7.3.1复数的三角表示式（教学课件) 数学人教A版必修第二册

第7章 复数 7.3.1　复数的三角表示式 人教A版·必修第二册· 学习目标 1.理解复数的辐角、辐角主值的定义，能准确判断复数辐角所在象限并求出辐角主值。 2.掌握复数三角表示式的结构特征，能熟练进行复数代数形式与三角形式的互化。 3.了解复数三角形式乘除运算的法则及几何意义，能解决简单的乘除运算问题。 4.经历复数三角表示式的探究过程，体会数形结合、转化与化归的数学思想，提升数学抽象、逻辑推理和数学运算素养。 目录 CATALOG 01. 复数的三角表示式 03.题型强化训练 02.复数表示成代数形式 04.小结及随堂练习 7.3.1复数的三角表示式 01 复数的三角表示式 导入新知1：导航软件中的“方向与距离”——复数的另一种表达 同学们，平时出行用导航软件时，会不会注意到这样的提示：“前方500米，向东偏北30°行驶”？这里的“500米”是距离，“东偏北30°”是方向，两个信息结合就能精准确定行驶路径。 1. 导航中“距离+方向”能精准定位路径，结合复数的双重属性，复数为什么能用“模（距离）”和“方向角”来表示？ 2. 复数1+√3i对应的点在第一象限，其模长为2、方向角为60°，模长和方向角分别该如何计算得出？ 3. 相较于复数z=a+bi的代数形式，“模+方向”的三角表示式，在描述复平面内的复数时，优势体现在哪里？ 4. 用复数的三角表示式进行乘法运算，为什么能简化多项式展开的繁琐步骤，让运算更高效？ 导入新知2：钟表指针的“旋转与缩放”——复数运算的几何密码 大家每天都会看钟表，钟表的指针不仅能告诉我们时间，还藏着数学规律呢！比如时针从12点转到3点，是绕着表盘中心逆时针旋转了90°；如果把指针长度拉长到原来的2倍，再旋转60°，指针指向的位置就完全变了。其实，复数在复平面内对应的向量，就像钟表的指针——有长度（模），有方向（辐角）。 1. 钟表指针的“旋转”和“缩放”，分别对应复数在复平面内向量的什么特征？为什么说复数对应向量和钟表指针很相似？ 2. 复数(2+2i)的模是2√2、方向角45°，复数(√3+i)的模是2、方向角30°，它们的模和方向角分别是如何计算得出的？ 3. 计算(2+2i)(√3+i)时，“模相乘、辐角相加”的方式为什么比代数形式展开计算更简便？ 4. 复数的三角表示式作为解锁复数运算的“几何密码”，其核心优势的是能让我们从什么角度理解复数运算的本质？ 复习旧知 复数的几何意义 复平面内的点Z（a，b） 一一对应 一一对应 平面向量OZ 一一对应 a b z=a＋bi Z（a，b） 复数z＝a＋bi 学习新知 复数z＝a＋bi与向量OZ =(a，b)一一对应，复数z由向量OZ 的坐标 (a，b)唯一确定．我们知道向量也可以由它的大小和方向唯一确定，那么能否借助向量的大小和方向这两个要素来 表示复数呢？你认为如何表示？ 【探究】 a b z=a＋bi r 向量的大小可以用模来刻画，那么向量的方向如何刻画呢？由图容易想到，可以借助以x轴的非负半轴为始边，以向量OZ所在射线（射线 OZ）为终边的角θ来刻画OZ的方向． 学习新知 【思考】 图7.3-1 学习新知 前面我们研究了复数a+bi及其四则运算，本节研究复数的另一种重要表示——复数的三角表示.它可以帮助我们进一步认识复数，同时能给复数的运算带来便利. 当点Z在实轴或虚轴上时，这个结论成立吗？ 学习新知 a b z=a＋bi r θ 一般地，任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成 r(cosθ+isinθ) 的形式． r 是复数z的模； θ 是以x轴的非负半轴为始边，向量OZ所在射线为终边的角， 叫做复数z＝a＋bi的辐角； 其中： a＋bi 叫做复数z的代数表示式， 简称代数形式； 辐角 模 r (cosθ+isinθ) 叫做复数z的三角表示式， 简称三角形式； 学习新知 【问题】 一个复数的辐角的值有多少个？ 显然，任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值． 【问题】 这些辐角的值之间有什么关系呢？ 这些值相差2π的整数倍． 【问题】 若复数为0，它的辐角是哪个角？ 对于复数0，因为它对应着零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0的辐角也是任意的． a b z=a＋bi r θ 可借助终边相同 角的表示来理解 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 判断复数对应的点所在的象限、复数的三角表示 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 瞬时变化率的概念及辨析 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 复数的三角表示、复数乘、除运算的三角表示 学习新知 我们规定在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值． 通常记作arg z，即0 ≤ arg z < 2π． 例如，arg 1= ，arg i= ，arg(－1)= ，arg (－i)= ． 复数的代数形式可以转化为三角形式，三角形式也可以转化为代数形式．我们可以根据运算的需要，将复数的三角形式和代数形式进行互化． 每个非零复数的幅角的主值有且只有一个 02 复数表示成代数形式 7.3.1复数的三角表示式 学习新知 例1： 【分析】 只要确定复数的模和一个辐角，就能将复数的 代数形式转化为三角形式． 学习新知 例1： 学习新知 【变式】 学习新知 把复数z＝a＋bi的代数形式 转化成三角形式的基本步骤 （1）求复数的模r: （2）求复数的辐角的主值θ: （3）写出复数的三角形式: 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 三角表示下复数的乘方与开方 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 复数的三角表示、求复数的实部与虚部 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 复数的三角表示 学习新知 例2： 分别指出下列复数的模和一个辐角，画出它们对应的向量，并把这些复数表示成代数形式： 1 图7.3-4 学习新知 6 图7.3-5 学习新知 【变式】 【详解】 学习新知 两个用代数形式表示的非零复数相等的条件是什么？两个用三角形式表示的非零复数在什么条件下相等呢？ 【思考】 两个复数相等 ⟺ 两个复数对应的向量相等 ⟺ 两个向量的长度相等且方向相同 ⟺ 两个复数的模相等且辐角主值相等 学习新知 其中 r 是复数z的模； θ 是以x轴的非负半轴为始边， 向量OZ所在射线为终边的角，叫做z的辐角； 在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值．通常记作arg z． 两个复数相等 ⟺ 两个复数的模相等且辐角主值相等 a b z=a＋bi r θ 学习新知 把复数z＝a＋bi的代数形式 转化成三角形式的基本步骤 （1）求复数的模r: （2）求复数的辐角的主值θ: （3）写出复数的三角形式: 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 复数乘、除运算的三角表示 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 复数的三角表示、复数的乘方 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 复数的三角表示 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 瞬时变化率的概念及辨析 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 瞬时变化率的概念及辨析 03 题型强化训练 7.3.1复数的三角表示式 能力提升 题型一、复数的代数形式化为三角形式 能力提升 题型一、复数的代数形式化为三角形式 【感悟提升】 复数的代数形式化为三角形式的步骤 (1) 先求复数的模． (2) 确定辐角所在的象限． (3) 根据象限求出辐角(一般取辐角的主值)． (4) 求出复数的三角形式． 学习新知 将复数的代数形式转化为 三角形式的步骤 (1) 先求复数的模； (2) 确定辐角所在的象限； (3) 根据象限求出辐角； (4) 求出复数的三角形式． 能力提升 题型二、判断复数的三角形式 能力提升 题型二、判断复数的三角形式 【感悟提升】 能力提升 题型三、复数的三角形式化为代数形式 学习新知 复数的代数形式化成 三角形式的步骤 (1) 求复数的模； (2) 确定辐角所在的象限； (3) 根据象限求出辐角； (4) 求出复数的三角形式． 通性通法 能力提升 题型四、复数三角形式的乘除运算 【详解】 能力提升 【方法技巧】 题型四、复数三角形式的乘除运算 1．乘法法则：模相乘，辐角相加． 2．除法法则：模相除，辐角相减． 3．复数的n次幂等于模的n次幂，辐角的n倍． 通性通法 复数三角形式的乘法、除法运算 在进行复数三角形式的乘法、除法运算时，注意先将复数化为三角形式，再按法则进行运算，当不要求把计算结果化为代数形式时，也可以用三角形式表示． 能力提升 题型五、复数三角形式乘、除运算的几何意义 【详解】 复数乘法的几何意义：复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合也是一一对应的．在用到复数的三角表示式时，要先算出复数的模和辐角．求解时注意向量旋转的方向． 【点睛】 能力提升 题型五、复数三角形式乘、除运算的几何意义 【方法技巧】 两个复数z1，z2相乘时，先分别画出与z1，z2对应的向量OZ1 ，OZ2 ，然后把向量OZ1 绕点O按逆时针方向旋转角θ2(如果θ2＜0，就要把OZ1 绕点O按顺时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的r2倍，得到向量OZ ，OZ 表示的复数就是积z1z2.　 04 小结及随堂练习 7.3.1复数的三角表示式 课堂总结1 知识清单： 1.复数的几何意义 2.复数的三角表示式 3.复数的辐角与辐角主值 4.复数代数形式与 5.三角形式的互化 课堂总结2 作业 1.教材第89页习题7.3第1.2题.通过分层作业使布置作业题). 2.教材第89页习题7.3第5题(选做学生独立完成). 7.3.1复数的三角表示式 练习(第86页) 1．把下列复数表示成三角形式，并且画出与它们对应的向量： 2．下列复数是不是三角形式？如果不是，把它们表示成三角形式． 2．下列复数是不是三角形式？如果不是，把它们表示成三角形式． 3．把下列复数表示成代数形式． 人教A版·必修第二册· THANKS 感谢您的聆听 1. 欧拉公式 （其中i为虚数单位）是由瑞士数学家欧拉发现的．若复数 ，则 在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【详解】由题可得， 所以在复平面内对应的点为，位于第二象限， 故选：B 复数 的辐角的主值为（   ） A． B． C． D． 【详解】， 所以辐角的主值为. 故选：A 3. 复数 的三角形式是（    ） A． ； B． ； C． ； D． . 【详解】 故选：C. 【答案】C 【知识点】复数乘、除运算的三角表示、复数的三角表示、复数的三角形式 【分析】根据两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模，商的辐角等于被除数 的辐角减去除数的辐角，通过计算得到答案. 【详解】 ， 故选：C. � EMBED Equation.DSMT4 ��� 复数 的三角形式是（    ） A． ； B． ； C． ； D． . 4. 棣莫佛定理：若复数 ，则 ，计算 （    ） A． B． C． D． 【详解】因为， 所以，. 故选：A. 5. 法国数学家棣莫弗（1667-1754年）发现了棣莫弗定理：设两个复数 ， ，（ ， ）则 ．设 ，则 的虚部为（    ） A． B． C． D． 【详解】根据题意，由， 可得 . 故虚部为. 故选：C 6. 复数 的辐角主值为（    ） A． B． C． D． 【详解】因为， 所以的辐角主值为. 故选：C 解：因为 所以 所以 的共轭复数是 ， 故选：C 设 (其中 为虚数单位)，则 的共轭复数是（　） A． B． C． D． 7. 计算 的结果为（   ） A． B．1 C． D． 【详解】由复数的运算性质，可得 . 故选：A. 8. （    ） A． B． C． D． 【详解】， 由于， 所以， . 故选：A. 9. 复数 的辐角的主值为（    ） A． B． C． D． 【详解】 . ∵，∴，，∴. ∵辐角的主值的取值范围为，∴复数z的辐角的主值为. 故选：C. 10. 的三角形式是（    ） A． B． C． D． 【详解】，故B正确； 经检验，ACD都错误. 故选：B 设函数 的导函数为 ，且 ， 则 （   ） A． B． C． D． 【详解】由题意知，位移与时间的关系是 ，可得， 可得. 故选：C. 【答案】A 【知识点】复数的三角形式 【分析】求出复数 的模与辐角主值，从而即可求解. 【详解】解：设复数 的模为 ，则 ， ， 所以复数 的三角形式为 ． 故选：A. 【练习1】复数 化成三角形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】复数的三角表示 【分析】根据复数i的辐角及旋转过程确定 对应复数的辐角，进而写出对应的复数即可. 【详解】由 ，顺时针旋转 ，则对应辐角为 ， 所以 对应的复数是 . 故选：A 【练习2】将复数i对应的向量 绕原点按顺时针方向旋转 ，得到向量 ，则 对应的复数是（    ） A． ＋ i B．－ ＋ i C．－ － i D． － i 判断复数的三角形式的条件 (1) r≥0. (2) 加号连接． (3) cos在前，sin在后． (4) θ前后一致． 即“模非负，角相同，余正弦，加号连”． 【答案】D 【知识点】复数的三角表示 【解析】根据特殊角的三角函数值，化简即可. 【详解】 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 故选：D. 【点睛】本题考查复数的三角形式的化简，只需计算对应的三角函数值即可. 【感悟提升】将复数的三角形式化为代数形式：由z＝r(cosθ＋isinθ)＝rcosθ＋irsinθ， 可得a＝rcosθ，b＝rsinθ. A．4 B．-4 C． D． 【练习3】将复数 化成代数形式，正确的是（    ） 将复数的三角形式化为复数代数形式的方法是：复数三角形式z＝r(cos A＋isin A)，代数形式为z＝x＋yi，对应实部等于实部，虚部等于虚部，即x＝rcos A，y＝rsin A．　　　　 解： ， 因为 ， 所以 ，所以 ， 所以该复数的辐角主值为 ． 故选：B. 【练习4】设 ，则复数 的辐角主值为（    ） A． B． C． D． A．2 B．－2 i C．－3－ i D．3－ i 因为 ，其对应向量绕原点O按顺时针方向旋转 后， 所得向量对应的复数为： EMBED Equation.DSMT4 . 故选：C． 【练习5】把复数3－ i对应向量按顺时针方向旋转 π，所得向量对应复数为（    ） $