精品解析：重庆南岸区2025-2026学年九年级上学期期末监测数学试卷

2025-2026学年九年级上学期期末监测数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．试题卷上各题的答案用签字笔书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．答题前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 已知为锐角，且，则的值是（ ） A. B. C. D. 2. 如图是社团小组运用打印技术制作的模型，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 3. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为（ ） A. 4 B. 1 C. D. 4. “这么近，那么美，周末到河北”．嘉嘉周末到弘济桥游览，发现青石桥面上有三叶虫化石，他想了解其长度，在化石旁放了一支笔拍下照片（如图）．回家后量出照片上笔和化石的长度分别为和，笔的实际长度为，则该化石的实际长度为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 5. 如图，校园内有一棵与地面垂直的树，数学兴趣小组两次测量它在地面上的影子，第一次是阳光与地面成60°角时，第二次是阳光与地面成30角时，已知两次测量的影长相差8米，则树高AB为多少？___．（结果保留根号） 三、解答题：（本大题2个小题，每题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 四、解答题：（本大题7个小题，每题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 6. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与轴交于两点（点在点的左侧），且，与轴交于点，连接，作直线．已知是抛物线上的两点． （1）求抛物线的表达式； （2）试判断是否存在实数使得．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． （3）已知点是抛物线在第一象限上的一点，过点作轴的垂线，交于点．当取得最大值时，在抛物线上存在点，使得，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 7. 在四边形中，，E为射线上的一点，四边形为平行四边形． （1）如图1，连接，，若，求证：四边形是矩形； （2）如图2，连接，，，交于点．若，求的周长的最小值； （3）如图3，连接，，交于点．若，当是等腰三角形时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级上学期期末监测数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．试题卷上各题的答案用签字笔书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．答题前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 已知为锐角，且，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据特殊角的三角函数值即可求得α的值． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，掌握几个特殊角的三角函数值是解题的关键． 2. 如图是社团小组运用打印技术制作的模型，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了三视图，根据左视图的定义进行解答即可． 【详解】解：如图是社团小组运用打印技术制作的模型，它的左视图是： ； 故选：C． 3. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为（ ） A. 4 B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的根的判别式，根据一元二次方程有两个相等的实数根，得到根的判别式，求出a的值即可． 【详解】解：∵ 关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 即， ∴ ， ∴ ， 故选：B． 4. “这么近，那么美，周末到河北”．嘉嘉周末到弘济桥游览，发现青石桥面上有三叶虫化石，他想了解其长度，在化石旁放了一支笔拍下照片（如图）．回家后量出照片上笔和化石的长度分别为和，笔的实际长度为，则该化石的实际长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似图形的性质，设该化石的实际长度为，根据题意得出，即可求解． 【详解】设该化石的实际长度为，依题意， ， 解得： 故选：C． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 5. 如图，校园内有一棵与地面垂直的树，数学兴趣小组两次测量它在地面上的影子，第一次是阳光与地面成60°角时，第二次是阳光与地面成30角时，已知两次测量的影长相差8米，则树高AB为多少？___．（结果保留根号） 【答案】米 【解析】 【分析】设，利用正切的定义以及特殊角的正切值，表示出和，然后求解即可． 【详解】解：设米 在中，，则 在中，，则 ，即，解得 即米 故答案为米 【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，涉及正切的定义，解题的关键是掌握正切三角函数的定义以及特殊角的正切值． 三、解答题：（本大题2个小题，每题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 四、解答题：（本大题7个小题，每题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 6. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与轴交于两点（点在点的左侧），且，与轴交于点，连接，作直线．已知是抛物线上的两点． （1）求抛物线的表达式； （2）试判断是否存在实数使得．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． （3）已知点是抛物线在第一象限上的一点，过点作轴的垂线，交于点．当取得最大值时，在抛物线上存在点，使得，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】（1） （2）不存在满足条件的， ，， ． ． 关于的一元二次方程． ∴不存在满足条件的； （3）点为或， ∵抛物线与轴交于点，故． ，，则直线为． 设的坐标为，则． ． 当取得最大值时，．此时 ，． 设的坐标为． 当点在点的左边，，如答图1． ， ． ． ， ∴直线为． ，且过点， ∴直线为． 直线经过点， ． 解方程，得（舍去）． ． 当点在点Q的右边，． 如答图2，过点作轴，与过点与轴平行的直线交于点． 则． ， ， ． ． ，即． ∴整理，得． 解方程，得（舍去）． ． 综上所述：满足条件的点为或． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合，涉及待定系数法求函数解析式、解一元二次方程、二次函数的图象与性质、锐角三角函数等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，运用数形结合和分类讨论思想是解答的关键． （1）先求得点A坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）求出，，然后根据已知列方程求解即可； （3）先求得直线为，设的坐标为，．则．当取得最大值时，．此时， 设的坐标为，分当点在点Q的右边和当点在点的左边两种情况分别求解即可． 【小问1详解】 解：，． 将代入，得， 解方程组，得， ∴抛物线的解析式是； 【小问2详解】 解：，， ． ． 关于的一元二次方程． ∴不存在满足条件的； 【小问3详解】 略 7. 在四边形中，，E为射线上的一点，四边形为平行四边形． （1）如图1，连接，，若，求证：四边形是矩形； （2）如图2，连接，，，交于点．若，求的周长的最小值； （3）如图3，连接，，交于点．若，当是等腰三角形时，直接写出的值． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴四边形是菱形，则，， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； （2）周长的最小值为 （3）或或 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是菱形得到，，再根据平行四边形的性质推导出，，则四边形是平行四边形，进而根据矩形的判定可证得结论； （2）过E作交延长线于N，过B作，交延长线于H，在延长线上截取，连接，则，由菱形的性质可求得，进而可得当F、B、M共线时取等号，的周长的最小值为；证明四边形、四边形是矩形，求得，，最后利用勾股定理求得即可求解； （3）先根据线段垂直平分线的判定与性质得到垂直平分，则，，设，则，，则，根据等腰三角形的定义分三种情况求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过E作交延长线于N，过B作，交延长线于H，在延长线上截取，连接，如图， 则垂直平分， ∴， 由（1）知四边形是菱形，， ∴，，， ∴， ∵的周长，当F、B、M共线时取等号， ∴的周长的最小值为， ∵，， ∴四边形、四边形是矩形， ∴，，，， ∴，， 在中，， ∴的周长的最小值为； 【小问3详解】 解：∵， ∴垂直平分， ∴，， ∵，设， ∴，，则， 根据题意，当是等腰三角形时，分三种情况： 当点E在线段上且时，， ∴； 当点E在延长线上且时， ∴； 当时，， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得，则 ∴， 综上，满足条件的的值为或或． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的判定与性质、矩形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、最短距离问题等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，分类讨论是解答的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $