精品解析：重庆南岸区2025-2026学年九年级上学期期末监测数学试卷

2025-2026学年九年级上学期期末监测数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．试题卷上各题的答案用签字笔书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．答题前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 已知为锐角，且，则的值是（ ） A. B. C. D. 2. 如图是社团小组运用打印技术制作的模型，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 3. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为（ ） A. 4 B. 1 C. D. 4. “这么近，那么美，周末到河北”．嘉嘉周末到弘济桥游览，发现青石桥面上有三叶虫化石，他想了解其长度，在化石旁放了一支笔拍下照片（如图）．回家后量出照片上笔和化石的长度分别为和，笔的实际长度为，则该化石的实际长度为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则的值是（） A. B. C. D. 6. 如图，直立于地面的三根柱子，，，其中起固定作用的两根钢筋和相交于点．已知，，则的高度为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制的折线图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（ ） A. 在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀” B. 不透明袋中有3个除颜色外均相同的小球，其中有2个红球，随机摸出一个红球 C. 掷一枚质地均匀的硬币，落地时正面朝上 D. 掷一枚质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6 8. 存在一个矩形，矩形的面积与一个已知正方形面积相等，矩形的周长是已知正方形周长的2倍，则这个矩形的较长边的边长与正方形的边长之比是（ ） A. B. C. D. 9. 在平面直角坐标系中，抛物线与直线相交于点，点，交轴于点，抛物线顶点为，如图所示．则以下说法，错误的是（ ） A. B. 点坐标为 C. 当时，函数图象对应的最大值与最小值之差为3 D. 连接，则与的面积相等 10. 如图，在正方形中，为边的中点，连接，将沿翻折，得到，连接，．则下列说法：（ ） （1）； （2）； （3）面积与的面积相等； （4）四边形的面积是面积的． 其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 菱形的两条对角线长分别为6，8，则这个菱形的面积为__________． 12. 如图，校园内有一棵与地面垂直的树，数学兴趣小组两次测量它在地面上的影子，第一次是阳光与地面成60°角时，第二次是阳光与地面成30角时，已知两次测量的影长相差8米，则树高AB为多少？___．（结果保留根号） 13. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象交轴于点，交轴于点，与反比例函数在第一象限的交点为，过点作轴的垂线，垂足为．若，则的值为__________． 14. 某超市今年10月份的营业额为500万元，第四季度的总营业额为1820万元，则该超市11，12两个月营业额的月均增长率为___________． 15. 如图，在中，，D是的中点，，则的值为__________． 16. 如图，点D，E分别是的边，上的点，连接的角平分线交于点．若，，则的值为_________． 三、解答题：（本大题2个小题，每题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 校园数学文化节期间，某班开展多轮开盲盒做游戏活动．每轮均有四个完全相同的盲盒，分别装着写有“幻方”“数独”“华容道”“鲁班锁”游戏名称的卡片，每位参与者只能抽取一个盲盒，盲盒打开即作废． （1）若随机抽取一个盲盒打开，恰好装有“数独”卡片的概率为________； （2）若某轮只有小贤和小艺两位同学参加开盲盒游戏，请用画树状图或列表法，求两人恰好抽取装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的概率． 四、解答题：（本大题7个小题，每题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 如图的顶点坐标分别为． （1）以点位似中心画，使它与位似，且相似比为2； （2）在（1）条件下，是边上的任意一点，请直接写出的边上与点对应的点的坐标． 20. 请按照题意，补全图形和证明过程． 如图，是直线上一点，是的中点，平分． （1）用尺规完成作图：作的角平分线，在右侧，作．直线交于点，交于点，连接，． （2）求证：四边形是矩形． 证明：平分平分， ，① ． ∵② ，． ． ． 是中点， ∴③ ． ． ∴四边形是矩形（④ ）． 21. 一个专营农副产品的批发公司，以60000元的成本收购了某种水果50吨，目前可以以1600元／吨的价格出售．如果储存起来，每星期会损失2吨，且每星期需支付各种费用2000元，但同时每星期每吨的价格将上涨200元． （1）储藏2周后全部卖出，可以获得多少利润？ （2）储藏多少周后全部卖出，可以获得34000元的利润？ （3）储藏多少周后全部卖出，可获得最大利润？最大利润是多少元？ 22. 如图，在平面直角坐标系中，经过点的直线，与反比例函数在第一象限的图象交于点．过点轴，垂足为，垂足为，且． （1）求反比例函数的表达式； （2）求直线的函数表达式； （3）在第一象限内，当时，直接写出的取值范围． 23. 如图，一艘货轮从出发以一定的速度匀速航行，给正东方向的岛运送货物，再沿南偏西的方向航行到达港．一艘巡航舰从出发匀速航行，沿西南方向航行至岛，再立即向东航行到达港．（参考数据：，） （1）求，两港的距离（结果精确到）； （2）若巡航舰航行速度是货轮的倍，巡航舰与货轮同时从港出发，货轮在港卸货物的时间忽略不计．请通过计算说明，巡航舰与货轮谁先到达港． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线图象与轴交于两点（点在点的左侧），且，与轴交于点，连接，作直线．已知是抛物线上的两点． （1）求抛物线的表达式； （2）试判断是否存在实数使得．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． （3）已知点是抛物线在第一象限上的一点，过点作轴的垂线，交于点．当取得最大值时，在抛物线上存在点，使得，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 25. 在四边形中，，E为射线上的一点，四边形为平行四边形． （1）如图1，连接，，若，求证：四边形是矩形； （2）如图2，连接，，，交于点．若，求的周长的最小值； （3）如图3，连接，，交于点．若，当是等腰三角形时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级上学期期末监测数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．试题卷上各题的答案用签字笔书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．答题前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 已知为锐角，且，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据特殊角的三角函数值即可求得α的值． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，掌握几个特殊角的三角函数值是解题的关键． 2. 如图是社团小组运用打印技术制作的模型，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了三视图，根据左视图的定义进行解答即可． 【详解】解：如图是社团小组运用打印技术制作的模型，它的左视图是： ； 故选：C． 3. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为（ ） A. 4 B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的根的判别式，根据一元二次方程有两个相等的实数根，得到根的判别式，求出a的值即可． 【详解】解：∵ 关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 即， ∴ ， ∴ ， 故选：B． 4. “这么近，那么美，周末到河北”．嘉嘉周末到弘济桥游览，发现青石桥面上有三叶虫化石，他想了解其长度，在化石旁放了一支笔拍下照片（如图）．回家后量出照片上笔和化石的长度分别为和，笔的实际长度为，则该化石的实际长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似图形的性质，设该化石的实际长度为，根据题意得出，即可求解． 【详解】设该化石的实际长度为，依题意， ， 解得： 故选：C． 5. 已知，则的值是（） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了比例的性质，熟练掌握用比例的基本性质进行变形是解题的关键． 根据比例关系设参数代入计算． 【详解】解：∵， 设，（）， 则， 故选：B． 6. 如图，直立于地面的三根柱子，，，其中起固定作用的两根钢筋和相交于点．已知，，则的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是熟练地掌握相似三角形的应用． 证明，，利用相似三角形的对应边成比例推导出，进而求解即可． 【详解】解：由题意， ∴，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 解得，且符合题意， 故选：B． 7. 如图，是某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制的折线图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（ ） A. 在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀” B. 不透明袋中有3个除颜色外均相同的小球，其中有2个红球，随机摸出一个红球 C. 掷一枚质地均匀的硬币，落地时正面朝上 D. 掷一枚质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率所求情况数与总情况数之比．根据统计图可知，试验结果在0.17附近波动，即其概率，计算四个选项的概率，约为0.16者即为正确答案． 【详解】解：由图知，试验结果在0.17附近波动，即其概率， 、在“石头、剪刀、布”游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率为，故本选项不符合题意； B、不透明袋中有3个除颜色外均相同的小球，其中有2个红球，随机摸出一个红球的概率为，故本选项不符合题意； 、掷一枚质地均匀的硬币，落地时正面向上的概率是，故本选项不符合题意； D、掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6的概率为，故本选项符合题意． 故选：D． 8. 存在一个矩形，矩形的面积与一个已知正方形面积相等，矩形的周长是已知正方形周长的2倍，则这个矩形的较长边的边长与正方形的边长之比是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设正方形的边长为，可得正方形的周长为，设矩形的一条边长为，则可得另一条边长为，根据矩形的面积与一个已知正方形面积相等，列方程即可解答． 【详解】解：设正方形的边长为，可得正方形的周长为， 矩形的周长是已知正方形周长的2倍， 矩形的周长为， 设矩形的一条边长为，可得另一条边长为， 故可得， 可得， ， 这个矩形的较长边的边长为， 所以这个矩形的较长边的边长与正方形的边长之比是， 故选：C． 9. 在平面直角坐标系中，抛物线与直线相交于点，点，交轴于点，抛物线顶点为，如图所示．则以下说法，错误的是（ ） A. B. 点坐标为 C. 当时，函数图象对应的最大值与最小值之差为3 D. 连接，则与的面积相等 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数的性质，一次函数的性质，二次函数面积问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．利用待定系数法求出二次函数的解析式，即可判断A，B选项；再求出二次函数对称轴结合图象即可判断C选项；求出，过点作轴的垂线交直线于点，求出，分别计算出与的面积，即可判断D选项． 【详解】解：∵抛物线过点，点， ∴， 解得，故A选项正确，不符合题意； ∴抛物线的解析式为， ∵， ∴抛物线的顶点坐标，故选项B正确，不符合题意； ∵，， ∴在，当时，函数有最小值，当时，函数有最大值，则函数图象对应的最大值与最小值之差为，故C选项错误，符合题意； 联立，则， 解得， ∴， 如图，过点作轴的垂线交直线于点， 则， ∴， ∵，即， ∴， ∴，故D选项正确，不符合题意． 故选：C． 10. 如图，在正方形中，为边的中点，连接，将沿翻折，得到，连接，．则下列说法：（ ） （1）； （2）； （3）的面积与的面积相等； （4）四边形面积是面积的． 其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】设，，根据翻折性质和正方形性质，结合三角形的内角和定理得到可判断①；过点作直线，分别交、于点、，先证明四边形是矩形得到，，，再证明，利用相似三角形的性质推导出，则，在中，由勾股定理求得，进而利用勾股定理可判断②；利用三角形的面积公式可判断③④，进而可得答案． 【详解】解：①∵点是边的中点， ∴可设，则， ∵四边形是正方形， ∴，， 设， 由翻折性质得：，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴，故结论①正确； ②过点作直线，分别交、于点、，如图所示： ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，， 在和中， ，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴，，， 在中，， 在中，， ∴，故结论②正确； ③∵， , ∴，故③正确； ④∵， 由翻折的性质得：， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形的面积是面积的，故④正确， 故结论④正确； 综上所述：正确的结论是①②③④． 故选：D ． 【点睛】本题考查了图形的翻折变换及其性质、正方形的性质、相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、平行线的判定等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 菱形的两条对角线长分别为6，8，则这个菱形的面积为__________． 【答案】24 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，熟记菱形面积公式是解题的关键． 菱形的面积等于对角线乘积的一半，由此可得出结果． 【详解】解：∵菱形的两条对角线长分别为6和8， ∴菱形的面积为． 故答案为：24． 12. 如图，校园内有一棵与地面垂直的树，数学兴趣小组两次测量它在地面上的影子，第一次是阳光与地面成60°角时，第二次是阳光与地面成30角时，已知两次测量的影长相差8米，则树高AB为多少？___．（结果保留根号） 【答案】米 【解析】 【分析】设，利用正切的定义以及特殊角的正切值，表示出和，然后求解即可． 【详解】解：设米 在中，，则 在中，，则 ，即，解得 即米 故答案为米 【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，涉及正切的定义，解题的关键是掌握正切三角函数的定义以及特殊角的正切值． 13. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象交轴于点，交轴于点，与反比例函数在第一象限的交点为，过点作轴的垂线，垂足为．若，则的值为__________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象与一次函数的图象的交点问题、全等三角形的性质，求得点P坐标是解答的关键． 先求得点A、B坐标，利用全等三角形的性质求得，，则，进而求得点P坐标即可求解 【详解】解：对于， 当，，当时，由得， ∴，， ∴，， ∵， ∴，，则， ∵点P在第一象限，且在反比例函数图象上，轴， ∴， ∴， 故答案为：4． 14. 某超市今年10月份的营业额为500万元，第四季度的总营业额为1820万元，则该超市11，12两个月营业额的月均增长率为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意找准等量关系，正确列出方程是解题的关键． 设月均增长率为x，根据10月营业额和第四季度总营业额，列出关于x的方程，解方程并舍去负根，得到增长率． 【详解】解：设月均增长率为x， 由题意可得． 解得：或（舍去）． 故答案为：． 15. 如图，在中，，D是的中点，，则的值为__________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查锐角三角函数、相似三角形的判定及性质，等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的性质是解答的关键． 过点作的垂线，交于点，过点作的垂线，交于点，设，证明得到，结合等腰三角形的性质求得，然后利用正切定义求解即可． 【详解】解：如图，过点作的垂线，交于点，过点作的垂线，交于点，设． ∵，． ∴， ∵D是的中点， ∴， ∵，， ∴． ∴． ∴． ∴，， ∴， ∴． ∵，， ∴． ∴， ∴． 故答案为：3． 16. 如图，点D，E分别是的边，上的点，连接的角平分线交于点．若，，则的值为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、三角形的内角和定理、角平分线的定义，熟练掌握相似三角形的性质是解答的关键． 先利用三角形的内角和定理和角平分线的定义得到，，进而证明得到可得答案． 【详解】解：∵，， ∴，即， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题：（本大题2个小题，每题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解答的关键． （1）利用公式法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ． ； 【小问2详解】 解： 或 ． 18. 校园数学文化节期间，某班开展多轮开盲盒做游戏活动．每轮均有四个完全相同的盲盒，分别装着写有“幻方”“数独”“华容道”“鲁班锁”游戏名称的卡片，每位参与者只能抽取一个盲盒，盲盒打开即作废． （1）若随机抽取一个盲盒打开，恰好装有“数独”卡片的概率为________； （2）若某轮只有小贤和小艺两位同学参加开盲盒游戏，请用画树状图或列表法，求两人恰好抽取装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了列表法与树状图法、概率公式等知识点，根据题意正确画出树状图是解题的关键． ()直接根据概率公式求解即可； ()画树状图列出所有等可能的结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：若随机抽取一个盲盒并打开，抽中的可能有种等可能结果，恰好装着写有“数独”卡片有种可能，即概率为； 故答案为：； 【小问2详解】 “幻方”“数独”“华容道”、“鲁班锁”四个游戏分别记作，根据题意画树状图如下： 共有种等可能的结果数，其中他们恰好抽到“幻方”和“华容道”卡片盲盒的结果数为， ∴他们恰好抽到“幻方”和“华容道”卡片盲盒的概率为． 四、解答题：（本大题7个小题，每题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 如图的顶点坐标分别为． （1）以点为位似中心画，使它与位似，且相似比为2； （2）在（1）的条件下，是边上的任意一点，请直接写出的边上与点对应的点的坐标． 【答案】（1）见解析 （2）或 【解析】 【分析】本题考查三角形位似图形的画法，理解点的坐标利用放大或缩小坐标法，注意位似图形有两个是解题关键． （1）把点A、B、C的横、纵坐标都乘以2可得到对应点D、E、F的坐标，再描点可得；把点A、B、C的横、纵坐标都乘以可得到对应点、、的坐标，然后描点可得； （2）根据位似比即可求出． 【小问1详解】 解：如图，和即为所求： 【小问2详解】 解：根据题意，点M对应的点的坐标为或． 20. 请按照题意，补全图形和证明过程． 如图，是直线上一点，是的中点，平分． （1）用尺规完成作图：作的角平分线，在右侧，作．直线交于点，交于点，连接，． （2）求证：四边形是矩形． 证明：平分平分， ，① ． ∵② ，． ． ． 是中点， ∴③ ． ． ∴四边形是矩形（④ ）． 【答案】（1）见解析 （2）①；②；③；④对角线相等且互相平分的四边形是矩形 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质、矩形的判定、平行线的判定与性质、角平分线的定义及其尺规作图等知识，熟练掌握等腰三角形的判定是解答的关键． （1）根据角平分线的尺规作图步骤画图即可； （2）利用矩形的判定和等腰三角形的判定，结合平行线的判定与性质以及角平分线的定义可得答案． 【小问1详解】 解：如图所示； 【小问2详解】 证明：平分平分， ，． ∵，． ． ． 是中点， ∴． ，即． ∴四边形是矩形（对角线相等且互相平分的四边形是矩形）． 21. 一个专营农副产品的批发公司，以60000元的成本收购了某种水果50吨，目前可以以1600元／吨的价格出售．如果储存起来，每星期会损失2吨，且每星期需支付各种费用2000元，但同时每星期每吨的价格将上涨200元． （1）储藏2周后全部卖出，可以获得多少利润？ （2）储藏多少周后全部卖出，可以获得34000元的利润？ （3）储藏多少周后全部卖出，可获得最大利润？最大利润是多少元？ 【答案】（1）元 （2）储藏5周或7周 （3）储藏6周后全部卖出，可获得最大利润，最大利润为34400元 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用、二次函数的应用、有理数的四则混合运算的应用，理解题意是解答的关键． （1）根据题意，结合利润收入成本列算术求解即可； （2）设储藏周后全部卖出，可以获得利润34000元．根据题意列方程求解即可； （3）设储藏周后全部卖出，可以获得利润为元，根据题意得到，然后利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意，储藏2周后，利润为 （元） 答：储藏2周后全部卖出可获利润28000元； 【小问2详解】 解：设储藏周后全部卖出，可以获得利润34000元．根据题意，可得 化简，得 解方程，得 答：储藏5周或7周后全部卖出，可获利润34000元； 【小问3详解】 解：设储藏周后全部卖出，可以获得利润为元，根据题意可得 即， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为34400元． 答：储藏6周后全部卖出，可获得最大利润，最大利润为34400元． 22. 如图，在平面直角坐标系中，经过点的直线，与反比例函数在第一象限的图象交于点．过点轴，垂足为，垂足为，且． （1）求反比例函数的表达式； （2）求直线的函数表达式； （3）在第一象限内，当时，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合，涉及待定系数法求函数表达式、等腰三角形的判定，利用数形结合思想求解是解答的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）设，先证明, ，进而可求得，利用待定系数法求解即可； （3）先求得反比例函数图象与一次函数图象的另一个交点坐标，利用图象，找出一次函数图象位于反比例函数图象上方部分的点的横坐标取值范围即可求解． 【小问1详解】 解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：设， ∵，轴，， ∴，， ∴，， ∴， ∵，， ∴，解得， ∴， 将和代入，得， 解得， ∴直线的函数表达式为； 【小问3详解】 解：解方程组，得，， ∴反比例函数图象与一次函数图象的另一个交点坐标为， 由图象，在第一象限内，当时，的取值范围为． 23. 如图，一艘货轮从出发以一定的速度匀速航行，给正东方向的岛运送货物，再沿南偏西的方向航行到达港．一艘巡航舰从出发匀速航行，沿西南方向航行至岛，再立即向东航行到达港．（参考数据：，） （1）求，两港的距离（结果精确到）； （2）若巡航舰的航行速度是货轮的倍，巡航舰与货轮同时从港出发，货轮在港卸货物的时间忽略不计．请通过计算说明，巡航舰与货轮谁先到达港． 【答案】（1） （2）货轮先到达港 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，理解题意是解答的关键． （1）分别过点A，B作的垂线，垂足分别为E，F．证明四边形矩形得到．再分别解直角三角形求解即可； （2）设货轮的航行速度为，则巡航舰的航行速度为，先解直角三角形，根据题意，得，，进而求得．再分别求得货轮从A到B，再到D需要的时间和巡航舰从A到C，再到D需要的时间，比较大小即可得到答案． 【小问1详解】 解：分别过点A，B作的垂线，垂足分别为E，F． ． ， ． ∴四边形是矩形． ． 在Rt中，，， ， ． 在Rt中，，， ． 答：A，C两港的距离为． 【小问2详解】 解：设货轮的航行速度为，则巡航舰的航行速度为，根据题意，得 在Rt中，， ． 在Rt中，， ． ∵四边形是矩形， ． ． ∴货轮从A到B，再到D需要的时间为： 巡航舰从A到C，再到D需要的时间为： ， 所以，货轮先到达D港． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与轴交于两点（点在点的左侧），且，与轴交于点，连接，作直线．已知是抛物线上的两点． （1）求抛物线的表达式； （2）试判断是否存在实数使得．若存在，求出值；若不存在，请说明理由． （3）已知点是抛物线在第一象限上的一点，过点作轴的垂线，交于点．当取得最大值时，在抛物线上存在点，使得，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】（1） （2）不存在满足条件的，理由见解析 （3）点为或，见解析 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合，涉及待定系数法求函数解析式、解一元二次方程、二次函数的图象与性质、锐角三角函数等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，运用数形结合和分类讨论思想是解答的关键． （1）先求得点A坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）求出，，然后根据已知列方程求解即可； （3）先求得直线为，设的坐标为，．则．当取得最大值时，．此时， 设的坐标为，分当点在点Q的右边和当点在点的左边两种情况分别求解即可． 【小问1详解】 解：，． 将代入，得， 解方程组，得， ∴抛物线的解析式是； 【小问2详解】 解：，， ． ． 关于的一元二次方程． ∴不存在满足条件的； 【小问3详解】 解：∵抛物线与轴交于点，故． ，，则直线为． 设的坐标为，则． ． 当取得最大值时，．此时 ，． 设的坐标为． 当点在点左边，，如答图1． ， ． ． ， ∴直线为． ，且过点， ∴直线为． 直线经过点， ． 解方程，得（舍去）． ． 当点在点Q的右边，． 如答图2，过点作轴，与过点与轴平行的直线交于点． 则． ， ， ． ． ，即． ∴整理，得． 解方程，得（舍去）． ． 综上所述：满足条件的点为或． 25. 在四边形中，，E为射线上的一点，四边形为平行四边形． （1）如图1，连接，，若，求证：四边形是矩形； （2）如图2，连接，，，交于点．若，求的周长的最小值； （3）如图3，连接，，交于点．若，当是等腰三角形时，直接写出的值． 【答案】（1）见解析 （2）周长的最小值为 （3）或或 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是菱形得到，，再根据平行四边形的性质推导出，，则四边形是平行四边形，进而根据矩形的判定可证得结论； （2）过E作交延长线于N，过B作，交延长线于H，在延长线上截取，连接，则，由菱形的性质可求得，进而可得当F、B、M共线时取等号，的周长的最小值为；证明四边形、四边形是矩形，求得，，最后利用勾股定理求得即可求解； （3）先根据线段垂直平分线的判定与性质得到垂直平分，则，，设，则，，则，根据等腰三角形的定义分三种情况求解即可． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴四边形是菱形，则，， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； 【小问2详解】 解：过E作交延长线于N，过B作，交延长线于H，在延长线上截取，连接，如图， 则垂直平分， ∴， 由（1）知四边形是菱形，， ∴，，， ∴， ∵的周长，当F、B、M共线时取等号， ∴的周长的最小值为， ∵，， ∴四边形、四边形是矩形， ∴，，，， ∴，， 在中，， ∴的周长的最小值为； 【小问3详解】 解：∵， ∴垂直平分， ∴，， ∵，设， ∴，，则， 根据题意，当是等腰三角形时，分三种情况： 当点E在线段上且时，， ∴； 当点E在延长线上且时， ∴； 当时，， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得，则 ∴， 综上，满足条件的的值为或或． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的判定与性质、矩形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、最短距离问题等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，分类讨论是解答的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $