精品解析：福建省厦门实验中学2025-2026学年高一上学期10月月考数学试题

廈门实验中学2025—2026学年（上）高一10月月考 数学科试卷 （考试时间：120分钟 总分：150分） 命题人：高一数学备课组 一、单选题 1. 已知命题，则是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题，即可求解. 【详解】命题，则是. 故选：B. 2. 不等式的解为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式不等式解法求解即可. 【详解】因为，所以，所以， 所以不等式的解为. 故选：B. 3. 若集合有6个非空真子集，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，求出集合中元素，再列出不等式求解即得. 【详解】由集合有6个非空真子集，得集合中有3个元素，为， 因此，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：A 4. 集合A=，B=，则=【】 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合补集与交集求结果. 【详解】因为 ，所以 ,选D. 【点睛】本题考查集合补集与交集,考查基本求解能力,属基础题. 5. 已知，下列选项中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】用不等式的基本性质得解. 【详解】对A选项，设，则，A错误； 对B选项，若,又,所以,故B正确; 对C选项，，但，C错误; 对D选项，，但，D错误. 故选:B. 6. 若，，，则的最小值为　　 A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先表示出，再化解，利用均值不等式可求最小值． 【详解】解：，，， ， ， ， ， 当且仅当，即时， 故选：． 【点睛】本题考查利用均值不等式求最值的方法，考查均值不等式的适用条件，属于中档题． 7. 已知关于的一元二次不等式的解集为，则有（ ） A. 最小值 B. 最大值 C. 最小值 D. 最大值 【答案】B 【解析】 【分析】由题意先确定参数之间的关系式，从而可将表示成只含有的代数式，结合基本不等式即可求解. 【详解】因为一元二次不等式的解集为， 所以当且仅当，即当且仅当， 所以 因为，所以上式， 当且仅当，即时取等. 所以有最大值. 故选：B. 8. 在整数集中，被除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，则下面选项正确的为（ ） A. B. C. D. 整数属于同一“类”的充分不必要条件是“” 【答案】C 【解析】 【分析】求被除的余数，判断A，求被除的余数，判断B，根据新定义及集合相等的定义判断C，结合新定义及充分条件，必要条件的定义判断D. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，，B错误； 对于C，每个整数除以后的余数只有，没有其他余数， 所以，又， 故，C正确； 对于D，若， 则， 若，则， 不妨设， 则， 所以，， 所以除以后余数相同， 所以属于同一“类” 所以整数属于同一“类”的充要条件是“”，D错误； 故选：C. 二、多选题 9. 命题“，”是真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据恒成立，求出的范围，得到其充分不必要条件即可. 【详解】命题“，”是真命题， 所以，恒成立， 所以， 所以命题 “，”是真命题的一个充分不必要条件可以为或， 故选：BC. 10. 下列说法正确的是（ ）. A. 的一个必要条件是 B. 若集合中只有一个元素，则 C. “”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件 D. 已知集合，则满足条件的集合的个数为4 【答案】CD 【解析】 【分析】A举反例，根据必要条件的定义判断；B分、讨论；C将问题转化为一元二次方程有一正一负根，根据判断；D判断集合的子集个数. 【详解】若，则，但， 故不是的一个必要条件，故A错误； 当时，，符合题意； 若，则当集合中只有一个元素时，，得， 综上，或，故B错误； 若一元二次方程有一正一负根， 则一元二次方程有一正一负根， 其充要条件是，即，故C正确； 因为，所以， 因为集合的子集个数有个，故集合的个数为4，故D正确. 故选：CD 11. 已知a>0，b>0，且3a+b=2，则（ ） A. ab的最大值为 B. 的最大值是2 C. 的最小值是18 D. 的最小值是 【答案】AC 【解析】 【分析】结合基本不等式的应用，但要只有等号能不能取，B要用乘1法，D减少变量后用基本不等式. 【详解】因为，且，所以，所以，当且仅当时，等号成立，则正确； 由题意可得，当且仅当=1时，等号成立，则错误； 因为，所以，当且仅当时，等号成立，则C正确； 由，得， 对于，由，得， ， 当且仅当，当时，，矛盾，故等号取不到，故D错误. 故选：AC. 三、填空题 12. 已知集合，，若，则的取值集合为________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意，根据集合的并集结果，可得集合之间的包含关系， 【详解】，， ①，则，，解得且，故符合题意； ②，则，，解得或，故. 故答案为： 13. 已知，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】 利用换元法，结合不等式的性质进行求解即可. 【详解】设，因此得：，， ， 因为，所以，因此， 所以. 故答案为： 14. 关于不等式组的整数解的集合为，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】结合已知条件，对参数进行分类讨论，并结合不等式组的整数解的集合即可求解. 【详解】由或， 由可知， 当时，， 因为不等式组整数解的集合为，所以； 当时，的解为， 则此时不等式组的整数解的集合为，不满足题意； 当时，的解为， 则此时不等式组的整数解的集合为空集，不满足题意， 综上所述，实数k的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题 15. 已知集合，或. （1）当时，求，； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）或，或 （2）或 【解析】 【分析】（1）根据条件得到，由补集定义得到或，再利用集合的运算，即可求解； （2）根据条件得到，再分和两种情况讨论，即可求解. 【小问1详解】 当时，，所以或，又或， 所以或，或. 【小问2详解】 因为，所以， 当，即时，，满足题意， 当时，由，得到或，解得或， 所以实数的取值范围为或. 16. 已知p:关于x的方程有实数根，． （1）若命题是假命题，求实数a的取值范围； （2）若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由命题是假命题，可得命题是真命题，则由，求出的取值范围； （2）由是的必要不充分条件，可得出两个集合的包含关系，由此列出不等式求解即可. 【小问1详解】 因为命题是假命题，则命题是真命题， 即关于的方程有实数根， 因此，解得， 所以实数的取值范围是. 【小问2详解】 由（1）知，命题是真命题，即， 因为命题是命题的必要不充分条件，则， 因此，解得， 所以实数的取值范围是. 17. 某企业研发部原有名技术人员，年人均投入万元，现将这名技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员名，调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入调整为万元 （1）要使这名研发人员的年总投入不低于调整前的名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数最多为多少人? （2）若技术人员在已知范围内调整后，必须研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入，求出正整数的最大值. 【答案】（1）人 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得出关于的不等式，结合，可解得的范围，即可得出结论； （2）根据题意可得出，参变量分离可得，结合基本不等式可求得实数的取值范围. 【小问1详解】 解：依题意得，整理可得， 又因为，解得， 所以调整后的技术人员的人数最多人. 【小问2详解】 解：由研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入有： ，得， 整理得， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时等号成立，所以. 因此，正整数的最大值为. 18. 已知关于的不等式． （1）若时，求不等式的解集 （2）若，解这个关于的不等式 （3），恒成立，求的范围． 【答案】（1）； （2） 时，解集为；时，解集为； 时，解集为； 时，解集为；时，解集为； （3）． 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法，即可求解； （2）讨论，和三种情况，讨论不等式的解集，当时，讨论两根的大小，求解不等式的解集； （3）首先参变分离，，利用换元，以及基本不等式，转化为求的最大值. 【小问1详解】 时， ， 则所求不等式的解集为：； 【小问2详解】 当时，； 当时，， 当时，有，则此时不等式解集为：； 当，． 若，即时，不等式解集为：； 若，即时，不等式解集为：； 若，即时，不等式解集为空集． 综上，时，解集为；时，解集为； 时，解集为； 时，解集为；时，解集为； 【小问3详解】 ， 因，则． 则题目等价于． 令，因，则． 则 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即的取值范围为． 19. 设A是由若干个正整数组成的集合，且存在3个不同的元素a，b，，使得，则称A为“等差集”． （1）若集合，，且B是“等差集”，用列举法表示所有满足条件的B； （2）若集合是“等差集”，求m的值； （3）已知正整数，证明：不是“等差集”． 【答案】（1） 或或 （2） （3）证明:假设是“等差集”， 则存在,成立， 化简可得, 因为,所以, 所以与集合的互异性矛盾， 所以不是“等差集”． 【解析】 【分析】（1）根据等差集的定义结合子集的定义求解即可； （2）根据等差集定义应用，即逐个计算判断即可； （3）应用反证法证明集合不是等差集. 【小问1详解】 因为集合，，存在3个不同的元素a，b，，使得， 则或或. 【小问2详解】 因为集合是“等差集”， 所以或或, 计算可得或或或， 又因为正整数,所以. 【小问3详解】 略. 【点睛】方法点睛：解题方法是定义的理解，应用反证法设集合是等差集，再化简计算得出矛盾即可证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 廈门实验中学2025—2026学年（上）高一10月月考 数学科试卷 （考试时间：120分钟 总分：150分） 命题人：高一数学备课组 一、单选题 1. 已知命题，则是（ ） A. B. C. D. 2. 不等式的解为（ ） A. B. C. 或 D. 或 3. 若集合有6个非空真子集，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 集合A=，B=，则=【】 A. B. C. D. 5. 已知，下列选项中正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 若，，，则的最小值为　　 A. 2 B. C. D. 7. 已知关于的一元二次不等式的解集为，则有（ ） A. 最小值 B. 最大值 C. 最小值 D. 最大值 8. 在整数集中，被除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，则下面选项正确的为（ ） A. B. C. D. 整数属于同一“类”的充分不必要条件是“” 二、多选题 9. 命题“，”是真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是（ ）. A. 的一个必要条件是 B. 若集合中只有一个元素，则 C. “”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件 D. 已知集合，则满足条件的集合的个数为4 11. 已知a>0，b>0，且3a+b=2，则（ ） A. ab的最大值为 B. 的最大值是2 C. 的最小值是18 D. 的最小值是 三、填空题 12. 已知集合，，若，则的取值集合为________． 13. 已知，则的取值范围是_____． 14. 关于不等式组的整数解的集合为，则实数的取值范围是______. 四、解答题 15. 已知集合，或. （1）当时，求，； （2）若，求实数的取值范围. 16. 已知p:关于x的方程有实数根，． （1）若命题是假命题，求实数a的取值范围； （2）若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 17. 某企业研发部原有名技术人员，年人均投入万元，现将这名技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员名，调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入调整为万元 （1）要使这名研发人员的年总投入不低于调整前的名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数最多为多少人? （2）若技术人员在已知范围内调整后，必须研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入，求出正整数的最大值. 18. 已知关于的不等式． （1）若时，求不等式的解集 （2）若，解这个关于的不等式 （3），恒成立，求的范围． 19. 设A是由若干个正整数组成的集合，且存在3个不同的元素a，b，，使得，则称A为“等差集”． （1）若集合，，且B是“等差集”，用列举法表示所有满足条件的B； （2）若集合是“等差集”，求m的值； （3）已知正整数，证明：不是“等差集”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $