精品解析：湖南长沙市明德中学2025-2026学年高一上学期期末考试数学试卷

明德中学2025年下学期期末考试 高一年级数学试卷2026年1月 时量:120分钟 满分: 150分 命题: 何国瑞 审定: 姜华 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数f（x）=3x+3x-8的零点所在区间为（　　） A. B. C. D. 3. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 4. 下列函数中是偶函数的是 （ ） A. B. C. D. 5. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 在中，D为的中点，E为上一点，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数是增函数，则实数的取值范围为（ ） A B. C. D. 8. 若为锐角，且，则（ ） A. 10° B. 20° C. 70° D. 80° 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 下列各式的值为的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 函数是偶函数 B. “”且“”是“”的充要条件 C. 函数与函数同一函数 D 已知函数，则 11. 已知，，下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. C. D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的奇偶性为________函数.（填“奇”、“偶”或“非奇非偶”） 13. 已知向量与夹角是，且 ，则向量在向量上的投影向量是______ 14. 设函数若方程有四个不相等的实根，则的取值范围为__________；的最小值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知平面向量与的夹角为，且. （1）求； （2）若与垂直，求的值. 16. （1）已知角的终边经过点，求； （2）已知，其中均为锐角，求角的值. 17. 已知定义域为的函数是奇函数. （1）求的值； （2）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围. 18. 已知函数的两条相邻对称轴的距离为. （1）求的解析式； （2）将函数的图象向右平移个单位长度，再将所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到函数的图象. ①若，且，求的值； ②若关于的方程在区间上恰有两个不同的实数解，求实数的取值范围. 19. 固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.1691年，莱布尼兹等得出了“悬链线”的一般方程，最特别的悬链线是双曲余弦函数.类似的有双曲正弦函数，我们也可以定义双曲正切函数.已知函数和具有如下性质：①定义域都为，且是增函数；②是奇函数，是偶函数；③.（常数e是自然对数的底数，） （1）求双曲正弦函数和双曲余弦函数解析式； （2）求证：； （3）函数在区间上的值域是，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 明德中学2025年下学期期末考试 高一年级数学试卷2026年1月 时量:120分钟 满分: 150分 命题: 何国瑞 审定: 姜华 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据交集的定义求解即可. 【详解】由， 则. 故选：C 2. 函数f（x）=3x+3x-8的零点所在区间为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连续函数f（x）=3x+3x-8在R上单调递增且f（1）＜0，f（2）＞0，根据函数的零点的判定定理可求． 【详解】解：∵函数f（x）=3x+3x-8在R上为连续增函数， 又由f（1）=3+3-8＜0，f（2）=9+6-8=7＞0， 函数f（x）=3x+3x-8的零点所在的区间为（1，2）， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了函数零点的定义及零点判定定理的应用，属于基础试题． 3. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数函数、指数函数的单调性比较大小即可. 【详解】由， 则. 故选：C 4. 下列函数中是偶函数的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由偶函数的定义判断即可． 【详解】对于A，函数，定义域关于原点对称， 且，则函数是偶函数； 对于B，函数，定义域为，关于原点对称， 而与不恒等，则函数不是偶函数； 对于C，函数定义域为，关于原点对称， 而与不恒等，则函数不是偶函数； 对于D，函数的定义域不关于原点对称，则函数不是偶函数. 故选：A 5. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性可排除A，利用的值排除B，利用当时， 可排除C，进而得出结论. 【详解】由题可知，函数的定义域为， 又， 所以 为定义域上的偶函数，图象关于对称，可排除A； 又，可排除B； 当时，，则，可排除C. 故选：D. 6. 在中，D为的中点，E为上一点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知，根据平面向量线性运算加减法法则可以直接进行求解. 【详解】由已知，D为的中点，所以， 所以. 故选：D. 7. 已知函数是增函数，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分段函数单调性结合一次函数和二次函数图象和性质列不等式组求解即可. 【详解】由题意知，在区间上单调递增， 在区间上单调递增，且， 所以，解得， 故选：A. 8. 若为锐角，且，则（ ） A. 10° B. 20° C. 70° D. 80° 【答案】C 【解析】 【分析】根据商数关系切化弦，辅助角公式、诱导公式化简运算得解. 【详解】由 ， 又为锐角，∴． 故选：C． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 下列各式的值为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用特殊角的三角函数值、二倍角的正弦、余弦、正切公式对选项进行化简求值，所得结果是的选项即为正确选项. 【详解】对于A，； 对于B，； 对于C，； 对于D，. 故选：ABC 10. 下列说法正确的是（ ） A. 函数是偶函数 B. “”且“”是“”的充要条件 C. 函数与函数是同一函数 D. 已知函数，则 【答案】CD 【解析】 【分析】对于A，根据偶函数的定义判断即可；对于B，根据充要条件的定义判断即可；对于C，根据同一函数的定义判断即可；对于D，利用配凑法先求出，再计算即可判断. 【详解】对于A，函数的定义域为，不关于原点对称， 则函数不是偶函数，故A错误； 对于B，等价于且，或且， 则“”且“”不是“”的充要条件，故B错误； 对于C，函数和的定义域均为， 且，则函数与函数是同一函数，故C正确； 对于D，由，则， 即，故D正确. 故选：CD 11. 已知，，下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. C. D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据条件变形，利用均值不等式求解即可判断A，取特殊值判断B，利用不等式判断C，根据条件化双变量为单变量，再由均值不等式求解即可判断D. 【详解】对A，由可得，解得或（舍），当且仅当，即时等号成立，故A正确； 对B，当时，不成立，故B不正确； 对C，， 当且仅当时，等号成立，故C正确； 对D，，，，由， 所以，所以 ，当且仅当，即， 时等号成立，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的奇偶性为________函数.（填“奇”、“偶”或“非奇非偶”） 【答案】偶函数 【解析】 【分析】先根据诱导公式对函数进行化简，最后利用余弦函数的奇偶性判断即可. 【详解】由已知条件得，且函数定义域为R，关于原点对称， 则， 故函数为偶函数； 故答案为：偶函数. 13. 已知向量与的夹角是，且 ，则向量在向量上的投影向量是______ 【答案】 【解析】 【分析】先求出，再利用投影向量公式求解即可. 详解】由题意，， 则向量在向量上的投影向量为. 故答案为：. 14. 设函数若方程有四个不相等的实根，则的取值范围为__________；的最小值为__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据解析式作出函数的图象，条件方程有四个不相等可转化为的图象与的图象有四个交点，观察图象确定的范围，结合图象确定与的关系，利用表示，利用换元法求其最值. 【详解】当时，， 的图象关于直线对称，画出的图象，如图所示. 方程有四个不相等的实根， 的图象与有个交点， 由图可知，即的取值范围为. 不妨设， 由的图象可知，， 所以，化简得，且. 又， 则 . 令，则， ， 当时，取得最小值，且最小值为. 故答案为：，. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于将方程有四个不相等的实根，转化为函数的图象与直线的图象有四个交点，再通过做函数图象确定的范围. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知平面向量与的夹角为，且. （1）求； （2）若与垂直，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量数量积的定义及运算律，结合模长公式即可求解； （2）根据向量垂直可得，再结合向量数量积的运算律和公式，即可求解. 【小问1详解】 由题意，得， 则. 【小问2详解】 因为与垂直， 所以， 即，解得. 16. （1）已知角的终边经过点，求； （2）已知，其中均为锐角，求角的值. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）先根据三角函数的定义求得，再运用诱导公式和同角三角函数的基本关系求解即可； （2）先求出的值，再运用两角差的正弦公式求解即可. 【详解】（1）由题意：， 则； （2）因为，为锐角，所以，则， 所以 ， ， 则， 而为锐角，则. 17. 已知定义域为的函数是奇函数. （1）求的值； （2）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先由求得，再进行检验即可； （2）先得到函数在上单调递增，结合为奇函数，将问题转化为对于恒成立，进而求解即可. 【小问1详解】 由题意，，解得， 此时，则， 所以， 则，即为奇函数，符合题意，故. 【小问2详解】 由（1）得，， 因为函数在上单调递增，且， 则函数在上单调递减， 所以函数在上单调递增，又为奇函数， 由， 得， 则，即对于恒成立， 则，解得， 则实数取值范围为. 18. 已知函数两条相邻对称轴的距离为. （1）求的解析式； （2）将函数的图象向右平移个单位长度，再将所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到函数的图象. ①若，且，求的值； ②若关于的方程在区间上恰有两个不同的实数解，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式、辅助角公式对解析式进行化简，结合函数图象的对称性及周期性求出的值，即得函数解析式； （2）根据三角函数图象的平移伸缩变换得到的解析式，①由题求得，结合的范围，求得，通过凑角后利用和角的正弦公式求解即得；②先将问题转化为函数和函数的图象在区间上有且只有2个交点，通过数形结合即可求得参数范围. 【小问1详解】 由 ， 因为函数的相邻两条对称轴的距离为， 所以函数的周期，则，即． 【小问2详解】 将函数的图象向右平移个单位长度，得， 再将所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到． ①因为，所以， 又，则，所以， 则 ． ②由题知，方程在上恰有两个不同的实数解， 可转化为函数和函数的图象在区间上有且只有2个交点， 令，，则，， 则可转化为函数和函数的图象在区间上有且只有2个交点， 当时，； 当时， ；当时，， 作出函数在上的图象如图： 由图可知，，则， 所以实数取值范围是． 19. 固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.1691年，莱布尼兹等得出了“悬链线”的一般方程，最特别的悬链线是双曲余弦函数.类似的有双曲正弦函数，我们也可以定义双曲正切函数.已知函数和具有如下性质：①定义域都为，且是增函数；②是奇函数，是偶函数；③.（常数e是自然对数的底数，） （1）求双曲正弦函数和双曲余弦函数的解析式； （2）求证：； （3）函数在区间上的值域是，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】(1)根据，函数为上的奇函数，为上的偶函数得联立方程组即可求解； （2）由（1）得函数和的解析式代入即可得证； （3）由（1）知，函数为上的单调增函数， 函数在区间上的值域是，得关于的方程有两个互异实根，令，方程有两个互异正根，根据一元二次方程根的分布即可求解. 【小问1详解】 函数为上的奇函数，为上的偶函数，且， 即 解得. 函数均为上的增函数， 函数为上的增函数，合乎题意. 【小问2详解】 . 【小问3详解】 ， . 又，则. 由（1）知，函数为上的单调增函数. 函数在区间上的值域是， 即 关于的方程有两个互异实根. 令方程有两个互异正根. 解得. 【点睛】方法点睛：函数新定义问题，解题方法是抓住新定义，把新定义转化为已知函数的表达式，需要用换元法等进行化简转化，如本题转化为一元二次方程，根据一元二次方程根的分布求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $