2026年寒假验收卷（测试范围：坐标平面上的直线+圆锥曲线）高二数学沪教版

2026年寒假验收卷 参考答案 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1. 2. 3. 4. 10 5. 6. 7. 8. 9. 4 10. 1 11. 12. 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13 14 15 16 B B D C 3、 解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分） 【详解】（1）因为直线的斜率为，且过点， 所以直线的方程为，化为一般式方程为.……（7分） （2）直线的方程可化为， 令，则，解得，即点， 所以点到直线的距离为.……（14分） 18．（14分） 【详解】（1）将直线，化为一般式得到： 直线，化简得到， 因为直线与直线平行， 则两直线之间的距离为.……（7分） （2）由题设可得， 所以圆的方程为，即， 所以圆心为，半径为．……（14分） 19．（14分） 【详解】（1）当时，抛物线方程为. 当直线斜率不存在时，直线方程为，代入抛物线方程可得， 即直线与抛物线只有一个公共点 当直线斜率存在时，设直线方程为. 联立，整理得. 当时，方程可化为，解得，此时， 所以，直线与抛物线只有一个公共点； 当时，由直线与抛物线只有一个公共点可知， ，解得， 此时直线方程为，即. 综上，所求直线方程为或或.……（7分） （2）设抛物线的焦点为，过焦点的弦为，的中点为. 分别过点，，作准线的垂线，垂足依次为，，，如下图所示.    由抛物线定义可知，，，所以. 因是梯形的中位线，故. 则以为直径的圆的圆心到准线的距离等于圆的半径， 故以为直径的圆与抛物线的准线相切.……（14分） 20．（18分） 【详解】（1）因为椭圆中，，，椭圆的离心率是， 则，解得， 则椭圆的方程为； 如下图：以为圆心，以的长为半径在线段上画圆弧，与线段的交点即为椭圆的左焦点；……（6分）    （2）设，则①，且， 当时，， 又， 因为，，所以直线的方程为，即， 故点到直线的距离， ， 因为，所以，即②， 联立①②，且，解得， 故点的坐标为；……（12分） （3）如图所示，，且，，则，    过作轴于，过作轴于， 设，其中， ，恒成立， 所以， 则， 设，其中， ，恒成立， 所以， 则， 因为， 所以 为定值， 所以为定值.……（18分） 21．（18分） 【详解】（1）由于椭圆与双曲线在第一象限的公共点为， 即，得，所以；……（4分） （2）设，，则， 由得，，即，则， 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为：，此时，成立； 当直线l的斜率存在时，由题意知交点E，F必定在直线的两侧， 即左侧为与椭圆的交点，右侧与双曲线的交点， 由椭圆的对称性，当交点在第一象限且在椭圆上曲线段时， ，此时，故不可能，舍去； 而双曲线的渐近线方程为：，， 与双曲线没有横坐标大于2的交点，即当交点位于椭圆第二象限时，不可能； 同理，当直线l与椭圆交于x轴下方时，也不成立， 综上直线l的方程为；……（11分） （3）直线方程为，， 因为，且， 所以， 而， 因为，所以直线m与曲线的交点都在椭圆上， 与椭圆方程联立，消去y得， 由韦达定理得， 所以， 令，则， 所以， 又，对于成立， 所以单调递增趋于正无穷大，又， 所以单调递减， 所以时，取得最大值， 又，所以实数的最大值为， 且当趋于正无穷时，趋于，则， 所以.……（18分） 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年寒假验收卷 建议用时：120分钟，满分：150分 测试范围：坐标平面上的直线+圆锥曲线 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．经过点且与直线垂直的直线的方程为 . 【答案】 【详解】与直线垂直的直线斜率为，且过点， 所以，所求直线为，即. 故答案为： 2．焦点为的抛物线的标准方程为 ． 【答案】 【详解】由题意设抛物线的方程为 ， 由焦点为，则，则， 所以抛物线的方程为：. 故答案为：. 3．过点的直线被圆截得的最短弦长为 【答案】 【详解】圆的圆心为，半径. 点到圆心的距离为. 当直线与垂直时，圆心到直线的距离最大（等于），此时弦长最短. 最短弦长为. 故答案为：. 4．椭圆的长轴长为 ． 【答案】10 【详解】椭圆化为标准方程为， 则，长轴长， 故答案为：. 5．设，直线经过点，若向量，则点到直线的距离为 ． 【答案】 【详解】由直线经过点，设， 由向量，得， 所以点到直线的距离. 故答案为： 6．若直线与曲线恰有一个公共点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由，得，所以曲线表示双曲线的右半部分（含与轴的交点）. 联立，得，① 当，即时， 若，方程①变为，得，不符合题意，舍去； 若，方程①变为，得，满足条件. 当时，， 所以方程①有两个不等实数根，设两根为， 则， 因为直线与曲线恰有一个公共点，所以有一根满足，另一根满足， 所以，即，解得. 综上，实数的取值范围为. 故答案为： 7．已知为坐标原点，､是双曲线的右支上任意两点，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】设所在直线斜率存在时直线方程为，与双曲线右支交于两点，， 将直线代入得：， ， 直线与右支交于不同两点，则且， 由韦达定理： 又 代入韦达定理： 则 ， 所以， 化简得：， 又双曲线渐近线方程为，直线与双曲线右支存在两个交点时需满足， 故，. 斜率不存在时，设直线， 与右支交于两点，其中，此时： 所以当关于轴对称时，数量积正好等于， 综上的取值范围是. 故答案为： 8．已知椭圆与椭圆相交于、、、四点，且与和的四个焦点在同一个圆上，则 . 【答案】 【详解】因为两个椭圆的四个焦点在同一个圆上， 所以根据椭圆和的对称性可知，该圆的圆心为原点， 因此有， 且两个椭圆的半焦距为， 因此该圆的方程为， 又因为、、、四点与和的四个焦点在同一个圆上， 所以由椭圆和圆的对称性可知，这四个点也在圆上， 由，代入椭圆中， 得，又，故， 故答案为： 9．已知抛物线的焦点为为此抛物线上的异于坐标原点的三个不同的点，满足，且，则 . 【答案】 【详解】由题意得：，设，，， 则，，， 由得：，① 由抛物线焦半径公式可知：，，， 由得：，② 由①②解得：. 故答案为：. 10．已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们关于原点对称的两个交点，的平分线交于点M，且，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为 . 【答案】1 【详解】不妨设椭圆和双曲线的中心均在原点，对称轴均为坐标轴，如图所示， 设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，焦距为， 设点在第一象限，根据椭圆及双曲线的定义，得， 所以， 因为，所以， 根据对称性知四边形为平行四边形，所以， 所以为等边三角形，所以， 在中，由余弦定理得， 化简得，所以， 则， 当且仅当，即时等号成立，故的最小值是1. 故答案为：1. 11．某城市核心区域可看作一个平面，市中心为点，城市有两个交通枢纽站点、，其中站点在市中心的正东方向，距离点4公里，站点在市中心的正北方向，距离点也是4公里．为了动态调整交通信号，相关部门计划在距离中心点2公里的位置，设置一个移动数据采集点，通过监测的大小来优化信号．当最大时， ．（结果精确到） 【答案】 【详解】    不妨以为坐标原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，则：，，设是圆上的点，设. ，， 结合图象，易知当最大时，点位于第一象限，且为钝角，设， 则两直线夹角的正切值公式为： 则：， ， 又因为在圆上，故， 因此，， 令，则，因为在圆上，因此可认为直线与圆有交点， 即圆心到直线的距离，解得. 由于点在第一象限的圆上，易知，因此， 故. 由于是关于的减函数(分母增大，整体减小)，因此当时，取得最小，即最小，此时对应最大. 当时，结合，解得，即. ， ， 又因为， 解得， 故答案为：. 12．我们定义：如果焦点在坐标轴上的椭圆A过圆B某一直径的两个端点，且面积比圆大，则称椭圆A是圆B的“超椭”，设圆B的半径为r，椭圆A的长半轴长为a、短半轴长为b（），设为“超椭”的特征值，则“超椭”的特征值的取值范围为 .（用椭圆A的离心率表示） 【答案】 【详解】设圆的圆心在原点，半径为，方程为：， 椭圆的焦点在坐标轴上，中心在原点，其标准方程为：， 离心率为，则. 椭圆经过圆的某一条直径的两个端点， 设该直径的一个端点对应的圆心角为， 则两端点为， 将代入椭圆方程，得：① 整理得， 记为特征值，② 代入到①式，有， 两边同乘以得， 令，则，于是 解得，. 由②知，当从到变化时，从减小至， 即直径条件给出. 又椭圆面积大于圆面积，即 代入及，得： 联立与，得, 其中，， 因此，特征值的取值范围为. 故答案为：. 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13．若直线l经过点，且l的一个法向量，则l的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为直线l经过点，且的一个法向量， 故直线的点法式方程为， 即直线的一般方程为. 故选：B 14．“某点是抛物线的顶点”是“从该点分别作两条坐标轴的平行线，一条是抛物线的对称轴，一条是抛物线的切线”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】从抛物线的某个点分别作两条坐标轴的平行线，一条是抛物线的对称轴，一条是抛物线的切线， 则该点为抛物线的顶点，故必要性成立， 但如果该抛物线经过旋转，如顺时针旋转后得到的抛物线，则从该抛物线的顶点分别作两条坐标轴的平行线， 则不能满足一条是抛物线的对称轴，一条是抛物线的切线，充分性不成立， 故“某点是抛物线的顶点”是“从该点分别作两条坐标轴的平行线，一条是抛物线的对称轴，一条是抛物线的切线”的必要非充分条件. 故选：B 15．双曲线型自然冷却通风塔的外形是由双曲线的一部分绕其虚轴所在的直线旋转一周所形成的曲面，如图所示．已知它的下口直径为米，上口直径为米，最小直径为20米，高为80米，则此双曲线的焦距为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图所示，设双曲线的标准方程为， 因为通风塔的外形最小直径为20米，可得，所以，即， 又因为通风塔的外形的下口直径为米，上口直径为米，且高为米， 设，其中，则， 将的坐标代入双曲线的方程，可得， 整理得，即，所以，解得， 所以，则， 所以此双曲线的焦距为. 故选：D.    16．曲线的方程为（、不同时为0），则下列说法正确的是（    ） A．曲线不可能是直线 B．当，时，曲线是椭圆 C．若曲线是双曲线，则双曲线的渐近线与无关 D．曲线是抛物线 【答案】C 【详解】A．当时，，所以为两条直线，A选项错误； B．因为，所以曲线是半径为的圆，故B错误； C．因为，，所以曲线是双曲线，则，则渐近线，故C正确； D．因为曲线，、不同时为0， 当时， 当时，曲线是两条相交直线； 当时，曲线是点； 当时，曲线是点； 当时，曲线是两条相交直线； 当时，曲线是直线； 当时，曲线是直线； 当时，曲线是直线； 当时，曲线是直线； 当时， 当时，曲线是双曲线； 当时，曲线不存在； 当时，曲线是椭圆； 当时，曲线是圆； 当时，曲线是双曲线； 当时，曲线不存在； 当时，曲线是直线； 当时，曲线不存在； 当时，曲线是直线； 所以曲线不能是抛物线，故D错误； 故选：C. 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分）已知直线的斜率为，且这条直线经过点. (1)求直线的一般式方程； (2)若直线恒过定点，求点到直线的距离. 【详解】（1）因为直线的斜率为，且过点， 所以直线的方程为，化为一般式方程为.……（7分） （2）直线的方程可化为， 令，则，解得，即点， 所以点到直线的距离为.……（14分） 18．（14分）已知直线与圆． (1)求直线到直线 的距离； (2)若 三个点在圆上，求圆的圆心和半径． 【详解】（1）将直线，化为一般式得到： 直线，化简得到， 因为直线与直线平行， 则两直线之间的距离为.……（7分） （2）由题设可得， 所以圆的方程为，即， 所以圆心为，半径为．……（14分） 19．（14分）已知抛物线： (1)若，求过定点且与抛物线只有一个公共点的直线方程； (2)证明：以抛物线的任一过焦点的弦为直径的圆与抛物线的准线相切. 【详解】（1）当时，抛物线方程为. 当直线斜率不存在时，直线方程为，代入抛物线方程可得， 即直线与抛物线只有一个公共点 当直线斜率存在时，设直线方程为. 联立，整理得. 当时，方程可化为，解得，此时， 所以，直线与抛物线只有一个公共点； 当时，由直线与抛物线只有一个公共点可知， ，解得， 此时直线方程为，即. 综上，所求直线方程为或或.……（7分） （2）设抛物线的焦点为，过焦点的弦为，的中点为. 分别过点，，作准线的垂线，垂足依次为，，，如下图所示.    由抛物线定义可知，，，所以. 因是梯形的中位线，故. 则以为直径的圆的圆心到准线的距离等于圆的半径， 故以为直径的圆与抛物线的准线相切.……（14分） 20．（18分）椭圆，是第一象限内椭圆上的点，，，，椭圆的离心率是．，，且．    (1)求椭圆的方程并在下图1中作出椭圆的左焦点，写出作图依据； (2)如图2，设，三角形的面积记为，三角形的面积记为，若，求点的坐标； (3)设，连结与椭圆交于点，连结与椭圆交于点，判断是否为定值？请说明理由． 【详解】（1）因为椭圆中，，，椭圆的离心率是， 则，解得， 则椭圆的方程为； 如下图：以为圆心，以的长为半径在线段上画圆弧，与线段的交点即为椭圆的左焦点；……（6分）    （2）设，则①，且， 当时，， 又， 因为，，所以直线的方程为，即， 故点到直线的距离， ， 因为，所以，即②， 联立①②，且，解得， 故点的坐标为；……（12分） （3）如图所示，，且，，则，    过作轴于，过作轴于， 设，其中， ，恒成立， 所以， 则， 设，其中， ，恒成立， 所以， 则， 因为， 所以 为定值， 所以为定值.……（18分） 21．（18分）如图，椭圆与双曲线在第一象限的公共点为，曲线由两段曲线组成：当时，曲线与椭圆重合；当时，曲线与双曲线重合． (1)求b的值； (2)已知过点的直线l与曲线交于E，F两点，若，求直线l的方程； (3)若直线与曲线交于M，N两点，记的面积为S，且，求实数的取值范围． 【详解】（1）由于椭圆与双曲线在第一象限的公共点为， 即，得，所以；……（4分） （2）设，，则， 由得，，即，则， 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为：，此时，成立； 当直线l的斜率存在时，由题意知交点E，F必定在直线的两侧， 即左侧为与椭圆的交点，右侧与双曲线的交点， 由椭圆的对称性，当交点在第一象限且在椭圆上曲线段时， ，此时，故不可能，舍去； 而双曲线的渐近线方程为：，， 与双曲线没有横坐标大于2的交点，即当交点位于椭圆第二象限时，不可能； 同理，当直线l与椭圆交于x轴下方时，也不成立， 综上直线l的方程为；……（11分） （3）直线方程为，， 因为，且， 所以， 而， 因为，所以直线m与曲线的交点都在椭圆上， 与椭圆方程联立，消去y得， 由韦达定理得， 所以， 令，则， 所以， 又，对于成立， 所以单调递增趋于正无穷大，又， 所以单调递减， 所以时，取得最大值， 又，所以实数的最大值为， 且当趋于正无穷时，趋于，则， 所以.……（18分） 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年寒假验收卷 A4考试版 建议用时：120分钟，满分：150分 测试范围：坐标平面上的直线+圆锥曲线 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．经过点且与直线垂直的直线的方程为 . 2．焦点为的抛物线的标准方程为 ． 3．过点的直线被圆截得的最短弦长为 4．椭圆的长轴长为 ． 5．设，直线经过点，若向量，则点到直线的距离为 ． 6．若直线与曲线恰有一个公共点，则实数的取值范围是 ． 7．已知为坐标原点，､是双曲线的右支上任意两点，则的取值范围是 . 8．已知椭圆与椭圆相交于、、、四点，且与和的四个焦点在同一个圆上，则 . 9．已知抛物线的焦点为为此抛物线上的异于坐标原点的三个不同的点，满足，且，则 . 10．已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们关于原点对称的两个交点，的平分线交于点M，且，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为 . 11．某城市核心区域可看作一个平面，市中心为点，城市有两个交通枢纽站点、，其中站点在市中心的正东方向，距离点4公里，站点在市中心的正北方向，距离点也是4公里．为了动态调整交通信号，相关部门计划在距离中心点2公里的位置，设置一个移动数据采集点，通过监测的大小来优化信号．当最大时， ．（结果精确到） 12．我们定义：如果焦点在坐标轴上的椭圆A过圆B某一直径的两个端点，且面积比圆大，则称椭圆A是圆B的“超椭”，设圆B的半径为r，椭圆A的长半轴长为a、短半轴长为b（），设为“超椭”的特征值，则“超椭”的特征值的取值范围为 .（用椭圆A的离心率表示） 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13．若直线l经过点，且l的一个法向量，则l的方程为（   ） A． B． C． D． 14．“某点是抛物线的顶点”是“从该点分别作两条坐标轴的平行线，一条是抛物线的对称轴，一条是抛物线的切线”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 15．双曲线型自然冷却通风塔的外形是由双曲线的一部分绕其虚轴所在的直线旋转一周所形成的曲面，如图所示．已知它的下口直径为米，上口直径为米，最小直径为20米，高为80米，则此双曲线的焦距为（   ）    A． B． C． D． 16．曲线的方程为（、不同时为0），则下列说法正确的是（    ） A．曲线不可能是直线 B．当，时，曲线是椭圆 C．若曲线是双曲线，则双曲线的渐近线与无关 D．曲线是抛物线 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分）已知直线的斜率为，且这条直线经过点. (1)求直线的一般式方程； (2)若直线恒过定点，求点到直线的距离. 18．（14分）已知直线与圆． (1)求直线到直线 的距离； (2)若 三个点在圆上，求圆的圆心和半径． 19．（14分）已知抛物线： (1)若，求过定点且与抛物线只有一个公共点的直线方程； (2)证明：以抛物线的任一过焦点的弦为直径的圆与抛物线的准线相切. 20．（18分）椭圆，是第一象限内椭圆上的点，，，，椭圆的离心率是．，，且．    (1)求椭圆的方程并在下图1中作出椭圆的左焦点，写出作图依据； (2)如图2，设，三角形的面积记为，三角形的面积记为，若，求点的坐标； (3)设，连结与椭圆交于点，连结与椭圆交于点，判断是否为定值？请说明理由． 21．（18分）如图，椭圆与双曲线在第一象限的公共点为，曲线由两段曲线组成：当时，曲线与椭圆重合；当时，曲线与双曲线重合． (1)求b的值； (2)已知过点的直线l与曲线交于E，F两点，若，求直线l的方程； (3)若直线与曲线交于M，N两点，记的面积为S，且，求实数的取值范围． 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $