专题03 平面向量中的最值与范围必考七类问题（举一反三专项训练）高一数学人教A版必修第二册

专题03 平面向量中的最值与范围必考七类问题（举一反三专项训练） 【人教A版】 【类型1 由向量线性运算解决最值（范围）问题】 3 【类型2 与平面向量基本定理有关的最值（范围）问题】 4 【类型3 与向量数量积有关的最值（范围）问题】 6 【类型4 与模有关的最值（范围）问题】 7 【类型5 平面向量中参数的最值（范围）问题】 8 【类型6 向量与几何最值（范围）问题】 10 【类型7 极化恒等式】 11 知识点1 平面向量中的最值与范围问题及其解题策略 1．平面向量中的最值（范围）问题的两类求解思路 (1)“形化”，即利用平面向量的相关知识将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后结合平面图形的特征直接进行判断； (2)“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决． 2．平面向量中的最值（范围）问题的常用解题方法 (1)定义法 ①利用向量的概念及其运算将所求问题进行转化，得到相应的等式关系； ②运用基木不等式、二次函数求其最值（范围）问题，即可得出结论. (2)坐标法 ①建立适当的直角坐标系，把几何图形放在坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标； ②将平面向量的运算坐标化，进行相应的代数运算和向量运算； ③运用适当的数学思想方法如：二次函数、基本不等式、三角函数等思想方法来求解最值（范围）. (3)基底法 ①适当选取一组基底，利用基底转化向量； ②写出向量之间的联系，根据向量运算律化简目标，构造关于设定未知量的关系式来进行求解； ③运用适当的数学思想方法如：二次函数、基本不等式、三角函数等思想方法来求解最值（范围），即可得出结论. 知识点2 极化恒等式 1．极化恒等式的证明过程与几何意义 (1)平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和： . 证明：不妨设，则，， ①， ②， ①②两式相加得：. (2)极化恒等式： 上面两式相减，得：————极化恒等式 平行四边形模式：. 2．几何解释：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的． (1)平行四边形模型：向量的数量积等于以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线长”与“差对角线长”平方差的，即(如图). (2)三角形模型：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差，即(M为BC的中点)(如图). 极化恒等式表明，向量的数量积可以由向量的模来表示，可以建立起向量与几何长度之间的等量关系. 【类型1 由向量线性运算解决最值（范围）问题】 1．（24-25高三·全国·月考）在直角梯形ABCD中，，点E为BC边上一点，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·湖北武汉·月考）如图所示，在正六边形中，点是内（包括边界）的一个动点，设，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·浙江杭州·期末）在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，AB⊥AD，点P满足，且x+2y＝1，点M在矩形ABCD内（包含边）运动，且，则λ的最大值等于（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（25-26高三上·湖南长沙·月考）在平行四边形中，，分别是，的中点，点在线段上.若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·湖南常德·一模）如图，四边形是边长为1的正方形，延长CD至E，使得．动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点，，则的取值范围为 ． 6．（2025高一·全国·专题练习）如图，矩形中，，，、分别为线段、上的点，且满足，若，则的最小值为 ．    【类型2 与平面向量基本定理有关的最值（范围）问题】 7．（24-25高一下·湖南邵阳·期末）在中，点在线段上，且满足，点为线段上任意一点（除端点外），若实数，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D．9 8．（24-25高一下·四川成都·期末）如图，为的重心，过点的直线分别与，交于点，，且，，其中，则的最小值为（   ）    A． B．3 C． D．9 9．（24-25高一下·贵州黔南·期末）在中，点满足，点满足，点、满足，，，，若、、三点共线，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 10．（24-25高二下·河北邯郸·期末）如图，在中，点在边上，过点的直线与，所在的直线分别交于点，，且是的中点，若，（，），则的最小值为 . 11．（24-25高一下·山东·期中）如图，在中，点满足是线段的中点，过点的直线与边分别交于点. (1)若，求和的值； (2)若，求的最小值. 12．（24-25高一下·云南昆明·月考）如图，在直角梯形中，为上靠近的三等分点，交于为线段上的一个动点．    (1)用和表示； (2)求； (3)设，求的取值范围． 【类型3 与向量数量积有关的最值（范围）问题】 13．（24-25高一下·河南驻马店·期末）已知向量，，满足，，，则的最大值为（   ） A． B． C．1 D．2 14．（24-25高一下·北京延庆·期中）已知中，，，，点，是线段上的动点，则的最大值为（   ） A．4 B． C． D． 15．（24-25高一下·陕西商洛·期末）在梯形中，，，，点E在线段上，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 16．（2025高一下·全国·专题练习）如图，在四边形中， .若为线段上一动点，则的最大值为 . 17．（24-25高一下·北京西城·期中）在平面直角坐标系中，O为原点，，，，，P为线段BC上一点，且． (1)求n的值； (2)当时，求； (3)求的取值范围． 18．（24-25高一下·广西南宁·月考）如图，已知满足，，、、是线段上的分点，且满足. (1)判断的形状； (2)当时，求的值； (3)当时，若为线段上的动点，求的最小值，并指出当取最小值时点的位置. 【类型4 与模有关的最值（范围）问题】 19．（24-25高一下·河南南阳·期末）已知向量，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 20．（24-25高一下·黑龙江齐齐哈尔·月考）起点重合，，则的最大值为（   ） A． B．3 C． D． 21．（24-25高一下·重庆万州·期中）在梯形ABCD中，，，，.若点P在线段BC上，则的最小值是（    ） A． B．4 C．8 D． 22．（24-25高三上·天津河东·期末）在等腰梯形中，，是腰的中点，则的值为 ；若是腰上的动点，则的最小值为 ． 23．（24-25高一下·北京朝阳·期末）已知向量，且． (1)证明：向量； (2)求与夹角的大小； (3)求的最小值． 24．（24-25高一下·安徽宣城·期末）在直角梯形中，已知，，，，，动点E、F分别在线段和上，和交于点M，且，，. (1)当时，求的值； (2)当时，求的值； (3)求的取值范围. 【类型5 平面向量中参数的最值（范围）问题】 25．（24-25高一下·江西南昌·期中）如图1，“六芒星”由两个全等的正三角形组成，中心重合于点O且三组对边分别平行，点A，B是“六芒星”（如图2）的两个顶点，动点P在“六芒星”上（包含内部以及边界），若，则x＋y的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 26．（24-25高三上·江西·月考）在平行四边形中，，是平行四边形内（包括边界）一点，，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 27．（24-25高一下·重庆·月考）已知直角梯形ABCD中，，，且，，点P是△BCD内（含边界）任意一点，设（，），则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 28．（24-25高一下·上海长宁·期中）在中，，是线段上的动点（与端点不重合），设，则的最小值是 . 29．（24-25高一上·河北保定·期末）如图所示，在中，是边边上中线，为中点，过点点直线交边，于，两点，设，，（，与点，不重合） (1)证明：为定值； (2)求的最小值，并求此时的，的值. 30．（24-25高一下·云南曲靖·开学考试）如图，已知菱形中，点为线段上一点，且． (1)若，，求x，y的值； (2)若，且，求实数的取值范围． 【类型6 向量与几何最值（范围）问题】 31．（24-25高一下·浙江·期中）如图所示，在矩形中，，点在边上运动（包含端点），则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 32．（25-26高三上·山东·期中）已知直角梯形中，，，且，，点是梯形内（含边界）任意一点，设，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 33．（24-25高一下·浙江宁波·期末）如图，在平面四边形ABCD中，．若点E为边CD上的动点（不与C、D重合），则的最小值为（    ）    A． B． C． D．1 34．（24-25高一下·陕西西安·月考）直角梯形中，，，，点，为的中点，在边上运动(包含端点)，则的取值范围为 . 35．（24-25高一下·浙江宁波·期末）在直角梯形中，，，，点是边上的中点. (1)若点满足，且，求的值； (2)若点是线段上的动点（含端点），求的取值范围. 36．（24-25高一下·湖北武汉·期中）如图是由两个有一个公共边的正六边形构成的平面图形，其中正六边形边长为2. (1)设，求的值； (2)若点在边上运动（包括端点），则求的最大值. 【类型7 极化恒等式】 37．（24-25高一下·福建厦门·阶段练习）是边长为2的正方形边界或内部一点，且，则的最大值是（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 38．（2025高三·全国·专题练习）如图，在等腰直角三角形中，斜边，为线段上的动点（包含端点），为的中点．将线段绕着点旋转得到线段，则的最小值为（　　）    A． B． C． D． 39．（2025·重庆·模拟预测）已知的面积为，动点在线段上滑动，且，则的最小值为 . 40．（2024·湖北省直辖县级单位·模拟预测）如图直角梯形ABCD中，EF是CD边上长为6 的可移动的线段，，， ，则的取值范围为 .   41．（24-25高一下·广东潮州·阶段练习）阅读以下材料，解决本题：我们知道①；②.由①-②得，我们把最后推出的式子称为“极化恒等式”，它实现了没有夹角参与的情况下将两个向量的数量积化为“模”的运算.如图所示的四边形中，，为中点. (1)若，求的值； (2)若为平面内一点，求的最小值. 42．（24-25高一下·新疆伊犁·期中）极化恒等式实现了向量与数量的转化，阅读以下材料，解答问题． 材料1．代数模式极化恒等式：， 公式推导：； 材料2．平行四边形模式：如图a，在平行四边形中，O是对角线交点，则； 材料3．三角形模式：如图b，在中，设D为的中点，则． 推导过程：由． (1)已知中，M为中点，，，求的值； (2)如图1，在边长为2的正方形中，其对称中心O平分线段，且，点E为的中点，求的值； (3)“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦．”太极和八卦组合成了太极八卦图（如图2）．某太极八卦图的平面图如图3所示，其中正八边形的中心与圆心重合，O是正八边形的中心，是圆O的一条直径，且正八边形内切圆的半径为，．若点P是正八边形边上的一点，求的取值范围． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 平面向量中的最值与范围必考七类问题（举一反三专项训练） 【人教A版】 【类型1 由向量线性运算解决最值（范围）问题】 3 【类型2 与平面向量基本定理有关的最值（范围）问题】 8 【类型3 与向量数量积有关的最值（范围）问题】 14 【类型4 与模有关的最值（范围）问题】 18 【类型5 平面向量中参数的最值（范围）问题】 24 【类型6 向量与几何最值（范围）问题】 29 【类型7 极化恒等式】 35 知识点1 平面向量中的最值与范围问题及其解题策略 1．平面向量中的最值（范围）问题的两类求解思路 (1)“形化”，即利用平面向量的相关知识将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后结合平面图形的特征直接进行判断； (2)“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决． 2．平面向量中的最值（范围）问题的常用解题方法 (1)定义法 ①利用向量的概念及其运算将所求问题进行转化，得到相应的等式关系； ②运用基木不等式、二次函数求其最值（范围）问题，即可得出结论. (2)坐标法 ①建立适当的直角坐标系，把几何图形放在坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标； ②将平面向量的运算坐标化，进行相应的代数运算和向量运算； ③运用适当的数学思想方法如：二次函数、基本不等式、三角函数等思想方法来求解最值（范围）. (3)基底法 ①适当选取一组基底，利用基底转化向量； ②写出向量之间的联系，根据向量运算律化简目标，构造关于设定未知量的关系式来进行求解； ③运用适当的数学思想方法如：二次函数、基本不等式、三角函数等思想方法来求解最值（范围），即可得出结论. 知识点2 极化恒等式 1．极化恒等式的证明过程与几何意义 (1)平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和： . 证明：不妨设，则，， ①， ②， ①②两式相加得：. (2)极化恒等式： 上面两式相减，得：————极化恒等式 平行四边形模式：. 2．几何解释：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的． (1)平行四边形模型：向量的数量积等于以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线长”与“差对角线长”平方差的，即(如图). (2)三角形模型：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差，即(M为BC的中点)(如图). 极化恒等式表明，向量的数量积可以由向量的模来表示，可以建立起向量与几何长度之间的等量关系. 【类型1 由向量线性运算解决最值（范围）问题】 1．（24-25高三·全国·月考）在直角梯形ABCD中，，点E为BC边上一点，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】建立平面直角坐标系，利用平面向量运算的坐标表示公式，结合配方法进行求解即可. 【解答过程】建立如图所示的直角坐角坐标系，过作，垂足为， 因为， 所以有，    ，设，， 因此有 因为， 所以有， 而， 所以， 当时，有最大值，当，xy有最小值， 所以的取值范围是 故选：B. 2．（25-26高三上·湖北武汉·月考）如图所示，在正六边形中，点是内（包括边界）的一个动点，设，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】以直线FB为x轴，线段FB的中垂线为y建立平面直角坐标系，结合已知求出点P的坐标，再由点P所在区域求解作答. 【解答过程】在正六边形中，以直线FB为x轴，线段FB中垂线为y轴建立平面直角坐标系，如图， 令，则点， 因此， 因为，则， 于是得点，又点是内（包括边界）的一个动点， 显然点P在直线及上方，点P纵坐标最大不超过3，即有，解得， 所以的取值范围是. 故选：B. 3．（24-25高一上·浙江杭州·期末）在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，AB⊥AD，点P满足，且x+2y＝1，点M在矩形ABCD内（包含边）运动，且，则λ的最大值等于（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解题思路】利用矩形建立坐标系，把所给向量条件转化为坐标关系，结合点在矩形内，利用横纵坐标满足的条件列不等式，求得范围. 【解答过程】建立如图坐标系： 则，， ， ， 因在矩形内， 所以，即， 所以，又， 所以，即的最大值为. 故选：C. 4．（25-26高三上·湖南长沙·月考）在平行四边形中，，分别是，的中点，点在线段上.若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】设，根据向量线性运算可得，由题意可得，，计算可解. 【解答过程】如图，作出符合题意的图形， 因为，分别是，的中点， 所以，， 则， 因为点在线段上，设， 则， 若，则，， 所以，当时，有最大值为. 故选：C. 5．（2025·湖南常德·一模）如图，四边形是边长为1的正方形，延长CD至E，使得．动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点，，则的取值范围为 ． 【答案】 【解题思路】建立适当的平面直角坐标系，讨论四种情况，即可求出的取值范围. 【解答过程】建立如图所示的平面直角坐标系： 则，所以， 当时，有，即，此时的取值范围为， 当时，有，即，此时的取值范围为， 当时，有，即，此时的取值范围为， 当时，有，即，此时的取值范围为， 综上所述，的取值范围为. 故答案为：. 6．（2025高一·全国·专题练习）如图，矩形中，，，、分别为线段、上的点，且满足，若，则的最小值为 ．    【答案】 【解题思路】建立直角坐标系，确定向量坐标，根据得到，，根据得到，变换，计算得到答案. 【解答过程】由题意，易知不为，建立如图所示坐标系，    设点，，，， ，，， ，，即， ，， ，， 故，即， 设， 当三点共线时，在直线的异侧，故，则， 则，即， 故，即， 解得或（舍去）； 故答案为：． 【类型2 与平面向量基本定理有关的最值（范围）问题】 7．（24-25高一下·湖南邵阳·期末）在中，点在线段上，且满足，点为线段上任意一点（除端点外），若实数，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D．9 【答案】D 【解题思路】利用平面向量基本定理及共线向量定理的推论可得，且，再根据“1”的代换，运用基本不等式可得答案. 【解答过程】由点在线段上，，得， 而点为线段上除端点外的任意一点，则，且， 因此， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为9. 故选：D. 8．（24-25高一下·四川成都·期末）如图，为的重心，过点的直线分别与，交于点，，且，，其中，则的最小值为（   ）    A． B．3 C． D．9 【答案】B 【解题思路】连接并延长交于点，由为的重心可得，且，将条件代入整理成，利用平面向量基本定理可得，再利用基本不等式“1”的妙用即可求得答案. 【解答过程】    如图，连接并延长交于点，因为的重心，则， 且点为的中点，故（*）， 因，，则有，，， 代入（*）可得：，即， 因三点共线，故，因， 则， 当且仅当时，等号成立，即的最小值为3. 故选：B. 9．（24-25高一下·贵州黔南·期末）在中，点满足，点满足，点、满足，，，，若、、三点共线，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】作出图形，利用平面向量的线性运算可得出，设，利用平面向量的线性运算可得出，根据平面向量的基本定理可得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求出的最小值. 【解答过程】如下图所示： 因为，即，解得， 因为，即为的中点，所以， 因为、、三点共线，设，则， 所以， 因为、不共线，且， 所以，所以，，所以， 所以， 当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为. 故选：A. 10．（24-25高二下·河北邯郸·期末）如图，在中，点在边上，过点的直线与，所在的直线分别交于点，，且是的中点，若，（，），则的最小值为 . 【答案】 【解题思路】先根据平面向量基本定理，结合平面向量的线性运算，得到的关系，再利用基本不等式，求和的最小值. 【解答过程】因为点在上，所以， 因为是的中点，所以， 又因为，（，）， 所以， 所以，，计算可得， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 11．（24-25高一下·山东·期中）如图，在中，点满足是线段的中点，过点的直线与边分别交于点. (1)若，求和的值； (2)若，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用基底法，用表示出，即可求解. (2)先根据已知条件，得到，，再根据，即可得，再根据三点共线，得，再由基本不等式，即可求解. 【解答过程】（1）因为，所以， 所以， 又是线段的中点，所以， 又，且不共线， 所以. （2）因为， ， 由（1）可知，，所以， 因为三点共线，所以，即 又， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 12．（24-25高一下·云南昆明·月考）如图，在直角梯形中，为上靠近的三等分点，交于为线段上的一个动点．    (1)用和表示； (2)求； (3)设，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【解题思路】（1）根据向量的线性运算化简求解即可； （2）设，利用向量的共线求出即可得解； （3）令，利用向量基本定理可得的关系，转化为关于的二次函数求最值即可得解. 【解答过程】（1）依题意， ， ； （2）因交于，由（1）知， 由共起点的三向量终点共线的充要条件知，，则， 所以，所以，即； （3）由已知， 因是线段上动点，则令， ， 又不共线，则有，得， 因为， 所以在上递增， 所以，故的取值范围是． 【类型3 与向量数量积有关的最值（范围）问题】 13．（24-25高一下·河南驻马店·期末）已知向量，，满足，，，则的最大值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【解题思路】由题意可设、、，又，，则可计算出的范围，从而可得解. 【解答过程】，则可设、、， 由，则， 又， 则，则， 故，则， 即的最大值为. 故选：D. 14．（24-25高一下·北京延庆·期中）已知中，，，，点，是线段上的动点，则的最大值为（   ） A．4 B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用勾股定理判断出，求得斜边上的高，由此求得的取值范围，根据的夹角的取值范围，以及向量数量积运算公式，求得的最大值. 【解答过程】由于，，， . 如图，作，垂足为D. 由，得. 由题意知, 且. 又. ∴当点均与点A重合时，最大 故. 故选：A. 15．（24-25高一下·陕西商洛·期末）在梯形中，，，，点E在线段上，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据题意，以为坐标原点，为x轴，以为y轴建立平面直角坐标系，设点.根据点E在线段上，所以设，其中，结合平面向量的线性运算及数量积的坐标表示即可求解. 【解答过程】根据题意，以为坐标原点，为x轴，以为y轴建立平面直角坐标系如图所示， 则，，，， 所以，，. 设点. 因为点E在线段上，所以设，其中， 所以，所以， 所以. 故选：D. 16．（2025高一下·全国·专题练习）如图，在四边形中， .若为线段上一动点，则的最大值为 . 【答案】6 【解题思路】由题建立平面直角坐标系，再由平面向量数量积的坐标运算得到，再求二次函数的最大值即可． 【解答过程】以为原点，，所在直线分别为，轴建立平面直角坐标系， 则，，，， 设，其中， 则，， ， 当时，有最大值6． 故答案为：6. 17．（24-25高一下·北京西城·期中）在平面直角坐标系中，O为原点，，，，，P为线段BC上一点，且． (1)求n的值； (2)当时，求； (3)求的取值范围． 【答案】(1)8 (2) (3) 【解题思路】（1）利用向量的坐标表示，再结合向量垂直的坐标表示，列出方程求解即得； （2）由（1）求出的坐标，利用向量夹角公式计算即得； （3）用表示的坐标，利用数量积的坐标表示建立函数关系，求出函数值域即得． 【解答过程】（1）依题意，， 由，得． （2）由（1）知，，由，，得， ，， 所以． （3）由（2）知，，， 则， 由为线段上一点，且，得， 当时，，当时，， 所以的取值范围． 18．（24-25高一下·广西南宁·月考）如图，已知满足，，、、是线段上的分点，且满足. (1)判断的形状； (2)当时，求的值； (3)当时，若为线段上的动点，求的最小值，并指出当取最小值时点的位置. 【答案】(1)等边三角形 (2) (3)最小值， 【解题思路】（1）根据数量积求出后可判断三角形形状； （2）结合向量的线性运算可得，故可求向量和的模； （3）设，利用向量的线性运算结合二次函数的性质可求的最小值. 【解答过程】（1），， 则，即， 故为等边三角形. （2）当时，、为边的三等分点， 设为中点，且， 所以， 故. （3）设， 当时，、、为边的四等分点， ， 设，其中，则， ， 所以 ， 当且仅当即时，取最小值. 【类型4 与模有关的最值（范围）问题】 19．（24-25高一下·河南南阳·期末）已知向量，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】求出关于的二次函数，利用二次函数的基本性质可求得的最小值. 【解答过程】由题意可得， 所以， 故当时，取得最小值. 故选：C. 20．（24-25高一下·黑龙江齐齐哈尔·月考）起点重合，，则的最大值为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【解题思路】根据数量积公式，可得，根据求模公式，可得，根据题意，化简可得，根据，结合一元二次不等式的解法，即可得答案. 【解答过程】由题意， ，则， 因为， 所以， 所以， 所以， 因为，所以， 整理得且（恒成立）， 解得，即的最大值为. 故选：D. 21．（24-25高一下·重庆万州·期中）在梯形ABCD中，，，，.若点P在线段BC上，则的最小值是（    ） A． B．4 C．8 D． 【答案】C 【解题思路】以B为原点，为x轴正方向，为y轴正方向建立平面直角坐标系，利用坐标法求解. 【解答过程】如图示，以B为原点，为x轴正方向，为y轴正方向建立平面直角坐标系. 则 ， 所以，. 所以， 所以（当且仅当时等号成立）. 所以的最小值是8. 故选：C. 22．（24-25高三上·天津河东·期末）在等腰梯形中，，是腰的中点，则的值为 ；若是腰上的动点，则的最小值为 ． 【答案】； 【解题思路】作出辅助线，求出各边长，建立平面直角坐标系，得到，求出，设，，故，求出，故，从而得到最小值. 【解答过程】过点作⊥于点， 因为等腰梯形中，， 所以，由勾股定理得， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 故， 是腰的中点，故， 所以， 设，，， 则，故，， 故， ， 故 ， 故当时，取得最小值，最小值为. 故答案为：；. 23．（24-25高一下·北京朝阳·期末）已知向量，且． (1)证明：向量； (2)求与夹角的大小； (3)求的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)． 【解题思路】（1）根据垂直的坐标运算即可求解， （2）根据模长公式，以及夹角公式即可求解， （3）根据模长公式，结合二次函数的性质即可求解. 【解答过程】（1）因为向量， 由，得． 解得，则． 因此． （2）由（1）知，则． 又，则． 设与夹角为，因此． 又，则，所以与夹角为． （3）由（2）知，，则， 因此， 当且仅当时取等号． 所以最小值为． 24．（24-25高一下·安徽宣城·期末）在直角梯形中，已知，，，，，动点E、F分别在线段和上，和交于点M，且，，. (1)当时，求的值； (2)当时，求的值； (3)求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3)的取值范围是 【解题思路】（1）利用向量的线性运算可得，，结合数量积的定义运算求解即可； （2）根据题意整理可得，，利用三点共线求得，可求； （3）整理可得，两边平方，结合数量积运算律运算求解即可. 【解答过程】（1）当时，，所以， 所以， ， 又， 所以 ； （2）当时，，所以， 所以， ， 因为三点共线，所以存在，使， 又因为三点共线，所以，解得， 所以，所以； （3）因为， ， 所以， ， 所以， ， ， 由题意知， 所以当时，取到最小值， 当时，取到最大值， 所以的取值范围是. 【类型5 平面向量中参数的最值（范围）问题】 25．（24-25高一下·江西南昌·期中）如图1，“六芒星”由两个全等的正三角形组成，中心重合于点O且三组对边分别平行，点A，B是“六芒星”（如图2）的两个顶点，动点P在“六芒星”上（包含内部以及边界），若，则x＋y的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】讨论几种特殊情况时的值，再利用图形的对称性即可得解. 【解答过程】要求x＋y的范围，只需考虑图中6个向量的情况即可，讨论如下：    (1)若P在A点，因为，所以； (2)若P在B点，因为，所以； (3)若P在C点，因为，所以； (4)若P在D点，因为，所以； (5)若P在E点，因为，所以； (6)若P在F点，因为，所以. 所以的最大值为， 根据对称性，可知的最小值为， 故的取值范围是. 故选：C. 26．（24-25高三上·江西·月考）在平行四边形中，，是平行四边形内（包括边界）一点，，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先根据题意，得到点的轨迹，然后利用向量计算即可. 【解答过程】因为 得，即 所以点在的角平分线上，设的中点为    因为，所以点在线段上， 不妨设， 所以， 易知， 所以， 因为， 所以， 因为， 所以， 故选：B. 27．（24-25高一下·重庆·月考）已知直角梯形ABCD中，，，且，，点P是△BCD内（含边界）任意一点，设（，），则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】过点作BD的平行线，并分别交AB，AD的延长线于，过点作BD的平行线，并分别交AB，AD的延长线于E，F，设，根据共线结论可得，再结合平行关系可得. 【解答过程】过点作BD的平行线，并分别交AB，AD的延长线于， 过点作BD的平行线，并分别交AB，AD的延长线于E，F， 因三点共线，则， 设，，则， 而，因此，，则得到， 由题意知，则四边形BECD为平行四边形，所以， 从而， 则的取值范围是． 故选：C. 28．（24-25高一下·上海长宁·期中）在中，，是线段上的动点（与端点不重合），设，则的最小值是 . 【答案】13 【解题思路】由已知条件结合平面向量基本定理可得，，则，化简后利用基本不等式可得答案. 【解答过程】因为，所以， 因为，所以， 因为三点共线，所以，， ， 当且仅当，即时取等. 故答案为：13. 29．（24-25高一上·河北保定·期末）如图所示，在中，是边边上中线，为中点，过点点直线交边，于，两点，设，，（，与点，不重合） (1)证明：为定值； (2)求的最小值，并求此时的，的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解题思路】（1）求出，从而由三点共线，可得答案； （2）结合（1）可得，化简后利用基本不等式可求得结果. 【解答过程】（1）因为是边边上中线，，所以. 又是的中点，， 所以. 因为三点共线，所以且 所以，即为定值； （2）由（1） 所以 ， 当且仅当,即时，等号成立. 所以时，的最小值. 30．（24-25高一下·云南曲靖·开学考试）如图，已知菱形中，点为线段上一点，且． (1)若，，求x，y的值； (2)若，且，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）结合图形，由向量的线性运算可得，结合，列方程组求解即得； （2）由题意可得为等边三角形，以为坐标原点建系，设，表示出相关向量，利用向量数量积的坐标公式代入，计算即得. 【解答过程】（1）当时，， 则， 所以，解得. （2）由四边形为菱形，，为等边三角形， 以为坐标原点，以为轴建立如图所示平面直角坐标系， 设，则， 则， 则， 由，可得， 解得， 又，则， 即实数的取值范围为． 【类型6 向量与几何最值（范围）问题】 31．（24-25高一下·浙江·期中）如图所示，在矩形中，，点在边上运动（包含端点），则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】以为坐标原点建立直角坐标系，设，得，根据的范围即可求出的范围. 【解答过程】 以为坐标原点，建立如图所示直角坐标系， 因为在矩形中，， 则， 又点在边上运动（包含端点）， 设，则， ， 则， 因为，所以， 故选：D. 32．（25-26高三上·山东·期中）已知直角梯形中，，，且，，点是梯形内（含边界）任意一点，设，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】以为坐标原点，分别为轴建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算，表示出，再求取值范围即可. 【解答过程】如图，以为坐标原点，分别为轴建立平面直角坐标系，设， 则，， 可得， 因为，所以， 所以，当时，取得最小值； 当时，取得最大值，即. 故选：A. 33．（24-25高一下·浙江宁波·期末）如图，在平面四边形ABCD中，．若点E为边CD上的动点（不与C、D重合），则的最小值为（    ）    A． B． C． D．1 【答案】B 【解题思路】建立平面直角坐标系，求出相关点坐标，求得的坐标，根据数量积的坐标表示，结合二次函数知识，即可求得答案. 【解答过程】由于， 如图，以D为坐标原点，以为轴建立直角坐标系， 连接,由于，则≌,    而，故，则， 则， 设，则，， 故， 当时，有最小值， 故选：B． 34．（24-25高一下·陕西西安·月考）直角梯形中，，，，点，为的中点，在边上运动(包含端点)，则的取值范围为 . 【答案】 【解题思路】建立平面直角坐标系，再利用向量的数量积的坐标运算即可求解. 【解答过程】 建立平面直角坐标系如图，则，，，， 点，为的中点，，， ，，， 在边上运动(包含端点)，设， ，， ， ，， 的取值范围为. 故答案为：. 35．（24-25高一下·浙江宁波·期末）在直角梯形中，，，，点是边上的中点. (1)若点满足，且，求的值； (2)若点是线段上的动点（含端点），求的取值范围. 【答案】(1)； (2) 【解题思路】（1）利用向量的加减运算法则，以为基底表示出得出的取值可得结论； （2）法1：建立平面直角坐标系利用数量积的坐标表示即可得出的取值范围； 法2：利用极化恒等式得出，即可得出结果. 【解答过程】（1）如下图所示： 由可得， 所以， 又，可得 所以； （2）法1：以点为坐标原点，分别以为轴，为轴建立平面直角坐标系， 则，则， 由点是线段上的动点（含端点），可令， 所以，则， 所以， 由二次函数性质可得当时取得最小值； 当时取得最大值； 可得 法2：取中点，作垂足为，如下图所示： 则 ， 显然当点位于点时，取到最大值3，当点位于点时，取到最小值， 可得. 36．（24-25高一下·湖北武汉·期中）如图是由两个有一个公共边的正六边形构成的平面图形，其中正六边形边长为2. (1)设，求的值； (2)若点在边上运动（包括端点），则求的最大值. 【答案】(1)-3 (2)12 【解题思路】（1）根据向量的加减法运算，可得答案； （2）建立平面直角坐标系，求得相关各点坐标，表示出P点坐标，进而表示出，求得其模的表达式，结合二次函数的性质，求得答案. 【解答过程】（1）由题意得：两个正六边形全等，， 则， 故由， 可得； （2）如图，以O为坐标原点，FC为x轴，OI为y轴建立平面直角坐标系， 则， 则 , 由于直线OD的方程为 ，故设P点坐标为， 则， 所以， 则， 由于，此时函数为增函数， 故当时，取到最大值为144， 所以的最大值为12. 【类型7 极化恒等式】 37．（24-25高一下·福建厦门·阶段练习）是边长为2的正方形边界或内部一点，且，则的最大值是（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解题思路】建立坐标系，求出点的坐标，利用向量数量积的坐标公式进行求解即可． 另解：利用极化恒等式，进行求解即可. 【解答过程】以B为坐标原点，以BC方向为轴正方向，以BA方向为轴正方向建立坐标系，    则，设，，， 则， 因为，则， 则， 故当，时取得最大值为5． 另解：（极化恒等式）： 令，则为中点，为中点，则， 所以，当为中点时取等． 故选：C. 38．（2025高三·全国·专题练习）如图，在等腰直角三角形中，斜边，为线段上的动点（包含端点），为的中点．将线段绕着点旋转得到线段，则的最小值为（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用转化法，将转化为或，进而求得的最小值. 【解答过程】解法一： 连接，则 ， 当时，最小，即， 结合，得的最小值为． 解法二（极化恒等式法）： 依题意，为线段的中点， 则 , 由于，，所以的最小值为． 故选:D. 39．（2025·重庆·模拟预测）已知的面积为，动点在线段上滑动，且，则的最小值为 . 【答案】 【解题思路】根据题意，记线段的中点为，由且，可得点到直线的距离为，由，根据向量的运算代入求解即可. 【解答过程】记线段的中点为，点到直线的距离为， 则有，解得， 由极化恒等式可得： . 故答案为：. 40．（2024·湖北省直辖县级单位·模拟预测）如图直角梯形ABCD中，EF是CD边上长为6 的可移动的线段，，， ，则的取值范围为 .   【答案】 【解题思路】首先在上取一点，使得，取的中点，连接，，根据题意得到，再根据的最值求解即可. 【解答过程】在上取一点，使得，取的中点，连接，， 如图所示： 则，，， ，即. ， 当时，取得最小值，此时， 所以. 当与重合时，，， 则， 当与重合时，，， 则， 所以，即的取值范围为. 故答案为：. 41．（24-25高一下·广东潮州·阶段练习）阅读以下材料，解决本题：我们知道①；②.由①-②得，我们把最后推出的式子称为“极化恒等式”，它实现了没有夹角参与的情况下将两个向量的数量积化为“模”的运算.如图所示的四边形中，，为中点. (1)若，求的值； (2)若为平面内一点，求的最小值. 【答案】(1)； (2) 【解题思路】（1）根据“极化恒等式”列出式子计算即可； （2）连接，，取的中点，连接，将进行转化求最值. 【解答过程】（1）因为，， 由极化恒等式得 ， 所以， 又，所以， 由极化恒等式得 ； （2）连接，，取的中点，连接， 由，， 则 ， 所以当点与重合时， . 42．（24-25高一下·新疆伊犁·期中）极化恒等式实现了向量与数量的转化，阅读以下材料，解答问题． 材料1．代数模式极化恒等式：， 公式推导：； 材料2．平行四边形模式：如图a，在平行四边形中，O是对角线交点，则； 材料3．三角形模式：如图b，在中，设D为的中点，则． 推导过程：由． (1)已知中，M为中点，，，求的值； (2)如图1，在边长为2的正方形中，其对称中心O平分线段，且，点E为的中点，求的值； (3)“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦．”太极和八卦组合成了太极八卦图（如图2）．某太极八卦图的平面图如图3所示，其中正八边形的中心与圆心重合，O是正八边形的中心，是圆O的一条直径，且正八边形内切圆的半径为，．若点P是正八边形边上的一点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）由极化恒等式即可求解； （2）由极化恒等式即可求解； （3）连接，根据三角形模式可得，即可求解. 【解答过程】（1）如图，由是的中点，， 由极化恒等式可得. （2）如图，连接，由，， 由极化恒等式可得. （3）如图，连接， 因为，， 所以， 因为正八边形内切圆的半径为，， 所以， 又，则，所以， 即的取值范围为. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $