专题04 解三角形中的最值与范围必考七类问题（举一反三专项训练）高一数学人教A版必修第二册

专题04 解三角形中的最值与范围必考七类问题（举一反三专项训练） 【人教A版】 【类型1 三角形面积的最值或范围问题】 2 【类型2 三角形边长的最值或范围问题】 3 【类型3 三角形周长的最值或范围问题】 4 【类型4 三角形的角的最值或范围问题】 5 【类型5 利用基本不等式求最值（范围）】 6 【类型6 转化为函数求最值（范围）】 7 【类型7 坐标法求最值（范围）】 8 知识点1 三角形中的最值与范围问题及其解题策略 1．三角形中的最值（范围）问题的常见解题方法 (1)利用正、余弦定理结合三角形中的不等关系求最值（范围）； (2)利用基本不等式求最值（范围）； (3)转化为三角函数求最值（范围）； (4)转化为其他函数求最值（范围）； (5)坐标法求最值（范围）. 2．三角形中的最值（范围）问题的解题策略 (1)正、余弦定理是求解三角形的边长、周长或面积的最值（范围）问题的核心，要牢牢掌握并灵活运用．解题时要结合正弦定理和余弦定理实现边角互化，再结合角的范围、辅助角公式、基本不等式等研究其最值（范围）． (2)转化为三角函数求最值（范围）问题的解题策略 三角形中最值(范围)问题，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，一般采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围. (3)坐标法求最值（范围）求最值（范围）问题的解题策略 “坐标法”也是解决三角形最值问题的一种重要方法.解题时，要充分利用题设条件中所提供的特殊边角关系，建立合适的直角坐标系，正确求出关键点的坐标，将所要求的目标式表示出来并合理化简，再结合三角函数、基本不等式等知识求其最值． 【类型1 三角形面积的最值或范围问题】 1．（2025·陕西·模拟预测）在中，角所对的边分别为，已知，则面积的最大值为（    ） A． B． C．12 D．15. 2．（24-25高一下·江西·期中）如图，在四边形中，，，，则的面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·江苏·月考）已知为锐角的外心，角的对边分别为，且，，则面积的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（2025高三上·贵州贵阳·专题练习）在三角形中，，角的平分线交于点，若，则三角形的面积的最大值为 . 5．（24-25高一下·山东临沂·期末）已知是锐角三角形，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)求A； (2)若，求面积的取值范围. 6．（24-25高三下·广东深圳·月考）记锐角的内角、、的对边分别为、、，已知. (1)求； (2)若，求面积的取值范围. 【类型2 三角形边长的最值或范围问题】 7．（24-25高一下·重庆万州·期中）在锐角中，角，，的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·重庆·月考）锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高一下·贵州贵阳·月考）在锐角三角形中，角、、的对边分别为、、、，若，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 10．（24-25高一下·安徽合肥·期末）在锐角中，内角所对的边分别为，且，则的取值范围是 ． 11．（24-25高一下·贵州贵阳·月考）在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，，． (1)求角A和边a； (2)求的取值范围． 12．（24-25高一下·广西柳州·期末）在中，内角A、B、C对应的边分别是a、b、c，且. (1)求角A的大小； (2)若，，求a； (3)若为锐角三角形，，求的取值范围. 【类型3 三角形周长的最值或范围问题】 13．（24-25高一下·湖北武汉·期中）在锐角中，角的对边分别为为的面积，，且，则的周长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．（24-25高一下·江苏淮安·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的周长的取值范围为（    ） A． B． C． D． 15．（24-25高二上·福建泉州·开学考试）在锐角中，角的对边分别为，为的面积，，且，则的周长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 16．（24-25高一下·湖南邵阳·月考）在锐角三角形中，角的对边分别为的面积为，已知，且，则的周长的取值范围是 . 17．（24-25高一下·浙江宁波·期末）已知钝角△ABC中，. (1)若，，求； (2)若，求△ABC的周长的取值范围. 18．（24-25高一下·四川眉山·期中）在锐角中，角、、的对边分别为、、，且． (1)求角的大小； (2)若，求周长的取值范围． 【类型4 三角形的角的最值或范围问题】 19．（24-25高一下·湖南株洲·期末）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 20．（24-25高一下·四川成都·期中）在锐角中，内角，，的对边分别为，，，且满足．则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 21．（2025·内蒙古呼和浩特·一模）记的内角的对边分别为．若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 22．（2025高三·全国·专题练习）已知中，为钝角，内角，，的对边分别为，，，若，则的取值范围是 ． 23．（24-25高一下·江苏苏州·月考）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，则的取值范围为 ． 24．（24-25高一下·河南郑州·期中）如图，在四边形中，，，．    (1)当时，求四边形的面积； (2)当时，求的取值范围． 【类型5 利用基本不等式求最值（范围）】 25．（2025·广西柳州·模拟预测）在中，角、、所对的边分别为、、，已知，，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 26．（24-25高二上·安徽亳州·期中）在中，设角，，所对的边长分别为，，，且，，则面积的最大值为（    ） A． B． C．2 D．4 27．（24-25高一下·安徽六安·期末）的内角的对边分别为，且，，则（    ） A． B．的外接圆半径为 C．的面积的最大值为 D．的周长的取值范围是 28．（25-26高二上·吉林松原·期中）已知a、b、c分别为的三个内角A、B、C的对边，，且，则面积的最大值为 ． 29．（24-25高一下·湖北荆门·期末）在中，内角的对边分别为，且. (1)求角的大小； (2)若的面积，求面积的最小值. 30．（24-25高一下·江西上饶·期中）已知的内角，，的对边分别为，，，且． (1)求； (2)若，求周长的最大值． 【类型6 转化为函数求最值（范围）】 31．（24-25高一下·安徽阜阳·期中）已知在中，，为的中点，且，则边上高的最大值为（    ） A． B． C．2 D． 32．（24-25高一下·浙江杭州·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 33．（2025高三·全国·专题练习）在中，角所对的边分别是是的中点，，则面积的最大值为（    ） A． B． C．3 D． 34．（2025高二下·广东·专题练习）满足，则的最小值为 . 35．（24-25高一下·内蒙古锡林郭勒·期中）锐角三角形的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，求的周长的取值范围. 36．（24-25高一下·云南玉溪·期中）如图，在中，，为边上一点且，. (1)若，求的面积； (2)求的取值范围. 【类型7 坐标法求最值（范围）】 37．（2025·安徽马鞍山·模拟预测）已知平行四边形中， ，，分别为边，的中点，若，则四边形面积的最大值为（    ） A．2 B． C．4 D． 38．（2025·北京朝阳·一模）在中，，，点M为所在平面内一点且，则的最小值为（   ） A．0 B． C． D． 39．（24-25高一下·内蒙古包头·期末）如图，在中，已知，，，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P，则（    ） A． B． C． D． 40．（25-26高三上·北京·月考）在中，，，点为所在平面内一点且，则的最小值为 . 41．（2025·浙江金华·模拟预测）在中，角A，B，C所对应的边为a，b，c．已知的面积，其外接圆半径，且． (1)求； (2)若A为钝角，P为外接圆上的一点，求的取值范围． 42．（24-25高一下·江苏宿迁·期中）设的内角的对边分别为，是边的中点，. (1)若，求面积的最大值； (2)若的面积为且 ，求的值; (3)若，求的取值范围. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 解三角形中的最值与范围必考七类问题（举一反三专项训练） 【人教A版】 【类型1 三角形面积的最值或范围问题】 2 【类型2 三角形边长的最值或范围问题】 6 【类型3 三角形周长的最值或范围问题】 11 【类型4 三角形的角的最值或范围问题】 17 【类型5 利用基本不等式求最值（范围）】 22 【类型6 转化为函数求最值（范围）】 26 【类型7 坐标法求最值（范围）】 31 知识点1 三角形中的最值与范围问题及其解题策略 1．三角形中的最值（范围）问题的常见解题方法 (1)利用正、余弦定理结合三角形中的不等关系求最值（范围）； (2)利用基本不等式求最值（范围）； (3)转化为三角函数求最值（范围）； (4)转化为其他函数求最值（范围）； (5)坐标法求最值（范围）. 2．三角形中的最值（范围）问题的解题策略 (1)正、余弦定理是求解三角形的边长、周长或面积的最值（范围）问题的核心，要牢牢掌握并灵活运用．解题时要结合正弦定理和余弦定理实现边角互化，再结合角的范围、辅助角公式、基本不等式等研究其最值（范围）． (2)转化为三角函数求最值（范围）问题的解题策略 三角形中最值(范围)问题，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，一般采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围. (3)坐标法求最值（范围）求最值（范围）问题的解题策略 “坐标法”也是解决三角形最值问题的一种重要方法.解题时，要充分利用题设条件中所提供的特殊边角关系，建立合适的直角坐标系，正确求出关键点的坐标，将所要求的目标式表示出来并合理化简，再结合三角函数、基本不等式等知识求其最值． 【类型1 三角形面积的最值或范围问题】 1．（2025·陕西·模拟预测）在中，角所对的边分别为，已知，则面积的最大值为（    ） A． B． C．12 D．15. 【答案】C 【解题思路】先利用正弦定理化边为角，可得出的关系，再利用余弦定理求出，进而可得出，再根据三角形的面积公式结合二次函数的性质即可得解. 【解答过程】由，由正弦定理得，即， 所以， 由余弦定理得， 所以， 所以， 当，即时，取得最大值. 故选：C. 2．（24-25高一下·江西·期中）如图，在四边形中，，，，则的面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用余弦定理求出，在中，利用余弦定理结合基本不等式求出的最大值，结合三角形的面积公式可求得面积的最大值. 【解答过程】连接， 在中，，， 由余弦定理可得， 在中，，由余弦定理可得 ，即， 当且仅当时，等号成立， 所以，， 即面积的最大值为. 故选：A. 3．（25-26高三上·江苏·月考）已知为锐角的外心，角的对边分别为，且，，则面积的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用向量的运算法则和数量积的几何意义可得，结合余弦定理计算求得的取值范围，最后由三角形的面积公式可求得结果. 【解答过程】如图，分别作的中点，连接，由题， 因为，所以， 即，则， 因为，所以，即； 因为为锐角三角形，即，所以； 所以，即，解得，所以； ，即，解得， 所以，所以，所以， 所以面积， 又，所以； 所以由得. 故选：A. 4．（2025高三上·贵州贵阳·专题练习）在三角形中，，角的平分线交于点，若，则三角形的面积的最大值为 . 【答案】3 【解题思路】根据角平分线定理及条件可得，根据余弦定理，可得表达式，根据同角三角函数的关系，可得，代入面积公式，结合二次函数的性质，分析计算，即可得答案. 【解答过程】由题意及角平分线定理得，设，则， 由余弦定理得， 所以， 所以三角形的面积， ， 所以当，即时，三角形的面积最大值为. 故答案为：3. 5．（24-25高一下·山东临沂·期末）已知是锐角三角形，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)求A； (2)若，求面积的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用正余弦定理进行边角互化即可； （2）利用三角形的面积公式求出然后利用正弦定理结合三角函数的性质求出的取值范围即可. 【解答过程】（1）， 故，即 故， 且，故. （2）由正弦定理得， ， 因为是锐角三角形，. 故，即 所以，故， 所以， 故面积的取值范围为. 6．（24-25高三下·广东深圳·月考）记锐角的内角、、的对边分别为、、，已知. (1)求； (2)若，求面积的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简得出的值，结合角的取值范围可得出角的值； （2）根据是锐角三角形求出角的取值范围，利用正弦定理三角恒等变换可得出关于角的三角关系式，利用正弦型函数的基本性质可求出的取值范围. 【解答过程】（1）因为， 由正弦定理可得 因为，则，所以， 又因为， 所以，则， 因为，则，即，所以. （2）因为是锐角的内角，又因为，所以，，得， 由正弦定理，得， 所以，， 所以 ， 由，得，所以， 即， 所以面积的取值范围是. 【类型2 三角形边长的最值或范围问题】 7．（24-25高一下·重庆万州·期中）在锐角中，角，，的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由，利用三角形面积公式与余弦定理，可得，再根据同角三角函数的平方关系可得，，然后利用正弦定理与三角恒等变换公式化简可得，结合条件可得取值范围，进而求得的取值范围. 【解答过程】在中，由余弦定理得，且的面积， 由，得，化简得， 又，，联立解得，， 所以， 为锐角三角形，有，，得， 则有，可得，所以. 故选：C. 8．（24-25高一下·重庆·月考）锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先根据正弦定理和条件化简得到，把转化为角求解可得答案. 【解答过程】因为，所以， 整理可得，即有. 又，所以，解得，所以， 于是 . 因为三角形是锐角三角形，所以，所以， 所以的取值范围是. 故选：B. 9．（24-25高一下·贵州贵阳·月考）在锐角三角形中，角、、的对边分别为、、、，若，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用正弦定理结合辅助角公式和正弦函数的性质可求的取值范围. 【解答过程】因为，故， 由正弦定理可得，而为三角形内角，故， 故，而为三角形内角，故为锐角， 故，故，故即， 故（为外接圆半径），故， 因为，，所以，则. 故 ， 其中，且， 由锐角三角形可得，故， 故， 因为，且，故，则，， 所以时，，取得最大值. 当时，， 当时，， 故， 故选：C. 10．（24-25高一下·安徽合肥·期末）在锐角中，内角所对的边分别为，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【解题思路】利用三角恒等变换公式和正余弦定理对已知条件进行变形，从而可求出A，再利用正弦定理边化角和三角函数性质可求答案. 【解答过程】∵，∴， ∴ 由余弦定理得，， ∴， ∴由得，，∴， ∴，，. 又由正弦定理得，， ， 是锐角三角形，， ， ，， . 故答案为：. 11．（24-25高一下·贵州贵阳·月考）在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，，． (1)求角A和边a； (2)求的取值范围． 【答案】(1)，1 (2) 【解题思路】（1）利用正弦定理与和角的正弦公式求出角，再由条件求出边； （2）利用正弦定理求出边，代入所求式，经过三角恒等变换化成正弦型函数，利用正弦函数的性质即可求得其范围. 【解答过程】（1）由和正弦定理可得， 化简得， 即 因，则，即， 因，故． 又由且， 可得． （2）由正弦定理，， 可得，， 则，（*） 因，将其代入（*），可得： ． 因，则，故， 则的取值范围是． 12．（24-25高一下·广西柳州·期末）在中，内角A、B、C对应的边分别是a、b、c，且. (1)求角A的大小； (2)若，，求a； (3)若为锐角三角形，，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）结合正弦定理和诱导公式，化简求值即可； （2）通过三角形的面积公式求出边长，再利用余弦定理求解即可； （3）通过正弦定理，将边用角表示，然后结合三角形中角的关系，将问题表示为单一变量角的函数，再结合锐角三角形，确定角的取值范围，再利用正弦函数求取值范围即可. 【解答过程】（1）因为， 由正弦定理得，即， 因为在中，，所以， 又，所以. （2）因为，，，所以，解得. 由余弦定理得. （3）因为，， 结合正弦定理，得，所以，. 在中，, 所以 . 因为为锐角三角形，所以，所以， 则，所以， 所以. 【类型3 三角形周长的最值或范围问题】 13．（24-25高一下·湖北武汉·期中）在锐角中，角的对边分别为为的面积，，且，则的周长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用面积公式和余弦定理可得，然后根据正弦定理及三角变换可得，再根据三角形是锐角三角形，得到的范围，转化为三角函数求值域的问题. 【解答过程】， ， ∴，即，为锐角， ∴，又， 由正弦定理可得， 所以 ，其中，， 因为为锐角三角形， 所以，则， 即：， 所以，又， ∴，即， 故的周长的取值范围是. 故选：D. 14．（24-25高一下·江苏淮安·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的周长的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】方法一：设的外接圆半径为R，根据正弦定理及已知可将题干等式化为，再结合两角和的正弦公式进行化简，结合可得，最后根据正弦定理以及三角恒等变换用B表示出的周长，根据三角函数的性质求解即可． 方法二：根据三角形三边关系排除即可． 【解答过程】方法一：设的外接圆半径为R， 则， 因为， 所以， 可得， 即， 可得， 因为，， 所以， 结合，可得， 又，所以， 可得， 则的周长为 ， 因为，所以， 则， 可得 故的周长的取值范围为 方法二：由，可知周长，排除ABD， 故选：C. 15．（24-25高二上·福建泉州·开学考试）在锐角中，角的对边分别为，为的面积，，且，则的周长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用面积公式和余弦定理可得，然后根据正弦定理及三角变换可得，再根据三角形是锐角三角形，得到的范围，转化为三角函数求值域的问题. 【解答过程】， ， ∴，即，为锐角， ∴，又， 由正弦定理可得， 所以 ，其中，， 因为为锐角三角形， 所以，则， 即：， 所以，又， ∴，即， 故的周长的取值范围是. 故选：C. 16．（24-25高一下·湖南邵阳·月考）在锐角三角形中，角的对边分别为的面积为，已知，且，则的周长的取值范围是 . 【答案】 【解题思路】由余弦定理，二倍角的正余弦公式、正切公式，同角的三角函数关系得到，再由正弦定理边化角和辅助角公式得到，然后结合锐角三角函数的角度范围和三角函数的有界性求解. 【解答过程】 ，即， 又为锐角，. 所以，所以， 由正弦定理可得 ， 且 是锐角三角形，， 即， 又，所以 ， 即的周长的取值范围是. 故答案为：. 17．（24-25高一下·浙江宁波·期末）已知钝角△ABC中，. (1)若，，求； (2)若，求△ABC的周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据余弦定理求出，再根据钝角三角形，进而确定； （2）表示周长，化成关于的函数，借助三角函数的取值范围求得答案. 【解答过程】（1）设的所对的边为， 则依题意，，，， 由余弦定理得，即， 即，解得或， 当，最大，最大，此时， 所以为锐角，不合题意； 当，最大，最大，此时， 所以为钝角，符合题意， 所以. （2），，设外接圆半径为， 则，则， 则周长 因为钝角△ABC，所以， 所以， 所以， 所以， 所以△ABC的周长取值范围为. 18．（24-25高一下·四川眉山·期中）在锐角中，角、、的对边分别为、、，且． (1)求角的大小； (2)若，求周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式可化简得出的值，结合角的取值范围可得出角的值； （2）利用正弦定理结合三角恒等变换化简得出，利用为锐角三角形求出角的取值范围，然后结合正弦型函数的基本性质可求得的取值范围. 【解答过程】（1）由及正弦定理得， 所以， 因为，则， 所以，故. （2）由正弦定理可得， 所以，， 所以 ， 因为为锐角三角形，则，可得， 所以，，则， 故， 因此，周长的取值范围是. 【类型4 三角形的角的最值或范围问题】 19．（24-25高一下·湖南株洲·期末）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用正弦定理可得，再根据三角恒等变换可得，由三角形形状得出角的取值范围可得结果. 【解答过程】由及正弦定理得， 所以，得， 所以或（舍去），所以， 因为是锐角三角形，故，解得， 故，， . 故选：D. 20．（24-25高一下·四川成都·期中）在锐角中，内角，，的对边分别为，，，且满足．则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】化简为，结合余弦定理可求解；根据两角差的正弦公式及同角三角函数关系化简，进而结合正切函数的图象及性质求解即可． 【解答过程】由， 整理得，所以， 又，则,故， ， 因为为锐角三角形， 所以，即，所以， 即， 所以的取值范围为． 故选：B. 21．（2025·内蒙古呼和浩特·一模）记的内角的对边分别为．若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先根据边的关系求出的范围，然后表示出，求出其范围进而可得的范围，则的取值范围可求. 【解答过程】根据三角形三边关系可得， 即， 由对勾函数单调性可知，其在上单调递减，在单调递增； 即，可得,所以. 故选：B. 22．（2025高三·全国·专题练习）已知中，为钝角，内角，，的对边分别为，，，若，则的取值范围是 ． 【答案】 【解题思路】先利用正弦定理、余弦定理将式子化简，得，结合为钝角，由此确定，化为，换元后化为：，，结合二次函数的单调性即可求解. 【解答过程】因为，由余弦定理有：， 由正弦定理有：， 所以，因为， 所以，所以或， 当时，，得， 而为钝角，则为钝角，这是不可能的，故不成立； 当时，由为钝角知， 得，， ， 令，原式化为，， 函数的对称轴为，所以函数在单调递增， 当时，函数取得最小值， 当时，函数取得最大值， 所以. 故答案为：. 23．（24-25高一下·江苏苏州·月考）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，则的取值范围为 ． 【答案】 【解题思路】 根据正弦定理和余弦定理可得，再由三角恒等变换可得 ，由的范围可得的范围，再结合双勾函数的性质即可得解. 【解答过程】∵，∴， ∴，∴， ∴，∴， ∴， ∵是锐角的内角， ∴或（不符合题意舍去），∴， ∴ ， 设， ∵是锐角三角形， ∴，∴， ∴，令， 由双勾函数的性质可得函数在上单调递增，故， ∴. 故答案为：. 24．（24-25高一下·河南郑州·期中）如图，在四边形中，，，．    (1)当时，求四边形的面积； (2)当时，求的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【解题思路】（1）连接，在中利用余弦定理求出，再利用勾股定理求出，结合三角形面积公式求解即可； （2）连接，作于点，利用正弦定理和二倍角公式求解． 【解答过程】（1）如图，连接，则当时，    在中，由余弦定理可得 ， 所以在中，由勾股定理可得，所以， 所以； （2）如图，连接，作于点，    则由，可得为的中点，设， 则， 在中，由正弦定理可得， 所以， 又因为， 所以， 由，可得， 所以 【类型5 利用基本不等式求最值（范围）】 25．（2025·广西柳州·模拟预测）在中，角、、所对的边分别为、、，已知，，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用余弦定理结合基本不等式可求得的最大值，再利用三角形的面积公式可求得面积的最大值. 【解答过程】由余弦定理可得，即， 当且仅当时，等号成立，故. 因此，面积的最大值为. 故选：B. 26．（24-25高二上·安徽亳州·期中）在中，设角，，所对的边长分别为，，，且，，则面积的最大值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【解题思路】利用正弦定理将角化边，再由余弦定理求出，从而求出，由重要不等式求出的最大值，最后由面积公式计算可得. 【解答过程】因为， 由正弦定理可得，即，即， 所以，又，则， 又因为，，即， 所以，当且仅当时取得等号， 所以， 即面积的最大值为，当且仅当时取得. 故选：A． 27．（24-25高一下·安徽六安·期末）的内角的对边分别为，且，，则（    ） A． B．的外接圆半径为 C．的面积的最大值为 D．的周长的取值范围是 【答案】D 【解题思路】利用三角恒等变换结合正弦定理边化角判断AB，利用余弦定理和基本不等式求出和的范围判断CD即可. 【解答过程】选项A，由可得， 又是的内角，， 所以，由正弦定理得， 因为中，所以，即， 所以，A说法错误； 选项B，设的外接圆半径为，因为， 所以由正弦定理得， 所以，解得，B说法错误； 选项C：由正弦定理可得，解得， 由余弦定理得，即，解得， 当且仅当时等号成立， 所以的面积，C说法错误； 选项D，由C知， 解得，当且仅当时等号成立， 由三角形的性质知， 所以，D说法正确； 故选：D. 28．（25-26高二上·吉林松原·期中）已知a、b、c分别为的三个内角A、B、C的对边，，且，则面积的最大值为 ． 【答案】 【解题思路】先求出角的大小，由，考虑余弦定理建立的方程，再由基本不等式求的最大值. 【解答过程】解析：因为， 根据正弦定理可知，即， 由余弦定理可知，又，故， 又因为，所以， （当且仅当时取等号），即 所以，即面积的最大值为， 故答案为：. 29．（24-25高一下·湖北荆门·期末）在中，内角的对边分别为，且. (1)求角的大小； (2)若的面积，求面积的最小值. 【答案】(1). (2). 【解题思路】（1）由正弦定理和正弦和角公式得到，求出； （2）由三角形面积公式得到，再由余弦定理和基本不等式得到，求出三角形面积的最小值. 【解答过程】（1）中，，由正弦定理得 ， 即， 故，又，则， 即， 又，可得； （2），则， 由余弦定理得， 即，即当且仅当时，等号成立， 故面积的最小值为. 30．（24-25高一下·江西上饶·期中）已知的内角，，的对边分别为，，，且． (1)求； (2)若，求周长的最大值． 【答案】(1) (2)． 【解题思路】（1）正弦定理得，由，化简可得； （2）由余弦定理可得，可得，根据基本不等式即可求出的最大值，进而得出周长的最大值． 【解答过程】（1）在中，， 由正弦定理得， 在中，，则， 则， 得， 在中，，则，所以． （2）在中，由余弦定理得， 由（1）知，又， 则， 即， 又，则， 得，则， 当且仅当时，等号成立． 所以周长的最大值为． 【类型6 转化为函数求最值（范围）】 31．（24-25高一下·安徽阜阳·期中）已知在中，，为的中点，且，则边上高的最大值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【解题思路】设，由余弦定理结合三角形面积公式可得的面积的表达式，结合二次函数性质可求出其最大值，即可求得的面积最大值，从而求解. 【解答过程】由题意为的中点，设，则， 则在中，, 则的面积 ，当时取等号， 所以的面积最大值为，的面积最大值为， 上高的最大值为． 故选：D． 32．（24-25高一下·浙江杭州·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由正弦定理化边为角，然后由两角和的正弦公式、诱导公式变形后可求得，再利用正弦定理把表示出的三角函数，由三角恒等变换，结合正弦函数性质可得取值范围． 【解答过程】因为 由正弦定理可得，即， 所以，因为，所以， 所以， 因为，所以，所以，即， 故选：A． 33．（2025高三·全国·专题练习）在中，角所对的边分别是是的中点，，则面积的最大值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【解题思路】结合已知条件，分别在、中应用余弦定理，可得，整理可得.由于，解得.利用同角三角函数基本关系式可求.进而根据三角形的面积公式可得.最后利用二次函数的性质即可求解的面积的最大值. 【解答过程】在中，由余弦定理得： . 在中，由余弦定理得： . .即. ，则. ， . 则当时，取得最大值. 故选：B. 34．（2025高二下·广东·专题练习）满足，则的最小值为 . 【答案】 【解题思路】利用正弦定理边角转化得，设，利用三角形任意两边之和大于第三边列出不等式组求得的范围，设，利用单调性的定义判断函数单调性，进而求最小值，即可得. 【解答过程】由，则，即， 设，则， 由，则， 由，即，即，解得， 设， 当时，， 所以函数在区间内单调递减，同理得函数在区间内单调递增， 所以，当时单调递减，当时单调递增， 所以函数最小值为，故最小值为2. 故答案为：. 35．（24-25高一下·内蒙古锡林郭勒·期中）锐角三角形的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，求的周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据题意，由正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得到，求得，即可求解； （2）设外接圆的半径为，得到，得到，由为锐角三角形，求得，结合三角函数的性质，求得的范围，进而求得的周长的取值范围. 【解答过程】（1）解：因为， 由正弦定理得， 又因为，所以， 所以， 因为为锐角三角形，可得，所以， 所以，可得. （2）解：设外接圆的半径为， 由（1）知，因为，可得， 所以， 则 ， 因为为锐角三角形，可得，解得， 可得，所以，则， 即，所以的周长， 所以的周长的取值范围为. 36．（24-25高一下·云南玉溪·期中）如图，在中，，为边上一点且，. (1)若，求的面积； (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）在中，利用正弦定理可求出的值，进而求出的值，然后利用三角形的面积公式可求得的面积； （2）利用正弦定理得出，，由三角形的内角和定理得出，且，利用三角恒等变换化简得出，利用正弦型函数的基本性质可求得的取值范围. 【解答过程】（1），，，且为锐角， 在中，由正弦定理得， 解得，， ， . （2）在中，由正弦定理得，可得， 在中，由正弦定理得，可得， ， ，，且， ， ，，， 故的取值范围为. 【类型7 坐标法求最值（范围）】 37．（2025·安徽马鞍山·模拟预测）已知平行四边形中， ，，分别为边，的中点，若，则四边形面积的最大值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【解题思路】建立适当的平面直角坐标系，设，写出各个点的坐标，将转换成条件等式，结合平行四边形面积公式以及基本不等式即可求解. 【解答过程】以点为原点，所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，    设， 则， 所以， 所以， 从而，即，等号成立当且仅当， 四边形面积的表达式为， 从而，等号成立当且仅当， 所以四边形面积的最大值为. 故选：D. 38．（2025·北京朝阳·一模）在中，，，点M为所在平面内一点且，则的最小值为（   ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【解题思路】以所在直线为轴，以其上的高线为轴建立平面直角坐标系，设出点的坐标，写出各个点坐标，利用数量积的坐标运算，求解问题. 【解答过程】在三角形中，由余弦定理，故为钝角； 又，故点在三角形底边的高线上， 则以所在直线为轴，以其上的高线为轴建立平面直角坐标系如下所示： 又，则， 故，； 则，设，， 故，当且仅当时取得等号； 也即的最小值为. 故选：C. 39．（24-25高一下·内蒙古包头·期末）如图，在中，已知，，，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】建立平面直角坐标系，利用坐标法求得的余弦值. 【解答过程】在中，，由余弦定理得， 则，为直角三角形，且， 以为原点，建立如图所示的平面直角坐标系： 则，， 所以. 故选：C. 40．（25-26高三上·北京·月考）在中，，，点为所在平面内一点且，则的最小值为 . 【答案】 【解题思路】以所在直线为轴，以其上的高线为轴建立平面直角坐标系，设出点的坐标，写出各个点坐标，利用数量积的坐标运算，求解问题. 【解答过程】在中，由余弦定理，故为钝角； 又，故点在底边的高线上， 则以所在直线为轴，以其上的高线为轴建立平面直角坐标系如下所示：    又，则， 故，； 则，设，， 故，当且仅当时取得等号； 也即的最小值为. 故答案为：. 41．（2025·浙江金华·模拟预测）在中，角A，B，C所对应的边为a，b，c．已知的面积，其外接圆半径，且． (1)求； (2)若A为钝角，P为外接圆上的一点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】(1)由三角形面积公式求得，已知等式由正弦定理边化角，化简得，可解得； （2）由（1）得，则，建立平面直角坐标系，设，利用向量的坐标运算求，由三角函数的值域求取值范围. 【解答过程】（1）由，得， ， 由正弦定理，， 则， 由， 得， 化简得，由，， 解得，因此. （2）由（1）得，若A为钝角，则，则，如图建立平面直角坐标系， 则，设． 则，，， 有，，， 则． 由，则， 所以的取值范围为. 42．（24-25高一下·江苏宿迁·期中）设的内角的对边分别为，是边的中点，. (1)若，求面积的最大值； (2)若的面积为且 ，求的值; (3)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）将放在坐标系中，为原点，设，，利用，即可求得，得到的范围，利用面积公式表示出三角形的面积，即可求得最大值； （2）由是中点，所以的面积是面积的一半，即可求得的长，利用余弦定理求出的长，即可利用正弦定理求出； （3）以为原点建立坐标系，设，利用向量数量积的变形，表示出，即可求得结果. 【解答过程】（1）如图，将放在坐标系中，为原点， 设，， 因为，所以， 又， 所以， 解得， 即，即，又， 可得， 又面积， 所以当时，面积的最大，且为. （2）在中，的面积为， 因为是中点，所以的面积是面积的一半， 即，所以，， 由余弦定理得，， 所以， 由正弦定理得，，即， 所以. （3）如图，以为原点，建立坐标系， 则，设，则， 又， 所以， 又， 所以， 因为，所以， 所以，， 即的取值范围为. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $