2.6 直角三角形的性质与判定综合（知识解读+达标检测）-2024-2025学年八年级数学上册《知识解读•题型专练》（浙教版）

2.6 直角三角形的性质与判定综合 【考点1根据直角三角形的性质求角度】 【考点2三角形板与平行线综合应用】 【考点3直角三角形解答题综合应用】 【考点4 直角三角形全等的判定】 【考点5直角三角形中斜边的中线等于斜边的一半】 【考点6含30°角的直角三角形】 知识点 直角三角形的性质与判定 性质 1. 两锐角之和等于90° 2. 斜边上的中线等于斜边的一半 3. 30°角所对的直角边等于斜边的一半 4. 若有一条直角边等于斜边的一半，则这条直角边所对的锐角等于30°（应用时需先证明） 判定 1. 有一个角为90°的三角形时直角三角形 2. 有两个角的和时90°的三角形是直角三角形 3. 一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形 面积公式 ，其中a是底边常，hs是底边上的高 【考点1根据直角三角形的性质求角度】 【典例1】如图，在中，，则（    ）    A． B． C． D． 【变式1-1】直角三角形的一个锐角是，则它的另一个锐角是（    ） A． B． C． D．或 【变式1-2】如图，分别为的高线和角平分线，于点F，当，时，的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】把两个直角三角形纸板如图放置，恰好平分，若，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【考点2三角形板与平行线综合应用】 【典例2】如图，在中，，点B在直线上，点C在直线上，且直线，，则的度数为（　　）​ A． B． C． D． 【变式2-1】如图，直线a∥b，在Rt△ABC中，点C在直线a上，若∠1＝58°，∠2＝24°，则∠B的度数为（    ） A．56° B．34° C．36° D．24° 【变式2-2】如图，已知直线，的顶点在直线上，，，若，则的度数是 ．    【变式2-3】如图所示，一副三角尺摆放置在矩形纸片的内部，三角形的三个顶点恰好在矩形的边上，，，，则等于 ．        【考点3直角三角形解答题综合应用】 【典例3】如图，在中，是高，是角平分线，它们相交于点O，． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 【变式3-1】如图，中，，，平分，于D，于F．    (1)求的度数； (2)求的度数． 【变式3-2】如图，在中，，于，平分交于，交于F．    (1)如果，求的度数； (2)试说明：． 【变式3-3】57．如图，中，． (1)试说明是的高； (2)如果 ，求的长． 【考点4 直角三角形全等的判定】 【典例4】如图，已知，、在线段上，与交于点，且，．求证：． 【变式4-1】已知：如图，，，，．求证：．    【变式4-2】如图，在和中，于于与相交于点O．求证：．    【变式4-3】如图，点C为线段的中点，分别过点A、B作的垂线（点D、E在的同侧），连接，且．求证：．    【考点5直角三角形中斜边的中线等于斜边的一半】 【典例5】如图，在中，，是边上的中线且，则的长是（    ） A．2.5 B．5 C．7.5 D．10 【变式5-1】如图，是的中线，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】在Rt中，是斜边上的中线，若，则的长为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【变式5-3】如图，中，，线段的两个端点D、E分别在边上滑动，且，若点M、N分别是的中点，则的最小值为（　　）    A．2 B．3 C． D．4 【考点6含30°角的直角三角形】 【典例6】如图，在中，，，点D在上，，，则等于（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 【变式6-1】如图，顶角为，，现将折叠，使点B与点A重合，折痕为，则的长为（　　） A．1 B．2 C．4 D．3 【变式6-2】如图是屋架设计图的一部分， 其中是的中点， ，，则 ， ． 【变式6-3】如图，在中，，，，E为中点，若，则 ．    【变式6-4】如图，是的斜边上的高，，，则的长为 ．    1．在中，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在直角三角形中，，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．如图，已知，于点，若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 4．如图，要用“”判定和全等的条件是（    ）    A．， B．， C．， D．， 5．如图是“人字形”钢架，其中斜梁，顶角，跨度，为文柱（即底边的中线），两根支撑架，则等于（　　） A． B． C． D． 6．下列命题中，逆命题不正确的是（    ） A．两直线平行，内错角相等 B．直角三角形的两个锐角互余 C．全等三角形对应角相等 D．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 7．如图，在中，，，平分交于点D，点E为的中点，连结，则的周长为（　　）    A．12 B．14 C．16 D．18 8．如图，在中，，，平分，点是的中点，若，则的长为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 9．如图，在中，，，点D在上，，，则的长为（　　） A． B． C． D． 10．（垂线段在三角形内）如图，在中，，，平分，点为上一点，于点，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 11．如图，，且，，是上两点，，．若，，，则的长为 ．    12．如图，直线，的直角顶点A落在直线a上，点B落在直线b上，若，则的大小为 ． 13．如图，在中，，，，，则 ． 14．如图，已知中，，平分，点E是的中点，若，则的长为 15．如图，在中，，，，E为中点．若，则 ． 16．如图，，，垂足分别为D、C，，．求证：．    17．如图，中，，，为延长线上一点，点在上，且．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 18．在中，于H，平分交于点D，交于E． (1)求证 (2)若，，求的度数． 19．如图，中，，，F为延长线上一点，点E在上，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 20．如图，在中，D是的中点，于点E，于点F，且． (1)求证：． (2)若，求的度数． 21．如图，于，于F，若，． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.6 直角三角形的性质与判定综合 【考点1根据直角三角形的性质求角度】 【考点2三角形板与平行线综合应用】 【考点3直角三角形解答题综合应用】 【考点4 直角三角形全等的判定】 【考点5直角三角形中斜边的中线等于斜边的一半】 【考点6含30°角的直角三角形】 知识点 直角三角形的性质与判定 性质 1. 两锐角之和等于90° 2. 斜边上的中线等于斜边的一半 3. 30°角所对的直角边等于斜边的一半 4. 若有一条直角边等于斜边的一半，则这条直角边所对的锐角等于30°（应用时需先证明） 判定 1. 有一个角为90°的三角形时直角三角形 2. 有两个角的和时90°的三角形是直角三角形 3. 一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形 面积公式 ，其中a是底边常，hs是底边上的高 【考点1根据直角三角形的性质求角度】 【典例1】如图，在中，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查垂线的定义，直角三角形两锐角互余，先由垂线定义求得，再在中求出，最后根据求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 【变式1-1】直角三角形的一个锐角是，则它的另一个锐角是（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题考查直角三角形两个锐角互余，掌握该定理即可解题． 【详解】解：直角三角形的一个锐角是， 它的另一个锐角是， 故选：A． 【变式1-2】如图，分别为的高线和角平分线，于点F，当，时，的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查三角形高的定义，角平分线的定义和三角形内角和定理．根据，，得出，，则，进而根据角平分线的定义得出，然后根据三角形的内角和定理，即可求解． 【详解】解：∵为的高线 ∴， 又，，， ∴，， ∴， ∵为的角平分线， ∴， 在中，， 故选：A． 【变式1-3】把两个直角三角形纸板如图放置，恰好平分，若，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直角三角形的两锐角互余，求得的度数，再利用角平分线定义和直角三角形的两锐角互余求得的度数，最后利用角的和差计算即可． 【详解】解：， ， ， 平分， ， ， ， ． 故选：D． 【点睛】本题考查了角平分线定义和直角三角形的两锐角互余，熟练掌握相关知识是解题关键． 【考点2三角形板与平行线综合应用】 【典例2】如图，在中，，点B在直线上，点C在直线上，且直线，，则的度数为（　　）​ A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平角的定义，求出，，得到，利用直角三角形的两个对角互余，进行求解即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查利用平行线的性质求角的度数．正确的识图，找准角度之间的关系，是解题的关键． 【变式2-1】如图，直线a∥b，在Rt△ABC中，点C在直线a上，若∠1＝58°，∠2＝24°，则∠B的度数为（    ） A．56° B．34° C．36° D．24° 【答案】A 【分析】利用平行线的性质，三角形的外角的性质求出∠A即可解决问题． 【详解】解：如图， ∵a∥b， ∴∠1=∠3=58°， ∵∠3=∠2+∠A， ∴∠A=58°-24°=34°， ∵∠ACB=90°， ∴∠B=90°-34°=56°， 故选：A． 【点睛】本题考查平行线的性质，三角形的外角的性质，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 【变式2-2】如图，已知直线，的顶点在直线上，，，若，则的度数是 ．    【答案】/70度 【分析】根据直角三角形的性质求出，根据三角形的外角性质求出，再根据平行线的性质解答即可． 【详解】解：如图，    在中，，， 则， ， ， 是的外角， ， ∵， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是直角三角形的性质、对顶角性质、平行线的性质、三角形的外角性质，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键． 【变式2-3】如图所示，一副三角尺摆放置在矩形纸片的内部，三角形的三个顶点恰好在矩形的边上，，，，则等于 ．        【答案】/130度 【分析】根据三角尺摆放位置可计算出，再根据平行线的性质求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质． 【考点3直角三角形解答题综合应用】 【典例3】如图，在中，是高，是角平分线，它们相交于点O，． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查三角形的内角和定理、三角形的角平分线和高线的性质： （1）在中，根据，可得，再根据是角平分线，，即可求解； （2）在中，根据，，可得，再根据是角平分线，可得，又因为是高，在中，根据，可得，即可求解. 【详解】（1）解：在中， ∵ ∴ ∵是角平分线， ∴ ∴ （2）解：在中， ∵， ∴ ∵是角平分线， ∴ ∵是高， 在中， ∵ ∴ ∴ 【变式3-1】如图，中，，，平分，于D，于F．    (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义求出； （2）根据，得出，求出，得出，根据，求出． 【详解】（1）解：∵中，，， ∴， ∵平分， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，垂线定义，直角三角形两锐角互余，三角形内角和定理的应用，解题的关键是熟练掌握三角形的内角和定理，求出． 【变式3-2】如图，在中，，于，平分交于，交于F．    (1)如果，求的度数； (2)试说明：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据三角形内角和 可得的度数，根据角平分线的定义可得的度数，根据直角三角形的性质可得的度数； （2）根据直角三角形的两锐角互余可得，，根据角平分线的定义可得，从而可得，即可得证． 【详解】（1）解：，， ， 平分交于， ， ； （2）证明：， ， ， ， ， 平分交于， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键． 【变式3-3】57．如图，中，． (1)试说明是的高； (2)如果 ，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（1）由等量代换可得到，故是直角三角形，即； （2）由面积法可求得的长． 【详解】（1）∵ ∴ ∵ ∴ ∴是直角三角形，即， ∴是的高； （2）∵ ∴， ∵， ∴． 【点睛】此题考查了同角的余角相等，三角形的面积，直角三角形的判定，正确理解直角三角形的判定是解题的关键． 【考点4 直角三角形全等的判定】 【典例4】如图，已知，、在线段上，与交于点，且，．求证：． 【答案】见解析． 【分析】此题考查了直角三角形全等的判定，解题关键是由推出，利用进行判定． 【详解】证明：， ，即， ， 与都为直角三角形， 在和中， ． 【变式4-1】已知：如图，，，，．求证：．    【答案】见解析 【分析】利用HL证出即可． 【详解】证明：∵，， ∴． 在和中， ， ∴． 【点睛】此题考查的是全等三角形的判定，掌握利用HL判定两个三角形全等是解决此题的关键． 【变式4-2】如图，在和中，于于与相交于点O．求证：．    【答案】见解析 【分析】由“”可证； 【详解】证明：∵， ∴， 在 和 中， ， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，灵活运用全等三角形的判定和性质是本题的关键． 【变式4-3】如图，点C为线段的中点，分别过点A、B作的垂线（点D、E在的同侧），连接，且．求证：．    【答案】见解析 【分析】利用直接证明即可． 【详解】∵点C为线段的中点， ∴， 在与中， ， ∴． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定，掌握“利用证明两个三角形全等”是解本题的关键． 【考点5直角三角形中斜边的中线等于斜边的一半】 【典例5】如图，在中，，是边上的中线且，则的长是（    ） A．2.5 B．5 C．7.5 D．10 【答案】D 【分析】本题主要考查直角三角形斜边上中线的性质，根据直角三角形斜边上中线等于斜边一半求解即可 【详解】解：在中，，是边上的中线， ∴， 故选：D 【变式5-1】如图，是的中线，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形、等腰三角形及三角形的外角的性质等知识．利用直角三角形斜边中线的性质可得，再由等腰三角形的性质推出，最后根据三角形外角性质即可解决问题． 【详解】解：∵是的中线，， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 【变式5-2】在Rt中，是斜边上的中线，若，则的长为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 【详解】∵ Rt中，是斜边上的中线，若， ∴ ， 故选C． 【变式5-3】如图，中，，线段的两个端点D、E分别在边上滑动，且，若点M、N分别是的中点，则的最小值为（　　）    A．2 B．3 C． D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边中线的性质．如图，连接，则当C，M，N三点在同一条直线上时，取最小值，根据三角形斜边中线的性质求得，，即可求得的最小值． 【详解】解：如图，连接，则当C，M，N三点在同一条直线上时，取最小值，    ∵，，，点M、N分别是的中点， ∴， ∴的最小值为． 故选：B 【考点6含30°角的直角三角形】 【典例6】如图，在中，，，点D在上，，，则等于（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，解题的关键在于熟练掌握相关性质定理．根据等腰三角形的性质求出和度数，利用直角三角形中含所对应的边是斜边的一半求出的长度，根据角度相等求出以及对应长度，从而求出长度． 【详解】 解：，， ，， ，， ，， ， ， ， ． 故选：C． 【变式6-1】如图，顶角为，，现将折叠，使点B与点A重合，折痕为，则的长为（　　） A．1 B．2 C．4 D．3 【答案】A 【分析】本题考查的是翻折变换的性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形，掌握30°所对的直角边等于斜边的一半是解决问题的关键．根据折叠的性质，，，又，可知，据30°所对的直角边等于斜边的一半，可知． 【详解】解：∵， ∴， 根据折叠的性质，， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 【变式6-2】如图是屋架设计图的一部分， 其中是的中点， ，，则 ， ． 【答案】 【分析】本题考查了线段的中点，直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半计算即可． 【详解】∵ ，点D是的中点，， ∴，，， 故答案为：，． 【变式6-3】如图，在中，，，，E为中点，若，则 ．    【答案】2 【分析】本题考查含30度角的直角三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，先证，根据30度角所对的直角边等于斜边的一半，求出和，再根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半求出． 【详解】解： ， ， ， ， ， 中，，， ， 又 中，， ， 中，E为中点， ． 故答案为：2． 【变式6-4】如图，是的斜边上的高，，，则的长为 ．    【答案】9 【分析】根据含度角的直角三角形的性质分别求出，，即可得出答案． 【详解】解：，， ， ， ， ， 又， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了含度角的直角三角形的性质，正确的识别图形并熟记熟记含度直角三角形的性质是解决问题． 1．在中，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直角三角形的两个锐角互余计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了直角三角形的两个锐角互余的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 2．如图，在直角三角形中，，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据先求出∠BAD，再根据平行线的性质求出∠AED，进而可得的度数． 【详解】解：∵AD⊥BC，∠B＝56°， ∴∠ADB＝90°， ∴∠BAD＝34°， ∵∠BAC＝90°，DE∥AC， ∴∠AED＝180°－90°＝90°， ∴∠ADE＝90°－34°＝56°． 故选：A． 【点睛】本题考查了平行线的性质，直角三角形两锐角互余，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 3．如图，已知，于点，若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直角三角形的性质求出，再根据平行线的性质解答即可． 【详解】解：在中，，，    则， ∵， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查的是直角三角形的性质、平行线的性质，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键． 4．如图，要用“”判定和全等的条件是（    ）    A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据直角三角形全等的判定方法对各个选项进行一一判断，即可得出答案． 【详解】解：A、在和中，，，，由“”可判定，故本选项不符合题意； B、在和中，，，，由“”可判定，故本选项不符合题意； C、在和中，，，由“”可判定，故本选项符合题意； D、在和中，，，，由“”可判定，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】此题主要考查学生对直角三角形全等的判定的理解和掌握，难度不大，是一道基础题． 5．如图是“人字形”钢架，其中斜梁，顶角，跨度，为文柱（即底边的中线），两根支撑架，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形和直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题关键．先根据等腰三角形的性质得，根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半得到，两式相加即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴． 故选：B． 6．下列命题中，逆命题不正确的是（    ） A．两直线平行，内错角相等 B．直角三角形的两个锐角互余 C．全等三角形对应角相等 D．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 【答案】C 【分析】本题考查命题与定理的知识；由题意根据平行线判定和直角三角形判定以及全等三角形判定进行分析即可. 【详解】解：A、逆命题为：内错角相等，两直线平行，正确，是真命题，不符合题意； B、逆命题为：两个锐角互余的三角形是直角三角形，正确，是真命题，不符合题意； C、逆命题为：对应角相等的三角形全等，错误，是假命题，符合题意； D、逆命题为：一边上的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形，正确，是真命题，不符合题意． 故选：C． 7．如图，在中，，，平分交于点D，点E为的中点，连结，则的周长为（　　）    A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】B 【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，然后根据三角形的周长公式列式计算即可得解． 【详解】解：，平分，， ， ∵点E为的中点， ， ∴的周长． 故选：B． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键． 8．如图，在中，，，平分，点是的中点，若，则的长为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】由题意推出，在中，，即可求出的长，进而可求出的长． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、直角三角形斜边上的中线的性质、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 9．如图，在中，，，点D在上，，，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质可得，再根据直角三角形的性质可得，，从而可得，即，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质得出是解题的关键． 10．（垂线段在三角形内）如图，在中，，，平分，点为上一点，于点，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出，由外角的性质求出，然后根据直角三角形两锐角互余即可求出的度数． 【详解】∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形内角和等于，直角三角形中两个锐角互余，三角形外角的性质，角平分线的定义，以及垂直的定义，正确识图是解答本题的关键． 11．如图，，且，，是上两点，，．若，，，则的长为 ．    【答案】9 【分析】只要证明，可得，，推出． 【详解】解：，，， ，，， ， ， ， ，， ， ， 故答案为：9． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 12．如图，直线，的直角顶点A落在直线a上，点B落在直线b上，若，则的大小为 ． 【答案】/40度 【分析】作，则，证明即可解决问题． 【详解】解：如图，作． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了直角三角形两锐角互余，平行线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题． 13．如图，在中，，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查含30度直角三角形的性质，熟练掌握含30度直角三角形的性质是解题的关键；由题意易得，则有，然后问题可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为． 14．如图，已知中，，平分，点E是的中点，若，则的长为 【答案】 【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形斜边上中线的性质．根据等腰三角形的性质可得D是的中点，再根据直角三角形斜边上中线的性质即可求解． 【详解】解：∵，平分， ∴D是的中点，且， ∵是的中点， ∴是斜边上中线， ∵， ∴． 故答案为：． 15．如图，在中，，，，E为中点．若，则 ． 【答案】8 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质．利用直角三角形斜边中线的性质求得，推出为等边三角形，利用等边三角形的性质求解即可． 【详解】解：在中，，E为中点， 则， 所以，， 所以为等边三角形， 由， 可得， 所以． 故答案为：8． 　　　　　． 16．如图，，，垂足分别为D、C，，．求证：．    【答案】证明见解析． 【分析】根据得到即，后运用直角三角形全等的判定定理证明即可． 【详解】证明：∵，， ∴， ∵， ∴， 即， 在与中， ， ∴． 【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定，熟练掌握直角三角形全等的判定定理是解题的关键． 17．如图，中，，，为延长线上一点，点在上，且．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】此题考查了直角三角形全等的判定与性质．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用． （1）由，，，即可利用证得； （2）由，，即可求得的度数，即可得的度数，又由，即可求得的度数，则由即可求得答案． 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ， ； （2）解：，， ， 又， 由（1）知：， ， ． 18．在中，于H，平分交于点D，交于E． (1)求证 (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定以及平行线的性质等知识： （1）由平行线的性质得，再证，即可得出结论； （2）证，得，即可解决问题． 【详解】（1）， ， ∵是的角平分线， ， ， ； （2），， ， ， ， ， ， ， ， ∴， ， ， 19．如图，中，，，F为延长线上一点，点E在上，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（）根据“”即可判定：； （）由等腰直角三角形的性质得到，再由，得到，由全等三角形的性质得到的度数，即可得到结论， 此题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质是本题的关键． 【详解】（1）在与中， ， ∴； （2）∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 20．如图，在中，D是的中点，于点E，于点F，且． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查直角三角形全等的判定及性质及三角形内角和定理，熟知这些定理并能准确运用是正确解决本题的关键． （1）用证明即可证明； （2）利用三角形内角和定理即可求出。 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵D是中点， ∴， ∵， ∴， ∴。 （2）∵，，， ∴， 在中 ∴。 21．如图，于，于F，若，． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了角平分线的判定定理，全等三角形的性质和判定， （1）先证明，得到，从而得出结论； （2）先求出的长度，然后证明，得出，求解即可． 证明全等三角形是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， 在和中 ∴平分； （2）解：∵ ∴ 在和中 ∴ ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$