专题02 解三角形的综合应用大题（35题）（举一反三专项训练）高一数学人教A版必修第二册

专题02 解三角形的综合应用大题（35题）（举一反三专项训练） 【人教A版】 姓名：___________班级：___________考号：___________ 题型一 1．（24-25高一下·重庆南岸·期中）的内角的对边分别为，已知 (1)求角的大小； (2)若，，判断三角形形状． 【答案】(1) (2)是等腰直角三角形 【解题思路】（1）利用正弦定理将边化为角，再通过三角函数的和角公式化简，进而求出角的大小；（2）利用余弦定理化简已知等式，得到边与的关系，结合已知边的值求出边，最后根据余弦定理求出，进而判断形状. 【解答过程】（1）已知，由正弦定理将边化为角可得， 即， 可得， 因为，所以，则， 那么， 因为是三角形内角，所以，等式两边同时除以可得， 即， 又因为，所以； （2）已知，由余弦定理，代入可得：，即， 化简得，所以，又，则，   由余弦定理，已知，，， 则，所以， 因为，且，所以是等腰直角三角形. 2．（24-25高一下·四川·期中）已知分别为三个内角的对边，且． (1)求的值； (2)若，且的面积为，判断的形状并说明理由． 【答案】(1) (2)等边三角形，理由见解析 【解题思路】（1）利用正弦定理，和同角三角函数关系得到，求出答案； （2）由三角形面积公式得到．由余弦定理得到，从而推导出，结合（1）中求出的，得到结论． 【解答过程】（1）由题意，， 由正弦定理得，， ， ， ， 又， ， ，即， 又， ； （2）为等边三角形，理由如下： 由（1）知，，又由题意，， 又， ， ， ， 又， 为等边三角形. 3．（24-25高三上·甘肃白银·月考）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求的值； (2)若，求，并判断 的形状． 【答案】(1) (2)， 是钝角三角形 【解题思路】（1）由正弦定理边角互化结合题意可得，然后利用余弦定理可得答案； （2）由（1）及结合，可得，，然后由角度正弦值比例可判断B最大，最后由余弦定理可判断B为钝角. 【解答过程】（1）（1）由正弦定理得，得， 由余弦定理得，而， 所以． （2）由（1）知，，在中，， 所以， 因此，即． 又因为，所以，而， 所以，故． 由正弦定理得，可知角B最大， 因为， 所以，所以，故 是钝角三角形． 4．（24-25高一下·河北·期末）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若． (1)判断的形状，并说明理由； (2)若是斜三角形，D是AC的中点，且，，求． 【答案】(1)等腰三角形或直角三角形，理由见解析 (2) 【解题思路】（1）由余弦定理，正弦定理和三角恒等变换得到，所以或，故为等腰三角形或直角三角形； （2）在（1）基础上，得到，即，设，由题意可得，在和中，分别使用余弦定理，从而得到方程，求出，所以，利用同角三角函数关系求出． 【解答过程】（1）由余弦定理得， 故， 即，由正弦定理得， 即，即， 所以或，所以或， 所以为等腰三角形或直角三角形； （2）因为是斜三角形，由（1）知，即， 设，由题意可得，    在中，由余弦定理可得， 由中，由余弦定理可得， 所以，解得，负值舍去，所以， 又，可得． 5．（24-25高一下·北京通州·期末）在△中，角所对的边为，△的面积为S，且． (1)求角； (2)若，试判断△的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)等腰直角三角形，理由见解析 【解题思路】（1）应用面积公式及余弦定理得出正切进而得出角； （2）先应用正弦定理及两角和差的正弦公式化简得出，结合判断三角形形状即可. 【解答过程】（1）在中，因为，则， 整理得，且，所以. （2）由正弦定理得, , , , 于是, 又，故，所以或，因此（舍去）或，所以. 是等腰直角三角形. 题型二 几何图形中的计算 6．（24-25高一下·海南海口·月考）如图，在中，，，，为内一点，且． (1)若，求的长； (2)若，求． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）在中，先求出，再在中，利用余弦定理求解即可； （2）设，则，在中，利用正弦定理求出，再在中，求出，进而可得出答案. 【解答过程】（1）在中，， 则， 所以， 在中，由余弦定理得 ， 所以； （2）设，则， 在中，因为， 所以, 在中，, 所以，即， 所以，即. 7．（24-25高一下·云南玉溪·期中）如图，在中，，为边上一点且，. (1)若，求的面积； (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）在中，利用正弦定理可求出的值，进而求出的值，然后利用三角形的面积公式可求得的面积； （2）利用正弦定理得出，，由三角形的内角和定理得出，且，利用三角恒等变换化简得出，利用正弦型函数的基本性质可求得的取值范围. 【解答过程】（1），，，且为锐角， 在中，由正弦定理得， 解得，， ， . （2）在中，由正弦定理得，可得， 在中，由正弦定理得，可得， ， ，，且， ， ，，， 故的取值范围为. 8．（24-25高一下·广东佛山·期中）在四边形中，，记，，的角平分线与相交于点，且，. (1)求的大小； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由正弦定理化简得到，再由，两式相除求得，即可求解； （2）根据题意，利用，求得，结合余弦定理，即可求解. 【解答过程】（1）在中，由正弦定理得，所以， 因为，两式相除得，所以， 又因为，可得，所以. （2）因为，所以， 又因为平分，可得， 因为，且，， 所以， 即，解得， 在中，由余弦定理得 ，所以. 9．（24-25高三上·江西萍乡·期中）如图，在平面四边形中，，，，． (1)求四边形的周长； (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）先根据二倍角公式得到，再根据余弦定理得到及的值，即可求得周长； （2）根据三角形面积公式得到的面积，即可求得结果 【解答过程】（1）因为，， 所以， 在中，由余弦定理得， 所以， 在中，由余弦定理得， 所以，解得， 所以四边形的周长为； （2）因为，所以， 所以， 因为，所以， 所以， 所以四边形的面积为． 10．（2025高一下·山东临沂·期中）如图，在平面四边形中，，，，，．    (1)求的值； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用余弦定理可得出关于的方程，解出的长，判断出为等腰三角形，即可求得的值； （2）计算出的值，以及，利用两角和的正弦公式求出的值，再利用正弦定理可求得的长. 【解答过程】（1）解：在中，，，， 由余弦定理可得， 整理可得，，解得，则， 故为等腰三角形，故. （2）解：由（1）知，，又因为，则， 因为，则为锐角， 且， 所以， ， 在中，由正弦定理， 可得. 题型三   11．（25-26高三上·河北保定·月考）记的内角的对边分别为，已知． (1)证明：； (2)记的中点为，若，且，求的周长． 【答案】(1)证明见解析； (2)16. 【解题思路】（1）应用正弦边角关系及三角恒等变换、三角形内角和性质化简已知条件为，即可证； （2）应用余弦定理及，进而得，结合已知（1）结论求边长，即可得. 【解答过程】（1）由正弦定理，得， ， ， ， ，即， ，即； （2）由（1）及题设有，又， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 显然有，则， 整理得，即，又， 所以，从而， 的周长为. 12．（2025·甘肃武威·模拟预测）记的内角，，的对边分别为，，，已知. (1)证明：； (2)求的最大值. 【答案】(1)见解析 (2) 【解题思路】（1）根据正弦定理边化角，再结合两角和差公式，即可证明； （2）首先根据正弦定理边化角，再结合（1）的结论，以及三角恒等变换，化简 ，再结合基本不等式求最值. 【解答过程】（1）由正弦定理可知，， 得，且， 即，整理为， 即； （2）， 由（1）可知，，且， 所以，上下同时除以， ， 因为，得， 所以，当时等号成立， 所以 ， 所以的最大值为. 13．（2025·广东·模拟预测）在中，角的对边分别是，且． (1)证明：． (2)若是锐角三角形，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【解题思路】（1）由正弦边角关系及和差角正弦公式得到，结合三角形内角性质即可证结论； （2）由题设得，应用正弦边角关系、倍角正弦公式有，即可求范围. 【解答过程】（1）由题设， 所以， 则，即， 又，则，且， 所以，得证. （2）由题设，即，得， 由，而，故. 14．（24-25高一下·辽宁丹东·期末）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且面积为S. (1)若，，求C； (2)求证：； (3)求的最小值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【解题思路】（1）由余弦定理及三角形面积公式结合题意可得，据此可得答案； （2）由基本不等式，三角函数值域，利用作差法可完成证明； （3）由结合正弦定理和余弦定理可得，然后由（2）中结论可得答案. 【解答过程】（1）由， ，联立得 则，因为，， 所以，即； （2） ， 当且仅当时等号成立； 因为，所以 此时，当且仅当是等边三角形时等号成立 则，即. （3）因为 所以. 当且仅当是等边三角形时等号成立. 15．（2025高三·全国·专题练习）已知的内角的对边为，且． (1)求； (2)若，求证：． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【解题思路】（1）根据已知得，再应用余弦边角关系求角； （2）根据已知及（1）得，应用正弦边角关系易得，再应用三角形内角关系及和角正弦公式可得，变形整理即可证. 【解答过程】（1）由正弦定理可得，化简可得， 故，因为，所以； （2）因为，所以， 由正弦定理得，易知，所以， 因为，所以， 所以，故. 题型四 16．（24-25高一下·吉林长春·月考）已知的内角的对边分别为，的面积为，已知. (1)求； (2)若，求的面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据三角形面积公式及余弦定理，结合题中条件即可求解； （2）用余弦定理结合重要不等式可得，利用三角形面积公式即可求解. 【解答过程】（1）由余弦定理可得，所以. 由三角形面积公式可知及，可得，即. 因为，所以.又，所以. （2）由（1）知. 因为，所以由余弦定理可得. 由不等式可得，所以，即， 当且仅当时等号成立，有最大值为16. 所以， 所以的面积的最大值为. 17．（24-25高一下·山东临沂·期末）已知是锐角三角形，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)求A； (2)若，求面积的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用正余弦定理进行边角互化即可； （2）利用三角形的面积公式求出然后利用正弦定理结合三角函数的性质求出的取值范围即可. 【解答过程】（1）， 故，即 故， 且，故. （2）由正弦定理得， ， 因为是锐角三角形，. 故，即 所以，故， 所以， 故面积的取值范围为. 18．（24-25高二下·云南临沧·期末）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，． (1)若，求a； (2)若为钝角三角形，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由二倍角公式化简得到，从而求出，由余弦定理得到； （2）由正弦定理，结合为钝角三角形，得到，从而由三角形面积公式求出. 【解答过程】（1）因为，所以，即． 因为，，所以，，． ，解得； （2）的面积． 由正弦定理得 ， 因为为钝角三角形，所以或， 即或，故， 所以， 所以． 故面积的取值范围是． 19．（24-25高一下·江苏南京·月考）在中，角所对的边，已知． (1)求角； (2)若，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简得到求解； （2）由（1）知，再由，利用余弦定理结合基本不等式得到，然后利用三角形面积公式求解. 【解答过程】（1）因为，由正弦定理得， 得， 即，又， 所以，所以，又，从而得； （2）由（1）得，又， 由余弦定理 ， 所以，当且仅当时取得等号， 故，当且仅当时取得等号， 所以面积的最大值为. 20．（2025高三·全国·专题练习）在中，角所对的边分别为，已知 ． (1)求； (2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用余弦定理和正弦定理边化角可化简已知边角关系式得到，由此可得； （2）利用正弦定理边化角，将所求面积表示为，根据的范围可求得结果. 【解答过程】（1）， ，即， 由正弦定理得：， ， ，，，又，. （2）由正弦定理得：，， ， ，为锐角三角形，，， ，， 即面积的取值范围为. 题型五 求三角形中的边长或周长的最值或范围 21．（24-25高一下·内蒙古锡林郭勒·期中）锐角三角形的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，求的周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据题意，由正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得到，求得，即可求解； （2）设外接圆的半径为，得到，得到，由为锐角三角形，求得，结合三角函数的性质，求得的范围，进而求得的周长的取值范围. 【解答过程】（1）解：因为， 由正弦定理得， 又因为，所以， 所以， 因为为锐角三角形，可得，所以， 所以，可得. （2）解：设外接圆的半径为， 由（1）知，因为，可得， 所以， 则 ， 因为为锐角三角形，可得，解得， 可得，所以，则， 即，所以的周长， 所以的周长的取值范围为. 22．（24-25高一下·贵州贵阳·月考）在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，，． (1)求角A和边a； (2)求的取值范围． 【答案】(1)，1 (2) 【解题思路】（1）利用正弦定理与和角的正弦公式求出角，再由条件求出边； （2）利用正弦定理求出边，代入所求式，经过三角恒等变换化成正弦型函数，利用正弦函数的性质即可求得其范围. 【解答过程】（1）由和正弦定理可得， 化简得， 即 因，则，即， 因，故． 又由且， 可得． （2）由正弦定理，， 可得，， 则，（*） 因，将其代入（*），可得： ． 因，则，故， 则的取值范围是． 23．（24-25高一下·河南焦作·月考）在锐角三角形中，，，分别为内角，，所对的边，且． (1)求角； (2)若，求周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据诱导公式和正弦定义边角互化，求出三角形三边之间的关系，再根据余弦定理解三角形即可. （2）由三角形形状和角的大小，求出另外两个角的范围，根据正弦定理，用正弦值表示三角形各边长，再根据角的范围，求出三角函数值的范围，根据函数性质判断三角形周长的范围. 【解答过程】（1）在中，， 所以， 即． 由正弦定理可得，即． 由余弦定理，得， 因为为锐角三角形的内角，所以． （2）由（1）知，．因为是锐角三角形， 所以，，解得． 由正弦定理，得， 所以，， 所以的周长． 因为，且， 所以． 因为，，所以， 所以， 即的周长的取值范围是. 24．（24-25高一下·山东菏泽·月考）已知，，分别为三个内角，，的对边，. (1)求角； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【解题思路】（1）应用正弦边角关系及和角正弦公式得，再由三角形内角的性质及辅助角公式得，即可得角的大小； （2）由正弦定理得，应用三角恒等变换化为，且即可求范围. 【解答过程】（1）由正弦定理知，而， ∴， 即，又， ∴，即，又， ∴，则. （2）由正弦定理知， 所以 ， 因为，从而，所以， 从而的取值范围为. 25．（24-25高一下·江西上饶·期中）已知的内角，，的对边分别为，，，且． (1)求； (2)若，求周长的最大值． 【答案】(1) (2)． 【解题思路】（1）正弦定理得，由，化简可得； （2）由余弦定理可得，可得，根据基本不等式即可求出的最大值，进而得出周长的最大值． 【解答过程】（1）在中，， 由正弦定理得， 在中，，则， 则， 得， 在中，，则，所以． （2）在中，由余弦定理得， 由（1）知，又， 则， 即， 又，则， 得，则， 当且仅当时，等号成立． 所以周长的最大值为． 题型六 距离、高度、角度测量问题 26．（24-25高一下·四川巴中·期中）如图，为了测量河对岸，两点之间的距离，观察者找到一个点，从点可以观察到点，；找到一个点，从点可以观察到点，；找到一个点，从点可以观察到点，，并测量得到一些数据：，，，，，，.（其中）    (1)求，两点之间的距离； (2)求，两点之间的距离. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）在中，应用正弦定理求解即可； （2）在中，应用正弦定理，求出，再在中,由余弦定理求得答案. 【解答过程】（1）由题意知,在中,. 由正弦定理得. （2）在中, ，由正弦定理得， 在中,由余弦定理得， ∴. 27．（24-25高一下·吉林·期末）如图，测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D．现测得，，，并在点C处测得塔顶A的仰角.    (1)求B与D两点间的距离； (2)求塔高. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据正弦定理即可得到答案； （2）首先根据正弦定理求出，再根据三角函数定义即可得到答案. 【解答过程】（1）在中，. 由正弦定理得， ， （2）. 在中，由正弦定理得 ， ， 在中，. 28．（24-25高一下·吉林松原·期中）如图，，是海上相距海里的两个观测塔，位于的正南方向.观测塔发现其南偏东方向处有一艘轮船发出求救信号，同时，观测塔也发现其北偏东方向上处发出求救信号.此时位于观测塔南偏西方向且与相距海里的处有一艘救援船，其航行的最大速度为30海里/时. (1)求处到观测塔的距离； (2)处的救援船应该朝北偏东多少度的方向沿直线前往处救援？至少航行多长时间才能到达处？ 【答案】(1)海里 (2)北偏东的方向， 2小时 【解题思路】（1）由条件确定，，，再结合，即可求解； （2）在中，由余弦定理先求得，再由，求得，即可求解. 【解答过程】（1）由在的南偏东，在的北偏东方向， 得在中，，，， 由正弦定理，得，所以， 又， 所以海里，即处到观测塔的距离为海里. （2）在中，，，， 由余弦定理，得 ， 所以海里，航行时间至少为小时. 又， 且，所以，所以在的北偏东方向. 故处的救援船应该朝北偏东的方向沿直线前往处救援，至少航行2小时才能到达处. 29．（24-25高一下·河北唐山·期中）如图所示，有一艘缉毒船正在A处巡逻，发现在北偏东方向、距离为60海里处有毒贩正驾驶小船以每小时海里的速度往北偏东的方向逃跑，缉毒船立即驾船以每小时海里的速度前往缉捕． (1)求缉毒船经过多长时间恰好能将毒贩抓捕； (2)试确定缉毒船的行驶方向． 【答案】(1)缉毒船经过2小时恰好能将毒贩抓捕 (2)缉毒船的行驶方向为北偏东 【解题思路】（1）设缉毒船经过t小时恰好能将毒贩抓捕，可知，利用余弦定理运算求解； （2）根据（1）中结果，利用正弦定理可得，进而可得结果. 【解答过程】（1）设缉毒船经过t小时恰好能将毒贩抓捕， 由题意可知：， 由余弦定理可得， 即， 整理可得，解得， 所以缉毒船经过2小时恰好能将毒贩抓捕. （2）由（1）可知：， 由正弦定理可得， 且为锐角，则，可得， 所以缉毒船的行驶方向为北偏东. 30．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·月考）如图，为了测量出到河对岸铁塔的距离与铁塔的高，选与塔底B同在水平面内的两个测点C与D．在C点测得塔底B在北偏东60°方向，然后向正东方向前进100米到达D，测得此时塔底B在北偏东30°方向． (1)求点C到塔底B的距离CB； (2)若在点C测得塔顶A的仰角为45°，求铁塔高AB，并求点D到塔顶A的距离AD． 【答案】(1) (2)， 【解题思路】（1）由题意得，，故，结合正弦定理即可得解； （2）解直角三角形即可得解. 【解答过程】（1）由题意可知，，，故 在中，由正弦定理，得 ， ∴点C到塔底B的距离CB为米； （2） 由题意易知， 因为，，所以， 因为，所以， 所以. 题型七 正余弦定理与三角函数性质的结合应用 31．（24-25高一下·湖南常德·期中）已知向量. (1)求的取值范围； (2)记，在中，角的对边分别为且满足，求函数的值域. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据题意，求得，结合二次函数的性质，即可求解； （2）根据题意，求得，再由，利用正弦定理求得，得到，得到，进而求得的取值范围. 【解答过程】（1）（1）因为， 可得 ， 因为，所以. （2）解：由题意得 ，可得， 因为，由正弦定理得， 所以，所以， 又因为，则，且，所以， 因为，所以，所以，则， 则，所以函数的值域是. 32．（2025高三·全国·专题练习）在锐角三角形中，角的对边分别为，． (1)求； (2)若，求内切圆半径的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【解题思路】（1）应用正弦边角关系化简已知条件为，结合三角形内角的性质得，即可求其大小； （2）利用等面积法得到内切圆半径的表达式，利用余弦定理转化的表达式，运用正弦定理及三角函数的图象与性质求解. 【解答过程】（1）由正弦定理得， 则，得， 易知，所以，又，所以． （2）设内切圆的半径为，则，得． 由余弦定理得，整理得， 所以． 由正弦定理得，所以，， 则 ． 因为为锐角三角形，所以，得， 所以，则，所以， 故， 所以内切圆半径的取值范围为． 33．（24-25高一下·浙江湖州·期末）在锐角中，内角的对边分别为，且满足. (1)求角的大小； (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】(1)根据平面向量数量积的定义和余弦定理可得，即可求出； (2)根据题意和锐角三角形的性质可得，利用三角恒等变换化简可得 ，根据三角函数的性质即可得出结果. 【解答过程】（1） 整理得，故 又，所以； （2）由锐角知， 得， 故 ， 因为，得， 所以. 34．（24-25高一下·陕西西安·月考）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A； (2)若为锐角三角形，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）先利用正弦定理化边为角，再结合和差公式整理即可得的值，进而即可求解； （2）结合（1），先根据正弦定理得，，再根据余弦定理得，从而可得到，结合题意可得到的取值范围，从而确定的取值范围，再结合正弦型函数的性质即可求解． 【解答过程】（1）根据题意，由正弦定理得， 又在中，有，所以， 所以，所以． （2）结合（1）可得，， 由，则根据正弦定理有，得，， 根据余弦定理有，得， 所以 ， 又为锐角三角形，则有，，得， 所以，所以， 故． 35．（24-25高一下·河北石家庄·月考）在中，角所对的边分别为，已知且． (1)求角的大小． (2)若的面积为，求的周长． (3)若为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3). 【解题思路】（1）由正弦边角关系及和角正弦公式得，再由三角形内角的性质及辅助角公式得，即可得； （2）由三角形面积公式得，再应用余弦定理求边长，即可得； （3）由题设得、，再应用三角恒等变换有，最后由正弦型函数的性质求范围. 【解答过程】（1）由题设及正弦边角关系，知， 又， 所以，又， 则，即， 因为，所以，所以，即； （2）由题设，则， 所以， 所以三角形周长为； （3）由（1）知，则，而，得， 所以， 而，故，则的范围为. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 解三角形的综合应用大题（35题）（举一反三专项训练） 【人教A版】 姓名：___________班级：___________考号：___________ 题型一 1．（24-25高一下·重庆南岸·期中）的内角的对边分别为，已知 (1)求角的大小； (2)若，，判断三角形形状． 2．（24-25高一下·四川·期中）已知分别为三个内角的对边，且． (1)求的值； (2)若，且的面积为，判断的形状并说明理由． 3．（24-25高三上·甘肃白银·月考）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求的值； (2)若，求，并判断 的形状． 4．（24-25高一下·河北·期末）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若． (1)判断的形状，并说明理由； (2)若是斜三角形，D是AC的中点，且，，求． 5．（24-25高一下·北京通州·期末）在△中，角所对的边为，△的面积为S，且． (1)求角； (2)若，试判断△的形状，并说明理由． 题型二 几何图形中的计算 6．（24-25高一下·海南海口·月考）如图，在中，，，，为内一点，且． (1)若，求的长； (2)若，求． 7．（24-25高一下·云南玉溪·期中）如图，在中，，为边上一点且，. (1)若，求的面积； (2)求的取值范围. 8．（24-25高一下·广东佛山·期中）在四边形中，，记，，的角平分线与相交于点，且，. (1)求的大小； (2)求的值. 9．（24-25高三上·江西萍乡·期中）如图，在平面四边形中，，，，． (1)求四边形的周长； (2)求四边形的面积． 10．（2025高一下·山东临沂·期中）如图，在平面四边形中，，，，，．    (1)求的值； (2)求的长． 题型三   11．（25-26高三上·河北保定·月考）记的内角的对边分别为，已知． (1)证明：； (2)记的中点为，若，且，求的周长． 12．（2025·甘肃武威·模拟预测）记的内角，，的对边分别为，，，已知. (1)证明：； (2)求的最大值. 13．（2025·广东·模拟预测）在中，角的对边分别是，且． (1)证明：． (2)若是锐角三角形，求的取值范围． 14．（24-25高一下·辽宁丹东·期末）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且面积为S. (1)若，，求C； (2)求证：； (3)求的最小值. 15．（2025高三·全国·专题练习）已知的内角的对边为，且． (1)求； (2)若，求证：． 题型四 16．（24-25高一下·吉林长春·月考）已知的内角的对边分别为，的面积为，已知. (1)求； (2)若，求的面积的最大值. 17．（24-25高一下·山东临沂·期末）已知是锐角三角形，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)求A； (2)若，求面积的取值范围. 18．（24-25高二下·云南临沧·期末）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，． (1)若，求a； (2)若为钝角三角形，求面积的取值范围． 19．（24-25高一下·江苏南京·月考）在中，角所对的边，已知． (1)求角； (2)若，求面积的最大值． 20．（2025高三·全国·专题练习）在中，角所对的边分别为，已知 ． (1)求； (2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． 题型五 求三角形中的边长或周长的最值或范围 21．（24-25高一下·内蒙古锡林郭勒·期中）锐角三角形的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，求的周长的取值范围. 22．（24-25高一下·贵州贵阳·月考）在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，，． (1)求角A和边a； (2)求的取值范围． 23．（24-25高一下·河南焦作·月考）在锐角三角形中，，，分别为内角，，所对的边，且． (1)求角； (2)若，求周长的取值范围． 24．（24-25高一下·山东菏泽·月考）已知，，分别为三个内角，，的对边，. (1)求角； (2)若，求的取值范围. 25．（24-25高一下·江西上饶·期中）已知的内角，，的对边分别为，，，且． (1)求； (2)若，求周长的最大值． 题型六 距离、高度、角度测量问题 26．（24-25高一下·四川巴中·期中）如图，为了测量河对岸，两点之间的距离，观察者找到一个点，从点可以观察到点，；找到一个点，从点可以观察到点，；找到一个点，从点可以观察到点，，并测量得到一些数据：，，，，，，.（其中）    (1)求，两点之间的距离； (2)求，两点之间的距离. 27．（24-25高一下·吉林·期末）如图，测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D．现测得，，，并在点C处测得塔顶A的仰角.    (1)求B与D两点间的距离； (2)求塔高. 28．（24-25高一下·吉林松原·期中）如图，，是海上相距海里的两个观测塔，位于的正南方向.观测塔发现其南偏东方向处有一艘轮船发出求救信号，同时，观测塔也发现其北偏东方向上处发出求救信号.此时位于观测塔南偏西方向且与相距海里的处有一艘救援船，其航行的最大速度为30海里/时. (1)求处到观测塔的距离； (2)处的救援船应该朝北偏东多少度的方向沿直线前往处救援？至少航行多长时间才能到达处？ 29．（24-25高一下·河北唐山·期中）如图所示，有一艘缉毒船正在A处巡逻，发现在北偏东方向、距离为60海里处有毒贩正驾驶小船以每小时海里的速度往北偏东的方向逃跑，缉毒船立即驾船以每小时海里的速度前往缉捕． (1)求缉毒船经过多长时间恰好能将毒贩抓捕； (2)试确定缉毒船的行驶方向． 30．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·月考）如图，为了测量出到河对岸铁塔的距离与铁塔的高，选与塔底B同在水平面内的两个测点C与D．在C点测得塔底B在北偏东60°方向，然后向正东方向前进100米到达D，测得此时塔底B在北偏东30°方向． (1)求点C到塔底B的距离CB； (2)若在点C测得塔顶A的仰角为45°，求铁塔高AB，并求点D到塔顶A的距离AD． 题型七 正余弦定理与三角函数性质的结合应用 31．（24-25高一下·湖南常德·期中）已知向量. (1)求的取值范围； (2)记，在中，角的对边分别为且满足，求函数的值域. 32．（2025高三·全国·专题练习）在锐角三角形中，角的对边分别为，． (1)求； (2)若，求内切圆半径的取值范围． 33．（24-25高一下·浙江湖州·期末）在锐角中，内角的对边分别为，且满足. (1)求角的大小； (2)求的取值范围. 34．（24-25高一下·陕西西安·月考）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A； (2)若为锐角三角形，且，求的取值范围． 35．（24-25高一下·河北石家庄·月考）在中，角所对的边分别为，已知且． (1)求角的大小． (2)若的面积为，求的周长． (3)若为锐角三角形，求的取值范围． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $