专项训练06：长方体的体积-数学人教版五年级下册

人教版五年级数学下册解决问题 专项训练06：长方体的体积 1．有一块棱长6厘米的正方体彩泥，把它捏成一个长4厘米，高3厘米的长方体，这个长方体的宽是多少厘米？ 2．下图是一个长方体纸盒的平面展开图，它的表面积是多少平方分米？体积是多少立方分米（单位：分米） 3．工人叔叔用1600立方米的砂石去铺一条长1000米，宽8米的砂石路，路的厚度是多少厘米？ 4．一段长方体木材长2米，横截面是边长10厘米的正方形。每立方米木材重150千克，这段木材重多少千克？ 5．有一个棱长是20厘米的正方体容器里装满水，现在要把这些水倒入长25厘米，宽10厘米，高40厘米的长方体玻璃缸里，水面有多高？ 6．一块面积为4平方分米的长方形木板如下图所示竖直放置，现让木板向右平移45厘米，它扫过的立体图形的体积是多少立方分米？ 7．在气象兴趣小组的一次活动中，老师为每位同学准备了一套“太空气象站”材料套装（如图所示），这个材料套装的表面积是多少平方分米？体积是多少立方分米？ 8．用160厘米长的铁丝焊接成一个长20厘米，宽15厘米的长方体教具，这个长方体教具的高是多少厘米？体积是多少立方厘米？ 9．跳远使用的沙坑宽3米，长是宽的2倍，坑内沙子的厚度为8分米。 （1）这个沙坑的占地面积是多少平方米？ （2）沙坑内有沙子多少方？（1方＝1立方米） 10．体育馆新建了一个长方体游泳池，从里面量长40米，宽28米，深2.4米。 （1）这个游泳池的占地面积是多少？ （2）平时注水时，水面距池口0.4米。按此计算，每换一次水需要多少立方米水？ （3）要给这个游泳池的底面和四壁贴上瓷砖，贴瓷砖的面积是多少？ 11．如图1，把一张长方形卡纸折一下，立放在桌子上。底部是一个面积为36平方厘米的正方形，直立部分的长是10厘米。 （1）如果把直立的卡纸作为长方体纸盒的其中两个面，那么长方体纸盒的表面积是多少平方厘米？ （2）在这个长方体纸盒中倒入高为5厘米的牛奶，再将这个长方体盒子平放（如图2）。那么此时牛奶高度是多少厘米？ 12．为了保护书籍，我们可以为图书做上封套，封套样式如下图所示： 小智有一套丛书，共有四册，这四册书的尺寸完全相同，每册书的长、宽如下图所示，每册书的厚度为2厘米，他想做一个封套，把这套书都装进去。 （1）做这个封套至少需要多少平方厘米的硬纸板？（硬纸板的厚度及接缝处忽略不计） （2）这套丛书的体积是多少立方厘米？ 13．如图，甲容器是空的，乙容器中的水深30厘米，现在将乙容器中的水倒一部分至甲容器中，要使两个容器中水的高度相等，这时水深多少厘米？（容器壁的厚度忽略不计） 14．笑笑有一个带盖的收纳盒（如图），她想把家里散落的小包纸巾放入收纳盒中（纸巾不能超过收纳盒的上沿且不能挤压）。每包纸巾的长、宽、高和收纳盒内部的长、宽、高如下图所示。（单位：厘米） （1）结合生活实际想一想：我（     ）笑笑的想法。（填“同意”或“不同意”） （2）如果同意，请你写出理由；如果不同意，按照上面的要求，尽可能多地往盒里收纳纸巾，你可以放置多少包？写出你的思考过程，可以写一写、画一画。 15．一根2.5米长的方钢，把它沿横截面截成3段，表面积增加了60平方厘米，原来这根方钢的体积是多少立方厘米？ 16．用三个长20厘米，宽15厘米，高10厘米的小长方体，拼成一个大长方体，大长方体的体积是多少立方厘米，表面积最大是多少平方厘米？ 17．丽丽想制作一个长方体纸盒。她先在一张边长为30厘米的正方形纸上绘制出这个长方体纸盒的展开图（如下图）。然后准备将涂色部分裁掉，借助胶条粘贴成长方体。已知长方体的宽是高的2倍，那么这个长方体的体积是多少立方厘米？ 18．我国是建造船闸最早的国家。当大坝两旁的水位落差大时，人们建造船闸帮助轮船顺利通过大坝。为了探究船闸工作原理，同学们制作了两级船闸的模型（闸门厚度不计）。 （1）如图所示，B闸室现在水的体积是多少立方厘米？ （2）打开中间闸门后，水面高度是多少厘米？ 19．有甲、乙两块形状不同的纸板，各自裁成一个正方形和四个相同的长方形（如下图），现分别将每块纸板沿折线折叠后刚好能折成两个无盖长方体纸盒。请你计算一下，哪个纸盒的体积大？ 20．王阿姨将一辆15千克的儿童车放入包装箱里，这个外包装箱3.5千克（如图），然后到快递公司将其寄给同一城市的朋友。 ①这个包装箱的体积是多少立方厘米？ ②快递公司按所寄物品的质量收取快递费。同一座城市的收费标准如下：1千克及以内收费10元，超过1千克的部分，每千克收费2元（不足1千克按1千克计费）。计算物品质量的规定如下： a.按实际质量计算。实际质量即产品包括外包装箱质量的总和。 b.按体积质量计算。体积质量即将外包装箱体积按每6000立方厘米折合1千克计算。具体公式为：体积质量（千克）＝外包装箱体积（立方厘米）÷6000×1。 注：实际质量与体积质量相比较，需按质量大的计算快递费。 按上面的规定，王阿姨应付多少元的快递费？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版五年级数学下册解决问题 专项训练06：长方体的体积 1．有一块棱长6厘米的正方体彩泥，把它捏成一个长4厘米，高3厘米的长方体，这个长方体的宽是多少厘米？ 【答案】18厘米 【分析】分析题目，正方体和长方体的体积是相等的，先根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长计算出正方体的体积，再根据长方体的宽＝体积÷（长×高）代入数据求解即可。 【详解】6×6×6 ＝36×6 ＝216（立方厘米） 216÷（4×3） ＝216÷12 ＝18（厘米） 答：这个长方体的宽是18厘米。 2．下图是一个长方体纸盒的平面展开图，它的表面积是多少平方分米？体积是多少立方分米（单位：分米） 【答案】表面积：220平方分米；体积：200立方分米 【分析】从这个长方体纸盒的平面展开图可知，这个长方体纸盒的长是10分米，宽是4分米，高是5分米；根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体的体积＝长×宽×高，代入相应数值计算，即可解答。 【详解】表面积：（10×4＋10×5＋4×5）×2 ＝（40＋50＋20）×2 ＝110×2 ＝220（平方分米） 体积：10×4×5＝200（立方分米） 答：这个长方体纸盒的表面积是220平方分米，体积是200立方分米。 3．工人叔叔用1600立方米的砂石去铺一条长1000米，宽8米的砂石路，路的厚度是多少厘米？ 【答案】20厘米 【分析】需要计算铺路所需的砂石厚度，已知砂石体积为1600立方米，路的长为1000米，宽为8米；根据长方体体积＝长×宽×厚度，代入已知数值计算出厚度；最后根据1米＝100厘米，将米换算成厘米为单位；据此解答。 【详解】1600÷1000÷8 ＝1.6÷8 ＝0.2（米） 0.2×100＝20（厘米） 答：路的厚度是20厘米。 4．一段长方体木材长2米，横截面是边长10厘米的正方形。每立方米木材重150千克，这段木材重多少千克？ 【答案】3千克 【分析】根据长方体的面积＝长×宽×高，先把10厘米转化0.1米，即长方体的长是2米，宽是0.1米，高是0.1米，再代入数据求出长方体的体积，最后用长方体积乘150，即可得解。 【详解】10厘米＝0.1米 （千克） 答：这段木材重3千克。 5．有一个棱长是20厘米的正方体容器里装满水，现在要把这些水倒入长25厘米，宽10厘米，高40厘米的长方体玻璃缸里，水面有多高？ 【答案】32厘米 【分析】根据“正方体体积＝棱长×棱长×棱长”求出正方体容器内水的体积。将水倒入长方体玻璃缸后，水的体积不变，并且水形成了一个长方体。根据“长方体高＝体积÷底面积”求出水面的高度即可。 【详解】20×20×20÷（25×10） ＝8000÷250 ＝32（厘米） 答：水面有32厘米高。 6．一块面积为4平方分米的长方形木板如下图所示竖直放置，现让木板向右平移45厘米，它扫过的立体图形的体积是多少立方分米？ 【答案】18立方分米 【分析】木板的面积相当于长方体横截面，平移距离相当于长方体的长，根据长方体体积＝横截面面积×长，列式解答即可。 【详解】45厘米＝4.5（分米） 4×4.5＝18（立方分米） 答：它扫过的立体图形的体积是18立方分米。 7．在气象兴趣小组的一次活动中，老师为每位同学准备了一套“太空气象站”材料套装（如图所示），这个材料套装的表面积是多少平方分米？体积是多少立方分米？ 【答案】30平方分米；9立方分米 【分析】1分米＝10厘米＝100毫米，据此先将套装的长、宽、高单位换算到分米。长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体体积＝长×宽×高。根据长方体的表面积公式，列式求出这个套装的表面积。根据长方体的体积公式，列式求出这个套装的体积。 【详解】300毫米＝3分米，100毫米＝1分米 （3×1＋3×3＋1×3）×2 ＝（3＋9＋3）×2 ＝15×2 ＝30（平方分米） 3×1×3＝9（立方分米） 答：这个材料套装的表面积是30平方分米，体积是9立方分米。 8．用160厘米长的铁丝焊接成一个长20厘米，宽15厘米的长方体教具，这个长方体教具的高是多少厘米？体积是多少立方厘米？ 【答案】高5厘米；体积1500立方厘米 【分析】已知用一根铁丝焊接成一个长方体教具，那么这根据铁丝的长度等于长方体教具的棱长总和； 根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4可知，长方体的长、宽、高之和＝棱长总和÷4；再减去已知的长、宽，即是长方体的高。 根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算，即可求出它的体积。 【详解】160÷4－20－15 ＝40－20－15 ＝5（厘米） 20×15×5＝1500（立方厘米） 答：这个长方体教具的高是5厘米，体积是1500立方厘米。 9．跳远使用的沙坑宽3米，长是宽的2倍，坑内沙子的厚度为8分米。 （1）这个沙坑的占地面积是多少平方米？ （2）沙坑内有沙子多少方？（1方＝1立方米） 【答案】（1）18平方米 （2）14.4方 【分析】（1）宽×2＝长，占地面积指的是底面积，根据长方体底面积＝长×宽，列式解答即可； （2）根据1米＝10分米，统一单位，沙子的厚度相当于长方体的高，根据长方体体积＝底面积×高，即可求出沙子体积。 【详解】（1）3×2×3 ＝6×3 ＝18（平方米） 答：这个沙坑的占地面积是18平方米。 （2）8分米＝0.8米 18×0.8＝14.4（立方米）＝14.4（方） 答：沙坑内有沙子14.4方。 10．体育馆新建了一个长方体游泳池，从里面量长40米，宽28米，深2.4米。 （1）这个游泳池的占地面积是多少？ （2）平时注水时，水面距池口0.4米。按此计算，每换一次水需要多少立方米水？ （3）要给这个游泳池的底面和四壁贴上瓷砖，贴瓷砖的面积是多少？ 【答案】（1）1120平方米 （2）2240立方米 （3）1446.4平方米 【分析】（1）求游泳池的占地面积，就是求长方体的底面积，用长乘宽即可得解。 （2）据题意可知，求每次换水的容积，就是求长40米，宽28米，深（2.4－0.4）米的长方体的体积，根据计算即可。 （3）给这个游泳池的底面和四壁贴上瓷砖，即除了上面，其他5个面都要贴，根据贴瓷砖面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2，代入数据计算即可得解。 【详解】（1）（平方米） 答：这个游泳池的占地面积是1120平方米。 （2） （立方米） 答：每换一次水需要2240立方米水。 （3） （平方米） 答：贴瓷砖的面积是1446.4平方米。 11．如图1，把一张长方形卡纸折一下，立放在桌子上。底部是一个面积为36平方厘米的正方形，直立部分的长是10厘米。 （1）如果把直立的卡纸作为长方体纸盒的其中两个面，那么长方体纸盒的表面积是多少平方厘米？ （2）在这个长方体纸盒中倒入高为5厘米的牛奶，再将这个长方体盒子平放（如图2）。那么此时牛奶高度是多少厘米？ 【答案】（1）312平方厘米 （2）3厘米 【分析】（1）根据长方体的特征可知，长方体有两个面是正方形，那么其他四个侧面是完全相同的长方形。已知这个长方体的底面是面积为36平方厘米的正方形，根据正方形的面积＝边长×边长，可知正方形的边长是6厘米，即长方体的长、宽都是6厘米；那么4个侧面都是“10×6”的长方形，根据长方形的面积＝长×宽，求出侧面积，再加上2个正方形的面积，即是这个长方体纸盒的表面积。 （2）在这个长方体纸盒中倒入高为5厘米的牛奶，根据长方体的体积＝底面积×高，求出牛奶的体积；再将这个长方体盒子平放，即长方体的底面变成“10×6”的长方形，根据长方体的高＝体积÷底面积，即可求出此时牛奶的高度。 【详解】（1）因为36＝6×6，所以正方形的边长是6厘米。 36×2＋10×6×4 ＝72＋240 ＝312（平方厘米） 答：长方体纸盒的表面积是312平方厘米。 （2）36×5＝180（立方厘米） 180÷（10×6） ＝180÷60 ＝3（厘米） 答：此时牛奶高度是3厘米。 12．为了保护书籍，我们可以为图书做上封套，封套样式如下图所示： 小智有一套丛书，共有四册，这四册书的尺寸完全相同，每册书的长、宽如下图所示，每册书的厚度为2厘米，他想做一个封套，把这套书都装进去。 （1）做这个封套至少需要多少平方厘米的硬纸板？（硬纸板的厚度及接缝处忽略不计） （2）这套丛书的体积是多少立方厘米？ 【答案】（1）1664平方厘米；（2）4480立方厘米 【分析】（1）每册书的厚度×册数＝高，看图可知，求硬纸板的面积相当于求长方体表面积，封套没有前面，硬纸板的面积＝长×宽×2＋宽×高×2＋长×高，据此列式解答。 （2）根据长方体体积＝长×宽×高，列式解答即可。 【详解】2×4＝8（厘米） （1）28×20×2＋20×8×2＋28×8 ＝1120＋320＋224 ＝1664（平方厘米） 答：做这个封套至少需要1664平方厘米的硬纸板。 （2）28×20×8＝4480（立方厘米） 答：这套丛书的体积是4480立方厘米。 13．如图，甲容器是空的，乙容器中的水深30厘米，现在将乙容器中的水倒一部分至甲容器中，要使两个容器中水的高度相等，这时水深多少厘米？（容器壁的厚度忽略不计） 【答案】7.5厘米 【分析】根据题干分析可得。可设两个容器的水深相同为x厘米，根据长方体的体积V＝abh可知，甲容器中的水的体积是（60×30×x）立方厘米；乙容器中的水的体积是（30×20×x）立方厘米，根据两个容器内水的体积之和等于乙容器中高为30厘米时的水的体积，即可列出方程，求出x的值即可解答问题。 【详解】解：设两个容器的水深相同为x厘米，根据题意可得方程： 60×30×x＋30×20×x＝30×20×30 1800x＋600x＝600×30 2400x＝18000 2400x÷2400＝18000÷2400 x＝7.5 答：这时水深7.5厘米。 14．笑笑有一个带盖的收纳盒（如图），她想把家里散落的小包纸巾放入收纳盒中（纸巾不能超过收纳盒的上沿且不能挤压）。每包纸巾的长、宽、高和收纳盒内部的长、宽、高如下图所示。（单位：厘米） （1）结合生活实际想一想：我（     ）笑笑的想法。（填“同意”或“不同意”） （2）如果同意，请你写出理由；如果不同意，按照上面的要求，尽可能多地往盒里收纳纸巾，你可以放置多少包？写出你的思考过程，可以写一写、画一画。 【答案】（1）不同意； （2）见解析 【分析】（1）联系生活实际可知，纸巾的形状是固定的，有可能收纳盒的容积够，但是纸巾装不下，据此解答。 （2）应合理利用收纳盒空间，尽可能不留空间。根据收纳盒长宽数值与纸巾盒长宽数据，巧妙组合放入即可。 【详解】（1）结合生活实际想一想：我不同意笑笑的想法。 （2）4÷3＝1（层）……1（厘米） 17＝7＋5＋5 15＝5＋5＋5 15＝7＋7＋1 则一共可以放7包。 答：尽可能多地往盒里收纳纸巾，可以放置7包。 15．一根2.5米长的方钢，把它沿横截面截成3段，表面积增加了60平方厘米，原来这根方钢的体积是多少立方厘米？ 【答案】3750立方厘米 【分析】根据题意可知，沿横截面截成3段，增加了4个截面的面积，用增加的面积÷4，求出一个截面的面积，也就是方钢的底面积，再根据长方体体积公式：体积＝底面积×高，代入数据，即可解答。注意单位名数的统一。 【详解】2.5米＝250厘米 60÷4×250 ＝15×250 ＝3750（立方厘米） 答：原来这根方钢的体积是3750立方厘米。 16．用三个长20厘米，宽15厘米，高10厘米的小长方体，拼成一个大长方体，大长方体的体积是多少立方厘米，表面积最大是多少平方厘米？ 【答案】体积：9000立方厘米；表面积：3300平方厘米 【分析】根据长方体的体积＝长×宽×高，先用20×15×10，求出1个小长方体的体积，再乘3，求出3个小长方体的体积，即大长方体的体积。 用三个长20厘米，宽15厘米，高10厘米的小长方体，拼成一个大长方体，要想使拼成的大长方体表面积最大，就需要把最小的面拼在一起，20＞15＞10，即把左、右面拼在一起，如图：，拼成一个长是（20×3）厘米，宽是15厘米，高是10厘米的大长方体，根据长方体表面积公式：表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据，即可解答。 【详解】20×15×10×3 ＝300×10×3 ＝3000×3 ＝9000（立方厘米） 拼成表面积最大的长方体，长方体的长：20×3＝60（厘米），宽是15厘米，高是10厘米。 （60×15＋60×10＋15×10）×2 ＝（900＋600＋150）×2 ＝（1500＋150）×2 ＝1650×2 ＝3300（平方厘米） 答：大长方体的体积是9000立方厘米，表面积最大是3300平方厘米。 17．丽丽想制作一个长方体纸盒。她先在一张边长为30厘米的正方形纸上绘制出这个长方体纸盒的展开图（如下图）。然后准备将涂色部分裁掉，借助胶条粘贴成长方体。已知长方体的宽是高的2倍，那么这个长方体的体积是多少立方厘米？ 【答案】1000立方厘米 【分析】长方体的宽是高的2倍，所以高×2＝宽；观察图形可知，宽＋宽＋高＋高＝正方形的边长，即3×宽＝正方形的边长；据此求出宽和高；长方形的长＝正方形的边长－长方形的高×2，求出长方体的长，再根据长方体的体积公式：体积＝长×宽×高，代入数据，即可解答。 【详解】宽：30÷3＝10（厘米） 高：10÷2＝5（厘米） 长：30－5×2 ＝30－10 ＝20（厘米） 体积：20×10×5 ＝200×5 ＝1000（立方厘米） 答：这个长方体的体积是1000立方厘米。 18．我国是建造船闸最早的国家。当大坝两旁的水位落差大时，人们建造船闸帮助轮船顺利通过大坝。为了探究船闸工作原理，同学们制作了两级船闸的模型（闸门厚度不计）。 （1）如图所示，B闸室现在水的体积是多少立方厘米？ （2）打开中间闸门后，水面高度是多少厘米？ 【答案】（1）12000立方厘米 （2）30厘米 【分析】（1）根据长方体体积＝长×宽×高，列式解答即可； （2）根据长方体体积公式，求出A闸室现在谁的体积，加上B闸室现在水的体积，求出AB两个闸室水的体积和，AB两个闸室水的体积和÷AB两个闸室底面积和＝水面高度，据此列式解答。 【详解】（1）40×30×10＝12000（立方厘米） 答：B闸室现在水的体积是12000立方厘米。 （2）40×30×50＝60000（立方厘米） （60000＋12000）÷（40×30×2） ＝72000÷2400 ＝30（厘米） 答：打开中间闸门后，水面高度是30厘米。 19．有甲、乙两块形状不同的纸板，各自裁成一个正方形和四个相同的长方形（如下图），现分别将每块纸板沿折线折叠后刚好能折成两个无盖长方体纸盒。请你计算一下，哪个纸盒的体积大？ 【答案】乙纸盒 【分析】由长方体的展开图可知，第一个图形的宽和高都是120÷4＝30（厘米），长是（80－30）厘米；第二个长方体的宽和高都是160÷4＝40（厘米），长是（70－40）厘米；根据长方体的体积＝长×宽×高，分别计算出两个长方体的体积即可解答。 【详解】甲：120÷4＝30（厘米） 80－30＝50（厘米） 30×30×50 ＝900×50 ＝45000（立方厘米） 乙：160÷4＝40（厘米） 70－40＝30（厘米） 40×40×30 ＝1600×30 ＝48000（立方厘米） 45000＜48000 答：乙纸盒的体积大。 20．王阿姨将一辆15千克的儿童车放入包装箱里，这个外包装箱3.5千克（如图），然后到快递公司将其寄给同一城市的朋友。 ①这个包装箱的体积是多少立方厘米？ ②快递公司按所寄物品的质量收取快递费。同一座城市的收费标准如下：1千克及以内收费10元，超过1千克的部分，每千克收费2元（不足1千克按1千克计费）。计算物品质量的规定如下： a.按实际质量计算。实际质量即产品包括外包装箱质量的总和。 b.按体积质量计算。体积质量即将外包装箱体积按每6000立方厘米折合1千克计算。具体公式为：体积质量（千克）＝外包装箱体积（立方厘米）÷6000×1。 注：实际质量与体积质量相比较，需按质量大的计算快递费。 按上面的规定，王阿姨应付多少元的快递费？ 【答案】①229500立方厘米 ②86元 【分析】①根据长方体的体积＝长×宽×高，把数据代入公式即可求解。 ②实际质量是产品与外包装箱质量的总和，即15＋3.5＝18.5（千克）；体积质量是将外包装箱体积按每6000立方厘米折合1千克计算，即229500÷6000×1＝38.25（千克）；比较两者的大小，取较大的数；因为不足1千克按1千克计费，所以38.25按照39算，1千克及以内收费10元，超过1千克的部分，超过的部分有（39－1）千克，每千克收费2元，即用10×1＋2×（39－1）即可计算王阿姨应付多少元的快递费。 【详解】①85×45×60 ＝3825×60 ＝229500（立方厘米） 答：这个包装箱的体积是229500立方厘米。 ②实际质量：15＋3.5＝18.5（千克） 体积质量：229500÷6000×1 ＝38.25×1 ＝38.25（千克） 38.25＞18.5   即体积质量＞实际质量 所以按体积质量计费：10×1＋（39－1）×2 ＝10＋38×2 ＝10＋76 ＝86（元） 答：王阿姨应付86元的快递费。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $