第五单元：三角形（知识清单）数学人教版四年级下册

人教版四年级数学下册第五单元：三角形（单元复习讲义） （知识梳理+典例分析+变式练习） 知识点01：三角形的认识 1、三角形的定义：由3条线段围成的图形（每相邻两条线段的端点相连）叫做三角形。 2、三角形各部分的名称：三角形有3条边，3个顶点，3个角。 3、三角形的表示方法：为了表达方便，可以用字母A、B、C分别表示三角形的3个顶点。下面的三角形可以表示成三角形ABC。 4、三角形的高 （1）定义：从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。这条对边叫做三角形的底。 （2）一个三角形有3条高，画哪条边上的高，垂足就在那条边上（或那条边的延长线上），底和高是一一对应的。画高要用虚线表示，标上垂直符号。 （3）高的画法：高有3个要素：边、对面端点、垂线。 ①找到题目中要求画高的底边。 ②找到底边对面的顶点。 ③过已经找到的顶点向底边垂线。（记得标上垂直符号！） 5、三角形的特性：三角形具有稳定性。 6、三角形的三边关系 （1）三角形任意两边之和大于第三边。 （2）任意两边之差小于第三边。 7、两点间的所有连线中线段最短。 【易错点】 （1）任意一个三角形都有3 条高；钝角三角形有 2 条高在三角形外部。 （2）三角形的稳定性是其特有属性，与边的长短无关。 知识点02：三角形的分类 1、按角分： 类型 核心特征 注意 锐角三角形 3个角都是锐角（小于90°） 三个角的度数都需满足锐角条件 直角三角形 有1个角是直角（等于90°） 另外2个角一定是锐角； 有1条高与直角边重合 钝角三角形 有1个角是钝角（大于90°） 另外2个角一定是锐角； 有2条高在三角形外 2、按边分： 类型 核心特征 注意 不等边三角形 3条边的长度都不相等 无特殊角的要求 等腰三角形 有2条边相等（相等的边叫腰，第三条边叫底；两腰的夹角叫顶角，腰与底的夹角叫底角） 两个底角相等； 可能是锐角、直角或钝角三角形 等边三角形（正三角形） 3条边都相等 三个角都相等，且都是60°； 是特殊的等腰三角形； 一定是锐角三角形 【易错点】 （1）按角分类时，关键看最大的角：最大角是锐角→锐角三角形，最大角是直角→直角三角形，最大角是钝角→钝角三角形。 （2）等边三角形是特殊的等腰三角形，但等腰三角形不一定是等边三角形。 知识点03：三角形的内角和 1、三角形的内角和 （1）三角形的内角和是180°。 （2）验证方法 ①拼角法：把三角形的3个内角剪下来，拼成一个平角（180 °）。 ②折角法：把三角形的3个内角折在一起，拼成一个平角。 （3）已知两个角的度数，求第三个角：第三个角=180°－己知两角之和。 （4）直角三角形中，两个锐角之和是90°；等边三角形每个角都是60°。 2、探究多边形的内角和 （1）四边形的内角和是360°。 （2）多边形的内角和：多边形的内角和＝（边数－2）×180°。 考点1：三角形的概念与表示 【典型例题】爸爸不小心把一块三角形玻璃打碎了（如图所示），现在要去重新配一块同样的玻璃，他只需要带（     ）号玻璃去即可。 A．① B．② C．③ 【练习】数一数，图2中有（ ）个三角形。按这样的规律，图4中一共有（ ）个三角形。 …… 考点2：三角形的高及画法 【典型例题】如图是由边长分别为3厘米和5厘米的正方形组成的，三角形ABC中与底AB对应的高是（     ）厘米。 A．2 B．3 C．5 D．8 【练习】画出下列三角形指定底边上的高。 考点3：三角形的稳定性及应用 【典型例题】聪聪做了灯笼，它的底部如图。如果想再加一根木条使底部框架更牢固，下面方法中最好的是（     ）。 A． B． C． D． 【练习】下面没有运用到三角形稳定性的一项是（     ）。 A． B． C． 考点4：三角形三边关系 【典型例题】有4cm和9cm长的2根小棒，如果要围成一个三角形，第3根小棒最长是（ ）cm，最短是（ ）cm。（小棒长度为整厘米数） 【练习】下面的各组小棒中，不能围成三角形的是（     ）。 A．3cm，4cm，6cm B．3cm，3cm，7cm C．5cm，5cm，9cm D．4cm，5cm，8cm 考点5：三角形的分类 【典型例题】数学课上，小军想用小棒围一个三角形，他已有两根5厘米的小棒，现在还要在下面三种长度的小棒中选一根。如果他选①，搭成的是一个 （ ）三角形；如果他选②，搭成的是一个（ ）三角形。 【练习】图中有（ ）个锐角三角形，（ ）个直角三角形，（ ）个钝角三角形。 考点6：等腰三角形和等边三角形的认识及特征 【典型例题1】一个等腰三角形的顶角是40°，那么一个底角是（ ），它还是一个（ ）三角形。 【典型例题2】一个等腰三角形的两条边分别是5厘米和10厘米，这个等腰三角形的第三边的长是（ ）厘米。 【练习】一根铁丝可以围成一个腰长15分米、底边长24分米的等腰三角形。如果改围成一个等边三角形，那么等边三角形的每条边长多少分米？ 考点7：画三角形 【典型例题】请在点子图中画出2个底是5厘米，高是4厘米形状不同的三角形。（相邻两点距离是1厘米） 【练习】按要求在点子图上画三角形，并在每个三角形中至少画出1条高。 考点8：三角形的内角和 【典型例题1】如下图，三角形ABC是等边三角形。已知∠1＝35°，求∠2的度数。 【典型例题2】在三角形中，∠1＝45°，∠2＝38°，∠3＝（ ）°，它是一个（ ）三角形。 【练习】如图：∠1＝35°，∠2＝105°，∠3＝（ ）°。 考点9：多边形的内角和 【典型例题】如图三角形，已知∠1＝65°，则∠2＝（ ）°；沿图中虚线剪下一个小三角形后，剩余部分的内角和是（ ）°。 【练习】求出下面未知角的度数。 一、选择题 1．如果一个三角形中两个较小内角的和是70°，那么这个三角形一定是（     ）三角形。 A．钝角 B．直角 C．锐角 2．一个三角形，它的两条边的长度都是5厘米，则这个三角形第三条边的长可能是（     ）。 A．11厘米 B．10厘米 C．9厘米 3．伊旗4号桥是典型的斜拉桥的设计，该设计是应用了（     ）。 A．三角形的稳定性 B．三角形内角和是180° C．三角形任意两边的和大于第三边 4．下面说法错误的是（     ）。 A．等边三角形是等腰三角形 B．等腰三角形是等边三角形 C．等腰三角形和等边三角形都是平面图形 5．下面能围成三角形的是（     ）。 A．3dm，1dm，4dm B．2cm，2cm，6cm C．9cm，7cm，4cm 6．一个等腰三角形的周长是1m，底边长是40cm，那么它的一条腰长是（     ）cm。 A．60 B．40 C．30 7．如图，，、、是这组平行线上的三个点，且是一个钝角三角形的三个顶点。现在、两点位置不变，拉动点左右移动，所形成的三角形不可能是（     ）。 A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 二、填空题 8．将一根长9厘米的小棒剪两次，剪成三段，围成一个三角形。第一次一定不能剪在（ ）厘米处。 9．一个等腰三角形的一个底角是45°，另一个底角是（ ）°。 10．一个等腰三角形的底角是43°，顶角是（ ），按角分它是（ ）三角形。 11．一个直角三角形中的一个锐角是42°，它的另一个锐角是（ ）；一个等腰三角形的一个顶角是80°，它的底角是（ ），这个三角形按角分类是（ ）三角形。 12．高压线杆的支架焊成三角形是因为三角形具有（ ）；请你再举出一个生活中应用三角形这种特性的例子（ ）。 13．在直角三角形中，一个锐角是50°，另一个锐角是（ ）°。一个等腰三角形的顶角是50°，则底角是（ ）°。 14．如图，已知道△ABC中，AB和AC长度相等，则∠1＝（ ），∠2＝（ ）。 15．桌面上有一些三角形卡片，这些三角形中一共有36个锐角，5个钝角，4个直角，那么共有（ ）个锐角三角形。 16．求下面三角形中∠1的度数。左图的∠1＝（ ），右图的∠1＝（ ）。   17．已知一个等腰三角形的一边长3厘米，另一边长6厘米，第三边长（ ）厘米，它的周长是（ ）厘米。 18．等边三角形沿高对折后会折出一个（ ）三角形，其中最小角是（ ）°。 19．一个直角三角形其中一个角是55°，这个直角三角形最小的角是（ ），一个等腰三角形的底角是42°，它的顶角是（ ）。 20．顶角是36°的等腰三角形被称为“黄金三角形”。下图中三角形ABC是“黄金三角形”，AB＝AC，BD＝BC，则∠1＝（ ）°，∠2＝（ ）°。 21．如图，一张三角形纸片被剪去了一个角，剪去的这个角是（ ）°，剩下部分的内角和是（ ）。 三、作图题 22．画出下面两个三角形底边上的高。 四、解答题 23．淘气是个爱动手、爱动脑的孩子。他把一根20厘米长的吸管剪成3段（每段长是整厘米数），再用这三段吸管围成一个等腰三角形，可以怎么剪？（写出三种不同的答案，可画图说明） 24．公园里有一个等腰三角形的草坪，它的周长是186米，一条腰长是57米，这块草坪的底边长是多少米？ 25．求四边形的内角和有以下几种方法： 方法1：拼一拼 方法2：分成2个三角形 180×2＝360（度） 方法3：分成4个三角形 180×4－360＝360（度） 选择你喜欢的方法在上边的六边形上画一画，并列式计算。 六边形内角和：（     ）。 26．王奶奶家有一块等腰三角形的菜地，其中的两条边分别长26米和13米，要给这块菜地围一圈栅栏，栅栏长多少米？ 27．挑战自我。 （1）如图，∠C＝30°，∠A＝（     ）°； （2）现在将这个三角形如图剪去一个锐角∠C后，剩下部分图形的内角和是（     ）°。你是怎么知道的？把自己的方法写下来。我是这样想的： （3）还可以怎样剪一刀，使得剩下的图形内角和与上图中剩下图形的内角和一样大。请你在下图中画出一种情况。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版四年级数学下册第五单元：三角形（单元复习讲义） （知识梳理+典例分析+变式练习） 知识点01：三角形的认识 1、三角形的定义：由3条线段围成的图形（每相邻两条线段的端点相连）叫做三角形。 2、三角形各部分的名称：三角形有3条边，3个顶点，3个角。 3、三角形的表示方法：为了表达方便，可以用字母A、B、C分别表示三角形的3个顶点。下面的三角形可以表示成三角形ABC。 4、三角形的高 （1）定义：从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。这条对边叫做三角形的底。 （2）一个三角形有3条高，画哪条边上的高，垂足就在那条边上（或那条边的延长线上），底和高是一一对应的。画高要用虚线表示，标上垂直符号。 （3）高的画法：高有3个要素：边、对面端点、垂线。 ①找到题目中要求画高的底边。 ②找到底边对面的顶点。 ③过已经找到的顶点向底边垂线。（记得标上垂直符号！） 5、三角形的特性：三角形具有稳定性。 6、三角形的三边关系 （1）三角形任意两边之和大于第三边。 （2）任意两边之差小于第三边。 7、两点间的所有连线中线段最短。 【易错点】 （1）任意一个三角形都有3 条高；钝角三角形有 2 条高在三角形外部。 （2）三角形的稳定性是其特有属性，与边的长短无关。 知识点02：三角形的分类 1、按角分： 类型 核心特征 注意 锐角三角形 3个角都是锐角（小于90°） 三个角的度数都需满足锐角条件 直角三角形 有1个角是直角（等于90°） 另外2个角一定是锐角； 有1条高与直角边重合 钝角三角形 有1个角是钝角（大于90°） 另外2个角一定是锐角； 有2条高在三角形外 2、按边分： 类型 核心特征 注意 不等边三角形 3条边的长度都不相等 无特殊角的要求 等腰三角形 有2条边相等（相等的边叫腰，第三条边叫底；两腰的夹角叫顶角，腰与底的夹角叫底角） 两个底角相等； 可能是锐角、直角或钝角三角形 等边三角形（正三角形） 3条边都相等 三个角都相等，且都是60°； 是特殊的等腰三角形； 一定是锐角三角形 【易错点】 （1）按角分类时，关键看最大的角：最大角是锐角→锐角三角形，最大角是直角→直角三角形，最大角是钝角→钝角三角形。 （2）等边三角形是特殊的等腰三角形，但等腰三角形不一定是等边三角形。 知识点03：三角形的内角和 1、三角形的内角和 （1）三角形的内角和是180°。 （2）验证方法 ①拼角法：把三角形的3个内角剪下来，拼成一个平角（180 °）。 ②折角法：把三角形的3个内角折在一起，拼成一个平角。 （3）已知两个角的度数，求第三个角：第三个角=180°－己知两角之和。 （4）直角三角形中，两个锐角之和是90°；等边三角形每个角都是60°。 2、探究多边形的内角和 （1）四边形的内角和是360°。 （2）多边形的内角和：多边形的内角和＝（边数－2）×180°。 考点1：三角形的概念与表示 【典型例题】爸爸不小心把一块三角形玻璃打碎了（如图所示），现在要去重新配一块同样的玻璃，他只需要带（     ）号玻璃去即可。 A．① B．② C．③ 【答案】C 【分析】要想重新配一块和原来一样的玻璃，需要原三角形的两个内角以及其中一条边，据此解答。 【详解】A．第①块，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不能配对； B．第②块，仅保留了原三角形的一部分边，不能配对； C．第③块，不但保留了原三角形的两个角，还保留了其中一个边，能配对。 他只需要带（③）号玻璃去即可。 故答案为：C 【练习】数一数，图2中有（ ）个三角形。按这样的规律，图4中一共有（ ）个三角形。 …… 【答案】 3 10 【分析】观察图形可知，图2中单独的小三角形有2个，由2个小三角形组成的大三角形有1个，所以图2中三角形的个数为2＋1＝3（个）。图4中单独的小三角形有4个，由2个小三角形组成的三角形有3个，由3个小三角形组成的三角形有2个，由4个小三角形组成的大三角形有1个，然后将所有三角形的个数加起来即可。 【详解】根据分析： 图2的三角形个数为：1＋2＝3（个） 图4的三角形个数为：1＋2＋3＋4＝3＋3＋4＝6＋4＝10（个） 则图2中有3个三角形。按这样的规律，图4中一共有10个三角形。 考点2：三角形的高及画法 【典型例题】如图是由边长分别为3厘米和5厘米的正方形组成的，三角形ABC中与底AB对应的高是（     ）厘米。 A．2 B．3 C．5 D．8 【答案】B 【分析】经过三角形的顶点（与底相对的点）向对边（底）作垂线，顶点和垂足之间的线段就是三角形的一条高，用三角板的直角可以画出三角形的高，据此画出底AB边上的高后判断高是多少厘米。 【详解】如图： 高的长度和小正方形的边长一样长。 底AB对应的高是3厘米。 故答案为：B 【练习】画出下列三角形指定底边上的高。 【答案】见详解 【分析】从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底；据此画图即可。 【详解】 考点3：三角形的稳定性及应用 【典型例题】聪聪做了灯笼，它的底部如图。如果想再加一根木条使底部框架更牢固，下面方法中最好的是（     ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】沿着框架相对的两个顶点加一根木条，形成两个三角形，可利用三角形的稳定性加固灯笼底部的框架，据此选择即可。 【详解】A．将框架分成了两个长方形，长方形是四边形，四边形具有不稳定性，不符合题意； B．将框架分成了两个长方形，长方形是四边形，四边形具有不稳定性，不符合题意； C．将框架分成了两个梯形，梯形是四边形，四边形具有不稳定性，不符合题意； D．将框架分成了两个三角形，三角形具有稳定性，符合题意。 故答案为：D 【练习】下面没有运用到三角形稳定性的一项是（     ）。 A． B． C． 【答案】A 【分析】三角形具有稳定性，生活中很多地方用到三角形的稳定性，如自行车的三角形车架、高压电线杆的支架、起重机的三角形吊臂等。 【详解】A．这个选项只是一个标志牌，虽然是三角形，但是没有运用到稳定性； B．自行车的三角形车架运用到了三角形的稳定性； C．扶手梯的支架是一个三角形，运用到了三角形的稳定性。 故答案为：A 考点4：三角形三边关系 【典型例题】有4cm和9cm长的2根小棒，如果要围成一个三角形，第3根小棒最长是（ ）cm，最短是（ ）cm。（小棒长度为整厘米数） 【答案】 12 6 【分析】结合题意得知，两根小棒的长度分别为4厘米、9厘米，那么根据三角形的特征：任意两边之和大于第三边，，那么可以知道第三边最长是多少厘米；根据三角形两边之差小于第三边，，那么由此就可以得出第三边最短是多少厘米。 【详解】＜第三边＜， 所以：5＜第三边＜13， 即第三边的取值在5厘米～13厘米之间（不包括5厘米和13厘米），因为三根小棒都是整厘米数， 所以第三根小棒最长为：（厘米），最短为：（厘米）。 【练习】下面的各组小棒中，不能围成三角形的是（     ）。 A．3cm，4cm，6cm B．3cm，3cm，7cm C．5cm，5cm，9cm D．4cm，5cm，8cm 【答案】B 【分析】根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，对每组小棒进行判断。 【详解】A.，，，能围成三角形。 B.，不满足任意两边之和大于第三边，不能围成三角形。 C.，，，能围成三角形。 D.，，，能围成三角形。 故答案为B。 考点5：三角形的分类 【典型例题】数学课上，小军想用小棒围一个三角形，他已有两根5厘米的小棒，现在还要在下面三种长度的小棒中选一根。如果他选①，搭成的是一个 （ ）三角形；如果他选②，搭成的是一个（ ）三角形。 【答案】 等边 等腰 【分析】三条边都相等的三角形是等边三角形，选①，此时三条边都是5厘米，所以是等边三角形，两腰相等的三角形是等腰三角形，选②，此时两条腰相等，所以是等腰三角形，据此解题。 【详解】数学课上，小军想用小棒围一个三角形，他已有两根5厘米的小棒，现在还要在下面三种长度的小棒中选一根。如果他选①，搭成的是一个等边三角形；如果他选②，搭成的是一个等腰三角形。 【练习】图中有（ ）个锐角三角形，（ ）个直角三角形，（ ）个钝角三角形。 【答案】 1 4 5 【分析】三个角都是锐角的三角形是锐角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；有一个角是直角的三角形是直角三角形。 【详解】如图： 锐角三角形有：③＋④，共1个； 直角三角形有：③、④、②＋③、①＋②＋③，共4个； 钝角三角形有：①、②、①＋②、②＋③＋④、①＋②＋③＋④，共5个。 因此，图中有1个锐角三角形，4个直角三角形，5个钝角三角形。 考点6：等腰三角形和等边三角形的认识及特征 【典型例题1】一个等腰三角形的顶角是40°，那么一个底角是（ ），它还是一个（ ）三角形。 【答案】 70 锐角 【分析】根据等腰三角形的性质，两个底角相等，三角形的内角和为180°。已知顶角为40°，可先求出两个底角的和，再除以2得到每个底角的度数。 根据角度大小判断三角形的类型，三个角都是锐角的三角形是锐角三角形。 【详解】(180°－40°)÷2 ＝140°÷2 ＝70° 由于，， 因此，这个等腰三角形的一个底角是70°，它还是一个锐角三角形。 【典型例题2】一个等腰三角形的两条边分别是5厘米和10厘米，这个等腰三角形的第三边的长是（ ）厘米。 【答案】10 【分析】在等腰三角形中，相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底。三角形中两边之和大于第三边。 根据题意，分情况讨论。 第一种情况：把5厘米的边作为腰，5＋5＝10厘米，10＝10，两边之和等于第三边，不能组成三角形。 第二种情况：把10厘米的边作为腰，10＋5＝15厘米，15＞10，能组成三角形。 【详解】因为5厘米＋5厘米＝10厘米，不能组成三角形，所以这个等腰三角形的第三边的长是10厘米。 【练习】一根铁丝可以围成一个腰长15分米、底边长24分米的等腰三角形。如果改围成一个等边三角形，那么等边三角形的每条边长多少分米？ 【答案】18分米 【分析】等腰三角形的两条腰长度相等。由题意得，一根铁丝可以围成一个腰长15分米、底边长24分米的等腰三角形，可以用腰的长度乘以2再加上底边的长度算出等腰三角形的周长，也就是这根铁丝的长度。如果改围成一个等边三角形，等边三角形的三条边长度相等，直接用前面的得数除以3即可算出等边三角形的每条边长多少分米。 【详解】15×2＋24 ＝30＋24 ＝54（分米） 54÷3＝18（分米） 答：等边三角形的每条边长18分米。 考点7：画三角形 【典型例题】请在点子图中画出2个底是5厘米，高是4厘米形状不同的三角形。（相邻两点距离是1厘米） 【答案】见详解 【分析】画出2个底是5厘米，高是4厘米形状不同的三角形，根据三角形角的分类和边长，在点子图中先画底是5厘米，高是4厘米的长度，再依此连接点，可以画锐角三角形和直角三角形。 【详解】左边的图形是锐角三角形，底是5厘米，高是4厘米，如下图； 右边的图形是直角三角形，底是5厘米，高是4厘米，如下图。 （答案不唯一） 【练习】按要求在点子图上画三角形，并在每个三角形中至少画出1条高。 【答案】见详解 【分析】直角三角形：有一个角是直角的三角形；钝角三角形：有一个角是钝角的三角形；等腰三角形：有两条边相等的三角形。在等腰三角形中，相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底。从三角形任一顶点向它的对边或者对边的延长线作垂线，从顶点到垂足间的线段叫做三角形的高。这个顶点所对的边叫做三角形的底。每个三角形都有三个底和对应的高。 【详解】 考点8：三角形的内角和 【典型例题1】如下图，三角形ABC是等边三角形。已知∠1＝35°，求∠2的度数。 【答案】 【分析】因为三角形ABC是等边三角形，所以每个内角都是60°，即∠4＝60°。利用平角大小求出∠3，再结合内角和180°，最后求出∠2。 【详解】因为三角形ABC是等边三角形，所以， 所以， 所以 答：∠2的度数是25°。 【典型例题2】在三角形中，∠1＝45°，∠2＝38°，∠3＝（ ）°，它是一个（ ）三角形。 【答案】 97 钝角 【分析】需要用到三角形内角和的知识，即三角形三个内角的度数之和是180度。已知∠1和∠2的度数，用180度减去∠1与∠2的度数和，即可得到∠3的度数，；大于90度小于180度的角是钝角，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形。因为∠3的度数是97度，97度大于90度，所以可以判断这个三角形是钝角三角形。 【详解】∠3：，； 所以，在三角形中，∠1＝45°，∠2＝38°，∠3＝97°，它是一个钝角三角形。 【练习】如图：∠1＝35°，∠2＝105°，∠3＝（ ）°。 【答案】140 【分析】根据三角形内角和为180°，已知三角形的两个内角∠1和∠2，用180°－∠1－∠2可算出第三个内角的度数，第三个内角与∠3构成一个平角，所以再用180°减去第三个内角可得出∠3的度数。 【详解】180°－∠1－∠2 ＝180°－35°－105° ＝145°－105° ＝40° ∠3＝180°－40°＝140° 所以∠3＝140°。 考点9：多边形的内角和 【典型例题】如图三角形，已知∠1＝65°，则∠2＝（ ）°；沿图中虚线剪下一个小三角形后，剩余部分的内角和是（ ）°。 【答案】 25 360 【分析】三角形的内角和是180°，因此用180°减另外两个角的度数之和，即可得到∠2的度数；沿虚线剪下一个小三角形，则剩余部分的图形是一个四边形，多边形的内角和＝（多边形的边数－2）×180°，依此解答。 【详解】180°－（90°＋65°） ＝180°－155° ＝25° （4－2）×180° ＝2×180° ＝360° ∠2＝25°；沿虚线剪下一个小三角形，则剩余部分的图形内角和是360°。 【练习】求出下面未知角的度数。 【答案】120° 【分析】用四边形的内角和360°减去已知三个角的度数，就是未知角的度数。 【详解】 所以未知角的度数为120°。 一、选择题 1．如果一个三角形中两个较小内角的和是70°，那么这个三角形一定是（     ）三角形。 A．钝角 B．直角 C．锐角 【答案】A 【分析】三角形的内角和是180°，用180°减70°即可求出这个三角形中的第三个角的度数，这个差是110°，大于90°而小于180°的角是钝角，一个三角形按角分属于什么三角形，看这个三角形中最大的内角，由此可知这是一个钝角三角形。 【详解】180°－70°＝110° 这个三角形是钝角三角形。 故答案为：A 2．一个三角形，它的两条边的长度都是5厘米，则这个三角形第三条边的长可能是（     ）。 A．11厘米 B．10厘米 C．9厘米 【答案】C 【分析】已知两条边均为5厘米，根据三角形三边关系定理，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，求出三角形第三边的范围，据此解答。 【详解】三角形第三边＜（厘米）； 三角形第三边＞（厘米）； 因此，三角形第三边的范围在0到10之间，且不包括0和10。 故答案为：C 3．伊旗4号桥是典型的斜拉桥的设计，该设计是应用了（     ）。 A．三角形的稳定性 B．三角形内角和是180° C．三角形任意两边的和大于第三边 【答案】A 【分析】根据题意，明确三角形具有稳定性，不容易发生形变，生活中有许多三角形稳定性运用的场景，如自行车的三脚架、相机三脚架、太阳能热水器、起重机、屋顶、斜拉桥、古埃及金字塔等。以此判断即可。 【详解】由分析可知，伊旗4号桥是典型的斜拉桥的设计，该设计是应用了三角形的稳定性。 故答案为：A 4．下面说法错误的是（     ）。 A．等边三角形是等腰三角形 B．等腰三角形是等边三角形 C．等腰三角形和等边三角形都是平面图形 【答案】B 【分析】根据题意，依据等腰三角形和等边三角形的定义，即有两边相等的三角形是等腰三角形，三边相等的三角形为等边三角形，以及锐角三角形和钝角三角形的特点，即可进行解答。 【详解】根据分析可知： A．等边三角形的三条边都相等，而等腰三角形只需要至少两条边相等。因此，等边三角形一定满足等腰三角形的条件，所以这个说法是正确的。 B．等腰三角形只需要两条边相等，第三条边可以不同（例如，一个底边较长的等腰三角形）。而等边三角形要求三条边都相等。所以，不是所有等腰三角形都是等边三角形，这个说法是错误的。 C．等腰三角形和等边三角形都是平面图形。这个说法是正确的。 故答案为：B 5．下面能围成三角形的是（     ）。 A．3dm，1dm，4dm B．2cm，2cm，6cm C．9cm，7cm，4cm 【答案】C 【分析】根据三角形的特性：两边之和大于第三边，三角形的两边的差一定小于第三边；据此逐项进行计算，进而得出结论。 【详解】A．3＋1＝4，所以3dm，1dm，4dm不能围成三角形； B．2＋2＝4，4＜6，所以2cm，2cm，6cm不能围成三角形； C．4＋7＝11，7－4＝3，3＜9＜11，所以9cm，7cm，4cm可以围成三角形。 故答案为：C 6．一个等腰三角形的周长是1m，底边长是40cm，那么它的一条腰长是（     ）cm。 A．60 B．40 C．30 【答案】C 【分析】因为1米＝100厘米，所以等腰三角形的周长为100厘米，用周长减去底边长度，得到两腰长度之和为60厘米，由于等腰三角形两腰相等，所以一条腰长为两腰长度之和除以2，即30厘米。 【详解】 （厘米） （厘米） 故答案为：C 7．如图，，、、是这组平行线上的三个点，且是一个钝角三角形的三个顶点。现在、两点位置不变，拉动点左右移动，所形成的三角形不可能是（     ）。 A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 【答案】C 【分析】有一个角是直角的三角形是直角三角形，等腰三角形是指至少有两边相等的三角形。等边三角形三条边相等，等边三角形是特殊的等腰三角形，拉动点左右移动，可以形成直角三角形和等腰三角形，据此解答即可。 【详解】，、、是这组平行线上的三个点，且是一个钝角三角形的三个顶点。现在、两点位置不变，拉动点左右移动，所形成的三角形不可能是等边三角形。 故答案为：C 二、填空题 8．将一根长9厘米的小棒剪两次，剪成三段，围成一个三角形。第一次一定不能剪在（ ）厘米处。 【答案】4.5 【分析】根据三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边。若第一次剪在4.5厘米处，会出现一段小棒长度等于另外两段小棒长度和，不满足任意两边之和大于第三边，无法围成三角形，故根据此关系判断不能剪在4.5厘米处。 【详解】（厘米） 所以第一次一定不能剪在4.5厘米处。 9．一个等腰三角形的一个底角是45°，另一个底角是（ ）°。 【答案】45 【分析】根据等腰三角形的性质，两个底角度数相等。已知一个底角是45°，因此另一个底角也是45°。 【详解】由分析可知：一个等腰三角形的一个底角是45°，另一个底角是45°。 10．一个等腰三角形的底角是43°，顶角是（ ），按角分它是（ ）三角形。 【答案】 94° 钝角 【分析】已知等腰三角形的一个底角是43°，根据等腰三角形两底角相等的性质，可知另一个底角也是43°。因为三角形内角和是180°，所以用180°减去两个底角的度数，就可以得到顶角的度数。 根据三角形按角分类的方法判断三角形的分类。三个角都是锐角的三角形是锐角三角形；有一个角是直角的三角形是直角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形。 【详解】180°－43°－43° ＝137°－43° ＝94° 顶角是94°，94°是钝角，所以它是钝角三角形。 所以，一个等腰三角形的底角是43°，顶角是94°，按角分它是钝角三角形。 11．一个直角三角形中的一个锐角是42°，它的另一个锐角是（ ）；一个等腰三角形的一个顶角是80°，它的底角是（ ），这个三角形按角分类是（ ）三角形。 【答案】 48° 50° 锐角 【分析】有一个角是直角的三角形是直角三角形，直角是90°。根据三角形内角和为180°，用180°减去90°再减去42°可以算出另一个锐角的度数；等腰三角形的两个底角相等，根据三角形内角和为180°，用180°减去80°之后再除以2可以得到底角的度数；三角形按角分类：三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，有一个角是直角的三角形是直角三角形，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形。 【详解】180°－90°－42° ＝90°－42° ＝48° 所以它的另一个锐角是48°； （180°－80°）÷2 ＝100°÷2 ＝50° 所以它的底角是50°； 这个三角形三个角都是锐角，所以按角分类是锐角三角形。 12．高压线杆的支架焊成三角形是因为三角形具有（ ）；请你再举出一个生活中应用三角形这种特性的例子（ ）。 【答案】 稳定性 塔吊的横梁（答案不唯一） 【分析】三角形具有稳定性，即在受到外力作用时，其形状不易改变。高压线杆的支架焊成三角形正是利用了这一特性，使得支架更加稳固。生活中应用三角形稳定性的例子有很多，如塔吊的横梁、屋顶的三角结构 【详解】根据三角形的特性，三角形具有稳定性，因此高压线杆的支架焊成三角形是为了利用这一特性，使结构更稳固。 生活中应用三角形稳定性的例子可以是塔吊的横梁。塔吊在作业时需要承受较大的重量，其利用了三角形结构，能够有效增强稳定性，防止变形。 高压线杆的支架焊成三角形是因为三角形具有稳定性；请你再举出一个生活中应用三角形这种特性的例子塔吊的横梁。（答案不唯一） 13．在直角三角形中，一个锐角是50°，另一个锐角是（ ）°。一个等腰三角形的顶角是50°，则底角是（ ）°。 【答案】 40 65 【分析】直角三角形的两个锐角和是90°，据此用90°减去50°就是另一个锐角的度数；根据三角形的内角和是180°，等腰三角形的两个底角相等，用180°减去顶角的度数，再除以2，即可求得底角的度数。 【详解】90°－50°＝40° （180°－50°）÷2 ＝130°÷2 ＝65° 在直角三角形中，一个锐角是50°，另一个锐角是40°。一个等腰三角形的顶角是50°，则底角是65°。 14．如图，已知道△ABC中，AB和AC长度相等，则∠1＝（ ），∠2＝（ ）。 【答案】 50° 65° 【分析】由题意可知，AB和AC长度相等，根据两边相等的三角形为等腰三角形可知，△ABC为等腰三角形。根据平角为180°，用180°减去130°就是∠1的度数，再根据三角形的内角和为180°和等腰三角形的两底角相等，用180°减去∠1即可求得两底角的和，最后除以2即为∠2的度数。 【详解】∠1＝180°－130°＝50° 180°－50°＝130° ∠2＝130°÷2＝65° 所以，∠1＝50°，∠2＝65°。 15．桌面上有一些三角形卡片，这些三角形中一共有36个锐角，5个钝角，4个直角，那么共有（ ）个锐角三角形。 【答案】6 【分析】钝角三角形里面有2个锐角，直角三角形里面有2个锐角，锐角三角形里面有3个锐角； 锐角三角形的个数＝[锐角的总个数－（钝角三角形的个数＋直角三角形的个数）×2]÷每个锐角三角形里面锐角的个数。 【详解】36－（5＋4）×2 ＝36－18 ＝18（个） 18÷3＝6（个） 桌面上有一些三角形卡片，这些三角形中一共有36个锐角，5个钝角，4个直角，那么共有6个锐角三角形。 16．求下面三角形中∠1的度数。左图的∠1＝（ ），右图的∠1＝（ ）。   【答案】 29° 20° 【分析】三角形的内角和为180°，用180°依次减去左图中的26°和125°，即可求出左图的∠1，右图为直角三角形，用180°依次减去图中的直角和70°，即可求出右图的∠1。 【详解】180°－125°－26° ＝55°－26° ＝29° 180°－90°－70° ＝90°－70° ＝20° 所以左图的∠1＝29°，右图的∠1＝20°。 17．已知一个等腰三角形的一边长3厘米，另一边长6厘米，第三边长（ ）厘米，它的周长是（ ）厘米。 【答案】 6 15 【分析】等腰三角形两条腰相等，已知两条边的长度，再根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”，据此判断出另一条边的长度。最后再将三条边的长度相加即可求出它的周长是多少厘米。 【详解】当腰是3厘米时：3＋3＝6（厘米），两边之和等于第三边，不能围成三角形； 当腰是6厘米时，3＋6＝9（厘米），9＞6，能围成三角形。 3＋6＋6 ＝9＋6 ＝15（厘米） 因此一个等腰三角形的一边长3厘米，另一边长6厘米，它的周长是15厘米。 18．等边三角形沿高对折后会折出一个（ ）三角形，其中最小角是（ ）°。 【答案】 直角 30 【分析】三角形的内角和为180°，等边三角形的三个内角都相等。明确三角形的高就是垂直的线，与底边的夹角是90°；等边三角形沿高对折后会折出直角三角形；用180°除以3，计算出等边三角形每个角的度数，也就是折出的直角三角形其中一个锐角的度数，再用180°减去90°后，再减去等边三角形其中一个角的度数，就是折出的直角三角形另一个锐角的度数，依此计算。 【详解】根据分析可知： 180°÷3＝60° 180°－90°－60° ＝90°－60° ＝30° 等边三角形沿高对折后会折出一个（直角）三角形，其中最小角是（30）°。 19．一个直角三角形其中一个角是55°，这个直角三角形最小的角是（ ），一个等腰三角形的底角是42°，它的顶角是（ ）。 【答案】 35° 96° 【分析】三角形内角和是180°，一个直角三角形其中有一个角是90°，用180°－90°－55°算出第三个角，再比较出最小的角；一个等腰三角形的两个底角相等，顶角＝180°－2×底角＝180°－2×42°。 【详解】180°－90°－55°＝35° 35°＜55°＜90° 180°－2×42° ＝180°－84° ＝96° 一个直角三角形其中一个角是55°，这个直角三角形最小的角是35°，一个等腰三角形的底角是42°，它的顶角是96°。 20．顶角是36°的等腰三角形被称为“黄金三角形”。下图中三角形ABC是“黄金三角形”，AB＝AC，BD＝BC，则∠1＝（ ）°，∠2＝（ ）°。 【答案】 36 108 【分析】因为△ABC是顶角为36°的等腰三角形，且AB＝AC，根据等腰三角形两底角相等以及三角形内角和为180°，可得：∠ABC＝∠C＝（180°－36°）÷2＝72°；因为BD＝BC，所以△BDC是等腰三角形，∠BDC＝∠C＝72°，再根据三角形内角和为180°，在△BDC中，∠1＝180°－72°－72°＝36°。 ∠ABD＝∠ABC－∠1＝72°－36°＝36°，在△ABD中，∠2＝180°－∠ABD－∠A＝180°－36°－36°＝108°。 【详解】（180°－36°）÷2 ＝144°÷2 ＝72° 180°－72°－72° ＝108°－72° ＝36° 72°－36°＝36° 180°－36°－36° ＝144°－36° ＝108° 因此，∠1＝36°，∠2＝108°。 21．如图，一张三角形纸片被剪去了一个角，剪去的这个角是（ ）°，剩下部分的内角和是（ ）。 【答案】 55 360 【分析】三角形内角和是180°，剪去这个角的度数＝三角形的内角和－其余两个内角的度数；可以将剩下的图形分成几个三角形，用三角形的个数乘180°即可求出剩下部分的内角和是多少度。 【详解】180°－65°－60° ＝115°－60° ＝55° 如图： 180°×2＝360° 即一张三角形纸片被剪去了一个角，剪去的这个角是55°，剩下部分的内角和是360°。 三、作图题 22．画出下面两个三角形底边上的高。 【答案】见详解 【分析】经过三角形的顶点（与底相对的点）向对边（底）作垂线，顶点和垂足之间的线段就是三角形的一条高，每个三角形都有三个底和对应的高；用三角板的直角可以画出三角形的高；据此分别画出两个三角形的底边上的高。 【详解】如下图： 四、解答题 23．淘气是个爱动手、爱动脑的孩子。他把一根20厘米长的吸管剪成3段（每段长是整厘米数），再用这三段吸管围成一个等腰三角形，可以怎么剪？（写出三种不同的答案，可画图说明） 【答案】见详解 【分析】有两条边相等的三角形叫作等腰三角形。三角形三边的关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。由题意得，淘气要把一根20厘米长的吸管剪成3段（每段长是整厘米数），再用这三段吸管围成一个等腰三角形，那么这三段应该有两段的长度应该相等且满足构成三角形的条件。据此解答。 【详解】6＋6＋8＝12＋8＝20（厘米），6＝6，6＋6＝12＞8，即淘气可以将吸管剪成6厘米，6厘米，8厘米的小段。 7＋7＋6＝14＋6＝20（厘米），7＝7，6＋7＝13＞7，即淘气可以将吸管剪成7厘米，7厘米，6厘米的小段。 8＋8＋4＝16＋4＝20（厘米），8＝8，8＋4＝12＞8，即淘气可以将吸管剪成8厘米，8厘米，4厘米的小段。 答：淘气可以将吸管剪成6厘米，6厘米，8厘米的小段，也可以将吸管剪成7厘米，7厘米，6厘米的小段，还可以将吸管剪成8厘米，8厘米，4厘米的小段。（答案不唯一） 24．公园里有一个等腰三角形的草坪，它的周长是186米，一条腰长是57米，这块草坪的底边长是多少米？ 【答案】72米 【分析】等腰三角形特征：两条腰长相等，三角形周长是三条边长之和，用186米减去2个57米即可求出底边长。 【详解】186－57×2 ＝186－114 ＝72（米） 答：这块草坪的底边长是72米。 25．求四边形的内角和有以下几种方法： 方法1：拼一拼 方法2：分成2个三角形 180×2＝360（度） 方法3：分成4个三角形 180×4－360＝360（度） 选择你喜欢的方法在上边的六边形上画一画，并列式计算。 六边形内角和：（     ）。 【答案】720°/720度 【分析】根据方法3可知，四边形可以分成（4－2）个三角形，四边形的内角和是：180°×（4－2）＝360°，同理，五边形可以分成（5－2）个三角形，五边形的内角和是：180°×（5－2）＝540°；六边形可以分成（5－2）个三角形，六边形的内角和是：180°×（6－2）＝720°。 【详解】 180°×（6－2）＝180°×4＝720° 六边形内角和：（720°）。 26．王奶奶家有一块等腰三角形的菜地，其中的两条边分别长26米和13米，要给这块菜地围一圈栅栏，栅栏长多少米？ 【答案】65米 【分析】题目给出两条边分别为26米和13米，需确定哪两条边为腰：若腰为13米，则底边为26米，此时米，不满足三角形两边之和大于第三边的条件，故不成立；因此腰只能是26米，底边为13米，此时三边满足三角形三边关系。根据等腰三角形的特点，两条腰相等，据此求出三角形周长即可。 【详解】根据分析可得：（米） 所以，三角形的腰是26米，底是13米。 因此三角形周长为： （米） 答：栅栏长65米。 27．挑战自我。 （1）如图，∠C＝30°，∠A＝（     ）°； （2）现在将这个三角形如图剪去一个锐角∠C后，剩下部分图形的内角和是（     ）°。你是怎么知道的？把自己的方法写下来。我是这样想的： （3）还可以怎样剪一刀，使得剩下的图形内角和与上图中剩下图形的内角和一样大。请你在下图中画出一种情况。 【答案】（1）60；（2）360；理由见详解；（3）图见详解 【分析】（1）根据三角形内角和是180°，直角三角形有一个直角是90°，可知另外两个三角形两锐角和是180°－90°＝90°，即∠A＋∠C＝90°，则∠A＝90°－∠C； （2）将这个三角形如图剪去一个锐角∠C后，剩下部分图形是一个四边形，连接AE后（如图），可以看出这个四边形是由两个三角形组成的，所以四边形内角和等于两个三角形内角和之和，即180°×2＝360°，据此解答（答案不唯一）。 （3）剪一刀，使得剩下的图形内角和与上图中剩下图形的内角和一样大，只要任意两边上分别找出一点（除去顶点）连接，剪去一个三角形，剩下的是一个四边形即可。（答案不唯一） 【详解】（1）∠A＝90°－∠C＝90°－30°＝60° （2） 剩下部分图形是一个四边形，连接AE后（如图），四边形内角和等于两个三角形内角和之和，即180°×2＝360°，所以剩下部分图形的内角和是360°。 （3） 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $