专题7.2 复数的几何意义（举一反三讲义）高一数学人教A版必修第二册

本讲义聚焦复数的几何意义核心知识点，系统梳理复平面内复数与点、向量的一一对应关系，涵盖坐标表示、实轴虚轴点特征、象限判断、参数求解、向量表示、共轭复数、模的计算及几何意义等内容，构建递进式学习支架。 资料以9类题型为框架，例题与变式题结合，通过数形结合培养几何直观（数学眼光），逻辑推理（数学思维）解决参数问题，用数学语言表达复数与点、向量的联系。课中辅助分层教学，课后助力学生通过变式练习巩固，有效查漏补缺。

专题7.2 复数的几何意义（举一反三讲义） 【人教A版】 【题型1 复数的坐标表示】 2 【题型2 实轴、虚轴上点对应的复数】 3 【题型3 判断复数对应的点所在的象限】 5 【题型4 根据复数对应坐标的特点求参数】 6 【题型5 复数的向量表示】 8 【题型6 共轭复数的求解】 11 【题型7 复数的模的计算】 12 【题型8 由复数模求参数】 13 【题型9 复数的模的几何意义】 14 知识点1 复数的几何意义 1．复数的几何意义 (1)复平面 根据复数相等的定义，可得复数z=a+bi有序实数对(a,b)，而有序实数对(a,b)平面直角坐标系中的点，所以复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系. 如图所示，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi可用点Z(a,b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴. (2)复数的几何意义——与点对应 由上可知，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应.复数集C中的数和复平面内的点是一一对应的，即复数z=a+bi复平面内的点Z(a,b)，这是复数的一种几何意义. (3)复数的几何意义——与向量对应 在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的.这样就可以用平面向量来表示复数. 如图所示，设复平面内的点Z表示复数z=a+bi，连接OZ，显然向量由点Z唯一确定；反过来，点Z(相对于原点来说)也可以由向量唯一确定. 因此，复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量是一一对应的(实数0与零向量对应)，即复数z=a+bi平面向量，这是复数的另一种几何意义. 2．复数的几何意义的解题策略 由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此解题时可运用数形结合的方法，把复数、向量与解析几何联系在一起，使问题的解决更加直观. 【题型1 复数的坐标表示】 【例1】（24-25高一下·浙江·期中）已知复数，则z在复平面内对应的点为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据复数的几何意义求出对应的点即可. 【解答过程】复数对应的点为， 故选：B. 【变式1-1】（24-25高一下·北京顺义·期中）如图，在复平面内，复数对应的点如图所示，则复数（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据复数的几何意义，由点的坐标得出复数. 【解答过程】复数对应的点，则复数. 故选：D. 【变式1-2】（24-25高一下·北京西城·期末）在复平面内，复数z对应点的坐标为，则z的共轭复数对应的点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据复数的几何意义可得，即可求解. 【解答过程】在复平面内，复数z对应点的坐标为， 所以，，在复平面中对应的点坐标为. 故选：A. 【变式1-3】（2025高一下·江苏·专题练习）在复平面内，平行四边形ABCD的3个顶点A，B，C对应的复数分别是，0，则点D对应的复数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】设点D的坐标为，然后由题意得，从而可求出的值，进而可求得点D对应的复数. 【解答过程】由题知，点，设点D的坐标为， 则有，. 又因为四边形ABCD为平行四边形，所以， 即，得，所以点D对应的复数为. 故选：C. 【题型2 实轴、虚轴上点对应的复数】 【例2】（24-25高一下·全国·课后作业）在复平面内，复数对应的点在虚轴上，则的值为（    ） A．或 B． C．且 D．或 【答案】A 【解题思路】根据复数的几何意义，构造方程得解. 【解答过程】∵复数对应的点在虚轴上，∴，∴或. 故选：A. 【变式2-1】（24-25高一下·上海·课后作业）下列说法错误的是（    ） A．实轴上的点对应的复数为实数 B．虚轴上的点对应的复数为纯虚数 C．表示实数的点都在实轴上 D．表示纯虚数的点都在虚轴上 【答案】B 【解题思路】由复平面和复数的概念逐项判断. 【解答过程】A.由复平面知：实轴上的点对应的复数为实数,故正确； B.由复平面知：虚轴上的点除原点外，其余的点对应的复数为纯虚数，故错误； C.由复数的概念知：表示实数的点都在实轴上，故正确； D.由复数的概念知：表示纯虚数的点都在虚轴上，故正确； 故选：B. 【变式2-2】（24-25高一上·上海·课后作业）已知复数，. (1)表示的复数对应的点在实轴上的有几个？ (2)表示的复数对应的点在虚轴上的有几个？ 【答案】(1)10个 (2)10个 【解题思路】（1）利用点的特征确定复数个数即可. （2）利用点的特征确定复数个数即可. 【解答过程】（1）若点在实轴上，则，此时， 均满足题意，故共有10个这样的复数. （2）若点在虚轴上，则，此时， 均满足题意，故共有10个这样的复数. 【变式2-3】（24-25高二上·广东东莞·月考）已知复数在复平面上对应的点为Z， (1)求点Z在实轴上时，实数m的取值； (2)求点Z在虚轴上时，实数m的取值； (3)求点Z在第一象限时，实数m的取值范围. 【答案】(1)或； (2)或； (3)或. 【解题思路】（1）由实轴上点对应的复数虚部为0求解； （2）由虚轴上的点对应的实部为0求解； （3）根据第一象限中点的坐标对应实部、虚部正负列不等式组求解. 【解答过程】（1）因为点Z在实轴上，所以虚部， 解得或. （2）点Z在虚轴上时,复数的实部为0， 所以，解得或. （3）点Z在第一象限，复数的实部与虚部都大于0， 即，解得或. 【题型3 判断复数对应的点所在的象限】 【例3】（24-25高一下·浙江·期中）设，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解题思路】根据复数的几何意义求出即可. 【解答过程】因为，所以对应复平面内点的坐标，所以位于第二象限， 故选：B. 【变式3-1】（24-25高一下·北京丰台·月考）当时，复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【解题思路】根据复数的几何意义直接判断. 【解答过程】由 又，则，， 所以复数在复平面内对应的点为，位于第一象限， 故选：A. 【变式3-2】（24-25高一下·重庆沙坪坝·期中）当时，复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解题思路】利用复数的几何意义可得出结论. 【解答过程】当时，， 所以，复数在复平面内对应的点位于第二象限. 故选：B. 【变式3-3】（24-25高一下·河南·月考）已知复数，则在复平面内对应的点位于（   ） A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 【答案】B 【解题思路】利用共轭复数的概念和复数的几何意义易得. 【解答过程】由题意得，所以在复平面内对应的点位于第三象限. 故选：B. 【题型4 根据复数对应坐标的特点求参数】 【例4】（24-25高一下·云南曲靖·期中）复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据复数的几何意义即可得解. 【解答过程】根据题意得， 所以实数的取值范围是. 故选：A. 【变式4-1】（24-25高一下·安徽芜湖·期末）复数在复平面上对应的点在第二象限，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由复数确定点的坐标，再根据第二象限坐标的特点，解关于的一元一次不等式组即可求出的范围. 【解答过程】复数在复平面上对应的点的坐标为， 根据第二象限坐标的特点可得，从而可得. 故选：D. 【变式4-2】（24-25高一下·江苏南京·期中）已知复数，根据下列条件求实数的值． (1)是实数； (2)是纯虚数； (3)在复平面内对应的点在第二象限． 【答案】(1)1或2 (2) (3) 【解题思路】（1）根据题意得，根据复数的概念列式即可求解； （2）根据复数的概念列式即可求解； （3）根据复数的几何意义列式即可求解. 【解答过程】（1）由题意 ， 若是实数，则，解得或 （2）若是纯虚数，则，解得； （3）若在复平面内对应的点在第二象限，则，解得. 【变式4-3】（24-25高一下·山东菏泽·期中）在复平面内，复数，． (1)若复数对应的点在虚轴上，求实数的取值范围； (2)若复数对应的点在第二象限或第四象限，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2)或． 【解题思路】（1）依题意可得实部为，解得即可； （2）依题意可得，解不等式即可得解. 【解答过程】（1）由题意得，解得或； （2）复数在复平面内对应的点为， 依题意可得， 则或 解得或，即实数的取值范围为或． 【题型5 复数的向量表示】 【例5】（24-25高一下·河北邯郸·期中）在复平面内，O为原点，向量对应的复数为，若点A关于实轴的对称点为B，则向量对应的复数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】求出点的坐标，由对称求出点的坐标，进而求出对应的复数. 【解答过程】依题意，，则点， 所以向量对应的复数为. 故选：D. 【变式5-1】（2025·湖南长沙·二模）在复平面内，O为坐标原点，复数，对应的向量分别是，，则对应的复数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据复数与复平面内的点的对应关系确定的坐标，即可确定其对应的复数. 【解答过程】因为复数，在复平面内对应的点为，， 即，， 所以， 则对应复数为． 故选：A． 【变式5-2】（24-25高一上·上海·课堂例题）已知复数1、、、，在复平面内画出这些复数对应的向量. 【答案】答案见解析 【解题思路】复平面上画出复数对应的向量即可. 【解答过程】设复数1对应的向量为，其中； 复数对应的向量为，其中； 复数对应的向量为，其中； 复数6-7i对应的向量为，其中. 如图所示. 【变式5-3】（24-25高一下·山东菏泽·期中）设复数在复平面内对应的向量为，复数在复平面内对应的向量为，复数在复平面内对应的向量为，且A，E，C三点共线. (1)求实数的值； (2)求的坐标； (3)已知点，若A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）由题意可得，根据A，E，C三点共线，存在实数k，使得求解即可； （2）结合（1）的结论，利用向量的坐标运算即可求解； （3）由A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，得，设，则，再利用（2）的结论即可求解. 【解答过程】（1）复数在复平面内对应的向量， 复数在复平面内对应的向量， 复数在复平面内对应的向量， ， 因为A，E，C三点共线，所以存在实数k，使得， 所以，解得，； （2）； （3）因为A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，所以， 设，则， 因为，所以，解得， 即点A的坐标为. 知识点2 复数的模及模的几何意义 1．复数的模 向量的模r叫做复数z=a+bi的模或绝对值，记作|z|或|a+bi|.如果b=0，那么z=a+bi是一个实数a，它的模等于|a|(就是a的绝对值).由模的定义可知，. 2．共轭复数 (1)定义 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.复数z的共轭复数用表示，即若z=a+bi，则=a-bi.特别地，实数a的共轭复数仍是a本身. (2)几何意义 互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称(如图).特别地，实数和它的共轭复数在复平面内所对应的点重合，且在实轴上. (3)性质 ①. ②实数的共轭复数是它本身，即z∈R，利用这个性质可证明一个复数为实数. 3．复数的模的几何意义 (1)复数z=a+bi(a,b∈R)的模|z|就是复数z=a+bi在复平面内对应的点Z(a,b)到坐标原点的距离，这是复数的模的几何意义. (2)复数z在复平面内对应的点为Z，r表示一个大于0的常数，则满足条件|z|=r的点Z组成的集合是以原点为圆心，r为半径的圆，|z|<r表示圆的内部，|z|>r表示圆的外部. 【注意】 1．a≤|z|≤b表示以原点O为圆心，以a和b为半径的两圆所夹的圆环. 2．|z-(a+bi)|=r(r>0)表示以(a,b)为圆心，r为半径的圆. 【题型6 共轭复数的求解】 【例6】（24-25高一下·北京石景山·期末）已知复数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用共轭复数的定义即可求出结果. 【解答过程】复数，则， 故选：A. 【变式6-1】（24-25高二下·浙江舟山·期末）已知复数（为虚数单位），则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用共轭复数的概念和复数的定义可得出结果. 【解答过程】因为，所以，故复数的虚部为. 故选：A. 【变式6-2】（24-25高一下·山东临沂·期末）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用共轭复数的定义求解即可. 【解答过程】复数对应的点的坐标是， 故， 所以. 故选：C. 【变式6-3】（24-25高一下·甘肃临夏·期末）若，则复平面内复数对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【解题思路】先求得复数的共轭复数，再由复数的几何意义确定对应点所在象限即可. 【解答过程】由复数可得， 复数对应的点的坐标为，在第三象限. 故选：C. 【题型7 复数的模的计算】 【例7】（24-25高一下·广西北海·期末）已知复数，则（   ） A． B． C． D．20 【答案】B 【解题思路】利用复数的模的公式计算求解即可 【解答过程】因为复数，所以. 故选：B. 【变式7-1】（24-25高一下·河南平顶山·期末）已知为虚数单位，则（   ） A．2 B．3 C．5 D． 【答案】D 【解题思路】由复数模长公式直接计算即可. 【解答过程】由题. 故选：D. 【变式7-2】（24-25高一下·陕西咸阳·期中）设复数，m为实数. (1)当m为何值时，z是纯虚数； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据纯虚数的定义，实部为且虚部不为来确定的值； （2）先将代入，再根据复数模的计算公式求出. 【解答过程】（1）已知是纯虚数，根据纯虚数的定义可得. 解方程，得或. 解不等式，得且. 综合以上两个条件，可得. （2）将代入，可得： . 根据复数模的计算公式可得：. 【变式7-3】（24-25高一下·上海·期中）已知复数，其中为虚数单位. (1)若复数为纯虚数，求的值； (2)求的最小值. 【答案】(1)0 (2). 【解题思路】（1）根据纯虚数的概念解方程组可得结果； （2）由复数的模长公式以及二次函数性质计算可得其最小值. 【解答过程】（1）由复数为纯虚数可得，所以； （2）易知， 则可知时，的最小值为. 【题型8 由复数模求参数】 【例8】（24-25高一下·广东·月考）已知复数满足，则（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【解题思路】根据复数模的公式求解. 【解答过程】由题意可得， 所以，解得. 故选：B． 【变式8-1】（24-25高一下·四川德阳·期末）已知复数：，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解题思路】利用复数模的意义求出范围，再利用充分条件、必要条件的定义判断即可. 【解答过程】依题意，，， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 【变式8-2】（24-25高三下·河南·月考）设复数z在复平面内对应的点为，若，则a=（    ） A．2i B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据复数的几何意义可得，再根据复数的模即可求解. 【解答过程】因为复数z在复平面内对应的点为，所以. 因为，所以，解得. 故选:C. 【变式8-3】（2025·四川攀枝花·三模）已知复数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解题思路】根据复数的模得到关于a的方程，求出a的值，再根据集合的包含关系以及充分必要条件的定义判断即可． 【解答过程】因为，且， 整理得，解得或， 即等价于或， 且是的真子集，所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B． 【题型9 复数的模的几何意义】 【例9】（24-25高一下·广东深圳·期中）复数满足，则（i为虚数单位）的最小值为（   ） A．4 B．5 C．2 D．3 【答案】A 【解题思路】首先根据复数的几何意义求复数对应的点的轨迹，再利用数形结合求模的最小值. 【解答过程】设复数在复平面内对应的点为，由知，点的轨迹为以原点为圆心， 半径为1的圆，表示圆上的点到点的距离，如下图，    如图，最小值为. 故选：A. 【变式9-1】（25-26高三上·山东·开学考试）已知复数z满足， 则的最小值为（    ） A． B． C．3 D．2 【答案】B 【解题思路】先根据复数z的模的几何意义得到z在复平面上对应的点的轨迹图形，再由在复平面的几何性质即可得到其最小值． 【解答过程】设复数，因为，可得，即， 所以复数z在复平面上对应的点的轨迹是以原点为圆心，半径的圆. 对于复数，则表示点到点的距离， 因点到原点的距离为， 由图可知，点到点的距离最小值为，也即． 故选：B．    【变式9-2】（24-25高一·全国·课堂例题）设：，点对应复数，在复平面内满足下列条件的点的集合是什么图形？ (1)； (2)． 【答案】(1)满足条件点的集合是以原点为圆心，以2为半径的圆； (2)以原点为圆心，以2和3为半径的两圆所夹的圆环，并包括圆环的边界 【解题思路】（1）根据复数模长的几何意义求解即可. （2）根据复数模长的几何意义求解即可. 【解答过程】（1）复数的模等于2，这表明，复数对应的向量之的长度等于2， 即点到原点的距离等于2， 因此满足条件点的集合是以原点为圆心，以2为半径的圆． （2）不等式可以化为不等式组 不等式的解集是圆和该圆内部所有的点构成的集合， 不等式的解集是圆和该圆外部所有的点构成的集合， 这两个集合的交集，即上述不等式组的解集，也就是满足条件的点的集合． 所求的集合是以原点为圆心，以2和3为半径的两圆所夹的圆环，并包括圆环的边界.      【变式9-3】（24-25高一·全国·单元测试）已知复数满足，且复数在复平面内的对应点为． (1)确定点的集合构成图形的形状； (2)求的最大值和最小值． 【答案】(1)点的集合是以点为圆心，2为半径的圆 (2)最大值为7，最小值为3 【解题思路】（1）根据复数模的几何意义确定点的集合构成图形的形状. （2）根据复数模的几何意义，结合圆的几何性质求得正确答案. 【解答过程】（1）设复数在复平面内的对应点为， 则， 故点的集合是以点为圆心，2为半径的圆，如下图所示． （2）设复数在复平面内的对应点为，则,如下图所示， ， 则的最大值即的最大值是； 的最小值即的最小值是． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题7.2 复数的几何意义（举一反三讲义） 【人教A版】 【题型1 复数的坐标表示】 2 【题型2 实轴、虚轴上点对应的复数】 3 【题型3 判断复数对应的点所在的象限】 3 【题型4 根据复数对应坐标的特点求参数】 4 【题型5 复数的向量表示】 5 【题型6 共轭复数的求解】 6 【题型7 复数的模的计算】 7 【题型8 由复数模求参数】 7 【题型9 复数的模的几何意义】 8 知识点1 复数的几何意义 1．复数的几何意义 (1)复平面 根据复数相等的定义，可得复数z=a+bi有序实数对(a,b)，而有序实数对(a,b)平面直角坐标系中的点，所以复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系. 如图所示，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi可用点Z(a,b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴. (2)复数的几何意义——与点对应 由上可知，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应.复数集C中的数和复平面内的点是一一对应的，即复数z=a+bi复平面内的点Z(a,b)，这是复数的一种几何意义. (3)复数的几何意义——与向量对应 在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的.这样就可以用平面向量来表示复数. 如图所示，设复平面内的点Z表示复数z=a+bi，连接OZ，显然向量由点Z唯一确定；反过来，点Z(相对于原点来说)也可以由向量唯一确定. 因此，复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量是一一对应的(实数0与零向量对应)，即复数z=a+bi平面向量，这是复数的另一种几何意义. 2．复数的几何意义的解题策略 由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此解题时可运用数形结合的方法，把复数、向量与解析几何联系在一起，使问题的解决更加直观. 【题型1 复数的坐标表示】 【例1】（24-25高一下·浙江·期中）已知复数，则z在复平面内对应的点为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25高一下·北京顺义·期中）如图，在复平面内，复数对应的点如图所示，则复数（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25高一下·北京西城·期末）在复平面内，复数z对应点的坐标为，则z的共轭复数对应的点坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2025高一下·江苏·专题练习）在复平面内，平行四边形ABCD的3个顶点A，B，C对应的复数分别是，0，则点D对应的复数是（    ） A． B． C． D． 【题型2 实轴、虚轴上点对应的复数】 【例2】（24-25高一下·全国·课后作业）在复平面内，复数对应的点在虚轴上，则的值为（    ） A．或 B． C．且 D．或 【变式2-1】（24-25高一下·上海·课后作业）下列说法错误的是（    ） A．实轴上的点对应的复数为实数 B．虚轴上的点对应的复数为纯虚数 C．表示实数的点都在实轴上 D．表示纯虚数的点都在虚轴上 【变式2-2】（24-25高一上·上海·课后作业）已知复数，. (1)表示的复数对应的点在实轴上的有几个？ (2)表示的复数对应的点在虚轴上的有几个？ 【变式2-3】（24-25高二上·广东东莞·月考）已知复数在复平面上对应的点为Z， (1)求点Z在实轴上时，实数m的取值； (2)求点Z在虚轴上时，实数m的取值； (3)求点Z在第一象限时，实数m的取值范围. 【题型3 判断复数对应的点所在的象限】 【例3】（24-25高一下·浙江·期中）设，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式3-1】（24-25高一下·北京丰台·月考）当时，复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式3-2】（24-25高一下·重庆沙坪坝·期中）当时，复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式3-3】（24-25高一下·河南·月考）已知复数，则在复平面内对应的点位于（   ） A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 【题型4 根据复数对应坐标的特点求参数】 【例4】（24-25高一下·云南曲靖·期中）复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25高一下·安徽芜湖·期末）复数在复平面上对应的点在第二象限，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25高一下·江苏南京·期中）已知复数，根据下列条件求实数的值． (1)是实数； (2)是纯虚数； (3)在复平面内对应的点在第二象限． 【变式4-3】（24-25高一下·山东菏泽·期中）在复平面内，复数，． (1)若复数对应的点在虚轴上，求实数的取值范围； (2)若复数对应的点在第二象限或第四象限，求实数的取值范围． 【题型5 复数的向量表示】 【例5】（24-25高一下·河北邯郸·期中）在复平面内，O为原点，向量对应的复数为，若点A关于实轴的对称点为B，则向量对应的复数为（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2025·湖南长沙·二模）在复平面内，O为坐标原点，复数，对应的向量分别是，，则对应的复数为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25高一上·上海·课堂例题）已知复数1、、、，在复平面内画出这些复数对应的向量. 【变式5-3】（24-25高一下·山东菏泽·期中）设复数在复平面内对应的向量为，复数在复平面内对应的向量为，复数在复平面内对应的向量为，且A，E，C三点共线. (1)求实数的值； (2)求的坐标； (3)已知点，若A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标. 知识点2 复数的模及模的几何意义 1．复数的模 向量的模r叫做复数z=a+bi的模或绝对值，记作|z|或|a+bi|.如果b=0，那么z=a+bi是一个实数a，它的模等于|a|(就是a的绝对值).由模的定义可知，. 2．共轭复数 (1)定义 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.复数z的共轭复数用表示，即若z=a+bi，则=a-bi.特别地，实数a的共轭复数仍是a本身. (2)几何意义 互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称(如图).特别地，实数和它的共轭复数在复平面内所对应的点重合，且在实轴上. (3)性质 ①. ②实数的共轭复数是它本身，即z∈R，利用这个性质可证明一个复数为实数. 3．复数的模的几何意义 (1)复数z=a+bi(a,b∈R)的模|z|就是复数z=a+bi在复平面内对应的点Z(a,b)到坐标原点的距离，这是复数的模的几何意义. (2)复数z在复平面内对应的点为Z，r表示一个大于0的常数，则满足条件|z|=r的点Z组成的集合是以原点为圆心，r为半径的圆，|z|<r表示圆的内部，|z|>r表示圆的外部. 【注意】 1．a≤|z|≤b表示以原点O为圆心，以a和b为半径的两圆所夹的圆环. 2．|z-(a+bi)|=r(r>0)表示以(a,b)为圆心，r为半径的圆. 【题型6 共轭复数的求解】 【例6】（24-25高一下·北京石景山·期末）已知复数，则（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（24-25高二下·浙江舟山·期末）已知复数（为虚数单位），则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（24-25高一下·山东临沂·期末）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（24-25高一下·甘肃临夏·期末）若，则复平面内复数对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【题型7 复数的模的计算】 【例7】（24-25高一下·广西北海·期末）已知复数，则（   ） A． B． C． D．20 【变式7-1】（24-25高一下·河南平顶山·期末）已知为虚数单位，则（   ） A．2 B．3 C．5 D． 【变式7-2】（24-25高一下·陕西咸阳·期中）设复数，m为实数. (1)当m为何值时，z是纯虚数； (2)若，求的值. 【变式7-3】（24-25高一下·上海·期中）已知复数，其中为虚数单位. (1)若复数为纯虚数，求的值； (2)求的最小值. 【题型8 由复数模求参数】 【例8】（24-25高一下·广东·月考）已知复数满足，则（    ） A． B． C．2 D．4 【变式8-1】（24-25高一下·四川德阳·期末）已知复数：，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式8-2】（24-25高三下·河南·月考）设复数z在复平面内对应的点为，若，则a=（    ） A．2i B． C． D． 【变式8-3】（2025·四川攀枝花·三模）已知复数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【题型9 复数的模的几何意义】 【例9】（24-25高一下·广东深圳·期中）复数满足，则（i为虚数单位）的最小值为（   ） A．4 B．5 C．2 D．3 【变式9-1】（25-26高三上·山东·开学考试）已知复数z满足， 则的最小值为（    ） A． B． C．3 D．2 【变式9-2】（24-25高一·全国·课堂例题）设：，点对应复数，在复平面内满足下列条件的点的集合是什么图形？ (1)； (2)． 【变式9-3】（24-25高一·全国·单元测试）已知复数满足，且复数在复平面内的对应点为． (1)确定点的集合构成图形的形状； (2)求的最大值和最小值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $