专题7.4 复数的三角表示（举一反三讲义）高一数学人教A版必修第二册

本讲义聚焦高中数学复数的三角表示核心知识点，系统梳理复数三角表示式（含模、辐角主值及三角形式特征），复数乘除运算的三角表示及几何意义，乘方与开方运算，构建从概念理解到运算应用再到几何意义探究的学习支架。 该资料以7大题型（如复数三角表示、辐角主值求解等）为主线，例题与变式结合，通过几何意义分析培养数学眼光（几何直观），运算推理训练数学思维（推理能力），三角与代数形式互化提升数学语言表达。课中辅助教师分层教学，课后助力学生巩固练习，有效查漏补缺。

专题7.4 复数的三角表示（举一反三讲义） 【人教A版】 【题型1 复数的三角表示】 2 【题型2 求辅角主值】 4 【题型3 复数的代数形式与三角形式的互化】 5 【题型4 三角表示下复数的几何意义】 10 【题型5 复数乘、除运算的三角表示】 12 【题型6 三角表示下复数的乘方与开方】 13 【题型7 复数乘、除运算的几何意义的应用】 15 知识点1 复数的三角表示式 1．复数的三角表示式 (1)复数的三角表示式 如图，我们可以用刻画向量大小的模r和刻画向量方向的角θ来表示复数z. 一般地，任何一个复数z=a+bi都可以表示成r(cosθ+isinθ)的形式. 概念名称 概念的说明 模r r是复数z的模，) 辐角θ θ是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线(射线OZ)为终边的角，且 三角形式 r(cosθ+isinθ)叫做复数z=a+bi的三角表示式，简称三角形式，该式的结构特征是：模非负，角相同，余弦前，加号连 (2)辅角的主值 显然，任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍.例如，复数i的辐角是 ，其中k可以取任何整数.对于复数0，因为它对应着零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0的辐角也是任意的.我们规定在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值.通常记作argz，即0≤argz<2π. (3)三角形式下的复数相等 每一个不等于零的复数有唯一的模与辐角的主值，并且由它的模与辐角的主值唯一确定.因此，两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等. 【题型1 复数的三角表示】 【例1】（24-25高一上·上海·课后作业）的三角形式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】合理化简原复数，表示为三角形式即可. 【解答过程】由题意得，故D正确. 故选：D. 【变式1-1】（2025高一下·全国·专题练习）复数的三角形式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由复数的三角形式定义以及诱导公式即可求解. 【解答过程】. 故选：D. 【变式1-2】（24-25高一·全国·课前预习）复数的三角形式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】首先求出复数在复平面内所对应的点，即可求出和辐角，从而得解； 【解答过程】解：复数在复平面内所对应的点为位于第四象限， 则，，所以，即 所以． 故选：D. 【变式1-3】（24-25高一·湖南·课后作业）下列复数是不是三角形式？如果不是，把它们表示成三角形式． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)不是三角形式，化为三角形式为； (2)不是三角形式，化为三角形式为； (3)不是三角形式，化为三角形式为； (4)是三角形式. 【解题思路】直接利用复数的三角形式求解即可. 【解答过程】（1）不是三角形式， ， 其中，故三角形式为 ； （2）不是三角形式， ， 其中，故三角形式为 ； （3）不是三角形式， ， ，故三角形式为 ； （4）是三角形式. 【题型2 求辅角主值】 【例2】（24-25高一上·湖南衡阳·期末）复数的辐角的主值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据辐角主值的知识求得正确答案. 【解答过程】， 所以辐角的主值为. 故选：A. 【变式2-1】（24-25高一下·福建厦门·期中）已知复数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】把复数变为一个角的三角形式即可求解. 【解答过程】因为，所以. 故选：C. 【变式2-2】（24-25高一下·全国·课后作业）写出下列复数的辐角的主值 (1)-4； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3) (4) 【解题思路】利用复数的辐角求主值的方法求解即可. 【解答过程】（1），所以； （2），所以； （3），所以； （4），所以. 【变式2-3】（24-25高一·全国·课后作业）求下列复数的模与辐角主值： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1)模为，辐角主值为 (2)模为，辐角主值为 (3)模为，辐角主值为 (4)模为，辐角主值为 【解题思路】（1）直接求出模，根据其对应的点可得辐角主值； （2）直接求出模，根据其对应的点可得辐角主值； （3）直接求出模，根据其对应的点可得辐角主值； （4）直接求出模，根据其对应的点可得辐角主值. 【解答过程】（1），其对应的点为，辐角主值为； （2），其对应的点为，辐角主值为； （3），其对应的点为，辐角主值为； （4），其对应的点为，其辐角主值为. 【题型3 复数的代数形式与三角形式的互化】 【例3】（24-25高一·湖南·课后作业）将下列复数化为三角形式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【解题思路】求出各复数的模和辐角，化简成的形式即可得解. 【解答过程】（1）； （2）； （3）； （4）. 【变式3-1】（2025高三·全国·专题练习）分别指出下列复数的模和辐角的主值，并将复数表示成代数形式． (1)； (2). 【答案】(1)4，， (2)2，， 【解题思路】根据复数的相关概念即可求得模和辐角主值，化简计算即可求得复数的代数形式. 【解答过程】（1）的模为4，辐角主值为， ； （2）， 故的模为2，辐角主值为， . 【变式3-2】（2025高一·全国·专题练习）将下列复数的三角形式转化为代数形式，代数形式转化为三角形式． (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【解题思路】（1）求出三角函数值展开后可得； （2）结合诱导公式求出三角函数值展开后可得； （3）先计算模长，再求辐角，然后可得； （4）先计算模长，再求辐角，然后可得. 【解答过程】（1）. （2）. （3）复数的模长为1，辐角为，所以. （4）复数的模长为1，辐角为，. 【变式3-3】（24-25高一·全国·随堂练习）在复平面内作出下列复数对应的向量，并用三角形式表示（辐角取主值）： (1)6； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)，画向量见解析 (2)，画向量见解析 (3)，画向量见解析 (4)，画向量见解析 【解题思路】根据复数的几何意义，求出模长和辐角，即可求解. 【解答过程】（1）6对应的向量如答图中， ，又， .    （2）对应的向量如答图中， ， 又，.    （3）对应的向量如答图中 ， 又，.    （4）对应的向量如答图中， ， 又，.    知识点2 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 1．复数乘法运算的三角表示及其几何意义 (1)复数乘法运算的三角表示 根据复数的乘法法则以及两角和的正弦、余弦公式，可以得到 ， 即. 这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和. (2)几何意义 两个复数z1，z2相乘时，可以像图那样，先分别画出与z1，z2对应的向量，，然后把向量绕点O按逆时针方向旋转角θ2(如果θ2<0，就要把绕点O按顺时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的r2倍，得到向量，表示的复数就是积z1z2.这是复数乘法的几何意义. 2．复数除法运算的三角表示及其几何意义 (1)复数除法运算的三角表示 设，，且，因为，所以根据复数除法的定义，有. 这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差. (2)几何意义 如图，两个复数z1，z2相除时，先分别画出与z1，z2对应的向量，，然后把向量绕点O按顺时针方向旋转角θ2(如果θ2<0，就要把绕点O按逆时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的倍，得到向量，表示的复数就是商.这是复数除法的几何意义. 【题型4 三角表示下复数的几何意义】 【例4】（24-25高一下·上海浦东新·期末）设复数满足条件，则对应复平面上的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解题思路】设出复数的三角形式，利用复数的运算法则化简求解，即可判断出对应点所在的象限即可. 【解答过程】复数满足条件，所以可设， 所以 所以， 因为，所以，所以， 所以对应复平面上的点位于第四象限. 故选：D. 【变式4-1】（24-25高一·全国·课前预习）将复数i对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，得到向量，则对应的复数是（    ） A．＋i B．－＋i C．－－i D．－i 【答案】A 【解题思路】根据复数i的辐角及旋转过程确定对应复数的辐角，进而写出对应的复数即可. 【解答过程】由，顺时针旋转，则对应辐角为， 所以对应的复数是. 故选：A. 【变式4-2】（2025·河南信阳·模拟预测）在复平面内，把复数对应的向量按顺时针方向旋转，所得向量在上的投影向量对应复数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由复数的几何意义可得旋转后的向量所对应的复数为并化简 ，再结合投影向量的定义求解． 【解答过程】因为把复数对应的向量按顺时针方向旋转， 所以旋转后的向量所对应的复数为， 所以旋转后的向量， 又因为，， 所以向量在上的投影向量是，即对应复数是. 故选：D. 【变式4-3】（2025高三·全国·专题练习）欧拉公式（其中i为虚数单位）是由瑞士数学家欧拉发现的．若复数，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解题思路】根据欧拉公式写出复数的代数形式，进而确定对应点，即可得答案. 【解答过程】由题可得， 所以在复平面内对应的点为，位于第二象限， 故选：B. 【题型5 复数乘、除运算的三角表示】 【例5】（24-25高一·全国·课后作业）计算的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据复数的三角运算公式运算即可. 【解答过程】因为 所以， 所以， 故选：B. 【变式5-1】（2025·海南·模拟预测）已知复数（为虚数单位），则等于（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据复数的三角形式的运算法则，准确运算，即可求解. 【解答过程】因为复数， 根据复数的运算法则，可得. 故选：C. 【变式5-2】（24-25高一下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）（2）利用复数运算的三角表示化简可得结果； 【解答过程】（1）原式． （2）原式 ． 【变式5-3】（24-25高一下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用复数乘法运算的三角表示的运算法则，计算得到答案； （2）利用复数除法运算的三角表示的运算法则，计算得到答案. 【解答过程】（1）原式． （2）原式． 【题型6 三角表示下复数的乘方与开方】 【例6】（24-25高二下·广西·月考）若，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【解题思路】首先用三角形式表示复数，利用复数三角形式的乘方运算求得，，再求出目标式的值. 【解答过程】由， 所以，， 综上，. 故选：A. 【变式6-1】（25-26高三上·湖北·期中）任意一个复数都可以表示成三角形式，即.法国数学家棣莫弗创立的棣莫弗定理是：设两个复数，，则，已知复数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解答过程】将化为三角形式，根据棣莫弗定理可求得的值，即可求得答案. 【解题思路】由题意可得， 故， 所以， 故选：C. 【变式6-2】（25-26高三上·江西南昌·月考）设有复数，，令，则复数（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用复数三角形式的乘方运算，化简计算即可得到答案. 【解答过程】根据复数的三角形式，复数，模为，极角为， 则.又因为， 所以， 所以， ，所以. ， 故选：A. 【变式6-3】（24-25高一下·上海·期末）欧拉公式：是虚数单位，是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它非常巧妙地将三角函数与复指数函数关联了起来.若复数，复数满足，则的最大值为（     ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】D 【解题思路】由题设新定义得，再应用乘方运算得，且，即可得. 【解答过程】由题设，则， 所以， 由，则，故时的最大值为2. 故选：D. 【题型7 复数乘、除运算的几何意义的应用】 【例7】（24-25高一下·湖北武汉·期中）设复数对应的向量分别为为坐标原点，且，若把绕原点顺时针旋转，把绕原点逆时针旋转，所得两向量的终点重合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】把化为复数的三角形式，根据复数对应的向量旋转所得向量，求解即可. 【解答过程】由已知得， 所以绕原点顺时针旋转得 ， 由绕原点逆时针旋转，所得两向量的终点重合得， 所以. 故选：B. 【变式7-1】（24-25高一下·全国·课后作业）已知复数对应的向量绕原点逆时针旋转后得到的向量对应的复数为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先根据复数的三角形式旋转得到新复数，再应用复数乘法计算即可. 【解答过程】逆时针旋转后得， 所以=. 故选：A. 【变式7-2】（2025高一下·全国·专题练习）设复数对应的向量为，，为坐标原点，且，若把绕原点逆时针旋转，把绕原点顺时针旋转，所得两向量恰好重合，求复数. 【答案】 【解题思路】根据复数的三角表示的几何意义及运算法则计算即可. 【解答过程】依题意得， 所以 . 【变式7-3】（24-25高一下·全国·课后作业）在复平面内，把复数对应的向量绕原点逆时针旋转后所得向量对应的复数为，绕原点顺时针旋转后所得向量对应的复数为 (1)求复数； (2)若复数，求复数. 【答案】(1)， (2) 【解题思路】(1)根据复数的三角形式旋转后可得新复数； (2)根据复数三角形式的除法运算律求解即可. 【解答过程】（1）复数逆时针旋转后得, 顺时针旋转后得. （2）由（1）得. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题7.4 复数的三角表示（举一反三讲义） 【人教A版】 【题型1 复数的三角表示】 2 【题型2 求辅角主值】 2 【题型3 复数的代数形式与三角形式的互化】 3 【题型4 三角表示下复数的几何意义】 6 【题型5 复数乘、除运算的三角表示】 6 【题型6 三角表示下复数的乘方与开方】 7 【题型7 复数乘、除运算的几何意义的应用】 8 知识点1 复数的三角表示式 1．复数的三角表示式 (1)复数的三角表示式 如图，我们可以用刻画向量大小的模r和刻画向量方向的角θ来表示复数z. 一般地，任何一个复数z=a+bi都可以表示成r(cosθ+isinθ)的形式. 概念名称 概念的说明 模r r是复数z的模，) 辐角θ θ是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线(射线OZ)为终边的角，且 三角形式 r(cosθ+isinθ)叫做复数z=a+bi的三角表示式，简称三角形式，该式的结构特征是：模非负，角相同，余弦前，加号连 (2)辅角的主值 显然，任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍.例如，复数i的辐角是 ，其中k可以取任何整数.对于复数0，因为它对应着零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0的辐角也是任意的.我们规定在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值.通常记作argz，即0≤argz<2π. (3)三角形式下的复数相等 每一个不等于零的复数有唯一的模与辐角的主值，并且由它的模与辐角的主值唯一确定.因此，两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等. 【题型1 复数的三角表示】 【例1】（24-25高一上·上海·课后作业）的三角形式是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2025高一下·全国·专题练习）复数的三角形式是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25高一·全国·课前预习）复数的三角形式为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25高一·湖南·课后作业）下列复数是不是三角形式？如果不是，把它们表示成三角形式． (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型2 求辅角主值】 【例2】（24-25高一上·湖南衡阳·期末）复数的辐角的主值为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25高一下·福建厦门·期中）已知复数，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25高一下·全国·课后作业）写出下列复数的辐角的主值 (1)-4； (2)； (3)； (4). 【变式2-3】（24-25高一·全国·课后作业）求下列复数的模与辐角主值： (1)； (2)； (3)； (4). 【题型3 复数的代数形式与三角形式的互化】 【例3】（24-25高一·湖南·课后作业）将下列复数化为三角形式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式3-1】（2025高三·全国·专题练习）分别指出下列复数的模和辐角的主值，并将复数表示成代数形式． (1)； (2). 【变式3-2】（2025高一·全国·专题练习）将下列复数的三角形式转化为代数形式，代数形式转化为三角形式． (1)； (2)； (3)； (4) 【变式3-3】（24-25高一·全国·随堂练习）在复平面内作出下列复数对应的向量，并用三角形式表示（辐角取主值）： (1)6； (2)； (3)； (4)． 知识点2 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 1．复数乘法运算的三角表示及其几何意义 (1)复数乘法运算的三角表示 根据复数的乘法法则以及两角和的正弦、余弦公式，可以得到 ， 即. 这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和. (2)几何意义 两个复数z1，z2相乘时，可以像图那样，先分别画出与z1，z2对应的向量，，然后把向量绕点O按逆时针方向旋转角θ2(如果θ2<0，就要把绕点O按顺时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的r2倍，得到向量，表示的复数就是积z1z2.这是复数乘法的几何意义. 2．复数除法运算的三角表示及其几何意义 (1)复数除法运算的三角表示 设，，且，因为，所以根据复数除法的定义，有. 这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差. (2)几何意义 如图，两个复数z1，z2相除时，先分别画出与z1，z2对应的向量，，然后把向量绕点O按顺时针方向旋转角θ2(如果θ2<0，就要把绕点O按逆时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的倍，得到向量，表示的复数就是商.这是复数除法的几何意义. 【题型4 三角表示下复数的几何意义】 【例4】（24-25高一下·上海浦东新·期末）设复数满足条件，则对应复平面上的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式4-1】（24-25高一·全国·课前预习）将复数i对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，得到向量，则对应的复数是（    ） A．＋i B．－＋i C．－－i D．－i 【变式4-2】（2025·河南信阳·模拟预测）在复平面内，把复数对应的向量按顺时针方向旋转，所得向量在上的投影向量对应复数是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2025高三·全国·专题练习）欧拉公式（其中i为虚数单位）是由瑞士数学家欧拉发现的．若复数，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【题型5 复数乘、除运算的三角表示】 【例5】（24-25高一·全国·课后作业）计算的值是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2025·海南·模拟预测）已知复数（为虚数单位），则等于（   ） A．1 B． C． D． 【变式5-2】（24-25高一下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【变式5-3】（24-25高一下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【题型6 三角表示下复数的乘方与开方】 【例6】（24-25高二下·广西·月考）若，则（    ） A．1 B． C． D． 【变式6-1】（25-26高三上·湖北·期中）任意一个复数都可以表示成三角形式，即.法国数学家棣莫弗创立的棣莫弗定理是：设两个复数，，则，已知复数，则（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26高三上·江西南昌·月考）设有复数，，令，则复数（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】（24-25高一下·上海·期末）欧拉公式：是虚数单位，是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它非常巧妙地将三角函数与复指数函数关联了起来.若复数，复数满足，则的最大值为（     ） A．0 B． C．1 D．2 【题型7 复数乘、除运算的几何意义的应用】 【例7】（24-25高一下·湖北武汉·期中）设复数对应的向量分别为为坐标原点，且，若把绕原点顺时针旋转，把绕原点逆时针旋转，所得两向量的终点重合，则（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（24-25高一下·全国·课后作业）已知复数对应的向量绕原点逆时针旋转后得到的向量对应的复数为，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（2025高一下·全国·专题练习）设复数对应的向量为，，为坐标原点，且，若把绕原点逆时针旋转，把绕原点顺时针旋转，所得两向量恰好重合，求复数. 【变式7-3】（24-25高一下·全国·课后作业）在复平面内，把复数对应的向量绕原点逆时针旋转后所得向量对应的复数为，绕原点顺时针旋转后所得向量对应的复数为 (1)求复数； (2)若复数，求复数. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $