专项训练12：用比例解决问题（反比例的实际应用）-数学人教版六年级下册

人教版六年级数学下册解决问题 专项训练12：用比例解决问题（反比例的实际应用） 1．某地推出了无人驾驶汽车运送物资服务。已知一趟“无人车”一趟可运送0.5吨物资，一辆“无人小巴”一趟可运送1.2吨物资。如果一批物资用“无人车”需要运72趟，改用“无人小巴”需要运几趟？ 解决这个问题，用到了我们所学的（     ）（填“正比例”或“反比例”）知识，请用比例知识解答本题。 【答案】反比例；30趟 【分析】由题可知，运送这批物资的总量是一定的，那么一趟可运送的物资和需要运送的趟数成反比例，即“无人车”一趟可运送的物资×需要的趟数＝“无人小巴”一趟可运送的物资×需要的趟数。 【详解】解决这个问题，用到了我们所学的反比例知识。 解：设改用“无人小巴”需要运x趟。 1.2×x＝0.5×72 1.2x＝36 1.2x÷1.2＝36÷1.2 x＝30 答：改用“无人小巴”需要运30趟。 2．纸的发明是对人类文明的伟大贡献。造纸的原材料主要是树皮等植物的纤维，据统计：少浪费1500张纸，就可保留1棵树；节约6吨纸，则相当于拯救了120棵树。学校打印室新购一批白纸，计划每天用90张，可以用20天。由于注意了节约用纸，实际每天只用60张，这批白纸实际用了多少天？ 【答案】30天 【分析】根据题意，每天用纸的张数×用的天数＝这批纸的总张数（一定），乘积一定，则每天用纸的张数和用的天数成反比例关系。设实际用了x天，实际每天用纸的张数×实际用的天数＝计划每天用纸的张数×计划用的天数，据此用比例解答。 【详解】解：设这批白纸实际用了x天。 60x＝90×20 60x＝1800 60x÷60＝1800÷60 x＝30 答：这批白纸实际用了30天。 3．某小学开展节能减排活动，为绿色环保做贡献。原来学校平均每天用电200千瓦时，开展节约用电以来，平均每天用电120千瓦时。原来用6天的电量现在可以用多少天？ 【答案】10天 【分析】根据题意，用电总量一定，每天用电量和用的天数成反比例，即每天用电量和用的天数的乘积一定，原来每天用电量×用的天数＝后来每天用电量×后来用的天数；设现在可以用x天，列出比例解答即可。 【详解】解：设原来用6天的电量现在可以用x天。 120x＝200×6 120x＝1200 120x÷120＝1200÷120 x＝10 答：原来用6天的电量现在可以用10天。 4．李叔叔打一份文件，平均每分钟打52个字，45分钟可以打完；如果要提前15分钟打完，李叔叔平均每分钟需要打多少个字？（用比例知识解答） 【答案】78个 【分析】因为总字数一定，因此每分钟打字字数和时间成反比例关系。关系式是：原来每分钟打字字数×时间＝现在每分钟打字字数×时间，列方程解答即可. 【详解】解：设李叔叔平均每分钟需要打x个字。 （45－15）x＝52×45 30x＝2340 30x÷30＝2340÷30 x＝78 答：如果要提前15分钟打完，李叔叔平均每分钟需要打78个字。 5．六年级同学做广播操，如果每行站25人，正好站16行，如果每行站20人，那么需要站多少行？（列方程解答） 【答案】20行 【分析】根据题意知道，六年级同学的总人数一定，每行站的人数和行数成反比例，设如果每行站20人，需要站x行，列比例：20x＝25×16，解比例，即可解答。 【详解】解：设如果每行站20人，需要站x行。 20x＝25×16 20x＝400 20x＝400÷20 x＝20 答：需要站20行。 6．解决问题。 【答案】24次 【分析】由题意可知：不管用什么车来运，这堆货物的总量是一定的，即每次的载质量与次数的乘积是一定的，则每次的载质量与次数成反比例，据此即可列比例求解。 【详解】解：设载质量为6吨的卡车需要运x次才能运完， 4×36＝6×x 144＝6x 6x÷6＝144÷6 x＝24 答：载质量为6吨的卡车需要运24次才能运完。 7．爸爸打算给亮亮的小书房铺方砖，需要边长2分米的方砖90块。如果改用边长30厘米的方砖，则至少需要方砖多少块？ 【答案】40块 【分析】根据题意可知，亮亮的小书房面积不变，即每块方砖的面积×方砖的块数＝书房的面积（一定），乘积一定，那么每块方砖的面积与方砖的块数成反比例关系，据此列出反比例方程，并求解。注意单位的换算：1分米＝10厘米。 【详解】30厘米＝3分米 解：设至少需要方砖块。 （3×3）＝2×2×90 9＝360 ＝360÷9 ＝40 答：至少需要方砖40块。 8．一辆货车从甲地开往乙地，平均每小时行驶82千米，6.9小时到达。回去时空车原路返回，每小时行驶的路程比来时多15%，这辆货车多长时间能够返回甲地？（用比例知识解答） 【答案】6小时 【分析】已知一辆货车从甲地开往乙地，平均每小时行驶82千米，返回时每小时行驶的路程比来时多15%，把来时的速度看作单位“1”，则返回时的速度是来时速度的（1＋15%），单位“1”已知，用来时的速度乘（1＋15%），即是返回时的速度。 根据题意可知，甲地与乙地的路程一定，即速度×时间＝路程（一定），乘积一定，则速度与时间成反比例关系，据此列出反比例方程，并求解。 【详解】解：设这辆货车小时能够返回甲地。 82×（1＋15%）＝82×6.9 82×1.15＝565.8 94.3＝565.8 ＝565.8÷94.3 ＝6 答：这辆货车6小时能够返回甲地。 9．为了迎接4月23日世界读书日，希望小学把四月份定为读书月。小明读一本书。每天读48页，5天读完。小华和小明读的是同一本书，比小明多用1天读完，小华平均每天读多少页？（用比例解答） 【答案】40页 【分析】每天读的页数×天数＝总页数（一定），每天读的页数与天数成反比例；小华比小明多用1天，小华用了（5＋1）天；设小华平均每天读x页，列比例：（5＋1）x＝48×5，解比例，即可解答。 【详解】解：设小华平均每天读x页。 （5＋1）x＝48×5 6x＝240 x＝240÷6 x＝40 答：小华每天读40页。 10．我国自主研发生产的全球最大直径盾构机主轴承下线，标志着国产超大直径主轴承研制能力跻身世界领先水平。某地新挖一条隧道，每天挖掘隧道的长度和所需天数如图。 每天挖掘隧道的长度/m 4 8 10 所需天数/天 120 60 48 （1）如果每天最多可以挖掘20米，那么至少需要多少天可以挖完？ （2）如果恰好30天挖完，那么每天挖多少米？ 【答案】（1）24天 （2）16米 【分析】从统计表中的数据可知，120×4＝60×8＝48×10＝480（一定），即每天挖掘隧道的长度×所需天数＝隧道的全长（一定），乘积一定，那么每天挖掘隧道的长度与所需天数成反比例关系，据此列出反比例方程，并求解。 【详解】（1）解：设至少需要天可以挖完。 20＝120×4 20＝480 ＝480÷20 ＝24 答：至少需要24天可以挖完。 （2）解：设每天挖米。 30＝120×4 30＝480 ＝480÷30 ＝16 答：每天挖16米。 11．某地推出了无人汽车运送物资服务。已知“无人车”一趟可运送0.6吨的物资，一辆“无人小巴”一趟可运送1.4吨的物资。如果一批物资用“无人车”需要63趟，改用“无人小巴”需要运几趟？ 解决这个问题用到了我们所学的（     ）（填“正比例”或反比例）知识，请用比例知识解答本题。 【答案】反比例；27趟 【分析】由题可知，运送这批物资的总量是一定的，那么一趟可运送的物资和需要运送的趟数成反比例，即“无人车”一趟可运送的物资×需要的趟数＝“无人小巴”一趟可运送的物资×需要的趟数，据此解答。 【详解】解决这个问题，用到了我们所学的反比例知识。 解：设改用“无人小巴”需要运x趟。 1.4×x＝0.6×63 1.4x＝37.8 1.4x÷1.4＝37.8÷1.4 x＝27 答：改用“无人小巴”需要运27趟。 12．李叔叔驾车从万州开往宜昌，每小时行驶，5小时到达。返回时每小时比去时快，李叔叔返回时用多少小时？（用比例解） 【答案】80×5＝80×（1＋）x 【分析】由题意可知：两地的路程是一定的，即李叔叔每小时行驶的路程与需要的时间的乘积是一定的，则每小时行驶的路程与需要的时间成反比例，据此即可列比例求解。 【详解】解：设李叔叔返回时用x小时。 80×5＝80×（1＋）x 400＝80×1.2x 96x＝400 x＝ 答：李叔叔返回时用小时。 13．毕业，不止是一场告别，更是一次新的征程。为了给孩子们送上祝福，在心中留下美好的校园回忆，中心小学六年级的老师精心设计了一面长方形的照片墙，征集具有纪念意义的照片贴在墙上展览。每张照片的面积和所贴照片数量的关系如表： 每张照片的面积/ 4 9 16 … 所贴照片的数量/张 216 96 54 … （1）观察上表中的数据，每张照片的面积和所贴照片的数量成（     ）比例。 （2）如果采用面积是的照片来贴满这面长方形照片墙，需要多少张照片？（用比例解答） 【答案】（1）反 （2）36 【分析】（1）判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例； （2）根据题意可知，照片墙的面积一定；所以每张照片的面积×所贴照片的数量＝24×所贴照片的数量，设需要x张照片；列比例：4×216＝24x，解比例，即可解答。 【详解】（1）4×216＝9×96＝16×54＝864（一定），每张照片的面积和所贴照片的数量成反比例。 （2）解：设需要x张照片。 4×216＝24x 24x＝864 24x÷24＝864÷24 x＝36 答：需要36张照片。 14．农具厂生产一批农具，原计划每天生产80台，20天可完成任务。如果每天比原计划多生产25%，需多少天能完成任务？（用比例知识解答） 【答案】16天 【分析】根据题意可知，生产这批农具的台数一定，每天生产的台数与生产的天数成反比例，把原计划每天生产的台数看作单位“1”，实际生产台数是原计划（1＋25%），用原计划每天生产的台数×（1＋25%），求出实际每天生产的台数，设需x天完成任务，原计划每天生产的台数×天数＝实际每天生产的台数×需要的天数，列方程：（1＋25%）×80×x＝80×20，解方程，即可解答。 【详解】解：设需x天能完成任务。 （1＋25%）×80×x＝80×20 1.25×80×x＝1600 100x＝1600 x＝1600÷100 x＝16 答：需16天能完成任务。 15．学校要给一间功能教室铺地砖，每块地砖的面积与所需地砖的数量如表。 每块地砖的面积/平方米 0.2 0.3 0.4 0.6 0.8 … 所需地砖的数量/块 600 400 300 200 150 … （1）每块地砖的面积和所需地砖的数量成（     ）比例关系。 （2）如果铺这一地面用了500块地砖，所用的地砖每块面积是多大？（用比例解答） 【答案】（1）反 （2）0.24平方米 【分析】（1）判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。据此解答即可。 （2）可假设所用的地砖每块面积是x平方米，根据每块地砖的面积和所需地砖的数量成反比例关系，据此即可列比例求解。 【详解】（1）0.2×600＝0.3×400＝0.4×300＝0.6×200＝0.8×150＝120（平方米） 因为每块地砖的面积×需要的块数＝铺地面积（一定），所以每块地砖的面积和所需地砖的数量成反比例关系。 （2）解：设所用地砖的面积为x平方米。 500x＝0.2×600 500x＝120 500x÷500＝120÷500 x＝0.24 答：所用的地砖每块面积是0.24平方米。 16．小聪读一本童话书，如果每天读24页，10天可以读完。小聪想提前2天读完，那么平均每天要读多少页？（用比例解） 【答案】30页 【分析】根据题意知道一本书的总页数一定，每天读的页数×读书的天数＝一本书的总页数（一定），所以每天读的页数与读的天数成反比例，由此设出未知数，列出比例解答即可。 【详解】解：设平均每天要读x页。 （10－2）x＝24×10 8x＝240 8x÷8＝240÷8 x＝30 答：平均每天要读30页。 17．王阿姨一家四口打算从长沙来南昌游玩。如果乘高铁来南昌，1.2小时到达。如果选择自驾游来南昌，需要5小时才能到达。王阿姨自驾游时的平均车速是多少？ 出行方式 平均速度 时间 乘高铁 300千米/时 1.2小时 自驾游 ？千米/时 5小时 【答案】72千米/时 【分析】长沙到南昌的路程是不变的，速度与时间的乘积是一定的，即速度与时间这两种量成反比例，由此设王阿姨自驾游时的平均车速是x千米/时，列出比例式解答即可。 【详解】解：设王阿姨自驾游时的平均车速是x千米/时。 答：王阿姨自驾游时的平均车速是72千米/时。 18．一艘轮船从甲港开往乙港，去时顺水，每小时行24千米，15小时到达；返回时逆水，每小时行18千米，返回时用了多少小时？（用比例知识解） 【答案】20小时 【分析】根据路程＝速度×时间，当路程一定时，速度和时间成反比例关系；设返回时用了x小时，据此列出比例，解比例。 【详解】解：设返回时用了x小时。 18×x＝24×15 18x＝360 18x÷18＝360÷18 x＝20 答：返回时用了20小时。 19．“读万卷书。行万里路”，旅游是一种探索世界的方式。暑假，爸爸妈妈计划带明明（12岁）和妹妹（5岁）去韶山旅游。怎样出行更合理？ （1）方式一：高铁出行。明明在提前在网上查到的吉首东至韶山南相关的高铁信息。如果选择高铁出行，你建议他选择哪趟列车？全家人买票至少需要多少元？ 车次 开车时间 到达时间 票价 G479 08：25 10：25 170 G6437 13：12 15：24 168 G6057 15：44 17：38 173 高铁购票须知 1.未满6周岁儿童无须购票。 2.6－14周岁内儿童按7折购票。 （2）方式二：自驾出行。下图是爸爸预计出的几组驾驶小汽车从吉首到韶山的平均度和时间。观察下图，判断：小汽车从吉首到韶山行驶的平均速度和时间成什么比例？请说出你的理由。并根据图中信息求出G479次列车的平均速度。 （3）选择自驾需要预计燃油费用与高速过路费用。汽车每100千米耗油8L，每升92#汽油售价8.2元。从吉首到韶山自驾需要多少元？ 高速公路过路费的计算方法 小型车2吨（含2吨）以下货车、20座以下客车，0.45元/公里；中型车2吨以上至7吨（含7吨）货车、21座以上至50座客车，0.90元/公里；大型车1.462元/公里 （4）对比两种出行方式，你认为哪种更合理？请说出你的理由。 【答案】（1）选择G6437；453.6元 （2）反比例；200千米/时 （3）442.4元 （4）自驾游 【分析】（1）比较高铁出行的票价；173＞170＞168，建议他们选择G6437列车；明明12岁，票价打7折，即票价是原价的70%，用原价×70%，求出明明的票价；妹妹5岁，不需要买票；用票价×2，求出爸爸、妈妈的票价，再加上明明的票价，即可求出全家人买票至少需要的钱数； （2）判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。根据题意可知，从吉首到韶山的路程一定，平均速度和时间成反比例；再根据速度＝路程÷时间，求出G479次列车的速度； （3）用从吉首到韶山的路程÷100，求出从吉首到韶山的路程有多少100千米，再乘8，求出需要汽油的容积，再乘每升汽油的价钱，求出需要的钱数；小型车2吨（含2吨）以下货车、20座以下客车，0.45元/公里，用从吉首到韶山的路程×0.45，求出从吉首到韶山的路程高速公路过路费，再加上需要汽油的钱数，求出自驾游需要的钱数； （4）比较坐高铁和自驾游的费用，哪种省钱，选折哪种出行方式，据此解答。 【详解】（1）173＞170＞168，建议他们选择G6437列车；明明12岁，票价七折，七折就是现价是原价的70%；妹妹5岁，不需要票钱。 168×2＋168×70% ＝336＋117.6 ＝453.6（元） 答：建议他们选择G6437趟列车，全家人买票至少需要453.6元。 （2）100×4＝80×5＝400（一定） 平均速度×时间＝从吉首到韶山路程（一定），所以平均速度和时间成反比例。 10时25分－8时25分＝2时 400÷2＝200（千米/时） 答：小汽车从吉首到韶山行驶的平均速度和时间成反比例，G479次列车的平均速度是200千米/时。 （3）400÷100×8×8.2＋0.45×400 ＝4×8×8.2＋180 ＝32×8.2＋180 ＝262.4＋180 ＝442.4（元） 答：从吉首到韶山自驾需要442.4元. （4）453.6＞442.4，自驾游省钱，选择自驾游。 答：选折自驾游。 20．客车和货车分别从甲乙两地相向而行，客车3小时后到达甲乙两地中点，继续行驶，又过了一个小时，货车到达甲乙两地中点，这时货车开始提速，速度比原来提高了20%，当客车到达乙地时，货车行驶了全程的几分之几？ 【答案】 【分析】由题意可知，客车3小时后到两地中点，货车小时后到两地中点，根据路程相同，时间和速度成反比，则可知客车和货车原来的速度比是，因货车到达两地中点后，速度比原来提高了20%，则可计算客车和货车后来的速度比是，当客车到达乙地时，可知客车又走了两地路程的，可根据时间相同，路程和速度成正比，利用客车和货车后来的速度比计算货车提速后走了全程的分率，再加上提速前的，即可得解。 【详解】客车和货车原来的速度比： 客车和货车后来的速度比： 答：当客车到达乙地时，货车行驶了全程的。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版六年级数学下册解决问题 专项训练12：用比例解决问题（反比例的实际应用） 1．某地推出了无人驾驶汽车运送物资服务。已知一趟“无人车”一趟可运送0.5吨物资，一辆“无人小巴”一趟可运送1.2吨物资。如果一批物资用“无人车”需要运72趟，改用“无人小巴”需要运几趟？ 解决这个问题，用到了我们所学的（     ）（填“正比例”或“反比例”）知识，请用比例知识解答本题。 2．纸的发明是对人类文明的伟大贡献。造纸的原材料主要是树皮等植物的纤维，据统计：少浪费1500张纸，就可保留1棵树；节约6吨纸，则相当于拯救了120棵树。学校打印室新购一批白纸，计划每天用90张，可以用20天。由于注意了节约用纸，实际每天只用60张，这批白纸实际用了多少天？ 3．某小学开展节能减排活动，为绿色环保做贡献。原来学校平均每天用电200千瓦时，开展节约用电以来，平均每天用电120千瓦时。原来用6天的电量现在可以用多少天？ 4．李叔叔打一份文件，平均每分钟打52个字，45分钟可以打完；如果要提前15分钟打完，李叔叔平均每分钟需要打多少个字？（用比例知识解答） 5．六年级同学做广播操，如果每行站25人，正好站16行，如果每行站20人，那么需要站多少行？（列方程解答） 6．解决问题。 7．爸爸打算给亮亮的小书房铺方砖，需要边长2分米的方砖90块。如果改用边长30厘米的方砖，则至少需要方砖多少块？ 8．一辆货车从甲地开往乙地，平均每小时行驶82千米，6.9小时到达。回去时空车原路返回，每小时行驶的路程比来时多15%，这辆货车多长时间能够返回甲地？（用比例知识解答） 9．为了迎接4月23日世界读书日，希望小学把四月份定为读书月。小明读一本书。每天读48页，5天读完。小华和小明读的是同一本书，比小明多用1天读完，小华平均每天读多少页？（用比例解答） 10．我国自主研发生产的全球最大直径盾构机主轴承下线，标志着国产超大直径主轴承研制能力跻身世界领先水平。某地新挖一条隧道，每天挖掘隧道的长度和所需天数如图。 每天挖掘隧道的长度/m 4 8 10 所需天数/天 120 60 48 （1）如果每天最多可以挖掘20米，那么至少需要多少天可以挖完？ （2）如果恰好30天挖完，那么每天挖多少米？ 11．某地推出了无人汽车运送物资服务。已知“无人车”一趟可运送0.6吨的物资，一辆“无人小巴”一趟可运送1.4吨的物资。如果一批物资用“无人车”需要63趟，改用“无人小巴”需要运几趟？ 解决这个问题用到了我们所学的（     ）（填“正比例”或反比例）知识，请用比例知识解答本题。 12．李叔叔驾车从万州开往宜昌，每小时行驶，5小时到达。返回时每小时比去时快，李叔叔返回时用多少小时？（用比例解） 13．毕业，不止是一场告别，更是一次新的征程。为了给孩子们送上祝福，在心中留下美好的校园回忆，中心小学六年级的老师精心设计了一面长方形的照片墙，征集具有纪念意义的照片贴在墙上展览。每张照片的面积和所贴照片数量的关系如表： 每张照片的面积/ 4 9 16 … 所贴照片的数量/张 216 96 54 … （1）观察上表中的数据，每张照片的面积和所贴照片的数量成（     ）比例。 （2）如果采用面积是的照片来贴满这面长方形照片墙，需要多少张照片？（用比例解答） 14．农具厂生产一批农具，原计划每天生产80台，20天可完成任务。如果每天比原计划多生产25%，需多少天能完成任务？（用比例知识解答） 15．学校要给一间功能教室铺地砖，每块地砖的面积与所需地砖的数量如表。 每块地砖的面积/平方米 0.2 0.3 0.4 0.6 0.8 … 所需地砖的数量/块 600 400 300 200 150 … （1）每块地砖的面积和所需地砖的数量成（     ）比例关系。 （2）如果铺这一地面用了500块地砖，所用的地砖每块面积是多大？（用比例解答） 16．小聪读一本童话书，如果每天读24页，10天可以读完。小聪想提前2天读完，那么平均每天要读多少页？（用比例解） 17．王阿姨一家四口打算从长沙来南昌游玩。如果乘高铁来南昌，1.2小时到达。如果选择自驾游来南昌，需要5小时才能到达。王阿姨自驾游时的平均车速是多少？ 出行方式 平均速度 时间 乘高铁 300千米/时 1.2小时 自驾游 ？千米/时 5小时 18．一艘轮船从甲港开往乙港，去时顺水，每小时行24千米，15小时到达；返回时逆水，每小时行18千米，返回时用了多少小时？（用比例知识解） 19．“读万卷书。行万里路”，旅游是一种探索世界的方式。暑假，爸爸妈妈计划带明明（12岁）和妹妹（5岁）去韶山旅游。怎样出行更合理？ （1）方式一：高铁出行。明明在提前在网上查到的吉首东至韶山南相关的高铁信息。如果选择高铁出行，你建议他选择哪趟列车？全家人买票至少需要多少元？ 车次 开车时间 到达时间 票价 G479 08：25 10：25 170 G6437 13：12 15：24 168 G6057 15：44 17：38 173 高铁购票须知 1.未满6周岁儿童无须购票。 2.6－14周岁内儿童按7折购票。 （2）方式二：自驾出行。下图是爸爸预计出的几组驾驶小汽车从吉首到韶山的平均度和时间。观察下图，判断：小汽车从吉首到韶山行驶的平均速度和时间成什么比例？请说出你的理由。并根据图中信息求出G479次列车的平均速度。 （3）选择自驾需要预计燃油费用与高速过路费用。汽车每100千米耗油8L，每升92#汽油售价8.2元。从吉首到韶山自驾需要多少元？ 高速公路过路费的计算方法 小型车2吨（含2吨）以下货车、20座以下客车，0.45元/公里；中型车2吨以上至7吨（含7吨）货车、21座以上至50座客车，0.90元/公里；大型车1.462元/公里 （4）对比两种出行方式，你认为哪种更合理？请说出你的理由。 20．客车和货车分别从甲乙两地相向而行，客车3小时后到达甲乙两地中点，继续行驶，又过了一个小时，货车到达甲乙两地中点，这时货车开始提速，速度比原来提高了20%，当客车到达乙地时，货车行驶了全程的几分之几？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $