专题21.7 菱形的判定（高效培优讲义）数学新教材人教版八年级下册

本讲义聚焦菱形的判定这一核心知识点，系统梳理直接判定（四条边都相等的四边形）和平行四边形的特殊判定（邻边相等或对角线垂直的平行四边形），以平行四边形知识为基础构建学习支架，明确前后知识联系。 资料通过即学即练、分层题型（判定条件辨析、添加条件、证明及性质综合）和作图实践（如尺规作菱形），培养学生几何直观（数学眼光）、推理能力（数学思维）与规范表达（数学语言）。课中助力教师分层教学，课后多样练习帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

专题21.7 菱形的判定 教学目标 1. 掌握菱形的判定方法，能够熟练的选择合适的判定方法判定菱形。 教学重难点 1. 重点 （1） 菱形的判定。 2. 难点 （1）熟练的选择合适的判定方法判定菱形； （2）能够结合菱形的判定与性质，熟练的解决相应的题目。 知识点02 菱形的判定 1. 菱形的判定： 判定方法 文字语言 数学语言 图形 直接判定 四条边都 相等 的四边形是菱形 ∵AB = BC = CD = AD ∴四边形ABCD是菱形 平行四边形加特殊性 邻边 相等 的平行四边形是菱形 ∵在▱ABCD中，AB=AD ∴四边形ABCD是菱形 对角线 相互垂直 的四边形是菱形 ∵在▱ABCD中，AC⊥BD ∴四边形ABCD是菱形 【即学即练1】 1．要检测一个四边形是不是菱形，下列方案可行的是（　　） A．任选两个角，测量它们的角度 B．测量四条边的长度 C．测量两条对角线的长度 D．测量两条对角线交点到四个顶点的长度 【答案】B 【解答】解：∵有两个角相等的四边形不一定是菱形，而两个角不相等的四边形也不一定不是菱形， ∴任选两个角，测量它们的角度，不能检测出该四边形是否为菱形， 故A不符合题意； ∵四条边都相等的四边形是菱形， ∴通过测量四条边的长度是否相等可以检测出该四边形是否为菱形， 故B符合题意； ∵两条对角线相等的四边形可能是矩形或任意四边形， ∴测量两条对角线的长度无法检测该四边形是否为菱形， 故C不符合题意； ∵两条对角线的交点到四个顶点的距离相等的四边形是矩形，但不一定是菱形， ∴测量两条对角线交点到四个顶点的长度无法检测该四边形是否为菱形， 故D不符合题意， 故选：B． 【即学即练2】 2．已知四边形ABCD是平行四边形，下列条件中，能判定▱ABCD为菱形的是（　　） A．∠A＝90° B．∠B＝∠C C．AC⊥BD D．AC＝BD 【答案】C 【解答】解：如图，四边形ABCD是平行四边形， ∵∠A＝90°， ∴四边形ABCD为矩形， 故A不符合题意； ∵∠B＝∠C， ∴四边形ABCD为矩形， 故B不符合题意； ∵AC⊥BD， ∴四边形ABCD为菱形． 故C符合题意； ∵AC＝BD， ∴四边形ABCD为矩形， 故D不符合题意； 故选：C． 【即学即练3】 3．如图，添加下列条件不能判定平行四边形ABCD是菱形的是（　　） A．AD＝AB B．AC平分∠BAD C．OA＝OC，OB＝OD D．AC⊥BD 【答案】C 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴A、当AD＝AB时，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可得▱ABCD是菱形，故本选项不符合题意； B、当AC平分∠BAD时，∠DAC＝∠BAC， ∵AD∥BC， ∴∠DAC＝∠BCA， ∴∠BAC＝∠BCA， ∴AB＝BC，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可得▱ABCD是菱形，故本选项不符合题意； C、当OA＝OC，OB＝OD时，不能证明▱ABCD是菱形，故本选项符合题意； D、当AC⊥BD时，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可得▱ABCD是菱形，故本选项不符合题意； 故选：C． 【即学即练4】 4．依据所标数据，下列四边形不一定为菱形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：A、四边形的四条边相等，判定四边形是菱形，故A不符合题意； B、32+42＝52，由勾股定理的逆定理推出四边形的对角线互相垂直，四边形的对角线又互相平分，判定四边形是菱形，故B不符合题意； C、三条边相等的四边形，不能判定四边形是菱形，故C符合题意； D、由同旁内角互补，得到四边形的两组对边平行，而四边形的邻边又相等，判定四边形是菱形，故D不符合题意． 故选：C． 【即学即练5】 5．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是边AB、BC的中点，连接DE，过点B作BF∥DE，且BF＝DE，连接EF，求证：四边形BDEF是菱形． 【答案】见解析． 【解答】证明：∵AB＝AC， ∴∠C＝∠ABC， ∵点D、E分别是边AB、BC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE∥AC， ∴∠DEB＝∠C， ∴∠ABC＝∠DEB， ∴DE＝DB， ∵BF∥DE，BF＝DE， ∴四边形BDEF是平行四边形， ∵DE＝DB， ∴四边形BDEF是菱形． 【即学即练6】 6．如图，在平行四边形ABCD中，分别以A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN，分别与AD，BC，AC相交于点E，F，O．连接AF，CE． （1）根据作图过程，判断EF与AC的位置关系是EF垂直平分AC ； （2）求证：四边形AFCE是菱形． 【答案】（1）EF垂直平分AC； （2）见解析． 【解答】（1）解：由作图可知，EF垂直平分AC， 故答案为：EF垂直平分AC； （2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC ∴∠OAE＝∠OCF，∠OEA＝∠OFC， ∵EF垂直平分AC， ∴OA＝OC， ∴△AOE≌△COF（AAS）， ∴AE＝CF， ∴四边形AFCE是平行四边形， ∵EF垂直平分AC， ∴四边形AFCE是菱形． 题型01 熟悉菱形的判定条件 【典例1】欲证明如图四边形为菱形，下列条件中错误的是（　　） A．ABCD，AB＝BC B．AC⊥BD，BO＝OD C．AB＝CD＝BC＝AD D．ABCD，AC⊥BD 【答案】B 【解答】解：A、由一组邻边相等的平行四边形是菱形判定四边形ABCD是菱形，故A不符合题意； B、不能判定四边形ABCD是菱形，故B符合题意； C、由四条边都相等的四边形是菱形判定四边形ABCD是菱形，故C不符合题意； D、由对角线互相垂直的平行四边形是菱形判定四边形ABCD是菱形，故D不符合题意． 故选：B． 【变式1】如图，根据平行四边形中所标注的角的度数、边的长度，能判定其为菱形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：A．由图可知，平行四边形的一个角为70°，一边与对角线夹角50°，根据三角形内角和定理得另一边与对角线夹角为180°﹣70°﹣50°＝60°，所以三角形为一般三角形，则平行四边形的邻边不相等，所以该平行四边形不是菱形，故A不符合题意； B．平行四边形的一条边为10，对角线的一半分别分为8，6，其满足勾股定理的逆定理：102＝82+62，所以对角线相互垂直是菱形，故B符合题意； C．平行四边形的一条边为6，对角线为12，其一半为6，缺少对角线互相垂直的条件，不是菱形，故C不符合题意； D．由图可知180°﹣30°﹣50°＝100°，故对角线不垂直，所以不是菱形，故D不符合题意； 故选：B． 【变式2】在实验课上，为判断一个四边形是否为菱形，琪琪用仪器进行了测量，首先测量出两组对边分别相等，然后再测量出_____，最后得到结论：这个四边形是菱形．则横线处应填（　　） A．两组对边分别平行 B．两条对角线垂直 C．两条对角线相等 D．一组邻角相等 【答案】B 【解答】解：∵两组对边分别相等的四边形是平行四边形， ∴该四边形是平行四边形， ∵对角线互相垂直的平行四边形是菱形， 故选项B符合题意，选项A、C、D不符合题意， 故选：B． 题型02 添加菱形的判定条件 【典例1】如图，▱ABCD，对角线AC，BD交于点O，添加下列条件，能使▱ABCD变为菱形的是（　　） A．AB＝AC B．AC＝BD C．∠ABC＝90° D．AC⊥BD 【答案】D 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴当▱ABCD的一组邻边相等或对角线互相垂直时，能使▱ABCD变为菱形， 逐一对比选项，其中选项D能使▱ABCD变为菱形，符合对角线相互垂直，A、B、C均不能使▱ABCD变为菱形，不符合题意． 故选：D． 【变式1】如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若增加下列一个条件，不能判定▱ABCD一定为菱形的是（　　） A．AB＝AD B．AC⊥BD C．∠BAC＝∠DAC D．AC＝BD 【答案】D 【解答】解：A、在▱ABCD中，AB＝AD， ∴▱ABCD是菱形，故选项A不符合题意； B、在▱ABCD中，AC⊥BD， ∴▱ABCD是菱形，故选项B不符合题意； C、在▱ABCD中，∠BAC＝∠DAC， ∴▱ABCD是菱形，故选项C不符合题意； D、在▱ABCD中，AC＝BD， ∴▱ABCD是矩形，故选项D符合题意； 故选：D． 【变式2】已知四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，下列条件：①AB∥CD；②OA＝OC；③OB＝OD；④AC⊥BD，从以上条件中任选三个，能判定四边形ABCD是菱形的选法有（　　）种． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解答】解：从条件中任选三个，有以下4种选法： ①②③，①②④，①③④，②③④， 第1种选法：只能判定四边形ABCD是平行四边形，不能判定四边形ABCD是菱形； 第2种选法：由AB∥CD推出∠BAO＝∠DCO，∠ABO＝∠ODC，而OA＝OC，判定△AOB≌△COD，推出AB＝CD，判定四边形ABCD是平行四边形，而AC⊥BD，推出四边形ABCD是菱形； 第3种选法：能判定四边形ABCD是菱形，同第2种选法的证明方法； 第4种选法：由OA＝OC，OB＝OD推出四边形ABCD是平行四边形，而AC⊥BD判定四边形ABCD是菱形， ∴判定四边形ABCD是菱形的方法有3种． 故选：C． 题型03 菱形的判定证明 【典例1】如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E分别是AB、BC的中点，BF∥DE，EF∥DB．求证：四边形BDEF是菱形． 【答案】见解析． 【解答】证明：∵BF∥DE，EF∥DB， ∴四边形BDEF是平行四边形， ∵D、E分别是AB、BC的中点， ∴BDAB，ED是△ABC的中位线， ∴EDAC， ∵AB＝AC， ∴BD＝ED， ∴平行四边形BDEF是菱形． 【变式1】如图，在平行四边形ABCD中，点F在边AD上，AB＝AF，连接BF，点O为BF的中点，AO的延长线交边BC于点E，连接EF． 求证：四边形ABEF是菱形． 【答案】证明见解析． 【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠AFO＝∠EBO， ∵O是BF的中点， ∴OB＝OF， ∴△AOF≌△EOB（ASA）， ∴OA＝OE， ∴四边形ABEF是平行四边形， ∵AB＝AF， ∴四边形ABEF是菱形． 【变式2】如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，BD垂直平分AC，点E是OB上一点，且∠AEO＝∠CDO．求证：四边形AECD是菱形． 【答案】证明见解析． 【解答】证明：∵BD垂直平分AC， ∴OA＝OC，∠DOC＝∠DOA＝∠AOE＝90°， 在△CDO与△AEO中， ， ∴△CDO≌△AEO（AAS）， ∴CD＝AE， ∵∠AEO＝∠CDO， ∴CD∥AE， ∴四边形AECD是平行四边形， ∵∠AOD＝90°， ∴AC⊥DE， ∴▱AECD是菱形． 【变式3】已知：如图，在▱ABCD中，E为BC的中点，EF⊥AC于点G，交AD于点F，AB⊥AC，连接AE，CF．求证： （1）△AGF≌△CGE； （2）四边形AECF是菱形． 【答案】见解析． 【解答】证明：（1）∵AB⊥AC，E为BC的中点， ∴AE＝BE＝EC， ∵EF⊥AC， ∴EF垂直平分AC， ∴AG＝GC， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DAC＝∠ACB， 又∵∠AGF＝∠CGE， ∴△AGF≌△CGE（ASA）； （2）∵△AGF≌△CGE， ∴AF＝CE， 又∵AF∥CE， ∴四边形AECF是平行四边形， 又∵EF⊥AC， ∴▱AECF是菱形． 题型04 菱形的判定与性质 【典例1】如图，在▱ABCD中，连接AC，AB＝AC，过点D作DE∥AC，交BA的延长线于点E，连接CE交AD于点H． （1）求证：四边形ACDE是菱形； （2）若，BC＝2，求CE的长． 【答案】（1）见解析； （2）4． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AE∥CD（平行四边形的性质）， 又∵DE∥AC， ∴四边形ACDE是平行四边形， ∵AB＝DC，AB＝AC， ∴DC＝AC（等量代换）， ∴四边形ACDE是菱形； （2）解：∵四边形ACDE是菱形， ∴， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC＝2， ∴AHAD2＝1， ∵， ∴， ∴CE＝2CH＝2×2＝4． 【变式1】如图，△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF． （1）求证：四边形BCFE是菱形； （2）若CE＝2，四边形BCFE的面积为8，求四边形BCFE的周长． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解答】（1）证明：∵D，E分别是AB，AC的中点， ∴BC＝2DE，DE∥BC， ∵BE＝2DE，EF＝BE， ∴EF＝BE＝BC， 又∵EF∥BC， ∴四边形BCFE是平行四边形， ∵EF＝BE， ∴四边形BCFE是菱形； （2）解：如图，四边形BCFE是菱形，CE＝2，连接BF交CE于点O， ∴，，CE⊥BF， 则， ∴， ∴OB＝4， 在直角三角形BOC中，由勾股定理得：， ∴， 即菱形BCFE的周长为． 【变式2】如图，▱ABCD对角线AC，BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE＝OC，连接CE，OE，OE＝CD． （1）求证：▱ABCD是菱形； （2）若AB＝2，∠ABC＝60°，求AE的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵DE∥AC，DE＝OC， ∴四边形OCED是平行四边形． ∵OE＝CD， ∴平行四边形OCED是矩形， ∴∠COD＝90°， ∴AC⊥BD， ∴▱ABCD是菱形； （2）解：∵四边形ABCD是菱形， ∴OA＝OC，CD＝AB＝BC＝2，AC⊥BD， ∵∠ABC＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AC＝AB＝2， ∴OA＝OC＝1， 在Rt△OCD中，由勾股定理得：OD， 由（1）可知，四边形OCED是矩形， ∴CE＝OD，∠OCE＝90°， ∴AE， 即AE的长为． 【变式3】课本再现 思考： 我们知道，菱形的对角线互相垂直．反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？ 可以发现并证明菱形的一个判定定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形． （1）定理证明：为了证明该定理，张明同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程． 已知：如图1，在平行四边形ABCD中，对角线BD⊥AC，垂足为O． 求证：平行四边形ABCD是菱形． （2）知识应用：如图2，在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AD＝5，AC＝8，BD＝6． ①求证：平行四边形ABCD是菱形； ②延长BC至点E，连接OE交CD于点F，若，求CE的长． 【答案】（1）见解析； （2）①见解析； ②4． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AD＝CB， ∵BD⊥AC， ∴直线AC是线段BD的垂直平分线， ∴AB＝AD， ∴AB＝BC＝CD＝AD， ∴四边形ABCD是菱形． （2）解：①∵四边形ABCD是平行四边形， ∴， ∵AD2＝52＝32+42＝OA2+OD2， ∴∠AOD＝90°， ∴BD⊥AC， ∴平行四边形ABCD是菱形； ②∵四边形ABCD是菱形， ∴AC平分∠BCD， ∴∠ACD＝∠ACB， ∵∠ACB＝∠E+∠COE， ∴∠ACD＝∠E+∠COE， ∵， ∴∠ACD＝2∠E， ∴∠COE＝∠E， ∴OC＝CE， 由①得OC＝4， ∴CE＝4． 1．如图，四边形ABCD是平行四边形，要使它成为菱形，那么需要添加的条件是（　　） A．AB＝CD B．AC＝BD C．AB⊥BC D．AC⊥BD 【答案】D 【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，故选项A不符合题意； B、∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD， ∴平行四边形ABCD是矩形，不是菱形，故选项B不符合题意； C、∵AB⊥BC， ∴∠ABC＝90°， ∴平行四边形ABCD是矩形，不是菱形，故选项C不符合题意； D、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD， ∴平行四边形ABCD是菱形，故选项D符合题意； 故选：D． 2．下列平行四边形中，根据图中所标出的数据，不一定是菱形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：根据等腰三角形的判定定理可得，平行四边形的一组邻边相等，即可判定该平行四边形是菱形， 故A不符合题意； 根据三角形内角和定理可得，平行四边形的对角线互相垂直，即可判定该平行四边形是菱形， 故B不符合题意； 一组邻角互补，不能判定该平行四边形是菱形， 故C符合题意； 根据平行四边形的邻角互补，对角线平分一个120°的角，可得平行四边形的一组邻边相等，即可判定该平行四边形是菱形， 故D不符合题意； 故选：C． 3．如图，在△ABC中，点D，E分别为AB，BC的中点，过点E作EF∥AB，交AC于点F，连接AE，则下列条件不能使四边形ADEF为菱形的是（　　） A．AB＝AC B．AE平分∠BAC C．DE＝BE D．AE⊥BC 【答案】C 【解答】解：当AB＝AC时，点D，E分别为AB，BC的中点，则，DE∥AF， 由EF∥AB，则四边形ADEF是平行四边形，故四边形ADEF是菱形，选项A不合题意； 当AE平分∠BAC时，同理四边形ADEF是平行四边形，根据题意得∠DEA＝∠EAF＝∠DAE，则AD＝DE，故四边形ADEF是菱形，选项B不合题意； 当DE＝BE时无法判断四边形ADEF是菱形，选项C符合题意； 当AE⊥BC时，，同理四边形ADEF是平行四边形，故四边形ADEF是菱形，选项D不合题意； 故选：C． 4．如图，等宽的丝带重叠部分一定是（　　） A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．以上都有可能 【答案】C 【解答】解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F， ∵两条丝带宽度相同， ∴AE＝AF， 根据题意得：AB∥CD，AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵S▱ABCD＝BC•AE＝CD•AF， ∴BC＝CD， ∴平行四边形ABCD是菱形， 即等宽的丝带重叠部分一定是菱形． 故选：C． 5．在四边形ABCD中，AB∥CD，AC与BD相交点O，下列条件不能判定四边形ABCD是菱形的是（　　） A．AB＝BC，∠BAD＝∠BCD B．AB＝CD，∠AOD＝90° C．OA＝OC，∠ABD＝∠CBD D．AC＝BD，AC⊥BD 【答案】D 【解答】解：A．如图1， ∵AB∥CD， ∴∠BAD+∠ADC＝180°． ∵∠BAD＝∠BCD， ∴∠ADC+∠BCD＝180°， ∴AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形． ∵AB＝BC， ∴四边形ABCD是菱形， ∴选项A可以判定四边形ABCD为菱形； B．∵AB∥CD，AB＝CD， ∴四边形ABCD是平行四边形． ∵∠AOD＝90°， ∴四边形ABCD是菱形， ∴选项B可以判定四边形ABCD为菱形； C．∵AB∥CD， ∴∠BAC＝∠ACD，∠ABD＝∠BDC． ∵OA＝OC， 在△AOB和△COD中， ， ∴△AOB≌△COD（AAS）， ∴AB＝CD， ∴四边形ABCD是平行四边形． ∵∠ABD＝∠CBD， ∴∠BDC＝∠DBC ∴CB＝CD， ∴四边形ABCD是菱形， ∴选项C可以判定四边形ABCD为菱形； D．如图满足AC＝BD，AC⊥BD，AB∥CD， ∴选项D不可以判定四边形ABCD为菱形． 故选：D． 6．如图，已知平行四边形ABCD，要求利用所学知识在平行四边形ABCD内作一个菱形，甲、乙两位同学的作法分别如下： 甲：连接AC，作AC的中垂线交AD、BC于E、F，则四边形AFCE是菱形． 乙：分别作∠A与∠B的平分线AE、BF，分别交BC于点E，交AD于点F，则四边形ABEF是菱形． 下列判断正确的是（　　） A．甲、乙均正确 B．甲错误，乙正确 C．甲正确，乙错误 D．甲，乙均错误 【答案】A 【解答】解：甲的作法如图所示， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴AE∥CF，∠EAO＝∠FCO， 又∵EF垂直平分AC， ∴AO＝CO，AE＝CE， 又∵∠AOE＝∠COF， ∴△AOE≌△COF（ASA）， ∴AE＝CF， ∴四边形AFCE为平行四边形， 又∵AE＝CE， ∴四边形AFCE为菱形，故甲的作法正确． 乙的作法如图所示： ∵AD∥BC， ∴∠FAE＝∠BEA， ∵AE平分∠BAD， ∴∠FAE＝∠BAE， ∴∠BEA＝∠BAE， ∴BA＝BE， 同理可得 AB＝AF， ∴AF＝BE， 又∵AF∥BE， ∴四边形ABEF为平行四边形， ∵AB＝AF， ∴四边形ABEF为菱形．故乙的作法正确． 故选：A． 7．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，若AF＝8，则四边形AEDF的周长是（　　） A．24 B．28 C．32 D．36 【答案】C 【解答】解：∵DE∥AC，DF∥AB， ∴四边形AEDF为平行四边形，∠EAD＝∠FDA， ∵AD平分∠BAC， ∴∠EAD＝∠FAD＝∠FDA， ∴FA＝FD， ∴平行四边形AEDF为菱形． ∵AF＝8， ∴C菱形AEDF＝4AF＝4×8＝32． 故选：C． 8．小美同学按如下步骤作四边形ABCD：①画∠MAN；②以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交AM，AN于点B，D；③分别以点B，D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C；④连接BC，CD，BD．若∠A＝44°，则∠CBD的大小是（　　） A．64° B．66° C．68° D．70° 【答案】C 【解答】解：作图可得AB＝AD＝BC＝DC， ∴四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC，∠ABD＝∠CBD 由条件可得∠MBC＝∠A＝44°， ∴∠CBD68°， 故选：C． 9．两张全等的矩形纸片ABCD，AECF按如图方式交叉叠放在一起，AB＝AF，AE＝BC．若AB＝2，BC＝6，则图中阴影部分的面积为（　　） A．4 B． C． D．6 【答案】B 【解答】解：如图所示： ∵两张全等的矩形纸片ABCD，AECF按如图方式交叉叠放在一起， ∴AD∥BC，AE∥CF，∠B＝∠BAD＝∠EAF＝∠F＝90°，AD＝BC＝6， ∴四边形AHCG是平行四边形，∠BAH＝∠FAG， 在△AFG和△ABH中， ， ∴△AFG≌△ABH（ASA）， ∴AG＝AH， ∴平行四边形AHCG是菱形， ∴AH＝CH， 设AH＝CH＝x，则BH＝6﹣x， 在Rt△ABH中，由勾股定理得：22+（6﹣x）2＝x2， 解得：x， ∴BH＝6， ∴图中阴影部分的面积BH×AB2， 故选：B． 10．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD＝DE，连接BE分别交AC，AD于点F，G，连接AE，则下列结论：①AC⊥AE；②△DEG≌△ABG；③OG∥AB；④四边形ABDE是菱形．其中正确的有（　　） A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①②④ 【答案】A 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AB∥CD，AB＝CD， ∵CD＝DE， ∴DE＝AB， ∴四边形ABDE是平行四边形， ∴BD∥AE， ∴AC⊥AE， 故①正确； ∵四边形ABDE是平行四边形， ∴AG＝DG，BG＝EG， 在△DEG和△ABG中， ， ∴△DEG≌△ABG（SSS）， 故②正确； ∵四边形ABDE是平行四边形，四边形ABCD是菱形， ∴OB＝OD，AG＝GD， ∴OD是△ABD中位线， ∴OG∥AB， 故③正确； ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD， ∵∠BAD＝60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴BD＝AB， ∵四边形ABDE是平行四边形， ∴BD＝AE，AB＝DE， ∴BD＝AE＝AB＝DE， ∴四边形ABDE是菱形， 故④正确， 综上所述，正确的是①②③④， 故选：A． 11．在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且OA＝OC，OB＝OD，请你添加一个条件AB＝AD（答案不唯一）　 ，使四边形ABCD是菱形． 【答案】AB＝AD（答案不唯一） 【解答】解：添加AB＝AD（答案不唯一）， ∵OA＝OC，OB＝OD， ∴四边形ABCD为平行四边形， ∵AB＝AD， ∴四边形ABCD是菱形， 故答案为：AB＝AD（答案不唯一）． 12．如图，已知线段，分别以点A，B为圆心，以6cm为半径画弧，两弧相交于点C，D，连接AC，BC，AD，BD，则四边形ACBD的面积为　16　 cm2． 【答案】16． 【解答】解：连接CD交AB于O， 由题意知AC＝BC＝BD＝AD＝6cm， ∴四边形ACBD是菱形， ∴AB⊥CD，CD＝2OD，AOAB84（cm）， ∵OD2， ∴CD＝2OD＝4， ∴四边形ACBD的面积AB•CD84＝16（cm2）． 故答案为：16． 13．如图是利用四边形的不稳定性制作的菱形晾衣架．已知其中每个菱形的边长为20cm，∠1＝60°，则在墙上悬挂晾衣加的两个铁钉A，B之间的距离为　15　 cm． 【答案】15． 【解答】解：如图，∵∠1＝60°，EA＝EC， ∴△AEC是等边三角形， ∵菱形的周长为20cm， ∴AE＝EC＝AC＝5cm， 同法可证CD＝DB＝5cm， ∴AB＝AC+CD+DB＝15cm． 故答案为：15． 14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，D为斜边AB上一点，以CD、CB为边作▱CDEB，当AD＝ 　　 ，▱CDEB为菱形． 【答案】． 【解答】解：如图，连接CE交AB于点O． ∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6， ∴AB10， 若平行四边形CDEB为菱形时，CE⊥BD，OD＝OB，CD＝CB． ∵AB•OCAC•BC， ∴OC． ∴OB， ∴AD＝AB﹣2OB， 故答案为：． 15．如图，在▱ABCD中，∠B＝60°，AB＝6cm，BC＝12cm．点P从点A出发，以1cm/s的速度沿A→D运动，同时点Q从点C出发，以3cm/s的速度沿C→B→C→…往复运动，当点P到达端点D时，点Q随之停止运动，在此运动过程中，四边形PQCD是平行四边形出现　3　 次．当P出发　6　 秒时，四边形PQCD是菱形． 【答案】3，6． 【解答】解：由已知可得，P从A到D需12s，Q从C到B（或从B到C）需4s， 设P，Q运动时间为ts， ①当0≤t≤4时，四边形CQPD是平行四边形时，如图： 此时PD＝CQ＝3tcm， ∴t+3t＝12， 解得t＝3， ∴t为1.5s或3s时，PQ＝CD； ②当4＜t≤8时，若四边形CQPD是平行四边形，如图： 此时BQ＝3（t﹣4）cm，AP＝tcm， ∵AD＝BC，PD＝CQ， ∴BQ＝AP， ∴3（t﹣4）＝t， 解得t＝6； ③当8＜t≤12时，若四边形CQPD是平行四边形，如图： 此时CQ＝3（t﹣8），PD＝12﹣t， ∴3（t﹣8）＝12﹣t， 解得t＝9， ∴t为9s时，PQ＝CD； 综上所述，t为1.5s或3s或6s或9s时，四边形CQPD是平行四边形； 当PD＝CD时，即12﹣t＝6， 解得t＝6， ∴P出发6秒时，四边形PQCD是菱形． 故答案为：3，6． 16．如图，点E、F分别为平行四边形ABCD的边AD、CD上的点，AE＝CF，连接BE、BF，∠ABE＝∠CBF，求证：四边形ABCD是菱形． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A＝∠C， 在△ABE和△CBF中， ， ∴△ABE≌△CBF（AAS）， ∴AB＝CB， ∵四边形ABCD是平行四边形，且AB＝CB， ∴四边形ABCD是菱形． 17．如图，△ABC中，点D是AB上一点，点E是AC的中点，过点C作CF∥AB，交DE的延长线于点F．连接AF，CD． （1）求证：AF＝CD； （2）如果点D是AB的中点，请直接写出当AC与BC满足什么条件时，四边形ADCF是菱形． 【答案】（1）证明见解析； （2）当AC⊥BC时，四边形ADCF是菱形． 【解答】（1）证明：∵CF∥AB， ∴∠ADE＝∠CFE，∠DAE＝∠FCE， ∵点E是AC的中点， ∴AE＝CE， ∴△ADE≌△CFE（AAS）， ∴AD＝CF， ∴四边形ADCF是平行四边形， ∴AF＝CD； （2）解：当AC⊥BC时，四边形ADCF是菱形，理由如下： 由（1）知，四边形ADCF是平行四边形， ∵AC⊥BC， ∴△ABC是直角三角形， ∵点D是AB的中点， ∴CDAB＝AD， ∴平行四边形ADCF是菱形． 18．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，延长CD至点E，使得CE＝2BC，连接BE交AD边于点F，点D、F分别是CE、BE的中点，． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若AC＝6，OB+BC＝9，求四边形ABCD的面积． 【答案】（1）见解析； （2）24． 【解答】（1）证明：∵点D、F分别是CE、BE的中点，， ∴BF＝EF，AF＝FD，CD＝DE， 又∵∠AFB＝∠DFE， 在△AFB和△DFE中， ， ∴△AFB≌△DFE（SAS）， ∴∠ABF＝∠DEF，AB＝DE＝CD， ∴AB∥DE，即AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵CE＝2BC，CE＝2CD， ∴BC＝CD， ∴四边形ABCD是菱形； （2）解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝6， ∴，AC⊥BD， ∵OB+BC＝9， ∴设OB＝x，则BC＝9﹣x， 在直角三角形BOC中，由勾股定理得：OB2+OC2＝BC2， ∴x2+33＝（9﹣x）2， 解得：x＝4， ∴OB＝4， ∵四边形ABCD是菱形， ∴． 19．小颖新房买了一盏简单而精致的吊灯（图1），其正面的平面图如图2所示，四边形ABCD是一个菱形外框架，对角线AC，BD相交于点O，四边形AECF是其内部框架，且点E、F在BD上，BE＝DF． （1）求证：四边形内部框架AECF为菱形． （2）若AE⊥AD，F为DE的中点，，求四边形AECF的周长． 【答案】（1）见解析； （2）24． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴OB＝OD，OA＝OC． ∵BE＝DF， ∴OE＝OF， ∴四边形AECF是平行四边形． ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∴平行四边形AECF是菱形； （2）解：∵AE⊥AD， ∴△ADE是直角三角形， ∵F为DE的中点， ∴AF＝EF＝DF． ∵四边形AECF是菱形， ∴AE＝AF， ∴AE＝EF＝AF， ∴△AEF是等边三角形， ∴∠AEF＝∠AFE＝60°， 又∵AE⊥AD． ∴∠EAD＝90°． ∴∠ADE＝30°， ∴DE＝2AE． ∵四边形ABCD为菱形． ∴． 在Rt△ADE中，AE2+AD2＝DE2， ∴ ∴AE＝6（负值舍去）． ∵四边形AECF为菱形， ∴菱形AECF的周长为4×6＝24． 20．如图1，直线l1∥l2，直线l3分别交直线l1，l2于点A，B．嘉淇在图1的基础上进行尺规作图，得到如图2． （1）直接写出AB与BC的数量关系，∠ABD与∠CBD的数量关系； （2）猜想四边形ABCD的形状，并证明自己的猜想； （3）若AB＝6，∠ABC＝60°，直接写出四边形ABCD的面积． 【答案】（1）AB＝BC，∠ABD＝∠CBD； （2）四边形ABCD是菱形； （3）． 【解答】解：（1）根据作图可知，AB＝BC，BD是∠ABC的角平分线， ∴∠ABD＝∠CBD； （2）四边形ABCD是菱形，证明如下： ∵l1∥l2， ∴∠ADB＝∠CBD， ∵∠ABD＝∠CBD， ∴∠ABD＝∠ADB， ∴AD＝AB， ∵AB＝BC， ∴AD＝BC， ∵AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AB＝BC， ∴四边形ABCD是菱形； （3）过点A作AH⊥BC，如图所示： ∵AB＝6，∠ABC＝60°， 在Rt△ABH中，∠BAH＝90°﹣60°＝30°， 由勾股定理可知，， ∵四边形ABCD是菱形， ∴BC＝AB＝6， ∴S菱形ABCD． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题21.7 菱形的判定 教学目标 1. 掌握菱形的判定方法，能够熟练的选择合适的判定方法判定菱形。 教学重难点 1. 重点 （1） 菱形的判定。 2. 难点 （1）熟练的选择合适的判定方法判定菱形； （2）能够结合菱形的判定与性质，熟练的解决相应的题目。 知识点02 菱形的判定 1. 菱形的判定： 判定方法 文字语言 数学语言 图形 直接判定 四条边都 的四边形是菱形 ∵AB BC CD AD ∴四边形ABCD是菱形 平行四边形加特殊性 邻边 的平行四边形是菱形 ∵在▱ABCD中，AB=AD ∴四边形ABCD是菱形 对角线 的四边形是菱形 ∵在▱ABCD中，AC⊥BD ∴四边形ABCD是菱形 【即学即练1】 1．要检测一个四边形是不是菱形，下列方案可行的是（　　） A．任选两个角，测量它们的角度 B．测量四条边的长度 C．测量两条对角线的长度 D．测量两条对角线交点到四个顶点的长度 【即学即练2】 2．已知四边形ABCD是平行四边形，下列条件中，能判定▱ABCD为菱形的是（　　） A．∠A＝90° B．∠B＝∠C C．AC⊥BD D．AC＝BD 【即学即练3】 3．如图，添加下列条件不能判定平行四边形ABCD是菱形的是（　　） A．AD＝AB B．AC平分∠BAD C．OA＝OC，OB＝OD D．AC⊥BD 【即学即练4】 4．依据所标数据，下列四边形不一定为菱形的是（　　） A． B． C． D． 【即学即练5】 5．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是边AB、BC的中点，连接DE，过点B作BF∥DE，且BF＝DE，连接EF，求证：四边形BDEF是菱形． 【即学即练6】 6．如图，在平行四边形ABCD中，分别以A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN，分别与AD，BC，AC相交于点E，F，O．连接AF，CE． （1）根据作图过程，判断EF与AC的位置关系是 ； （2）求证：四边形AFCE是菱形． 题型01 熟悉菱形的判定条件 【典例1】欲证明如图四边形为菱形，下列条件中错误的是（　　） A．ABCD，AB＝BC B．AC⊥BD，BO＝OD C．AB＝CD＝BC＝AD D．ABCD，AC⊥BD 【变式1】如图，根据平行四边形中所标注的角的度数、边的长度，能判定其为菱形的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】在实验课上，为判断一个四边形是否为菱形，琪琪用仪器进行了测量，首先测量出两组对边分别相等，然后再测量出_____，最后得到结论：这个四边形是菱形．则横线处应填（　　） A．两组对边分别平行 B．两条对角线垂直 C．两条对角线相等 D．一组邻角相等 题型02 添加菱形的判定条件 【典例1】如图，▱ABCD，对角线AC，BD交于点O，添加下列条件，能使▱ABCD变为菱形的是（　　） A．AB＝AC B．AC＝BD C．∠ABC＝90° D．AC⊥BD 【变式1】如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若增加下列一个条件，不能判定▱ABCD一定为菱形的是（　　） A．AB＝AD B．AC⊥BD C．∠BAC＝∠DAC D．AC＝BD 【变式2】已知四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，下列条件：①AB∥CD；②OA＝OC；③OB＝OD；④AC⊥BD，从以上条件中任选三个，能判定四边形ABCD是菱形的选法有（　　）种． A．1 B．2 C．3 D．4 题型03 菱形的判定证明 【典例1】如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E分别是AB、BC的中点，BF∥DE，EF∥DB．求证：四边形BDEF是菱形． 【变式1】如图，在平行四边形ABCD中，点F在边AD上，AB＝AF，连接BF，点O为BF的中点，AO的延长线交边BC于点E，连接EF． 求证：四边形ABEF是菱形． 【变式2】如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，BD垂直平分AC，点E是OB上一点，且∠AEO＝∠CDO．求证：四边形AECD是菱形． 【变式3】已知：如图，在▱ABCD中，E为BC的中点，EF⊥AC于点G，交AD于点F，AB⊥AC，连接AE，CF．求证： （1）△AGF≌△CGE； （2）四边形AECF是菱形． 题型04 菱形的判定与性质 【典例1】如图，在▱ABCD中，连接AC，AB＝AC，过点D作DE∥AC，交BA的延长线于点E，连接CE交AD于点H． （1）求证：四边形ACDE是菱形； （2）若，BC＝2，求CE的长． 【变式1】如图，△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF． （1）求证：四边形BCFE是菱形； （2）若CE＝2，四边形BCFE的面积为8，求四边形BCFE的周长． 【变式2】如图，▱ABCD对角线AC，BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE＝OC，连接CE，OE，OE＝CD． （1）求证：▱ABCD是菱形； （2）若AB＝2，∠ABC＝60°，求AE的长． 【变式3】课本再现 思考： 我们知道，菱形的对角线互相垂直．反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？ 可以发现并证明菱形的一个判定定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形． （1）定理证明：为了证明该定理，张明同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程． 已知：如图1，在平行四边形ABCD中，对角线BD⊥AC，垂足为O． 求证：平行四边形ABCD是菱形． （2）知识应用：如图2，在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AD＝5，AC＝8，BD＝6． ①求证：平行四边形ABCD是菱形； ②延长BC至点E，连接OE交CD于点F，若，求CE的长． 1．如图，四边形ABCD是平行四边形，要使它成为菱形，那么需要添加的条件是（　　） A．AB＝CD B．AC＝BD C．AB⊥BC D．AC⊥BD 2．下列平行四边形中，根据图中所标出的数据，不一定是菱形的是（　　） A． B． C． D． 3．如图，在△ABC中，点D，E分别为AB，BC的中点，过点E作EF∥AB，交AC于点F，连接AE，则下列条件不能使四边形ADEF为菱形的是（　　） A．AB＝AC B．AE平分∠BAC C．DE＝BE D．AE⊥BC 4．如图，等宽的丝带重叠部分一定是（　　） A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．以上都有可能 5．在四边形ABCD中，AB∥CD，AC与BD相交点O，下列条件不能判定四边形ABCD是菱形的是（　　） A．AB＝BC，∠BAD＝∠BCD B．AB＝CD，∠AOD＝90° C．OA＝OC，∠ABD＝∠CBD D．AC＝BD，AC⊥BD 6．如图，已知平行四边形ABCD，要求利用所学知识在平行四边形ABCD内作一个菱形，甲、乙两位同学的作法分别如下： 甲：连接AC，作AC的中垂线交AD、BC于E、F，则四边形AFCE是菱形． 乙：分别作∠A与∠B的平分线AE、BF，分别交BC于点E，交AD于点F，则四边形ABEF是菱形． 下列判断正确的是（　　） A．甲、乙均正确 B．甲错误，乙正确 C．甲正确，乙错误 D．甲，乙均错误 7．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，若AF＝8，则四边形AEDF的周长是（　　） A．24 B．28 C．32 D．36 8．小美同学按如下步骤作四边形ABCD：①画∠MAN；②以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交AM，AN于点B，D；③分别以点B，D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C；④连接BC，CD，BD．若∠A＝44°，则∠CBD的大小是（　　） A．64° B．66° C．68° D．70° 9．两张全等的矩形纸片ABCD，AECF按如图方式交叉叠放在一起，AB＝AF，AE＝BC．若AB＝2，BC＝6，则图中阴影部分的面积为（　　） A．4 B． C． D．6 10．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD＝DE，连接BE分别交AC，AD于点F，G，连接AE，则下列结论：①AC⊥AE；②△DEG≌△ABG；③OG∥AB；④四边形ABDE是菱形．其中正确的有（　　） A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①②④ 11．在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且OA＝OC，OB＝OD，请你添加一个条件 　 ，使四边形ABCD是菱形． 12．如图，已知线段，分别以点A，B为圆心，以6cm为半径画弧，两弧相交于点C，D，连接AC，BC，AD，BD，则四边形ACBD的面积为　 　 cm2． 13．如图是利用四边形的不稳定性制作的菱形晾衣架．已知其中每个菱形的边长为20cm，∠1＝60°，则在墙上悬挂晾衣加的两个铁钉A，B之间的距离为　 　 cm． 14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，D为斜边AB上一点，以CD、CB为边作▱CDEB，当AD＝ ，▱CDEB为菱形． 15．如图，在▱ABCD中，∠B＝60°，AB＝6cm，BC＝12cm．点P从点A出发，以1cm/s的速度沿A→D运动，同时点Q从点C出发，以3cm/s的速度沿C→B→C→…往复运动，当点P到达端点D时，点Q随之停止运动，在此运动过程中，四边形PQCD是平行四边形出现　 　 次．当P出发　 　 秒时，四边形PQCD是菱形． 16．如图，点E、F分别为平行四边形ABCD的边AD、CD上的点，AE＝CF，连接BE、BF，∠ABE＝∠CBF，求证：四边形ABCD是菱形． 17．如图，△ABC中，点D是AB上一点，点E是AC的中点，过点C作CF∥AB，交DE的延长线于点F．连接AF，CD． （1）求证：AF＝CD； （2）如果点D是AB的中点，请直接写出当AC与BC满足什么条件时，四边形ADCF是菱形． 18．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，延长CD至点E，使得CE＝2BC，连接BE交AD边于点F，点D、F分别是CE、BE的中点，． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若AC＝6，OB+BC＝9，求四边形ABCD的面积． 19．小颖新房买了一盏简单而精致的吊灯（图1），其正面的平面图如图2所示，四边形ABCD是一个菱形外框架，对角线AC，BD相交于点O，四边形AECF是其内部框架，且点E、F在BD上，BE＝DF． （1）求证：四边形内部框架AECF为菱形． （2）若AE⊥AD，F为DE的中点，，求四边形AECF的周长． 20．如图1，直线l1∥l2，直线l3分别交直线l1，l2于点A，B．嘉淇在图1的基础上进行尺规作图，得到如图2． （1）直接写出AB与BC的数量关系，∠ABD与∠CBD的数量关系； （2）猜想四边形ABCD的形状，并证明自己的猜想； （3）若AB＝6，∠ABC＝60°，直接写出四边形ABCD的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $