专题9.3 向量的数量积（高效培优讲义）数学苏教版高一必修第二册

本讲义聚焦平面向量数量积核心知识点，从物理“功”的实例引入概念，涵盖夹角、定义、垂直、模等要素，通过投影向量深化几何意义，结合性质与运算律，再通过几何图形计算、垂直关系判断、模长与夹角求解等8类题型构建从概念到应用的学习支架。 该资料以物理背景激活数学眼光，通过推理证明运算律发展逻辑推理能力，借助几何直观理解投影向量培养直观想象素养。设置即学即练与变式训练，典例解析结合方法总结，课中助力教师高效授课，课后帮助学生巩固知识、查漏补缺。

专题9.3 向量的数量积 教学目标 1.通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积以及运用数量积运算律，通过几何直观，了解平面向量的投影向量的概念及其意义． 2.进一步理解平面向量数量积的含义及其几何意义；能运用平面向量的投影向量证明数量积的运算法则；会用数量积判断两个平面向量的垂直关系． 3.在运用向量的数量积的定义及运算律进行向量数量积运算的过程中，发展数学运算素养；在由图形直观理解平面向量投影的概念及投影向量意义的过程中，发展直观想象素养． 4.在证明向量数量积的运算律及运用向量数量积证明有关垂直问题的过程中，发展逻辑推理素养． 教学重难点 1.重点 平面向量数量积的定义、运算律和常用结论的运用． 2.难点 运用向量的投影向量处理数量积运算． 知识点01 平面向量数量积的概念 1.向量数量积的物理背景： 在物理课中我们学过功的概念：如果一个物体在力的作用下产生位移，那么力所做的功W=，其中θ是与的夹角. (1) 功W是两个向量F和s的某种运算的结果，而且这个结果是一个数量； (2) 功不仅与力和位移的大小有关，而且还与它们的方向有关，具体地，它和力F与位移s的夹角有关． 因此我们知道力和位移都是矢量，而功是一个标量(数量).这说明两个矢量也可以进行运算，并且这个运算明显不同于向量的数乘运算，因为数乘运算的结果是一个向量，而这个运算的结果是数量. 2.向量的夹角： 已知两个非零向量，如图所示，O是平面上的任意一点，作，，则∠AOB= 叫做向量与的夹角，也常用表示. 3.平面向量数量积(内积)的定义： 已知两个非零向量a和b，它们的夹角是θ，我们把数量|a‖b|cosθ叫作向量a和b的数量积(内积)，记作a·b，即a·b＝|a‖b|cosθ. 规定：零向量与任一向量的数量积为零． 4.夹角与垂直： 若与为非零向量，则 5.向量的模： 注：， 【即学即练】 1．已知向量满足，且与的夹角为，则（ ） A．6 B． C． D．12 【答案】C 【分析】根据向量数量积的定义求解即可 【解析】根据题意，. 故选：C 2．已知向量垂直，且，，则 ． 【答案】 【分析】由题设可得，再根据平面向量数量积的运算律求解即可. 【解析】由题意，，，， 则. 故答案为：. 知识点02 投影向量 设a, b是两个非零向量，如图(1)(2), 表示向量a, 表示向量b，过点A作所在直线的垂线，垂足为点A1.我们将上述由向量a得到向量的变换称为向量a向向量b投影，向量称为向量a在向量b上的投影向量． 　　 (1) (2) 注：向量a和b的数量积就是向量a在向量b上的投影向量与向量b的数量积. 【即学即练】 1．已知向量，满足，，且向量，的夹角为60°，则向量在向量上的投影向量是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据投影向量定义计算即可. 【解析】因为，，且向量，的夹角为60°， 则向量在向量上的投影向量为. 故选：B. 2．已知单位向量，满足，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】利用投影向量公式计算即可. 【解析】因为，， 所以在上的投影向量为 故选：C. 知识点03 向量数量积的性质和运算律 (1)向量数量积的性质 设是非零向量，它们的夹角是θ，是与方向相同的单位向量，则 ①. ②. ③当与同向时，；当与反向时，. 特别地，或. ④，当且仅当向量共线，即时，等号成立. ⑤. (2)向量数量积的运算律 由向量数量积的定义，可以发现下列运算律成立： 对于向量和实数，有 ①；（交换律） ②；（数乘结合律） ③；（分配律） 【即学即练】 1．对于任意向量，下列命题中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量的数量积及向量加法法则，逐项分析判断即得. 【解析】，当且仅当共线时取等号，A错误； 由向量加法的三角形法则知，，当且仅当同向或至少一个为零向量时取等号，B错误； 是与共线的向量，是与共线的向量，因此与不一定相等，C错误； ，因此，D正确. 故选：D. 2．（多选）下列关于平面向量的说法中正确的是（ ） A. 若且，则 B. 在中，若，则点为边上的中点 C. 已知，均为非零向量，若，则 D. 在中，为的中点，若，则是在上的投影向量 【答案】BCD 【分析】举反例可得A错误；由向量的加法和图形关系可得B正确；等式平方后得到，可得C正确；由单位向量，向量加法，投影向量的概念可得D正确. 【解析】A：设，则，且，但，故A错误； B： 因为，且， 所以， 所以，即点为边上中点；故B正确； C：因为， 所以， 所以，故C正确； D：因为分别表示与同方向的单位向量， 由向量加法可得是以为起点，对应线段为邻边菱形的对角线对应的向量，即，同时也在的平分线上， 由菱形的对角线互相垂直可得， 所以是在上的投影向量，故D正确； 故选：BCD 题型01 平面向量数量积的定义及辨析 【典例1】（1）（多选）设是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列选项，其中正确的有（ ） A. B. 若且，则 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由平面向量数量积的结合律可判断A；由平面向量垂直的条件、数量积的交换律可判断B；由三角形的两边之差小于第三遍可判断C；由平面向量的运算法则将式子展开即可判断D. 【解析】对于选项A，由平面向量数量积的结合律，可知A正确； 对于选项B，由，得，又，所以或，故选项B错误； 对于选项C，因为不共线， 所以组成三角形的三边，所以，故选项C正确， 对于选项D，，故选项D正确. 故选：ACD. （2）设向量，的夹角为，，，则（ ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】根据向量数量积运算律进行计算，求出答案. 【解析】. 故选：D. 平面向量数量积运算的常用公式： 向量数量积的求法： (1)求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角，其中准确求出两个向量的夹角是求数量积的关键．（注：两向量的夹角要共起点且夹角的范围为） (2)根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算． 【变式1】已知向量和的夹角为，且，，则等于（ ） A．12 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量数量积公式得到答案. 【解析】. 故选：D. 【变式2】（多选）关于平面向量，，，下列说法中正确的是（ ） A. B. C. 若，则与的夹角为钝角 D. 【答案】AD 【分析】运用向量的数量积定义，运算律,夹角概念逐个计算验证即可. 【解析】 A √ 根据向量的运算律可知，A正确 B × 表示与向量共线的向量，表示与向量共线的向量，则与不一定相等 C × 当两个非零向量与的方向相反时，，此时与的夹角为，不是钝角 D √ 若与中至少有一个零向量，则，此时与共线； 若与均为非零向量，设与的夹角为，则，可得． 又，所以或，即与共线，反之也成立． 综上， 故选：AD 【变式3】窗花是贴在窗户玻璃上的贴纸，它是中国古老的传统民间艺术之一在2022年虎年新春来临之际，人们设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花（如图1）.已知正方形的边长为2，中心为，四个半圆的圆心均为正方形各边的中点（如图2），若为的中点，则（ ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】根据平面向量的线性运算将化为、、表示，再根据平面向量数量积的运算律即可求解. 【解析】依题意得，，，， 所以， ， 所以 ． 故选：B． 【变式4】已知向量与的夹角为,且,若,且,,则实数的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量数量积定义及运算律运算即可. 【解析】， ∵，∴，即， ∴，∴， ∴ 故选：D． 题型02 平面几何图形中的向量的数量积的计算 【典例1】如图，在边长为2的菱形中，，，则 【答案】 【分析】选取，为基底，根据向量的加法减法运算，利用数量积公式计算即可. 【解析】设，，且，， 因为，可得， 所以. 故答案为： 平面几何图形中的向量的数量积的计算： 在平面几何图形中将所求的向量用一组已知模长和夹角的基底向量线性表示，然后利用数量积的运算律计算。选择合适的基底，利用向量的共线定理以及平面向量基本定理来表示目标向量，然后借助向量数量积公式求解。 【变式1】已知是边长为2的等边三角形，则（ ） A. 4 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由等边三角形的性质，可得向量的模长以及夹角，根据数量积的定义式，可得答案. 【解析】依题意可知和的夹角为， 所以. 故选：D. 【变式2】在中，，则（ ） A. 9 B. C. 6 D. 【答案】A 【分析】由得出点是的三等分点，再用分别表示出，即可计算出． 【解析】因为，所以点是的三等分点， 所以，则， 又， 所以， 故选：A． 【变式3】在边长为的等边三角形中，，则 . 【答案】 【分析】先将用与表示出来，再根据向量数量积的运算律计算. 【解析】已知，因此， 又因为在三角形中，，所以： ， 等边三角形的边长为，因此，且与的夹角为， 则， ， 所以， 因此，. 故答案为：. 【变式4】已知在中，M是BC中点，，，则___________- 【答案】6 【分析】利用平面向量的基本定理和线性运算，以及平面向量的数量积运算求解即可. 【解析】因为M是BC中点，所以，， 则， 则 因为，， 则，解得， 则，即 故答案为：6 题型03 垂直关系的向量运用 【典例1】已知向量，满足，，，，则实数（ ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量数量积的定义先求出的值，再由得到，将，，代入计算即可求出. 【解析】因为，，， 所以. 因为，所以， 所以. 故选：A. 【变式1】设向量，是非零向量，且，向量在向量上的投影向量为，若，则实数的值为（ ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】利用投影向量的定义推出，利用向量垂直的充要条件列式并化简，整理成关于的方程，求解即得. 【解析】因向量在向量上的投影向量为， 可得，即①， 由可得， 又，故可得：， 因是非零向量，故，解得. 故选：A. 【变式2】已知平面向量，满足：，，． (1)求； (2)当时，求实数k的值． 【答案】(1);(2) 【分析】（1）根据数量积可得，再根据模长的平方关系结合数量积的运算律求解； （2）根据向量垂直的可得，结合数量积的运算律求解. 【解析】（1）因为，，，则， 又因为，所以． （2）因为，则， 可得， 即，解得. 【变式3】在中，，，，分别为边、上的点，且，. （1）用向量方法求证：； （2）求. 【答案】（1）证明见解析；（2） 【分析】(1)要证,只需证. (2)由向量数量积的变形公式即可求得答案. 【解析】（1）因为，所以, 又因为，所以， 因为,，所以， 所以， 即，得证. （1）由题意, ， 由勾股定理可得， 所以 题型04 利用数量积求向量模长及其应用 【典例1】已知是单位向量，且的夹角为，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】由向量模与夹角的公式得，进而结合向量的夹角范围求解即可. 【解析】因为是单位向量，且的夹角为， 所以， 又， 所以， 又，所以，所以. 故选：C. 求向量模的一般思路及常用公式： (1)求向量模的常见思路 (2)常用公式 ①(a－b)·(a＋b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2； ②|a±b|2＝(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.　 【变式1】已知向量，满足，，若与的夹角为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量数量积运算，来求和向量的模即可. 【解析】因为，，若与的夹角为，所以， 则， 故选：C. 【变式2】如图，在四边形中，，向量的夹角为.若是边的中点，是边的中点，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量的线性运算表示，可得，根据数量积的运算律可得结果. 【解析】由题意得，，， ∵若是边的中点，是边的中点， ∴， ∴①＋②得，， ∴ ， ∴，故. 故选：D. 【变式3】下列命题正确的是（ ） A. 若，则存在唯一实数使得 B. 已知非零向量、和实数k，则“”是“”的必要而不充分条件 C. 若且，则三角形为等腰直角三角形 D. 若平面向量，，两两夹角相等，且，，，则 【答案】BC 【分析】由共线向量概念可判断A，取，可判断B，由，可得的平分线垂直于BC，由，平方可得，即可判断C，由夹角可能为或，即可判断D. 【解析】对于A、若，时，不存在实数使得，所以选项A错误； 对于B、因为非零向量、，若，则与方向相反，则， 若，取，则，而， 故“”是“”的必要而不充分条件，故B正确； 对于C、因为，对等式两边同时平方可得， 化简整理可得，所以，即 又因为，和分别是和方向上的单位向量， 设，， 则以，为邻边的平行四边形是菱形，是菱形的对角线， ，说明的平分线垂直于BC，所以， 综上，三角形为等腰直角三角形，选项 C正确； 对于D、平面向量，，两两夹角相等，则夹角可能为或， 当夹角为时，， 选项D错误. 故选：BC 【变式4】已知平面向量与的夹角为，若恒成立，则实数t的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由两向量与的夹角为可画出图示表示其位置关系，再根据的取值范围即可求得实数t的取值范围是. 【解析】根据题意可知，利用平面向量的三角形法则画出其几何关系，如下图所示：    记，则； 由平面向量的三角形法则可知，点可以在射线（除点外）上移动， 易知当，即时，取最小值， 此时，即； 若恒成立时，即即可， 由可得，，即; 所以，实数t的取值范围为. 故选：A ，则的最大值是_________ 【答案】 【分析】设，先求，再利用向量的模长公式可得即可求解. 【解析】设，则， ， 当时取等，所以的最大值是. 故答案为： 题型05 利用数量积求向量的夹角及其应用 【典例1】已知非零向量，满足，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】根据已知条件求出，再利用向量的夹角公式求出与的夹角. 【解析】已知，则 因为，所以，，，则可得： ， 又因为，所以，即.  ，将代入上式可得：   设与的夹角为，，根据向量的夹角公式. 因为，，所以.  因为，且，所以.  与的夹角为. 故选：D. 求向量a，b的夹角θ的思路： (1)求向量的夹角的关键是计算a·b 及|a||b|，在此基础上结合数量积的定义或性质计算cos θ＝，最后借助θ∈[0，π]，求出θ值． (2)在个别含有|a|，|b|与a·b的等量关系式中，常利用消元思想计算cos θ的值． 【变式1】已知向量，满足，，则与的夹角为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量数量积的定义式和运算律化简已知式，结合向量夹角的范围即可. 【解析】已知，，设与的夹角为， 由， 解得，则与的夹角． 故选：C. 【变式2】已知向量满足，且，则与的夹角为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量数量积的运算律将展开，再结合向量数量积公式求出的值，最后根据夹角的取值范围确定夹角. 【解析】由，可得， 又， 所以解得：， 所以， 又所以， 所以与的夹角为． 故选：C. 【变式3】已知向量，满足，，则向量与的夹角的余弦值__________ 【答案】 【分析】根据已知及向量数量积的运算律得、、，再应用向量夹角公式求余弦值. 【解析】因为，两边平方得， 所以，则， ， 则向量与的夹角的余弦值为. 故答案为：. 题型06 利用数量积求投影向量及其应用 【典例1】已知向量和满足，，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】先求出向量，夹角的余弦值，然后利用求解投影向量的方法求解即可. 【解析】因为，所以， 又，，所以，得到， 所以， 设与的夹角为，则， 所以在上的投影向量为：， 故选：D. 解决向量投影问题应注意以下三点： (1)向量a在b方向上的投影向量为|a|cos θ e(其中e为与b同向的单位向量)，它是一个向量，且与b共线，其方向由向量a和b夹角θ的余弦决定． (2)向量a在b方向上的投影向量·. (3)注意：a在b方向上的投影向量与b在a方向上的投影向量不同，即向量b在a上的投影向量可表示为|b|cos θ. 【变式1】已知向量，满足，，，则在方向上的投影向量是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用投影向量的定义，结合向量的运算求解即可. 【解析】由于向量，满足，，， 所以，解得， 则在方向上的投影向量为. 故选：B. 【变式2】设向量与满足，在方向上的投影向量为，若存在实数，使得与垂直，则（  ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据投影向量的定义结合已知求得，再由与垂直，得，结合数量积得运算律即可得解. 【解析】因为在方向上的投影向量为， 所以， 所以， 因为与垂直， 所以， 即，解得. 故选：B. 【变式3】已知点为的外心，且向量，，若向量在向量上的投影向量为，则的值为_____________ 【答案】 【分析】根据判断出，，三点共线，再结合外心的性质得到的形状，最后根据投影向量的定义求出的值. 【解析】已知，将其变形可得，即. 根据向量共线定理，可知与共线，所以，，三点共线. 因为点为的外心，外心是三角形三边垂直平分线的交点，且，，三点共线， 所以为外接圆的直径，那么，即是直角三角形. 根据投影向量的定义求的值，， 可得，即， 又因为，所以，因为，所以. 的值为. 故答案为：. 题型07 利用向量数量积判断平面图形形状 【典例1】在中，，，则的形状为（  ） A. 等腰直角三角形 B. 三边均不相等的三角形 C. 等边三角形 D. 等腰（非直角）三角形 【答案】A 【分析】由数量积的运算律得到，即可得到，再由数量积的定义求出，即可判断. 【解析】因为，即，即， 所以，即，则， 又表示与同向的单位向量，表示与同向的单位向量， 所以，又，所以， 所以， 所以是等腰直角三角形． 故选：A 利用向量数量积定义及运算律进行判别平面图形形状常见结论： （1）即可得为等腰三角形； （2）平面四边形满足，，即可得平行四边形为菱形； 【变式1】若平面四边形满足，在方向上的数量投影是0，则该四边形一定是（  ） A．直角梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】C 【分析】首先根据向量相等判断四边形为平行四边形，再根据投影为零得到对角线互相垂直，即可判断； 【解析】解：因为，所以，所以平面四边形为平行四边形， 又，在方向上的数量投影是0，即，即，所以平行四边形为菱形； 故选：C 【变式2】已知中，，，则此三角形为（　　） A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】根据即可得为等腰三角形，又因为可知，所以为等边三角形. 【解析】如下图所示：    设M为AC中点，则， 所以，即为等腰三角形， 又，所以， 即， 所以，可得， 综上可知三角形为等边三角形. 故选：B. 【变式3】，是所在平面上的两点，满足和，则的形状是（  ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰（非等边）三角形 D．等边三角形 【答案】A 【分析】对化简可得，对化简变形可得，从而可判断出三角形的形状. 【解析】由题知，所以，即． 因为，所以，即， 所以． 又因为，所以， 所以，即， 两边同时平方并展开化简可得，即，所以． 综上可知，的形状是等腰直角三角形． 故选：A． 题型08 平面向量数量积的最值与范围 【典例1】在中，，是上一动点，则 的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先设，将用与表示出来，再根据向量数量积的运算律求出关于的表达式，最后根据二次函数的性质求出最小值. 【解析】设，因为，所以. 因为，所以. 则， 因为， . 所以. 令， 这是一个二次函数，二次项系数，函数图象开口向上，对称轴为. 因为，所以当时，取得最小值， . 即的最小值为. 故选：D. 1.直接利用数量积公式求最值： 两平面向量的数量积大小根据两个向量模长、夹角大小来确定，若模长固定，则可根据夹角大小来确定。 2.利用极化恒等式来求数量积的最值： （1）平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：. （2）极化恒等式 3.利用投影法求数量积的最值： 根据数量积公式，如其中有一边为固定的长度，则直接根据（可看做是AC在AB边上的投影数量）来决定数量积的范围。 【变式1】如图，在等腰直角三角形中，斜边，为线段上的动点（包含端点），为的中点．将线段绕着点旋转得到线段，则的最小值为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】利用转化法，将转化为或，进而求得的最小值. 【解析】解法一： 连接，则 ， 当时，最小，即， 结合，得的最小值为． 解法二（极化恒等式法）： 依题意，为线段的中点， 则 , 由于，，所以的最小值为． 故选:D 【变式2】正六边形在中国传统文化中象征着 “六合” 与 “六顺” ， 这种形状常被用于各种传统装饰和建筑中，如首饰盒、古建筑的窗户、古井口等. 已知6个边长均为2的正六边形的摆放位置如图所示，是这6个正六边形内部 (包括边界) 的动点，则的最大值为（ ） A．12 B．16 C．18 D．20 【答案】C 【分析】过C作交延长线于E点，则，当C位于D点时，取得最大值，求此时的数量积即可. 【解析】 过C作交延长线于E点，则， 因为6个正六边形边长均为2，如图，当C位于D点时，取得最大值， 此时， ， 故选：C. 【变式3】如图，在平面四边形中，，，，且，则___________，若是线段上的一个动点，则的取值范围是___________. 【答案】 ①. 4 ②. 【解析】 【分析】根据题意求出，，再根据平面向量数量积的定义可得；设，将和化为、、表示，利用定义求出关于的二次函数，根据二次函数知识可求得结果. 【解析】因为，，所以为正三角形，所以，， 因为，所以， 因为，所以，所以. 因为是线段上的一个动点，所以可设， 所以 ， 因为，所以时，取得最小值，当时，取得最大值， 所以的取值范围是. 故答案为：4； 【变式4】圆是中华民族传统文化的形态象征，象征着“圆满”和“饱满”，是自古以和为贵的中国人所崇尚的图腾．是圆的一条直径，且．是圆上的任意两点，，点在线段上，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】设为圆心，连接，根据数量积的运算律得到，根据点在线段上，即可求出的取值范围，即可得解. 【解析】如图，为圆心，连接， 则, 因为点在线段上且，则圆心到弦的中点的距离，这也是的最小值. 所以，所以， 则，即的取值范围是. 故答案为：. 【变式5】如图，已知满足，，、、是线段上的分点，且满足. (1)判断的形状； (2)当时，求的值； (3)当时，若为线段上的动点，求的最小值，并指出当取最小值时点的位置. 【答案】(1)等边三角形；(2)；(3)最小值， 【分析】（1）根据数量积求出后可判断三角形形状； （2）结合向量的线性运算可得，故可求向量和的模； （3）设，利用向量的线性运算结合二次函数的性质可求的最小值. 【解析】（1），， 则，即， 故为等边三角形. （2）当时，、为边的三等分点， 设为中点，且， 所以， 故. （3）设， 当时，、、为边的四等分点， ， 设，其中，则， ， 所以 ， 当且仅当即时，取最小值. 1．下面给出的关系式中，正确的个数是（ ） ①；②；③；④. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】数乘的性质即可求解①④，根据数量积的性质即可求解②③. 【解析】，，， 表示与共线的向量，表示与共线的向量，故两者不一定相等， 故①②③正确，④错误， 故选：D. 2．设，是两个非零向量，则“”是“与的夹角为钝角”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【分析】根据平面向量数量积定义可知当夹角为时，数量积也成立，即可得出结论. 【解析】若，则与的夹角可能为，不一定是钝角，因此充分性不成立； 若与的夹角为钝角，则可得，因此可得，所以充分性成立， 即“”是“与的夹角为钝角”的必要不充分条件. 故选：B. 3．已知平面向量满足，，且，则（ ） A． B． C．2 D．1 【答案】C 【分析】根据向量垂直得到向量的数量积，再将模长转化为数量积即可求得结果. 【解析】因为，所以，即， 因为，所以， ，又， 所以. 故选：C. 4．已知，，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】两边平方展开后化简得到关于的方程，解方程即可. 【解析】由两边平方得，，所以． ， 故选：C． 5．是边长为2的正三角形，为所在平面内任意一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. -2 【答案】B 【分析】设的中点为的中点为E，则可表示为，进而可得答案. 【解析】设的中点为的中点为E， 则有 ， 则 ， 而 而 ，， 故当P与E重合时， 有最小值 ， 所以的最小值为， 故选：B. 6．已知是半径为2的圆上的三个动点，弦所对的圆心角为，则的最大值为（ ） A．6 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】将中向量进行分解，即：， 由是的中点，可将上式进行化简整理为，所以只需求最大，即的长加圆的半径即可，然后代入即可求得的最大值. 【解析】因为弦所对的圆心角为，且圆的半径为2，所以， 取的中点，所以，，如图所示： 因为, 因为是的中点，所以， ， 所以若最大，所以只需最大， 所以， 所以. 故选：A 7．（多选）下列命题正确的是（ ） A. 在中，若，则 B. 已知向量满足条件，则等边三角形 C. 在中，若，则为直角三角形 D. 在中，若，则为等腰三角形 【答案】BCD 【分析】由向量数量积的定义即可判断A；设，由及向量数量积的运算律得出，，，即可判断B；由向量数量积的定义及运算律即可判断C；由平面向量的线性运算及数量积的几何含义即可判断D． 【解析】对于A，，故A错误； 对于B，设 由得，， 所以，即， 所以， 又，所以， 同理可得，， 所以为等边三角形，故B正确； 对于C，由，得， 展开整理得，即，故C正确； 对于D，设，则射线是的平分线， 又，所以， 所以为等腰三角形，故D正确； 故选：BCD． 8．（多选）下列关于平面向量的说法中正确的是（ ） A. 若为非零向量，则不与垂直 B. 、为实数，若，则与共线 C. 若平面内有四个点，则必有 D. 在中，为的中点，若，则是在上的投影向量 【答案】CD 【分析】对于A，取，即可求解；对于B，取，即可求解；对于C，利用向量的运算，即可求解；对于D，根据条件，利用向量的运算，可得，再利用投影向量的定义，即可求解. 【解析】 选项A，若，则有， 此时与垂直，所以选项A错误， 对于选项B，若，则，但与不一定共线，所以选项B错误， 对于选项C，因为，即，所以选项C正确， 对于选项D，因为分别是与同向的单位向量， 又，且为的中点，知，即， 所以是在上的投影向量，故选项D正确， 故选：CD. 9.（多选）已知两个不相等非零向量，两组向量和均由3个和2个排列而成，记，表示S所有可能取值中的最小值，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则与无关； B. 若，则与无关； C. 若，则； D. 若，，则的夹角为. 【答案】AC 【分析】根据题意确定可能有三种情况，比较大小，确定，利用，可得，判断A; 若，设,求得，判断B;若，则化简，判断C, 若，，利用数量积定义求得，判断D. 【解析】因为两组向量和均由3个和2个排列而成， 故可能有三种情况; ;②;③, ， ， 故； 若，则,则与无关,故A正确； 若，设，则，则与有关，B错误； 若，则，故C正确； 若，，则， 故，由于，故，故D错误； 故选：AC 10．已知向量，且，则___________- 【答案】 【分析】由两边平方可得，再结合向量夹角的计算可得. 【解析】，所以，两边平方可得， 又，所以， 所以. 故答案为： 11．已知平面向量与的夹角为，若恒成立，则实数t的取值范围为______________ 【答案】 【分析】由两向量与的夹角为可画出图示表示其位置关系，再根据的取值范围即可求得实数t的取值范围是. 【解析】根据题意可知，利用平面向量的三角形法则画出其几何关系，如下图所示：    记，则； 由平面向量的三角形法则可知，点可以在射线（除点外）上移动， 易知当，即时，取最小值， 此时，即； 若恒成立时，即即可， 由可得，，即; 所以，实数t的取值范围为. 故答案为： 12．如图，某八角楼空窗的边框呈正八边形.已知正八边形的边长为为正八边形内的一点（含边界），则的取值范围为______________ 【答案】 【分析】利用平面向量数量积的几何意义可解问题. 【解析】过点、分别作的垂线，垂足分别为点、，如下图所示： 其中，故， 当点在线段上时，取最小值， 此时，， 当点在线段上时，取最大值， 此时， ， 综上所述，. 故答案为：. 13．如图所示，在边长为2的正方形中，分别是的中点， (1)求证：； (2)求的值. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】(1)利用向量的线性运算和数量积运算可判断垂直； (2) 利用向量的线性运算和数量积运算，即可求值. 【解析】（1） 由 因为正方形的边长为，所以有： ， 所以，即； （2）由， 因为正方形的边长为，所以有： ， 即. 14．在直角梯形中，已知，，，动点、分别在线段和上，且，． （1）当时，求的值； （2）求向量的夹角； （3）求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【分析】（1）先根据向量的线性运算表示出和；再根据向量的数量积运算律即可求解. （2）先根据向量的线性运算表示出；再根据向量的数量积运算得出即可解答. （3）先根据表示出；再根据向量的数量积运算得出；最后根据即可求解. 【解析】（1）当时，依题意知，，，. 则， . 因为， ， . 所以. 因此. 因为， ，， 所以，， 所以. （2）由（1）知. 因为，， 所以； . 则. 因为，， ， 所以， 故向量的夹角为. （3）由（2）可知： ， . 则. 因为，， ， 所以 , 由题意知，， 所以的取值范围是， ∴的取值范围是． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题9.3 向量的数量积 教学目标 1.通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积以及运用数量积运算律，通过几何直观，了解平面向量的投影向量的概念及其意义． 2.进一步理解平面向量数量积的含义及其几何意义；能运用平面向量的投影向量证明数量积的运算法则；会用数量积判断两个平面向量的垂直关系． 3.在运用向量的数量积的定义及运算律进行向量数量积运算的过程中，发展数学运算素养；在由图形直观理解平面向量投影的概念及投影向量意义的过程中，发展直观想象素养． 4.在证明向量数量积的运算律及运用向量数量积证明有关垂直问题的过程中，发展逻辑推理素养． 教学重难点 1.重点 平面向量数量积的定义、运算律和常用结论的运用． 2.难点 运用向量的投影向量处理数量积运算． 知识点01 平面向量数量积的概念 1.向量数量积的物理背景： 在物理课中我们学过功的概念：如果一个物体在力的作用下产生位移，那么力所做的功W=，其中θ是与的夹角. (1) 功W是两个向量F和s的某种运算的结果，而且这个结果是一个数量； (2) 功不仅与力和位移的大小有关，而且还与它们的方向有关，具体地，它和力F与位移s的夹角有关． 因此我们知道力和位移都是矢量，而功是一个标量(数量).这说明两个矢量也可以进行运算，并且这个运算明显不同于向量的数乘运算，因为数乘运算的结果是一个向量，而这个运算的结果是数量. 2.向量的夹角： 已知两个非零向量，如图所示，O是平面上的任意一点，作，，则∠AOB= 叫做向量与的夹角，也常用表示. 3.平面向量数量积(内积)的定义： 已知两个非零向量a和b，它们的夹角是θ，我们把数量|a‖b|cosθ叫作向量a和b的数量积(内积)，记作a·b，即a·b＝|a‖b|cosθ. 规定：零向量与任一向量的数量积为零． 4.夹角与垂直： （1）若与为非零向量，则 （2） 5.向量的模： 注：， 【即学即练】 1．已知向量满足，且与的夹角为，则（ ） A．6 B． C． D．12 2．已知向量垂直，且，，则 ． 知识点02 投影向量 设a, b是两个非零向量，如图(1)(2), 表示向量a, 表示向量b，过点A作所在直线的垂线，垂足为点A1.我们将上述由向量a得到向量的变换称为向量a向向量b投影，向量称为向量a在向量b上的投影向量． 　　 (1) (2) 注：向量a和b的数量积就是向量a在向量b上的投影向量与向量b的数量积. 【即学即练】 1．已知向量，满足，，且向量，的夹角为60°，则向量在向量上的投影向量是（ ） A． B． C． D． 2．已知单位向量，满足，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 知识点03 向量数量积的性质和运算律 (1)向量数量积的性质 设是非零向量，它们的夹角是θ，是与方向相同的单位向量，则 ①. ②. ③当与同向时，；当与反向时，. 特别地，或. ④，当且仅当向量共线，即时，等号成立. ⑤. (2)向量数量积的运算律 由向量数量积的定义，可以发现下列运算律成立： 对于向量和实数，有 ①；（交换律） ②；（数乘结合律） ③；（分配律） 【即学即练】 1．对于任意向量，下列命题中正确的是（ ） A． B． C． D． 2．（多选）下列关于平面向量的说法中正确的是（ ） A. 若且，则 B. 在中，若，则点为边上的中点 C. 已知，均为非零向量，若，则 D. 在中，为的中点，若，则是在上的投影向量 题型01 平面向量数量积的定义及辨析 【典例1】（1）（多选）设是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列选项，其中正确的有（ ） A. B. 若且，则 C. D. （2）设向量，的夹角为，，，则（ ） A． B．1 C． D．2 平面向量数量积运算的常用公式： 向量数量积的求法： (1)求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角，其中准确求出两个向量的夹角是求数量积的关键．（注：两向量的夹角要共起点且夹角的范围为） (2)根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算． 【变式1】已知向量和的夹角为，且，，则等于（ ） A．12 B． C． D． 【变式2】（多选）关于平面向量，，，下列说法中正确的是（ ） A. B. C. 若，则与的夹角为钝角 D. 【变式3】窗花是贴在窗户玻璃上的贴纸，它是中国古老的传统民间艺术之一在2022年虎年新春来临之际，人们设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花（如图1）.已知正方形的边长为2，中心为，四个半圆的圆心均为正方形各边的中点（如图2），若为的中点，则（ ） A．6 B．8 C．10 D．12 【变式4】已知向量与的夹角为,且,若,且,,则实数的值为（  ） A． B． C． D． 题型02 平面几何图形中的向量的数量积的计算 【典例1】如图，在边长为2的菱形中，，，则 平面几何图形中的向量的数量积的计算： 在平面几何图形中将所求的向量用一组已知模长和夹角的基底向量线性表示，然后利用数量积的运算律计算。选择合适的基底，利用向量的共线定理以及平面向量基本定理来表示目标向量，然后借助向量数量积公式求解。 【变式1】已知是边长为2的等边三角形，则（ ） A. 4 B. C. 2 D. 【变式2】在中，，则（ ） A. 9 B. C. 6 D. 【变式3】在边长为的等边三角形中，，则 . 【变式4】已知在中，M是BC中点，，，则___________- 题型03 垂直关系的向量运用 【典例1】已知向量，满足，，，，则实数（ ） A． B．1 C． D． 【变式1】设向量，是非零向量，且，向量在向量上的投影向量为，若，则实数的值为（ ） A． B． C． D．2 【变式2】已知平面向量，满足：，，． (1)求； (2)当时，求实数k的值． 【变式3】在中，，，，分别为边、上的点，且，. （1）用向量方法求证：； （2）求. 题型04 利用数量积求向量模长及其应用 【典例1】已知是单位向量，且的夹角为，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 求向量模的一般思路及常用公式： (1)求向量模的常见思路 (2)常用公式 ①(a－b)·(a＋b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2； ②|a±b|2＝(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.　 【变式1】已知向量，满足，，若与的夹角为，则（ ） A． B． C． D． 【变式2】如图，在四边形中，，向量的夹角为.若是边的中点，是边的中点，则（ ） A． B． C． D． 【变式3】下列命题正确的是（ ） A. 若，则存在唯一实数使得 B. 已知非零向量、和实数k，则“”是“”的必要而不充分条件 C. 若且，则三角形为等腰直角三角形 D. 若平面向量，，两两夹角相等，且，，，则 【变式4】已知平面向量与的夹角为，若恒成立，则实数t的取值范围为（ ） A． B． C． D． ，则的最大值是_________ 题型05 利用数量积求向量的夹角及其应用 【典例1】已知非零向量，满足，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 求向量a，b的夹角θ的思路： (1)求向量的夹角的关键是计算a·b 及|a||b|，在此基础上结合数量积的定义或性质计算cos θ＝，最后借助θ∈[0，π]，求出θ值． (2)在个别含有|a|，|b|与a·b的等量关系式中，常利用消元思想计算cos θ的值． 【变式1】已知向量，满足，，则与的夹角为（ ） A． B． C． D． 【变式2】已知向量满足，且，则与的夹角为（ ） A． B． C． D． 【变式3】已知向量，满足，，则向量与的夹角的余弦值__________ 题型06 利用数量积求投影向量及其应用 【典例1】已知向量和满足，，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 解决向量投影问题应注意以下三点： (1)向量a在b方向上的投影向量为|a|cos θ e(其中e为与b同向的单位向量)，它是一个向量，且与b共线，其方向由向量a和b夹角θ的余弦决定． (2)向量a在b方向上的投影向量·. (3)注意：a在b方向上的投影向量与b在a方向上的投影向量不同，即向量b在a上的投影向量可表示为|b|cos θ. 【变式1】已知向量，满足，，，则在方向上的投影向量是（ ） A． B． C． D． 【变式2】设向量与满足，在方向上的投影向量为，若存在实数，使得与垂直，则（  ） A．2 B． C． D． 【变式3】已知点为的外心，且向量，，若向量在向量上的投影向量为，则的值为_____________ 题型07 利用向量数量积判断平面图形形状 【典例1】在中，，，则的形状为（  ） A. 等腰直角三角形 B. 三边均不相等的三角形 C. 等边三角形 D. 等腰（非直角）三角形 利用向量数量积定义及运算律进行判别平面图形形状常见结论： （1）即可得为等腰三角形； （2）平面四边形满足，，即可得平行四边形为菱形； 【变式1】若平面四边形满足，在方向上的数量投影是0，则该四边形一定是（  ） A．直角梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【变式2】已知中，，，则此三角形为（　　） A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【变式3】，是所在平面上的两点，满足和，则的形状是（  ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰（非等边）三角形 D．等边三角形 题型08 平面向量数量积的最值与范围 【典例1】在中，，是上一动点，则 的最小值为（ ） A． B． C． D． 1.直接利用数量积公式求最值： 两平面向量的数量积大小根据两个向量模长、夹角大小来确定，若模长固定，则可根据夹角大小来确定。 2.利用极化恒等式来求数量积的最值： （1）平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：. （2）极化恒等式 3.利用投影法求数量积的最值： 根据数量积公式，如其中有一边为固定的长度，则直接根据（可看做是AC在AB边上的投影数量）来决定数量积的范围。 【变式1】如图，在等腰直角三角形中，斜边，为线段上的动点（包含端点），为的中点．将线段绕着点旋转得到线段，则的最小值为（　　） A. B. C. D. 【变式2】正六边形在中国传统文化中象征着 “六合” 与 “六顺” ， 这种形状常被用于各种传统装饰和建筑中，如首饰盒、古建筑的窗户、古井口等. 已知6个边长均为2的正六边形的摆放位置如图所示，是这6个正六边形内部 (包括边界) 的动点，则的最大值为（ ） A．12 B．16 C．18 D．20 【变式3】如图，在平面四边形中，，，，且，则___________，若是线段上的一个动点，则的取值范围是___________. 【变式4】圆是中华民族传统文化的形态象征，象征着“圆满”和“饱满”，是自古以和为贵的中国人所崇尚的图腾．是圆的一条直径，且．是圆上的任意两点，，点在线段上，则的取值范围是______． 【变式5】如图，已知满足，，、、是线段上的分点，且满足. (1)判断的形状； (2)当时，求的值； (3)当时，若为线段上的动点，求的最小值，并指出当取最小值时点的位置. 1．下面给出的关系式中，正确的个数是（ ） ①；②；③；④. A．0 B．1 C．2 D．3 2．设，是两个非零向量，则“”是“与的夹角为钝角”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 3．已知平面向量满足，，且，则（ ） A． B． C．2 D．1 4．已知，，且，则（ ） A． B． C． D． 5．是边长为2的正三角形，为所在平面内任意一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. -2 6．已知是半径为2的圆上的三个动点，弦所对的圆心角为，则的最大值为（ ） A．6 B．3 C． D． 7．（多选）下列命题正确的是（ ） A. 在中，若，则 B. 已知向量满足条件，则等边三角形 C. 在中，若，则为直角三角形 D. 在中，若，则为等腰三角形 8．（多选）下列关于平面向量的说法中正确的是（ ） A. 若为非零向量，则不与垂直 B. 、为实数，若，则与共线 C. 若平面内有四个点，则必有 D. 在中，为的中点，若，则是在上的投影向量 9.（多选）已知两个不相等非零向量，两组向量和均由3个和2个排列而成，记，表示S所有可能取值中的最小值，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则与无关； B. 若，则与无关； C. 若，则； D. 若，，则的夹角为. 10．已知向量，且，则___________- 11．已知平面向量与的夹角为，若恒成立，则实数t的取值范围为______________ 12．如图，某八角楼空窗的边框呈正八边形.已知正八边形的边长为为正八边形内的一点（含边界），则的取值范围为______________ 13．如图所示，在边长为2的正方形中，分别是的中点， (1)求证：； (2)求的值. 14．在直角梯形中，已知，，，动点、分别在线段和上，且，． （1）当时，求的值； （2）求向量的夹角； （3）求的取值范围． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $