专题7.3 复数的四则运算（举一反三讲义）高一数学人教A版必修第二册

本讲义聚焦复数的四则运算核心知识点，系统梳理复数加减乘除运算法则、几何意义，延伸至复数范围内因式分解及方程根的求解，构建从基础运算到几何应用再到综合问题的递进式学习支架。 资料以8大题型为框架，例题与变式题结合，通过几何意义培养数学眼光中的几何直观，运算训练提升数学思维中的运算能力，精确语言表述强化数学语言表达。课中辅助教师分层教学，课后助力学生巩固练习、查漏补缺。

专题7.3 复数的四则运算（举一反三讲义） 【人教A版】 【题型1 复数的加、减运算】 3 【题型2 复数加、减法的几何意义的应用】 4 【题型3 复数的乘、除运算】 5 【题型4 复数的乘方】 6 【题型5 根据复数的四则运算结果求参数】 6 【题型6 根据复数的四则运算结果求复数特征】 7 【题型7 复数范围内分解因式】 8 【题型8 复数范围内方程的根】 8 知识点1 复数的四则运算 1．复数的加法运算及其几何意义 (1)复数的加法法则 设，(a,b,c,d∈R)是任意两个复数，那么=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. (2)复数的加法满足的运算律 对任意∈C，有 ①交换律：； ②结合律：. (3)复数加法的几何意义 在复平面内，设，(a,b,c,d∈R)对应的向量分别为，，则=(a,b)，=(c,d).以，对应的线段为邻边作平行四边形 (如图所示)，则由平面向量的坐标运算，可得=(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)，即z=(a+c)+(b+d)i，即对角线OZ对应的向量就是与复数(a+c)+(b+d)i对应的向量. 2．复数的减法运算及其几何意义 (1)复数的减法法则 类比实数减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足(c+di)+(x+yi)=a+bi的复数x+yi (x,y∈R)叫做复数a+bi(a,b∈R)减去复数c+di(c,d∈R)的差，记作(a+bi)-(c+di). 根据复数相等的定义，有c+x=a，d+y=b，因此x=a-c，y=b-d，所以x+yi=(a-c)+(b-d)i，即(a+bi) -(c+di)= (a-c)+(b-d)i.这就是复数的减法法则. (2)复数减法的几何意义 两个复数，(a,b,c,d∈R)在复平面内对应的向量分别是，，那么这两个复数的差对应的向量是，即向量. 如果作，那么点Z对应的复数就是(如图所示). 这说明两个向量与的差就是与复数(a-c)+(b-d)i对应的向量.因此，复数的减法可以按照向量的减法来进行，这是复数减法的几何意义. 3．复数的乘法运算 (1)复数的乘法法则 设，(a,b,c,d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2= (ac-bd)+(ad+bc)i. 可以看出，两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把i2换成-1，并且把实部与虚部分别合并即可. (2)复数乘法的运算律 对于任意∈C，有 ①交换律：； ②结合律：； ③分配律：. 在复数范围内，正整数指数幂的运算律仍然成立.即对于任意复数z，z1，z2和正整数m,n，有， ，. 4．复数的除法 (1)定义 我们规定复数的除法是乘法的逆运算.即把满足(c+di)(x+yi)=a+bi(c+di≠0)的复数x+yi叫做复数a+bi除以复数c+di的商，记作(a+bi)÷(c+di)或(a,b,c,d∈R，且c+di≠0). (2)复数的除法法则 (a+bi)÷(c+di)====+i(a,b,c,d∈R，且 c+di≠0). 由此可见，两个复数相除(除数不为0)，所得的商是一个确定的复数. 5．|z-z0| (z, z0∈C ) 的几何意义 设复数，(a,b,c,d∈R)在复平面内对应的点分别是Z1(a,b)，Z2(c,d)，则 ，又复数=(a-c)+(b-d)i，则. 故，即表示复数z1，z2在复平面内对应的点之间的距离. 6．复数运算的常用技巧 (1)复数常见运算小结论 ①； ②； ③； ④； ⑤. (2)常用公式 ； ； . 【题型1 复数的加、减运算】 【例1】（24-25高一下·宁夏固原·期末）计算的值为（   ） A．5 B． C． D． 【变式1-1】（24-25高一下·全国·课后作业）复数等于（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25高一下·广西南宁·月考）计算： (1)； (2)； (3). 【变式1-3】（24-25高一下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【题型2 复数加、减法的几何意义的应用】 【例2】（24-25高一下·全国·课后作业）若向量分别表示复数，则=（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25高一下·江苏常州·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25高一·全国·课后作业）已知复数，试在复平面上作出下列运算结果对应的向量： (1)；                 (2)． 【变式2-3】（24-25高一下·四川成都·期中）如图所示，平行四边形，顶点分别表示，试求： (1)对角线所表示的复数； (2)求点对应的复数. 【题型3 复数的乘、除运算】 【例3】（24-25高一下·天津红桥·期末）复数， 则（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25高一下·江苏南京·期末）已知复数（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高一下·吉林长春·期末）若，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 【变式3-3】（24-25高二下·贵州贵阳·期末）已知为虚数单位，复数，则（    ） A．5 B．3 C． D．2 【题型4 复数的乘方】 【例4】（24-25高一下·重庆·期末）若复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25高一下·陕西·月考）（   ） A． B．0 C．2i D． 【变式4-2】（24-25高一下·河南南阳·月考）（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（24-25高一下·湖北武汉·期末）若i为虚数单位，则复数的虚部为（   ） A． B．1 C． D．i 【题型5 根据复数的四则运算结果求参数】 【例5】（2025·陕西安康·模拟预测）设复数的实部与虚部互为相反数，则（    ） A． B． C．2 D．3 【变式5-1】（2025·全国·模拟预测）已知（，为虚数单位），则（    ） A． B．3 C．1 D．2 【变式5-2】（24-25高一下·河南郑州·月考）复数，，为实数，若为实数，为纯虚数，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（24-25高一下·陕西咸阳·月考）如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若为“等部复数”，则实数的值为（    ） A． B．0 C．3 D． 【题型6 根据复数的四则运算结果求复数特征】 【例6】（24-25高三下·北京·开学考试）已知复数z满足，则z的虚部为（    ） A．1 B． C．2 D． 【变式6-1】（2025·河南·二模）已知，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（24-25高一下·云南昆明·期中）已知复数，复数在复平面内对应的向量为． (1)若为纯虚数，求的值； (2)若在复平面内对应的点在第四象限，求的取值范围． 【变式6-3】（24-25高一下·吉林长春·期末）已知复数，其中是虚数单位. (1)若复数为纯虚数，求实数m的值； (2)在复平面内，若复数对应的点在第二象限，求实数m的取值范围. 知识点2 复数范围内方程的根 1．复数范围内实数系一元二次方程的根 若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0，且a,b,c∈R)，则： 当∆>0时，方程有两个不相等的实根，； 当∆=0时，方程有两个相等的实根； 当∆<0时，方程有两个虚根，，且两个虚数根互为共轭复数. 2．复数的方程的解题策略 (1)对实系数二次方程来说，求根公式、韦达定理、判别式的功能没有变化，仍然适用. (2)对复系数(至少有一个系数为虚数)方程，判别式判断根的功能失去了，其他仍适用. 【题型7 复数范围内分解因式】 【例7】（24-25高一下·上海嘉定·期末）在复数范围内分解因式= . 【变式7-1】（24-25高一·全国·课后作业）在复数范围内分解因式： ． 【变式7-2】（24-25高一·上海·课堂例题）在复数范围内分解因式： (1)； (2)； (3)． 【变式7-3】（24-25高一·全国·课后作业）在复数范围内分解因式： (1)； (2)． 【题型8 复数范围内方程的根】 【例8】（24-25高一下·四川雅安·月考）已知是关于的方程的根，则（   ） A．－9 B．－1 C．1 D．9 【变式8-1】（24-25高一下·浙江台州·期末）已知虚数，是方程的两个不同的根，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】（24-25高一下·上海·期末）已知，复数是实系数一元二次方程的一个根. (1)求和的值； (2)若，，为纯虚数，求的值. 【变式8-3】（24-25高一下·上海黄浦·期末）已知关于x的方程． (1)若（为虚数单位）是该方程的一个根，求b与c的值； (2)已知是该方程的两个复数根，且，若，求b的值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题7.3 复数的四则运算（举一反三讲义） 【人教A版】 【题型1 复数的加、减运算】 3 【题型2 复数加、减法的几何意义的应用】 4 【题型3 复数的乘、除运算】 8 【题型4 复数的乘方】 9 【题型5 根据复数的四则运算结果求参数】 10 【题型6 根据复数的四则运算结果求复数特征】 11 【题型7 复数范围内分解因式】 13 【题型8 复数范围内方程的根】 15 知识点1 复数的四则运算 1．复数的加法运算及其几何意义 (1)复数的加法法则 设，(a,b,c,d∈R)是任意两个复数，那么=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. (2)复数的加法满足的运算律 对任意∈C，有 ①交换律：； ②结合律：. (3)复数加法的几何意义 在复平面内，设，(a,b,c,d∈R)对应的向量分别为，，则=(a,b)，=(c,d).以，对应的线段为邻边作平行四边形 (如图所示)，则由平面向量的坐标运算，可得=(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)，即z=(a+c)+(b+d)i，即对角线OZ对应的向量就是与复数(a+c)+(b+d)i对应的向量. 2．复数的减法运算及其几何意义 (1)复数的减法法则 类比实数减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足(c+di)+(x+yi)=a+bi的复数x+yi (x,y∈R)叫做复数a+bi(a,b∈R)减去复数c+di(c,d∈R)的差，记作(a+bi)-(c+di). 根据复数相等的定义，有c+x=a，d+y=b，因此x=a-c，y=b-d，所以x+yi=(a-c)+(b-d)i，即(a+bi) -(c+di)= (a-c)+(b-d)i.这就是复数的减法法则. (2)复数减法的几何意义 两个复数，(a,b,c,d∈R)在复平面内对应的向量分别是，，那么这两个复数的差对应的向量是，即向量. 如果作，那么点Z对应的复数就是(如图所示). 这说明两个向量与的差就是与复数(a-c)+(b-d)i对应的向量.因此，复数的减法可以按照向量的减法来进行，这是复数减法的几何意义. 3．复数的乘法运算 (1)复数的乘法法则 设，(a,b,c,d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2= (ac-bd)+(ad+bc)i. 可以看出，两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把i2换成-1，并且把实部与虚部分别合并即可. (2)复数乘法的运算律 对于任意∈C，有 ①交换律：； ②结合律：； ③分配律：. 在复数范围内，正整数指数幂的运算律仍然成立.即对于任意复数z，z1，z2和正整数m,n，有， ，. 4．复数的除法 (1)定义 我们规定复数的除法是乘法的逆运算.即把满足(c+di)(x+yi)=a+bi(c+di≠0)的复数x+yi叫做复数a+bi除以复数c+di的商，记作(a+bi)÷(c+di)或(a,b,c,d∈R，且c+di≠0). (2)复数的除法法则 (a+bi)÷(c+di)====+i(a,b,c,d∈R，且 c+di≠0). 由此可见，两个复数相除(除数不为0)，所得的商是一个确定的复数. 5．|z-z0| (z, z0∈C ) 的几何意义 设复数，(a,b,c,d∈R)在复平面内对应的点分别是Z1(a,b)，Z2(c,d)，则 ，又复数=(a-c)+(b-d)i，则. 故，即表示复数z1，z2在复平面内对应的点之间的距离. 6．复数运算的常用技巧 (1)复数常见运算小结论 ①； ②； ③； ④； ⑤. (2)常用公式 ； ； . 【题型1 复数的加、减运算】 【例1】（24-25高一下·宁夏固原·期末）计算的值为（   ） A．5 B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用复数代数形式的加法求解即得. 【解答过程】. 故选：A. 【变式1-1】（24-25高一下·全国·课后作业）复数等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据复数的加减法运算法则求解. 【解答过程】由题意可得：. 故选：A. 【变式1-2】（24-25高一下·广西南宁·月考）计算： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】由复数的加减运算，可得答案. 【解答过程】（1）. （2）. （3）. 【变式1-3】（24-25高一下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）利用复数的加法运算可得答案； （2）利用复数的加法运算可得答案； （3）利用复数的减法运算可得答案． 【解答过程】（1）； （2）； （3）． 【题型2 复数加、减法的几何意义的应用】 【例2】（24-25高一下·全国·课后作业）若向量分别表示复数，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据复数减法的几何意义求得，再根据模长公式即可求解. 【解答过程】因为，又向量分别表示复数， 所以表示复数， 所以. 故选：B. 【变式2-1】（24-25高一下·江苏常州·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据复数加减运算的几何意义运算求解. 【解答过程】在复平面中，设分别与向量对应， 由题意可得，， 因为， 即，解得，即. 故选：B. 【变式2-2】（24-25高一·全国·课后作业）已知复数，试在复平面上作出下列运算结果对应的向量： (1)；                 (2)． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【解题思路】（1）在复平面上作出对应的向量，再作出对应的向量，根据减法的几何意义及向量（复数）相等的定义，即为； （2）再作出对应的向量，根据减法的几何意义及向量（复数）相等的定义，即为． 【解答过程】（1）设复数对应的向量为． 　　　图1 设复数对应的向量为，则两个复数的差对应两个向量的差，如图①所示，即为； （2）设复数对应的向量为，则两个复数的差对应两个向量的差，如②所示，即为． 图2 【变式2-3】（24-25高一下·四川成都·期中）如图所示，平行四边形，顶点分别表示，试求： (1)对角线所表示的复数； (2)求点对应的复数. 【答案】(1) (2). 【解题思路】（1）先由向量运算得，再根据复数的向量表示以及复数加减法的几何意义直接转成复数减法运算即可得解. （2）先由向量运算得，再根据复数的向量表示以及复数加减法的几何意义将向量加法运算转化成复数加法运算即可得解. 【解答过程】（1）因为， 所以所表示的复数为. （2）因为， 所以所表示的复数为， 即点对应的复数为. 【题型3 复数的乘、除运算】 【例3】（24-25高一下·天津红桥·期末）复数， 则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】化简复数，即可得出结论. 【解答过程】由题意， ， 故选：D. 【变式3-1】（24-25高一下·江苏南京·期末）已知复数（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】应用复数除法化简即可. 【解答过程】. 故选：A. 【变式3-2】（24-25高一下·吉林长春·期末）若，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】B 【解题思路】利用复数的运算性质求出，进而计算即可． 【解答过程】若，即， 则， 则． 故选：B． 【变式3-3】（24-25高二下·贵州贵阳·期末）已知为虚数单位，复数，则（    ） A．5 B．3 C． D．2 【答案】A 【解题思路】根据复数的乘法、除法运算即可. 【解答过程】， 则，所以， 故选：A. 【题型4 复数的乘方】 【例4】（24-25高一下·重庆·期末）若复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】设，根据得到方程组，求出，再利用复数乘法和乘方法则计算出答案. 【解答过程】设，则，， 又，故，解得， 故，. 故选：C. 【变式4-1】（24-25高一下·陕西·月考）（   ） A． B．0 C．2i D． 【答案】D 【解题思路】由复数乘方运算即可求解. 【解答过程】. 故选：D. 【变式4-2】（24-25高一下·河南南阳·月考）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用复数的除法与复数的乘方化简可得结果. 【解答过程】因为，故. 故选：D. 【变式4-3】（24-25高一下·湖北武汉·期末）若i为虚数单位，则复数的虚部为（   ） A． B．1 C． D．i 【答案】A 【解题思路】应用复数的乘方运算化简，即可得. 【解答过程】由 ，虚部为. 故选：A. 【题型5 根据复数的四则运算结果求参数】 【例5】（2025·陕西安康·模拟预测）设复数的实部与虚部互为相反数，则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【解题思路】根据复数的乘法运算化简复数z，根据实部与虚部互为相反数列式计算，即得答案. 【解答过程】， 由已知得，解得， 故选：D. 【变式5-1】（2025·全国·模拟预测）已知（，为虚数单位），则（    ） A． B．3 C．1 D．2 【答案】B 【解题思路】根据复数的四则运算、复数相等的概念即可求得的值，可得结果. 【解答过程】由， 可得，， 因此． 故选：B． 【变式5-2】（24-25高一下·河南郑州·月考）复数，，为实数，若为实数，为纯虚数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由为实数，为纯虚数列方程求出，进而可得值. 【解答过程】因为为实数，所以，即， 又为纯虚数，所以，即且， 综上可知，所以. 故选：A. 【变式5-3】（24-25高一下·陕西咸阳·月考）如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若为“等部复数”，则实数的值为（    ） A． B．0 C．3 D． 【答案】D 【解题思路】先运用复数的四则运算法则化简，再根据等部复数的定义列方程计算即得. 【解答过程】可得：， 依题意得，. 故选：D. 【题型6 根据复数的四则运算结果求复数特征】 【例6】（24-25高三下·北京·开学考试）已知复数z满足，则z的虚部为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【解题思路】根据共轭复数的定义以及复数的减法运算即可求解. 【解答过程】设，则，由可得，所以， 故z的虚部为， 故选：B. 【变式6-1】（2025·河南·二模）已知，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由复数的乘除法运算及共轭复数的定义即可求解． 【解答过程】由题意可得，故，其虚部为． 故选：C． 【变式6-2】（24-25高一下·云南昆明·期中）已知复数，复数在复平面内对应的向量为． (1)若为纯虚数，求的值； (2)若在复平面内对应的点在第四象限，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据条件，利用复数的几何意义得，再利用复数的运算，得到，即可求解； （2）利用复数的运算，结合条件有，即可求解. 【解答过程】（1）因为复数在复平面内对应的向量为，则， 又，则， 由题有，解得，所以的值为. （2）因为， 由题有，解得，所以的取值范围为. 【变式6-3】（24-25高一下·吉林长春·期末）已知复数，其中是虚数单位. (1)若复数为纯虚数，求实数m的值； (2)在复平面内，若复数对应的点在第二象限，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）已知复数，相乘展开得：，根据纯虚数特征：实部为0，虚部不为，即，解出m； （2）求出，则，根据对应点在第二象限，构造不等式解出实数m的取值范围. 【解答过程】（1）已知，相乘展开： ， 因为复数为纯虚数， 所以实部为0，虚部不为0，即，解得：， 代入成立，符合要求， 所以. （2），则， 复平面内，对应的点为，因为点在第二象限， 即， 所以实数m的取值范围为：. 知识点2 复数范围内方程的根 1．复数范围内实数系一元二次方程的根 若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0，且a,b,c∈R)，则： 当∆>0时，方程有两个不相等的实根，； 当∆=0时，方程有两个相等的实根； 当∆<0时，方程有两个虚根，，且两个虚数根互为共轭复数. 2．复数的方程的解题策略 (1)对实系数二次方程来说，求根公式、韦达定理、判别式的功能没有变化，仍然适用. (2)对复系数(至少有一个系数为虚数)方程，判别式判断根的功能失去了，其他仍适用. 【题型7 复数范围内分解因式】 【例7】（24-25高一下·上海嘉定·期末）在复数范围内分解因式= . 【答案】 【解题思路】先求得的根，然后进行因式分解. 【解答过程】由得， 解得， 所以. 故答案为：. 【变式7-1】（24-25高一·全国·课后作业）在复数范围内分解因式： ． 【答案】 【解题思路】首先分解为，再在复数范围内分解因式. 【解答过程】 ， 故答案为：. 【变式7-2】（24-25高一·上海·课堂例题）在复数范围内分解因式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）直接根据复数范围的要求分解因式即可. （2）直接根据复数范围的要求分解因式即可. （3）先应用求根公式再写成两个因式相乘； 【解答过程】（1） ； （2）； （3）令，， 解方程可得：，， 所以. 【变式7-3】（24-25高一·全国·课后作业）在复数范围内分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）（2）结合复数运算求得正确答案. 【解答过程】（1）由于， 所以. （2）由于， 所以. 【题型8 复数范围内方程的根】 【例8】（24-25高一下·四川雅安·月考）已知是关于的方程的根，则（   ） A．－9 B．－1 C．1 D．9 【答案】C 【解题思路】先由实系数一元二次方程复数根的共轭性，得到方程的另一根为，再由韦达定理求出的值，即可得解. 【解答过程】因为关于的方程的系数为实数， 且是方程的根，所以由复数根的共轭性可知另一根为， 由韦达定理可知，得， ， 所以. 故选：C. 【变式8-1】（24-25高一下·浙江台州·期末）已知虚数，是方程的两个不同的根，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先因式分解得，即为的两个根，从而依次判断选项. 【解答过程】根据题意，， 令，其中， 由于为虚数，故为的两个根，且为， 不妨设， 则，， 则， 故只有B正确. 故选：B. 【变式8-2】（24-25高一下·上海·期末）已知，复数是实系数一元二次方程的一个根. (1)求和的值； (2)若，，为纯虚数，求的值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据实系数一元二次方程根的特征结合韦达定理计算求参； （2）应用复数乘法计算结合纯虚数定义计算求参. 【解答过程】（1）由复数是实系数一元二次方程的一个根， 得该方程的另一个实根为，因此， 所以. （2）依题意，， 由为纯虚数，得，解得. 【变式8-3】（24-25高一下·上海黄浦·期末）已知关于x的方程． (1)若（为虚数单位）是该方程的一个根，求b与c的值； (2)已知是该方程的两个复数根，且，若，求b的值． 【答案】(1) (2)或 【解题思路】（1）根据一元二次方程的复数根互为共轭复数，再结合韦达定理即可得解； （2）讨论两根是实数、虚数两种情况，当两根为虚数时，设，则，再根据韦达定理结合复数的模的计算公式求解即可. 【解答过程】（1）因为是方程的一个根， 所以也是方程的一个根， 则，解得； （2）当都是实数时，则， 故， 又因为， 所以，解得或， 经检验，当时，不符题意，所以； 当都是虚数时，设，则， 则， 所以，所以， 又，则，解得， 经检验，不符合题意，所以. 综上所述，或. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $