精品解析：上海师范大学附属宝山罗店中学2025-2026学年第一学期高二期末诊断调研数学

6学科网列组卷网 2025学年第一学期高二年级期末诊断调研 科目：数学 时间：120分钟总分：150分 一、填空题（本大题满分54分，1-6每题4分，7-12每题5分） 1记事件A的灯这事行为石，若P),测八心团为 2 【答案】3 【解析】 【分析】由对立事件的概率公式计算求解即可 【详解】因 P(方，所 时uP0=1子 管案为：3 2.直线：x+5y+2=0的一个法向至为一 【答案】，N5)(答案不唯一，亿，V50,1∈R,1≠0) 【解析】 【分析】求出直线的斜率，进而求出它的一个法向量. 【详解】直线：x+3y+2=0的斜索≤3 3 所以该直线的-个方向是为1 3 ,其法向量为可以为（山，√3） 第1页/共20页 6学科网命组卷网 故答案为： 4,V3) 3.设等差数列0的前n项和为S,若a,=2,则 【答案】14 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等差数列性质求出前7项和。 7(a+a）=7a4=14 S7= 【详解】在等差数列4。中，44=2，所以 2 故答案为：14 4直线x+y-1=0被圆(x++y2=3 截得的弦长为， 【答案】2 【解析】 【分析】利用圆心到直线的距离以及弦长公式求解即可· 【详解】易知圆(x+旷+y=3的圆心为-，0)，半径为V5, 由圆心(-1,0)到直线x+y-1=0的距离 d=Hl+0-=2 V1+1 所以直线被圆截得的弦长为2√3-2=2 故答案为：2 5.若某圆锥的底面半径为2，高为2，则该圆锥的侧面积为 (结果保留π) 【答案】4V2元 【解析】 【分析】根据扇形面积公式，求出弧长和半径，求出扇形面积即可. 【详解)圆锥的底面半径为2，高为2，则圆锥底面周长为4红，母线长为V2+2=22, 则侧面展开扇形面积为二×22×4π=4√2 第2页/共20页 6学科网命组卷网 故答案为： 4V2π OM=204 6.如图，空间四边形OACB中，OA=a,OB=b,OC=c,点M在OA上，且 ,点N 为BC中点，则M等于一，（用向量a,b,C表示） 2 1÷1 a+-b+二c 【答案】3 【解析】 2 OM=-OA 【分析】利用空间向量减法的三角形法则可得：MN=ON-OM，且 3 ,点N为BC中点， 即可得出： MN-(OB+0C)-20A ,用向量ā，b,c表示即可. 【详解】由空间向量的运算法则： MN=ON-OM 3,点N为BC中点， MN-(OB+0C)-204--2+6+18 3 32 2 1.1 ā+二b+二c 故答案为：322 第3页/共20页 6学科网命组卷网 7.在棱长为3的正方体 BCD-ABGD中，点4到平面 的距离为 【答案)V5 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，用向量法求点到平面的距离 ZA 夕 C A 【详解】 B D 以B为坐标原点，分别以BC,BA,BB的方向为x,y,2轴的正方向建立空间直角坐标系，如图： A(3,0,0),C(0,3,0),B(0,0,3),D(3,3,3) AC=(-3,3,0),AB=(（-3,0,3).BD=(3,3,3) 因为ACBD=0,AB·BD=0,所以MC⊥BD,AB⊥BD, 又4Cn8=A.AC.AB C平面MBC,所BD上平面MB,C 所以BD=(3,33)是平面4B,C的一个法向量，又A4=(00,3), BD·AA d =√3 一点4到平面ABC的距离 BD 故答案为：V5 8.给定点 ,0,0,B2,1,C(5,4,3),则AC在AB方向上的数量投影为 第4页/共20页 6学科网 命组卷网 【答案】 【解析】 【分析】根据向量投影的定义及数量积、模长的坐标表示求4C在B方向上的数量投影 【详解】由题设AC=(4,-4,3).AB=,1) cos(C. AB √3 故答案为： 3 9.一个不透明的箱子里装有除号码外完全相同的五张卡片，每张卡片上分别写有一个数字号码1,2,3， 4,5.现一次从中随机抽取两张卡片，观察这两张卡片上的数字号码之和是奇数的概率为 3 【答案】50.6 【解析】 【分析】运用列举法写出所有情况，再计算符合条件的比例即可 12,13,14,15,23,24,25,34,35,45 【详解】一次抽取两张卡片，可能抽出： 12,14,23,25,34,45 其中两张数字的数字之和是奇数的情况有 ”共6种情况， P=6、3 故概率105. w 故答案为：5（或0.6） 10.已知点A(-2,5),点M是抛物线=8y上的一点，点B是圆F:+(y-2=1上的一点，则 MA+MB 的最小值为， 【答案】6 第5页/共20页 学科网命组卷网 【解析】 【分析】过M作准线的垂线，垂足为M,由MM=MF,因此先求MA+MF的最小值，由此可知 当M',M,A共线时取得最小值. 【详解】由题意知，圆 F(0,2)是抛物线=8y的焦点， YA x2=4y x2+0y-2)≠1 M M y=-2 过点作抛物线准线 的垂线，垂足为M” 记点M到抛物线x=8 的准线的距离为d MM=MF MB≥MF-1=d-1≥2-1=1 所以M4+MB≥MA+MF例-1=MA+d-1≥5+2-1=6 当且仅当直线AM与抛物线的准线垂直，点B在线段MF上时，即M'，M,A共线时取得最小值，等 号成立， 所以M4+MB的最小值为6 故答案为：6 1 y 11.已知x2-y2=1,则x22x的取值范围为一 117 【答案】2'16 【解析】 【分析】根据“1”的代换，结合双曲线的渐近线斜率以及二次函数的性质即可求解，或者利用三角换元， 以及二次函数的性质求解， 第6页/共20页 6学科网列组卷网 【详解】方法一：x22xx2 由-少=1为等轴双曲线，其断近线的斜率为山， ◆1卡则2e(-0.微武f-+1=-+4+气分1诏 0≠二+kπ，k∈Z 法二：令x=sec0,y=tan8,则2 1 y 1 tan x2 2x sec20 2sec0 =cos20sin0 2 时n0s六m0++名(2 故答案为： 12已知正顶数列{a,}的前n项和为S,a=l,且a.=.+VS.(neN,n之2).若在4和 4(keN)中插入k个相同的数-)，k,构成一个新数列.}，即4，山4，-2，-2,43,33，a4, 记数列，}的前n项和为7，则Tms 【答案】2646 【解析】 S,n=1 【分析】由恩意，结合0，区.-S,n≥2，可得数列{、同}是首项和公差均为1的等差数列，从而求 得VS,=”,所以S。=n进而求得4根据数列b.}的特征可求出7s 第7页/共20页 命学科网命组卷网 【详解】因为0，>0，所以前”项和9，>0 所以当n≥2时，，-S=(VS.-VSn(VS,+S) 因为a,=S+SneN,n22). 所以a.=a,(NS,-,(neN,n≥2），可得VS.-VS=1(n∈N,n≥2)， 所以数列{小S}是首项和公差均为1的等差数列，所以S,=n,即S。= 当n≥2时，0.=S-S=2-(n-12=2n-1 又4=l满足上式，所以a.=2n-1(neN) 新数列，}中从4到Q1共有k+1+1+2+…+)=任+1++_医+k+2) 2 项 63x64=2016,k=6时2 64×6 2=2080 当k=62时，2 所以12m6=a+a+…+4:+1+2×(-2)+3×3+-62x62+(2026-2016)×63 _（1+125)×63+1-2+32+-62+10×63 2 =63×63+(12-22）+(32-42)++(612-622）+10×63 =63×63-(1+2+3+..+62)+10×63 =3969-（1+62)x62 +10×63=2646 故答案为：2646. 二、单选题(13-14每题4分，15-16每题5分，满分18分) 第8页/共20页 6学科网命组卷网 13.设xeR,向量i=(xl叫，=(，-2，且a1c,则x=（) A.-4 B.-1 C.4 D.1 【答案】D 【解析】 【分析】由aLc程 C得ac=0 计算即可 【详解】 alc ∴.ac=0 a=(x1,1)c=(1-21 :a:c=x1+1x(-2)+1×1=0,解得：x=1. 故选：D x2 _y2 =1 14.“m>1”是“方程m-1m+3表示的曲线是双曲线”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线的标准方程，结合充分、必要条件的概念即可求解。 x2 y2 -=1 【详解】若m>1,则m-1>0,m+3>0,所以方程m-1m+3表示双曲线： x2 y2 =1 若方程m-1m+3表示双曲线，则(m-1)(m+3)>0,解得m<-3或m>1, x2 y2 所以“m>1”是“方程m-1m+3表示双曲线”的充分不必要条件： 故选：A 第9页/共20页 6学科网6组卷网 15.先后抛掷质地均匀的硬币4次，得到以下结论错误的是() A.可以从不同的观察角度写出不同的样本空间 B.事件“至少2次正面朝上”与事件“至少2次反面朝上”是互斥事件 C.事件“至少1次正面朝上”与事件“4次反面朝上”是对立事件 1 D.事件“1次正面朝上3次反面朝上”发生的概率是4 【答案】B 【解析】 【分析】根据样本空间的定义判断A；古典概型计算判断D；应用互斥事件定义判断B；应用对立事件定 义判断C 【详解】对于A,不同的观察角度所得到的样本空间可以不同，A正确： 对于B,事件“至少2次正面朝上”与事件“至少2次反面朝上”可以同时发生，如正正反反，B错误； 对于C,事件“至少1次正面朝上”与事件“4次反面朝上”不同时发生， 而必有一个发生，它们是对立事件，C正确： 对于D,先后抛掷质地均匀的硬币4次，有16个基本事件，其中事件“1次正面朝上3次反面朝上” 1 有：正反反反，反正反反，反反正反，反反反正，共4个基本事件，其概率为4，D正确 故选：B a-1-B 16.如图，已知二面角 的平面角为，在平面“内有一条射线1B与楼所成的锐角为0，与平 面所成的角为，则必有() B sinOsinδ=siny sinOsinδ=cosy A. B. 第10页/共20页 命学科网命组卷网 cos0cosδ=siny C. D.cos8c0sδ=cosy 【答案】A 【解析】 【分析】根据线面垂直性质与线段之间的关系建立等式 【详解】设点为点在平面P上的射影，作OC垂直棱'于C,连接BC, 由三垂线定理可知BC垂直棱I, 可得∠BC0是平面“-1P平百，∠B10是1B与平面P所底约角了.∠BAC是B与楼'成 B 是平面 的角6， BO=ABsiny BC=ABsin8 BO=BCsin0 可得： ABsiny=BCsin0=ABsinδsinB→siny=sinsinδ 则 故选A 三、解答题（本大题满分78分） 17.有4个相同的球，分别标有数字1,2,3,4，从中有放回的随机取两次，每次取1个球. (1)写出这个试验的一个等可能的样本空间2： (2)事件A表示“第一次取出的球的数字是1”，事件B表示“两次取出的球的数字之和是5”.判断事件A 和事件B是否相互独立，并说明理由. 答 案 1 2={1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)} (2) 事件A和事件B相互独立，理由如下： 因为A=,.,2).(,3.(14},B=0,4,2,3,3,2,4,1y. 第11页/共20页 6学科网列组卷网 4=1 所以P=64, (B)=4=} 164, 因为A∩B={1,4)},所以 为P0xa-GP 因 ）,所以事件A和事件B相互独立 【解析】 【分析】(1)根据题意，用列举法进行求解： (2)根据相互独立事件的定义，结合古典概型公式进行求解。 【小问1详解】 依题意，样本空间为 2={1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,43,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)} 【小问2详解】 略 18.已知直线的方程为 y=-(a+l)x+a-2 aeR): (1)求证：直线！必过定点，并写出此定点的坐标； (2)若直线在两坐标轴上的截距相等，求a的值； (3)若直线不经过平面直角坐标系的第二象限，求a的取值范围. 【答案】(1)证明：直线：y=a+1x+a-2,即a(Cx-)+(x+y+2)=0 ,即 x-1=0 x=1 由x+y+2=0,得y=-3,所以直线1必过定点，此定点坐标为(L,-3): (2)a=0或a=2: 第12页/供20页 6学科网6组卷网 (3)a≤-1 【解析】 【分析】(1)求出直线所过定点即可. (2)求出直线的横纵截距，再列式求解. (3)求出直线的斜率及纵截距，结合题意列式求解. 【小问1详解】 (1,-3) 证明略， 【小问2详解】 依题意， -(a+1)≠0 在直线l:y=-(a+)x+a-2中，令x=0,得y=a-2,令y=0,得 x=q-2 a+1, a-2 =a-2 由直线1在两坐标轴上的截距相等，得a+1 ,解得a=0或a=2, 所以a=0或a=2 【小问3详解】 直线：y=-(a+x+a- 的斜率为a+) 纵截距为a-2 -(a+1)≥0 由直线1不经过平面直角坐标系的第二象限，得a-2≤0，解得a≤-1' 所以a的取值范围是a≤-1. 19.已知数列a}的前n项和为S。=2m+3n,数列也.}满足么=1，b.=h,1+2(n≥2) 第13页/共20页 6学科网列组卷网 （)求数列a,}的通项公式； 夕1 (2)求数列{b,}的通项公式，并求台b+1的值. 【答案】(1)0。=4n+1 1 11 (2)bn=2”-1,台b+12” 【解析】 【分析】(I)利用数列前n项和与第n项的关系求出通项公式 (2)利用累加法求出通项公式，再利用等比数列前n项和公式求解. 【小问1详解】 数列{a,}的前n项和为S,=2m+3n, 当n22时，a,=S,-S=2m+3n-2n-'+30n-月=4n+1,而4=8=5 满足上式， 所以数列a,}的通项公式为0，=4n+1 【小问2详解】 数列.}中，么=1，由b.=b+2,得b.-b1=2 当n≥2时，6，=6+6，-6)+6-b)+…+6。-b)=1+2+2++2 1-2 1-2 =2”-1,=1满足上式. 所以数列，}的通项公式为九.=2”-1 1 1-1-2 1=1,所以2+名2 2) 11 b,+12 1 1 2 第14页/供20页 学科网命组卷网 20.如图，PA⊥平面ABC,AB为圆O的直径，E,F分别为棱PC,PB的中点 D E (1)证明：EF11平面ABC: (2)证明：平面EFA⊥平面PAC: (3)若PA=AB=4,AC=2,求二面角E-AB-C的大小 【答案】(1) E,F 因为 分别为棱 的中点，所以EF/IBC PC,PB 因为EFC平面ABC,BCC平面ABC, 所以BF/平面1BC (2) 因为AB为圆O的直径，所以BC⊥AC, 因为PAL平面ABC,BCC平面MBC,所以BC⊥PA 又PAn4C=A,PA.ACC平面PMC所BC上平面PMC, 由()知EF1VBC,所以EFL平面PAC又EFC平面 EFA, 所以平面EFA⊥平面PAC. 第15页/共20页 6学科网 命组卷网 57 (3) arccos- 19 【解析】 【分析】(1)利用中位线定理得到EFI1BC，利用线面平行的判定定理即可得证； ②由MB为圆O的直径，得到BC14C再利用线面垂直得到BC1PA从而BC上平面PAC结合 (1)中BF1/BC,所以EF上平面 PAC, 得到面面垂直 (3)构建空间直角坐标系，根据空间向量求解二面角大小 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 E B 以A为坐标原点，如图所示构建空间直角坐标系， 因为PA=AB=4,AC=2. 所以A(0,0,0),B(0,4,0,P(0,0,4),C-V31,0 第16页/共20页 6学科网命组卷网 设面EAB的法向量为%=(x,少，2， h·AE=0 可得 -3x+y+4z=0 则1 2·AB=0' y=0 令x=4,则y=0,z=V3,h=(4,0,V5): 又面ABC的法向量可表示为%=(0,0，)， h1n2 4,0,3-(0,0,1) √57 cos m,n n V19×1 19, 三面角E-AB-C的大小为arccos V>} 19 2L已知双线.- -3=1,点4(1,0，点Q12),过点Q作动直线1与双曲线右支交于不同的两 点B、C,点H在线段BC上，且与端点B、C不重合 (1)求双曲线「的焦距和离心率； (2)当H为BC中点时， AAOH 的面积为7，求直线的斜率； (3)设直线AB、AH、AC分别与y轴交于点D、E、F,若E为DF的中点，证明：点H在一条定 直线上，并求出该定直线的方程 【答案】(1)焦距4，离心率2 (2)-2 (3) x-1 第17页/供20页 6学科网 命组卷网 同理可得， 少E=1,= x2-1, 由E为DF中点，可得2：=%+」 24-片+-2+k-,2+3-=2k+2+52 即x4-1x-1x2-1x-1为-1 (x-1(x2-1): 所以 2k2-4k-2(k2-3 =+e4472x月 ，=k+-4k+63 42 即34-24-3=0 所以(xah）在定直线3x-2y-3=0上 E 【解析】 a,b,c 【分析】(1)根据双曲线方程求出 ,即可得解： (2)先设出直线方程，联立双曲线方程，利用中点坐标公式和三角形面积公式求解直线斜率； 第18页/共20页 命学科网命组卷网 (3)通过设点坐标，利用直线方程求出与'轴交点坐标，再根据中点关系证明点H在定直线上· 【小问1详解】 由双曲线方程得a=1,b=V5,c=V2+b=2, 所以焦距2c=4,离心率e=。=2。 【小问2详解】 若直线的斜率不存在，则直线与双曲线右支只有一个交点，不符合题意， 故直线'的斜率存在，设直线l的方程为y-2=k(x-) 52、2 2-3=l联立得3-2）2+(2R2-4k)x-k+4k-7=0. 设B(x,h),C(x,y). 3-K2≠0 △=(2k2-4k)+43-k2)(k2-4k+7）=12(7-4)>0 2k2-4k>0 由题意，得x+为=尺-3 x2= 2-4k+7>0 k2-3 解得k<-V5 k2-2k 因为H为BC中点，所以2=2-3， 由8w4Q,-2-1=7,07+2-24=(0-12K+2y=0, 又k<V5,解得k=-2 所以直线1的斜率为-2： 第19页/共20页 6学科网命组卷网 。 【小问3详解】 略 第20页/共20页 2025学年第一学期高二年级期末诊断调研 科目：数学 时间：120分钟 总分：150分 一、填空题（本大题满分54分，1-6每题4分，7-12每题5分） 1. 记事件A的对立事件为，若，则为__________. 2. 直线的一个法向量为______． 3. 设等差数列的前n项和为，若，则______． 4. 直线被圆截得的弦长为__________. 5. 若某圆锥的底面半径为2，高为2，则该圆锥的侧面积为__________．（结果保留） 6. 如图，空间四边形OACB中， = ， = ，= ，点M在OA上，且，点N为BC中点，则等于__．（用向量表示） 7. 在棱长为3的正方体中，点到平面的距离为______________． 8. 给定点，则在方向上的数量投影为______. 9. 一个不透明的箱子里装有除号码外完全相同的五张卡片，每张卡片上分别写有一个数字号码1，2，3，4，5.现一次从中随机抽取两张卡片，观察这两张卡片上的数字号码之和是奇数的概率为________. 10. 已知点，点是抛物线上的一点，点是圆上的一点，则的最小值为___________． 11. 已知，则的取值范围为_____. 12. 已知正项数列的前项和为，且.若在和中插入个相同的数，构成一个新数列，即，记数列的前项和为，则___________. 二、单选题（13-14每题4分，15-16每题5分，满分18分） 13. 设，向量，，且，则（ ） A. -4 B. -1 C. 4 D. 1 14. “”是“方程表示的曲线是双曲线”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 15. 先后抛掷质地均匀的硬币4次，得到以下结论错误的是（ ） A. 可以从不同的观察角度写出不同的样本空间 B. 事件“至少2次正面朝上”与事件“至少2次反面朝上”是互斥事件 C. 事件“至少1次正面朝上”与事件“4次反面朝上”是对立事件 D. 事件“1次正面朝上3次反面朝上”发生的概率是 16. 如图，已知二面角的平面角为，在平面内有一条射线与棱所成的锐角为，与平面所成的角为，则必有（ ） A. B. C. D. 三、解答题（本大题满分78分） 17. 有4个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，从中有放回的随机取两次，每次取1个球． （1）写出这个试验的一个等可能的样本空间； （2）事件A表示“第一次取出的球的数字是1”，事件B表示“两次取出的球的数字之和是5”．判断事件A和事件B是否相互独立，并说明理由． 18. 已知直线的方程为（）： （1）求证：直线必过定点，并写出此定点的坐标； （2）若直线在两坐标轴上的截距相等，求的值； （3）若直线不经过平面直角坐标系的第二象限，求的取值范围． 19. 已知数列的前项和为，数列满足，（）． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的通项公式，并求的值． 20. 如图，平面，为圆的直径，，分别为棱，的中点. （1）证明：平面； （2）证明：平面平面； （3）若，，求二面角的大小. 21. 已知双曲线：，点，点，过点作动直线与双曲线右支交于不同的两点、，点在线段上，且与端点、不重合. （1）求双曲线的焦距和离心率； （2）当为中点时，的面积为7，求直线的斜率； （3）设直线、、分别与轴交于点、、，若为的中点，证明：点在一条定直线上，并求出该定直线的方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $