则不同的安排方法有（ ） A．24 种 B．16 种 C．12 种 D．4 种 【答案】D 【解题思路】根据相邻捆绑，不相邻插空和分步乘法计数原理即可分析计算求解. 【解答过程】甲、乙必须相邻，先将甲、乙两人捆绑作为一人有种排列方法， 丙、丁共有排列有种方法， 所以总的不同的安排方法有种. 故选：D. 3．（24-25高二下·重庆·期中）2025年春节档电影《哪吒之魔童闹海》成为中国影史票房最高的电影，某班甲、乙、丙、丁、戊这5位同学相约一起去电影院观看，要求5人坐在同一排相邻的5个位置，甲、乙、丙这三人相邻，且丙不与丁相邻，则不同的座位排列方法有（    ）种. A．32 B．28 C．24 D．20 【答案】B 【解题思路】根据给定条件，利用相邻问题捆绑法，结合排除法列式计算. 【解答过程】将甲乙丙三人视为整体与丁戊排列，有种， 当甲乙丙相邻，丙不在甲乙的中间，丙丁相邻时，甲乙丙丁视为一个整体与戊排列，有种， 所以不同的座位排列方法的种数是. 故选：B. 4．（24-25高二下·江苏淮安·期中）甲、乙、丙、丁、戊、戌6名同学坐一排照相，若甲不坐在6个人的两端，乙和丙相邻，则不同的排列方式种数为 . 【答案】144 【解题思路】先对乙丙进行捆绑，再考虑甲的位置，最后对剩余元素进行全排列． 【解答过程】乙和丙相邻，那么乙和丙两人之间的排列方式有种． 甲不坐在个人的两端，那么甲可选择的位置有中间的个位置，所以甲的排法有种． 此时相当于将乙丙整体、甲以及丁、戊、戌进行排列，已经排好了甲，还剩下个位置，乙丙整体和丁、戊、戌全排列的方式有种． 所以不同的排列方式种数为种． 故答案为：144． 5．（24-25高二下·云南昭通·期中）某种产品的加工需要经过6道工序． (1)若其中某2道工序不能放在最前面也不能放在最后面，其他道工序没有加工顺序，问有多少种加工顺序？ (2)若其中某3道工序必须相邻，其他道工序没有加工顺序，问有多少种加工顺序？ (3)若其中某3道工序两两不能相邻，其他道工序没有加工顺序，问有多少种加工顺序？ 【答案】(1)288 (2)144 (3)144 【解题思路】（1）根据给定条件，利用有限制条件的排列问题，结合分步乘法计数原理计算即得. （2）根据给定条件，利用相邻问题，结合分步乘法计数原理计算即得. （3）根据给定条件，利用不相邻问题，结合分步乘法计数原理计算即得. 【解答过程】（1）先从另外4道工序中任选2道工序放在最前面与最后面， 有种不同的排法， 再将其余的4道工序全排列，有种不同的排法， 由分步乘法计数原理可得，共有种加工顺序． （2）先排这3道工序，有种不同的排法， 再将它们看作一个整体，与其余的3道工序全排列，有种不同的排法， 由分步乘法计数原理可得，共有种加工顺序． （3）先排其余的3道工序，有种不同的排法，有4个空档， 再将这3道工序插入空档，有种不同的排法， 由分步乘法计数原理可得，共有种加工顺序. 题型5 组合计数问题 1．（24-25高二下·广东阳江·期中）从包含甲、乙两人的人中选出人分别担任学习委员、宣传委员、体育委员，则甲、乙两人都入选的不同选法共有（ ）种 A． B． C．30 D．20 【答案】C 【解题思路】从除了甲乙外的人中任选一人，再将甲，乙和所选的人进行全排列，即可求出甲、乙两人都入选的不同选法的种数. 【解答过程】由题意， 甲乙两人都入选，还要先在其他5人里选一人有种，再和甲乙一起全排列有， ∴甲乙两人都入选的不同选法有（种）. 故选：C. 2．（2025·安徽·模拟预测）在三棱锥的顶点和各棱中点中取个不共面的点，不同的取法共有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】D 【解题思路】根据棱锥的结构特征，应用组合数及列举法确定所有选取方法数、共面情况的选取方法数，即可得. 【解答过程】如下图，共有个点任选个有种， 每个侧面的个点都共面，任选个有种，共个面，则有种共面情况， 如、、分别构成一个平面，有种， 如、、、、、分别构成一个平面，有种， 综上，在三棱锥的顶点和各棱中点取个不共面的点，不同的取法共有种. 故选：D. 3．（24-25高二下·贵州·期中）由数字0，1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复数字，并且比400000大的偶数？（    ） A．120种 B．144种 C．48种 D．24种 【答案】A 【解题思路】分最高位是5和最高位是4两种情况，结合排列组合知识求解． 【解答过程】若最高位是5，则个位可以是0或2或4，其它位任意排列，共有种， 若最高位是4，则个位可以是0或2，其它位任意排列，共有种， 所以比400000大的偶数的排列方法一共有种． 故选：A． 4．（24-25高二下·贵州安顺·期末）某校组织学生参加数学、物理、化学三项学科竞赛，要求每名学生只报名一项竞赛，且每项竞赛至少有一人参加．若有5名学生报名，其中甲、乙都不参加化学竞赛，则不同的报名方案共有 种（用数字作答）． 【答案】62 【解题思路】根据化学竞赛报名人数1人，2人，3人分情况讨论，结合排列数、组合数计算. 【解答过程】这5名学生中，若化学竞赛只有1人报名，则报名方案有种； 若化学竞赛有2人报名，则报名方案有种； 若化学竞赛有3人报名，则报名方案有种． 故该班这5名学生不同的报名方案共有种． 故答案为：62. 5．（24-25高二下·湖北武汉·期中）有5个男生和3个女生，现从中选出5人担任5门不同学科的科代表，求分别符合下列条件的选法数. (1)含有女生但人数必须少于男生； (2)某男生必须包括在内，但不担任语文科代表； (3)某女生一定要担任语文科代表，某男生必须担任科代表，但不担任数学科代表. 【答案】(1)5400 (2)3360 (3)360 【解题思路】（1）由题意可得男女的人数，根据分组分配，可得答案； （2）按照分步乘法原理，根据限制条件，可得答案； （3）按照分步乘法原理，根据限制条件，可得答案. 【解答过程】（1）先选后排，5人可以是2女3男，也可以是1女4男， 所以先选有种方法，后排有种方法， 所以共有不同选法（种）. （2）分步： 第一步，先安排不担任语文科代表的某男生，有种方法； 第二步，然后从剩余的7人中选出4人，有种选法； 第三步，选出的4人排列，有种方法. 根据分步乘法计数原理，共有不同选法（种）. （3）第一步，安排某男生，有种方法； 第二步，从剩余的6人中选出3人，有种选法； 第三步，选出的3人排列，有种方法. 根据分步乘法计数原理，共有不同选法（种）. 题型6 分组分配问题 1．（24-25高二下·海南三亚·月考）某航天科研所的甲、乙、丙、丁、戊5位科学家应邀去、、三所不同的学校开展科普讲座活动，要求每所学校至少1名科学家．已知甲、乙到同一所学校，丙不到学校，则不同的安排方式有多少种（   ） A．12种 B．24种 C．36种 D．30种 【答案】B 【解题思路】根据排列组合的知识以及分组分配的方法求解. 【解答过程】因为甲､乙到同一所学校，所以将甲、乙“捆绑”看成一个元素， 因此原问题转化为要将四个元素：甲乙、丙、丁、戊分配到三所学校，每所学校至少1个元素， 若A学校只安排一个元素，该元素不为丙，则有种分配方法； 若A学校只安排两个元素，则需从甲乙、丁、戊中选两个元素， 则有种分配方法； 所以不同的安排方式有种； 故选：B. 2．（24-25高二下·江苏南通·月考）某市为了实施教育振兴计划，依托本市一些优质教育资源，每年都对本市所有在高校就读的定向师范生实施教育教学技能培训，以提高定向师范生的毕业质量.现有5名即将毕业的定向师范生拟分配到3所学校进行跟岗培训，每名师范生只能跟岗1所学校，每所学校至少分配1名师范生，则不同的跟岗分配方案共有（ ） A．90种 B．150种 C．300种 D．360种 【答案】B 【解题思路】分类讨论人数的配比，结合捆绑法和部分平均分组法运算求解. 【解答过程】若3所学校分配1名师范生的人数为时，先取3人看成一个整体，再进行排列， 所以不同的跟岗分配方案有种； 若3所学校分配1名师范生的人数为时，注意到有2个学校均分配2名师范生， 所以不同的跟岗分配方案有种； 综上所述：不同的跟岗分配方案共有种. 故选：B. 3．（24-25高二下·广东广州·月考）将6名志愿者安排到4个不同的社区进行创文共建活动，要求每个社区至少安排1名志愿者，每名志愿者只能到一个社区，则不同排法共有（   ） A．480种 B．1560种 C．2640种 D．640种 【答案】B 【解题思路】首先计算分组方法，再按照分组分配的方法，列式求解. 【解答过程】首先将6名志愿者分成1，1，1，3，或1，1，2，2两种分组形式， 1，1，1，3的分组包含种情况， 1，1，2，2的分组包含种情况， 这样分组后再分配到4个不同社区共有种方法. 故选：B. 4．（24-25高二下·陕西咸阳·期末）六本不相同的书发给4个人，每人至少一本，且书全部分完，则所有不同的分配方法种数为 . 【答案】1560 【解题思路】分为按2，2，1，1和按3，1，1，1分发，再利用排列组合数计算即可. 【解答过程】若书本数按2，2，1，1分发，则有种不同的分配方法； 若书本数按3，1，1，1分发，则有种不同的分配方法. 故共有1560种不同的分配方法. 故答案为：1560. 5．（24-25高二下·江苏宿迁·期中）有6名同学报名参加数学、物理、化学三科兴趣小组，每人选择一个小组.（数字作答） (1)求一共有多少种不同的报名方法； (2)若三科均要有人报名，求一共有多少种不同的报名方法； (3)若甲乙两人都不报化学学科，且每个学科都要有人报名，求一共有多少种不同的报名方法. 【答案】(1) (2)540 (3)230 【解题思路】（1）根据分步乘法原理直接求解即可. （2）分三种情况讨论，利用分组分配问题求解即可. （3）分4种情况，利用分组分配问题求解即可. 【解答过程】（1）因为每个人都有三种选择，所以一共有种； （2）因为三科均要有人报名，可分为以下三种情况： ①其中一科有4人，另外2科各1人，共有：种， ②其中一科1人，一科2人，一科3人，共有：种， ③三科均2人，共有：种， 所以一共有：90+360+90=540种. （3）因为甲乙两人都不报化学学科， 所以按照另外4个人报化学学科的人数可分为以下4种情况： ①有1人报化学：种， ②有2人报化学：种, ③有3人报化学：种， ④有4人报化学：种， 所以一共有：120+84+24+2=230种. 题型7 排列与组合的综合应用 1．（24-25高二下·四川自贡·期末）从2名男生、3名女生中选2人分别担任班长和学习委员，要求选出的2人中至少有一名女生，则不同的方法数为（    ） A．10 B．16 C．18 D．24 【答案】C 【解题思路】利用排列、组合计数问题，结合两个基本原理列式计算即可. 【解答过程】依题意，选出2人中至少有一名女生的方法数为，对选取的2人分配职务有种， 所以不同的方法数为. 故选：C. 2．（24-25高二下·河北·期中）衡水湖国际马拉松赛是经国家体育总局批准的国际性马拉松赛事，自2012年起每年9月份举行一届．竞赛项目分为全程马拉松、半程马拉松和迷你马拉松．甲、乙、丙等5名马拉松爱好者均计划参加衡水湖国际马拉松赛，若甲和乙均参加迷你马拉松，且每人只参加一个竞赛项目，这5名马拉松爱好者的竞赛项目涵盖了三个竞赛项目，则不同的参赛方案有（   ） A．6种 B．12种 C．24种 D．18种 【答案】B 【解题思路】根据参加迷你马拉松的情况进行分两类进行讨论，只有甲和乙参加迷你马拉松和有3人参加迷你马拉松，分别求出方案数，再相加即可． 【解答过程】若只有甲和乙参加迷你马拉松，则剩下的3人按1，2分成2组， 所以有种参赛方案； 若有3人参加迷你马拉松，则从剩下的3人中选1人参加迷你马拉松， 再将剩余的2人按1，1分成2组，所以有种参赛方案． 故不同的参赛方案共有种， 故选：B． 3．（24-25高二下·吉林长春·期中）国际高峰论坛上，组委会要从6个国内媒体团和3个国外媒体团中选出3个媒体团进行提问，要求这3个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团，且国外媒体团不能连续提问，则不同的提问方式的种数为（    ） A．306 B．198 C．268 D．378 【答案】A 【解题思路】利用分类思想进行选取和排列即可求解. 【解答过程】第一类：国内媒体团2个，国外媒体团1个，此时不同的选法和提问方式共有：种； 第二类：国内媒体团1个，国外媒体团2个，此时不同的选法和提问方式共有：种； 综上，共有306种 故选:A． 4．（2025·陕西咸阳·模拟预测）将1，1，1，1，2，4，6，8这8个数填入如图所示的格子中（要求每个数都要填入，每个格子中只能填一个数），若填入的每行数之和为偶数，则不同的填数方法共有 种（用数字作答） 【答案】912 【解题思路】应用分步分类计数原理，讨论数字1的填入方式，结合排列组合的知识求解即可． 【解答过程】要使填入的每行数之和为偶数， 分如下三种情况： 第1行0个1，第2行4个1，此时有种； 第1行、第2行各2个1，此时有种； 第1行4个1，第2行0个1，此时有种； 所以共有种． 故答案为：912. 5．（24-25高二下·吉林长春·期中）有5个男生和3个女生，从中选出5人分别担任5门不同学科的科代表(要求每人只担任一科科代表，每科只有一名科代表)，求分别符合下列条件的安排方法数．（写出必要的数学式，结果用数字作答） (1)有女生但人数必须少于男生； (2)女生甲一定担任语文科代表； (3)男生乙必须包括在内，但不担任语文科代表． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）分为2女3男和1女4男，两种情况，先选出5人，然后排列即可得出答案； （2）从剩余7人中，先选出4人排列，然后全排即可得出答案； （3）先考虑选出男生乙的职位，再从剩余7人中，先选出4人排列，然后全排即可得出答案； 【解答过程】（1）先选后排，5人可以是2女3男，也可以是1女4男， 所以先选有种方法，后排有种方法， 所以共有不同选法（种）． （2）先在剩余的7人中选出4人，有种选法，然后排列，有种方法，根据分步乘法计数原理，即可得出共有不同选法（种）． （3）分步： 第一步，先安排不担任语文科代表的男生乙，有种方法； 第二步，然后从剩余的7人中选出4人，有种选法； 第三步，选出的4人排列，有种方法． 根据分步乘法计数原理，共有不同选法（种）． 题型8 用赋值法求系数和问题 1．（24-25高二下·北京延庆·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据二项展开式的各项系数和的计算公式，利用赋值法计算. 【解答过程】由， 即， 设， 则， 令，则， 令，则， 所以. 故选：B. 2．（24-25高二下·湖北荆州·期中）若，则的值为（   ） A． B．1 C．0 D． 【答案】A 【解题思路】根据题意，令，求得，再令，可得，进而求得的值，得到答案. 【解答过程】由， 令，可得， 再令，可得， 所以. 故选：A. 3．（24-25高二下·湖南衡阳·期中）已知，则下列结论正确的有（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由赋值法逐项判断A，C，D即可，对于B，求展开式中第7项的系数即可. 【解答过程】对于A，取，得，故A错误； 对于B，的展开式中第7项为， 所以，故B错误； 对于C，取得， 所以，故C错误； 对于D，由， 取得， 取得， 所以，故D正确. 故选：D. 4．（24-25高二下·重庆沙坪坝·期末）已知，则 ． 【答案】 【解题思路】利用二项式定理先求，再令得，进而求解. 【解答过程】由题意有：，令有：， 所以， 故答案为：. 5．（24-25高二下·四川广元·期末）已知， (1)求； (2)求； (3)求． 【答案】(1)； (2); (3). 【解题思路】（1）分别令，令求解； （2）根据展开式的通项得到偶数项的系数为负数，令求解. （3）两边同时求导再代入即可. 【解答过程】（1）令，得， 令，得， 所以． （2）因为展开式的通项为(且)， 所以当为奇数时，项的系数为负数． 所以， 令，得， ． （3）对两边同时求导， 可得， 令，可得． 题型9 利用二项式定理证明整除问题或求余数 1．（24-25高二下·陕西咸阳·期末）除以128的余数为（   ） A．51 B．43 C．41 D．33 【答案】C 【解题思路】变形为，再利用二项展开式即可得到答案. 【解答过程】因为 ， 且显然能被128整除， 所以所求余数即为681除以128的余数. 因为，所以除以128的余数为41. 故选：C. 2．（24-25高二下·湖北·月考）我国农历用“鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪”这12种动物按顺序轮流代表各年的生肖年号.已知2025年是蛇年，那么年后是（   ） A．羊年 B．马年 C．龙年 D．兔年 【答案】B 【解题思路】借助二项式的展开式计算即可得. 【解答过程】由 ， 故除以的余数为， 故年后是马年. 故选：B. 3．（24-25高二下·河北·期中）中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设为整数，若和被除得的余数相同，则称和对模同余，记为.若，，则的值可以是（    ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2025 【答案】A 【解题思路】先利用二项式定理化简，再用二项式定理展开即可求得被10除得的余数即可. 【解答过程】因为 所以被10除得的余数为0， 而2020，2021，2022，2025被10除得的余数分别是0，1，2，5， 故的值可以是2020. 故选：A. 4．（24-25高二下·湖北荆州·期末）今天是星期二，则天后是星期 ． 【答案】三 【解题思路】利用二项式定理的整除问题即可求得结果. 【解答过程】因为, 前10个数除以7都能除尽，最后的那个数1即是余数，故天后是星期三. 故答案为：三. 5．（24-25高二下·山西·期中）已知，若的展开式中二项式系数和为. (1)求； (2)求被15除的余数. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据题意，得到，解得，结合二项展开式的性质，即可求解； （2）令，得到；令，得到，根据二项式的展开式的通项特征，得到，再由，结合二项展开式的性质，即可得到答案. 【解答过程】（1）解：由的展开式中二项式系数和为，可得，解得， 所以的展开式中项为：，所以. （2）解：令，可得， 令，可得， 由的展开式的通项为， 可得为正数，为负数， 所以， 又由 ， 即能被15整除， 所以被15除的余数为. 题型10 杨辉三角问题 1．（24-25高二下·广东中山·月考）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论错误的是（   ） 第0行                  1 第1行                1  1 第2行              1  2  1 第3行            1  3  3  1 第4行          1  4  6  4  1 第5行        1  5  10  10  5  1 第6行      1  6  15  20  15  6  1 第7行     1  7  21  35  35  21  7  1 第8行    1  8  28  56  70  56  28  8  1           …… A．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于第9行的第8个数 B．第2023行中第1012个数和第1013个数相等 C．记“杨辉三角”第n行的第i个数为，则 D．第34行中第15个数与第16个数之比为 【答案】D 【解题思路】A选项，分别得到第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数，第9行的第8个数，得到A正确；B选项，第2023行中第1012个数为，第1013个数为，结合组合知识得到B正确；C选项，先得到，得到；D选项，第15个数与第16个数之比为. 【解答过程】A选项，第6行的第7个数为1，第7行的第7个数为7，第8行的第7个数为28， 它们之和等于36，第9行的第8个数是，A正确； B选项，第2023行是二项式的展开式的系数， 故第2023行中第1012个数为，第1013个数为，又，B正确； C选项，“杨辉三角”第n行是二项式的展开式的系数，所以， ，C正确； D选项，第34行是二项式的展开式的系数， 所以第15个数与第16个数之比为，D错误． 故选：D． 2．（24-25高二下·福建三明·期中）“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现.如图，由“杨辉三角”，下列叙述正确的是（    ）    A．第10行中第5个数最大 B．第2025行中从左往右第1012个数与第1013个数相等 C． D．第12行中第8个数与第9个数之比为 【答案】D 【解题思路】利用图中所给杨辉三角结合组合数的性质即可判断A，B，D，利用组合数的性质计算即可判断C. 【解答过程】对于A，由杨辉三角性质得在第行里，有共个数， 所以第10行中正中间即第个数最大，故A错误， 对于B，由杨辉三角性质得第行第个数为， 则在第行中，第个数为，第1013个数为， 由组合数性质得，故B错误， 对于C，由组合数运算性质得 ，故C错误. 对于D，由已知得第12行中第8个数为，第9个数为， 则它们的比为，则第8个数与第9个数之比为，故D正确. 故选：D. 3．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·月考）“杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，激发起一批又一批数学爱好者的探究欲望．如图，由“杨辉三角”，下列叙述正确的是（    ） A． B．第2023行中从左往右第1013个数与第1014个数相等 C．记第行的第个数为，则 D．第20行中第8个数与第9个数之比为 【答案】D 【解题思路】根据二项式定理和二项式系数的性质判断各选项的对错. 【解答过程】由图知，第行的第个数为，则， 对于A，由，得 ，故A错误； 对于B，第2023行有2024项，从左往右第1013个数与第1014个数分别为，所以，故B错误； 对于C，第行的第个数为，则， ，故C错误； 对于D，第20行中，第8个数与第9个数的比为，故D正确. 故选：D. 4．（24-25高二下·广东东莞·月考）杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，杨辉在1261年所著的《详解九章算法》给出了如下图1所示的表，我们称这个表为杨辉三角，图2是杨辉三角的数字表示，杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的． 请结合上图，回答以下问题： (1)求杨辉三角中第8行的各数之和； (2)证明：； (3)在的展开式中，求含项的系数． 【答案】(1)256 (2)证明过程见解析 (3) 【解题思路】（1）杨辉三角中第8行的各数之和为； （2）利用组合数运算公式得到； （3）含项的系数为，结合（2）中性质化简计算出结果. 【解答过程】（1）杨辉三角中第8行的各数之和为 ； （2）， ， 故； （3）的展开式中，含项的系数为 . 5．（2025·四川内江·模拟预测）杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家､教育家，杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果.杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律，它的许多性质与组合数的性质有关，图1为杨辉三角的部分内容，图2为杨辉三角的改写形式 (1)求图2中第10行的各数之和； (2)从图2第2行开始，取每一行的第3个数一直取到第15行的第3个数，求取出的所有数之和； (3)在杨辉三角中是否存在某一行，使该行中三个相邻的数之比为？若存在，试求出这三个数；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)560 (3)存在， 【解题思路】（1）根据二项式系数的性质求和即可； （2）根据组合数的性质化简求值即可； （3）假设存在，根据条件建立方程组求解，即可得解. 【解答过程】（1）第10行的各数之和为：. （2）杨辉三角中第2行到第15行各行第3个数之和为： . （3）存在，理由如下： 设在第行存在连续三项，其中且且， 有且，化简得且， 即，解得， 所以， 故这三个数依次是. 题型11 二项式定理与数列求和 1．（2025·江西·模拟预测）设，则（    ） A．21 B．64 C．78 D．156 【答案】A 【解题思路】首先写出展开式的通项，再根据等差数列前项和公式计算可得； 【解答过程】解：的展开式的通项为，， 所以. 故选：A. 2．（24-25高二下·陕西西安·月考）已知，令. (1)求数列的通项公式； (2)求的前项和. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由二项式定理，将展开式逆用，可得答案； （2）利用裂项相消，可得答案. 【解答过程】（1）由，则. （2）， . 3．（2025高三·全国·专题练习）设，且，求证： (1)； (2)求证：． （证明过程中可以运用公式：对个正数，总有，式中等号成立的充要条件为） 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【解题思路】（1）由二项式定理，结合等比数列前n项和公式即可证； （2）根据已知得，结合指数幂运算及等差数列前n项和及（1）结论，即可证. 【解答过程】（1）由于，则， 又，故. （2）根据公式，对个正数，总有，式子等号成立的充要条件为， 故，而， 这样， 所以，又， 所以. 4．（24-25高三上·甘肃白银·期末）已知数列满足，且. (1)求数列的通项公式； (2)证明：； (3)表示不超过的最大整数，如，，设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【解题思路】（1）分析可知数列是首项和公比均为2的等比数列，结合等比数列通项公式运算求解； （2）根据（1）可得，再利用等比数列求和公式分析证明； （3）根据（1）结合二项式定理求数列的通项公式，利用分组求和法结合等比数列求和公式分析求解. 【解答过程】（1）因为，则， 且，则， 可知数列是首项和公比均为2的等比数列， 可得，所以. （2）由（1）可知，，则， 可得. 又因为， 所以. （3）由（1）可知，，则. 因为 ， 可得， 当为奇数时，则，即； 当为偶数时，则，即. 设为数列的前项和， 可得 . 所以数列的前项和为. 5．（24-25高二下·江苏宿迁·月考）已知． (1)求的值 (2) ①证明：，其中，，，，； ②利用的结论求的值． 【答案】(1) (2)①证明见解析；② 【解题思路】（1）赋值和，即可求解系数的和； （2）①利用组合数的阶乘公式，即可证明；②首先由①可得，再根据，利用裂项相消法求和. 【解答过程】（1）令，得， 令，得， （2）① 证明：， ， ②解：由①得：， ， ， ， ， ， ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 计数原理全章十一大压轴题型归纳（举一反三讲义·培优篇） 【人教A版】 题型1 涂色问题  1．（24-25高二下·福建·期末）在一个具有五个行政区域的地图上，用6种颜色着色，若相邻的区域不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有（   ） A．1450种 B．1480种 C．1520种 D．1560种 2．（24-25高二下·海南海口·期末）如图，现要用4种不同的颜色对海口市的4个区地图进行着色，要求有公共边的2个区不能用同一种颜色，则不同的着色方法的种数为（    ） A．24 B．48 C．72 D．120 3．（24-25高二下·河北保定·期中）如图“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．现有红、黄、蓝、绿四种不同的颜色供选择给赵爽弦图涂色，要求每个区域只涂一种颜色且相邻两个区域颜色不同，不同的涂色方法总数为（   ） A．48 B．24 C．144 D．72 4．（24-25高二下·山西·期末）某公园设计了如图所示的观赏花坛，现有四种不同的鲜花可供摆放，要求有公共边的区域摆放不同种类的鲜花，则摆放鲜花的不同方法种数为 .    5．（24-25高二下·湖南衡阳·期中）如图，已知四棱锥. (1)从5种颜色中选出3种颜色，涂在四棱锥的5个顶点上，每个顶点涂1种颜色，并使同一条棱上的2个顶点异色，求不同的涂色方法数； (2)从5种颜色中选出4种颜色，涂在四棱锥的5个顶点上，每个顶点涂1种颜色，并使同一条棱上的2个顶点异色，求不同的涂色方法数. 题型2 两个计数原理的综合应用 1．（24-25高二下·河北唐山·月考）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（   ） A．48个 B．52个 C．60个 D．120个 2．（24-25高二下·广西百色·期末）如图所示，从甲地到丙地有2条公路可走，从丙地到乙地有3条公路可走，从甲地不经过丙地到乙地有2条水路可走.则从甲地到乙地的走法种数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 3．（24-25高二下·安徽·月考）已知有4名工人分别在4个不同的岗位，现根据需要进行轮岗调整，则至少有3名工人岗位变动的轮岗方式种数有 . 4．（24-25高二下·江苏南通·月考）在这个数字中选择若干个数. (1)能组成多少个无重复数字且为的倍数的五位数？ (2)能组成多少个无重复数字且不大于的四位数？ 5．（24-25高二下·全国·课后作业）用0，1，2，3，…，9这十个数字． (1)可组成多少个三位数？ (2)可组成多少个无重复数字的三位数？ (3)可组成多少个小于500且没有重复数字的自然数？ 题型3 元素（位置）有限制的排列问题 1．（24-25高二下·江苏南京·期中）甲乙丙等人站在一排，且甲不在两端，乙和丙中间恰好有两人，则不同排法共有（    ） A．24种 B．16种 C．12种 D．8种 2．（24-25高二下·福建三明·期末）由0，1，2，3，5组成的无重复数字的4位数共有（    ） A．24个 B．72个 C．96个 D．120个 3．（24-25高二下·湖北武汉·期末）某单位劳动节共有五天假期，但每天都需要留一名员工值班，现从A、B、C、D、E、F、G七人中选择五人值班，每名员工最多值班一天，已知A不在第一天值班，B不在第五天值班，则值班安排共有（   ） A．1740种 B．1760种 C．1800种 D．1860种 4．（24-25高二下·四川雅安·期末）某班级周一的课程表要排入语文、数学、英语、物理、化学、体育共6节课，其中要求体育课不能排在第一节，且数学课不能排在最后一节，则共有 种不同的排法.（用数字作答） 5．（24-25高二下·全国·课后作业）让6名学生排成一排，按下列条件，求分别有多少种不同的排法． (1)甲必须在排头； (2)甲不在排头也不在排尾； (3)甲不在排头，乙不在排尾． 题型4 相邻、不相邻排列问题 1．（24-25高二下·贵州遵义·月考）某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”“雨水”“惊蛰”“春分”“清明”“谷雨”六张知识展板放置在六个并列的文化橱窗里，要求“立春”和“春分”两块展板相邻，且“清明”和“惊蛰”两块展板不相邻，则不同的放置方式种数为（   ） A．24 B．48 C．144 D．240 2．（24-25高二下·重庆长寿·期末）甲、乙、丙、丁四人站成一排，要求甲、乙必须相邻，丙、丁不相邻，则不同的安排方法有（ ） A．24 种 B．16 种 C．12 种 D．4 种 3．（24-25高二下·重庆·期中）2025年春节档电影《哪吒之魔童闹海》成为中国影史票房最高的电影，某班甲、乙、丙、丁、戊这5位同学相约一起去电影院观看，要求5人坐在同一排相邻的5个位置，甲、乙、丙这三人相邻，且丙不与丁相邻，则不同的座位排列方法有（    ）种. A．32 B．28 C．24 D．20 4．（24-25高二下·江苏淮安·期中）甲、乙、丙、丁、戊、戌6名同学坐一排照相，若甲不坐在6个人的两端，乙和丙相邻，则不同的排列方式种数为 . 5．（24-25高二下·云南昭通·期中）某种产品的加工需要经过6道工序． (1)若其中某2道工序不能放在最前面也不能放在最后面，其他道工序没有加工顺序，问有多少种加工顺序？ (2)若其中某3道工序必须相邻，其他道工序没有加工顺序，问有多少种加工顺序？ (3)若其中某3道工序两两不能相邻，其他道工序没有加工顺序，问有多少种加工顺序？ 题型5 组合计数问题 1．（24-25高二下·广东阳江·期中）从包含甲、乙两人的人中选出人分别担任学习委员、宣传委员、体育委员，则甲、乙两人都入选的不同选法共有（ ）种 A． B． C．30 D．20 2．（2025·安徽·模拟预测）在三棱锥的顶点和各棱中点中取个不共面的点，不同的取法共有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 3．（24-25高二下·贵州·期中）由数字0，1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复数字，并且比400000大的偶数？（    ） A．120种 B．144种 C．48种 D．24种 4．（24-25高二下·贵州安顺·期末）某校组织学生参加数学、物理、化学三项学科竞赛，要求每名学生只报名一项竞赛，且每项竞赛至少有一人参加．若有5名学生报名，其中甲、乙都不参加化学竞赛，则不同的报名方案共有 种（用数字作答）． 5．（24-25高二下·湖北武汉·期中）有5个男生和3个女生，现从中选出5人担任5门不同学科的科代表，求分别符合下列条件的选法数. (1)含有女生但人数必须少于男生； (2)某男生必须包括在内，但不担任语文科代表； (3)某女生一定要担任语文科代表，某男生必须担任科代表，但不担任数学科代表. 题型6 分组分配问题 1．（24-25高二下·海南三亚·月考）某航天科研所的甲、乙、丙、丁、戊5位科学家应邀去、、三所不同的学校开展科普讲座活动，要求每所学校至少1名科学家．已知甲、乙到同一所学校，丙不到学校，则不同的安排方式有多少种（   ） A．12种 B．24种 C．36种 D．30种 2．（24-25高二下·江苏南通·月考）某市为了实施教育振兴计划，依托本市一些优质教育资源，每年都对本市所有在高校就读的定向师范生实施教育教学技能培训，以提高定向师范生的毕业质量.现有5名即将毕业的定向师范生拟分配到3所学校进行跟岗培训，每名师范生只能跟岗1所学校，每所学校至少分配1名师范生，则不同的跟岗分配方案共有（ ） A．90种 B．150种 C．300种 D．360种 3．（24-25高二下·广东广州·月考）将6名志愿者安排到4个不同的社区进行创文共建活动，要求每个社区至少安排1名志愿者，每名志愿者只能到一个社区，则不同排法共有（   ） A．480种 B．1560种 C．2640种 D．640种 4．（24-25高二下·陕西咸阳·期末）六本不相同的书发给4个人，每人至少一本，且书全部分完，则所有不同的分配方法种数为 . 5．（24-25高二下·江苏宿迁·期中）有6名同学报名参加数学、物理、化学三科兴趣小组，每人选择一个小组.（数字作答） (1)求一共有多少种不同的报名方法； (2)若三科均要有人报名，求一共有多少种不同的报名方法； (3)若甲乙两人都不报化学学科，且每个学科都要有人报名，求一共有多少种不同的报名方法. 题型7 排列与组合的综合应用 1．（24-25高二下·四川自贡·期末）从2名男生、3名女生中选2人分别担任班长和学习委员，要求选出的2人中至少有一名女生，则不同的方法数为（    ） A．10 B．16 C．18 D．24 2．（24-25高二下·河北·期中）衡水湖国际马拉松赛是经国家体育总局批准的国际性马拉松赛事，自2012年起每年9月份举行一届．竞赛项目分为全程马拉松、半程马拉松和迷你马拉松．甲、乙、丙等5名马拉松爱好者均计划参加衡水湖国际马拉松赛，若甲和乙均参加迷你马拉松，且每人只参加一个竞赛项目，这5名马拉松爱好者的竞赛项目涵盖了三个竞赛项目，则不同的参赛方案有（   ） A．6种 B．12种 C．24种 D．18种 3．（24-25高二下·吉林长春·期中）国际高峰论坛上，组委会要从6个国内媒体团和3个国外媒体团中选出3个媒体团进行提问，要求这3个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团，且国外媒体团不能连续提问，则不同的提问方式的种数为（    ） A．306 B．198 C．268 D．378 4．（2025·陕西咸阳·模拟预测）将1，1，1，1，2，4，6，8这8个数填入如图所示的格子中（要求每个数都要填入，每个格子中只能填一个数），若填入的每行数之和为偶数，则不同的填数方法共有 种（用数字作答） 5．（24-25高二下·吉林长春·期中）有5个男生和3个女生，从中选出5人分别担任5门不同学科的科代表(要求每人只担任一科科代表，每科只有一名科代表)，求分别符合下列条件的安排方法数．（写出必要的数学式，结果用数字作答） (1)有女生但人数必须少于男生； (2)女生甲一定担任语文科代表； (3)男生乙必须包括在内，但不担任语文科代表． 题型8 用赋值法求系数和问题 1．（24-25高二下·北京延庆·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·湖北荆州·期中）若，则的值为（   ） A． B．1 C．0 D． 3．（24-25高二下·湖南衡阳·期中）已知，则下列结论正确的有（　　） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·重庆沙坪坝·期末）已知，则 ． 5．（24-25高二下·四川广元·期末）已知， (1)求； (2)求； (3)求． 题型9 利用二项式定理证明整除问题或求余数 1．（24-25高二下·陕西咸阳·期末）除以128的余数为（   ） A．51 B．43 C．41 D．33 2．（24-25高二下·湖北·月考）我国农历用“鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪”这12种动物按顺序轮流代表各年的生肖年号.已知2025年是蛇年，那么年后是（   ） A．羊年 B．马年 C．龙年 D．兔年 3．（24-25高二下·河北·期中）中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设为整数，若和被除得的余数相同，则称和对模同余，记为.若，，则的值可以是（    ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2025 4．（24-25高二下·湖北荆州·期末）今天是星期二，则天后是星期 ． 5．（24-25高二下·山西·期中）已知，若的展开式中二项式系数和为. (1)求； (2)求被15除的余数. 题型10 杨辉三角问题 1．（24-25高二下·广东中山·月考）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论错误的是（   ） 第0行                  1 第1行                1  1 第2行              1  2  1 第3行            1  3  3  1 第4行          1  4  6  4  1 第5行        1  5  10  10  5  1 第6行      1  6  15  20  15  6  1 第7行     1  7  21  35  35  21  7  1 第8行    1  8  28  56  70  56  28  8  1           …… A．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于第9行的第8个数 B．第2023行中第1012个数和第1013个数相等 C．记“杨辉三角”第n行的第i个数为，则 D．第34行中第15个数与第16个数之比为 2．（24-25高二下·福建三明·期中）“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现.如图，由“杨辉三角”，下列叙述正确的是（    ）    A．第10行中第5个数最大 B．第2025行中从左往右第1012个数与第1013个数相等 C． D．第12行中第8个数与第9个数之比为 3．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·月考）“杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，激发起一批又一批数学爱好者的探究欲望．如图，由“杨辉三角”，下列叙述正确的是（    ） A． B．第2023行中从左往右第1013个数与第1014个数相等 C．记第行的第个数为，则 D．第20行中第8个数与第9个数之比为 4．（24-25高二下·广东东莞·月考）杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，杨辉在1261年所著的《详解九章算法》给出了如下图1所示的表，我们称这个表为杨辉三角，图2是杨辉三角的数字表示，杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的． 请结合上图，回答以下问题： (1)求杨辉三角中第8行的各数之和； (2)证明：； (3)在的展开式中，求含项的系数． 5．（2025·四川内江·模拟预测）杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家､教育家，杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果.杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律，它的许多性质与组合数的性质有关，图1为杨辉三角的部分内容，图2为杨辉三角的改写形式 (1)求图2中第10行的各数之和； (2)从图2第2行开始，取每一行的第3个数一直取到第15行的第3个数，求取出的所有数之和； (3)在杨辉三角中是否存在某一行，使该行中三个相邻的数之比为？若存在，试求出这三个数；若不存在，请说明理由. 题型11 二项式定理与数列求和 1．（2025·江西·模拟预测）设，则（    ） A．21 B．64 C．78 D．156 2．（24-25高二下·陕西西安·月考）已知，令. (1)求数列的通项公式； (2)求的前项和. 3．（2025高三·全国·专题练习）设，且，求证： (1)； (2)求证：． （证明过程中可以运用公式：对个正数，总有，式中等号成立的充要条件为） 4．（24-25高三上·甘肃白银·期末）已知数列满足，且. (1)求数列的通项公式； (2)证明：； (3)表示不超过的最大整数，如，，设，求数列的前项和. 5．（24-25高二下·江苏宿迁·月考）已知． (1)求的值 (2) ①证明：，其中，，，，； ②利用的结论求的值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $