专题21.6 菱形的性质（高效培优讲义）数学新教材人教版八年级下册

专题21.6 菱形的性质 教学目标 1. 熟悉菱形的定义，掌握菱形的性质，并能够熟练地应用性质。 教学重难点 1. 重点 （1） 菱形的性质。 2. 难点 （1）利用菱形的性质求线段的长度与角的度数； （2）菱形的性质结合平面直角坐标系求点的坐标； （3）注意区分菱形的性质与矩形的性质。 知识点01 菱形的定义与性质 1. 菱形的概念： 有一组邻边 的平行四边形是菱形。 2. 菱形的性质： （1）菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形所有的性质。 特殊性： （2）边的特殊性：四条边都 。 即：AB BC CD AD （3）对角线的特殊性：对角线相互 且 每一组对角。 即：AC BD，且∠DAC ∠BAC ∠DCA ∠BCA， ∠ADB ∠CDB ∠ABD ∠CBD。 （4） 面积计算：等于对角线乘积的一半。即。 （5） 对称性：既是中心对称图形，也是轴对称图形。 【即学即练1】 1．下列性质中菱形一定具有的是（　　） A．对角线相等 B．有一个角是直角 C．对角线互相垂直 D．四个角相等 【即学即练2】 2．下列结论中，菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（　　） A．对边相等 B．对角线相等 C．四条边相等 D．对角线互相平分 【即学即练3】 3．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是BC的中点．若AC＝6，BD＝8，则OE的长是（　　） A．3 B．4 C．2.4 D．2.5 【即学即练4】 4．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连接BF，则∠BFC的度数为（　　） A．90° B．80° C．70° D．60° 【即学即练5】 5．如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的顶点D在x轴上，若点A的坐标为，则C点的坐标为（　　） A．（0，﹣1） B．（0，﹣1.5） C．（0，﹣2） D．（﹣2，0） 【即学即练6】 6．如图，菱形ABCD中，作BE⊥AD、CF⊥AB，分别交AD、AB的延长线于点E、F． （1）求证：AE＝BF； （2）若点E恰好是AD的中点，AB＝6，求BE的值． 题型01 利用菱形的性质求线段 【典例1】如图，在周长为20的菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O．已知AC＝6，则BD的长为（　　） A．4 B．3 C．8 D．14 【变式1】如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC＝2，BD＝4，则该菱形的周长是（　　） A．4 B．8 C．4 D．16 【变式2】如图，在菱形ABCD中，AC交BD于O，DH⊥AB于H，连接OH，AC＝16，AB＝10，则OH＝（　　） A．2.4 B．4.8 C．9.6 D．6 【变式3】如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E是BC的中点，F是DE上一点且满足BF⊥CF，则（　　） A． B． C． D． 题型02 利用菱形的性质求角度 【典例1】如图，BD是菱形ABCD的对角线，点E在BD上，过点E作EF∥BC交CD边于点F，如果∠ABC＝50°，那么∠DEF的度数为（　　） A．25° B．30° C．35° D．40° 【变式1】如图，在菱形ABCD中，点E是边AB上一点，连接DE、CE，DE＝AD，若∠A＝72°，则∠DEC的度数（　　） A．54° B．72° C．50° D．48° 【变式2】如图，在菱形ABCD中，点E在对角线BD上，且AB⊥AE，若∠ABC＝40°，则∠AEB的度数为　 　 ． 【变式3】如图，在菱形ABCD中，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，点E为垂足，连接DF．若∠BAD＝α，则∠CDF为（　　） A．α B． C． D．180°﹣2α 题型03 利用菱形的性质求坐标 【典例1】如图，已知点A的坐标为，点B的坐标为，菱形ABCD的对角线交于坐标原点O，则C，D两点的坐标分别为（　　） A． B． C． D． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD中，AB＝4，∠ABC＝45°，点D在y轴上，则点A的坐标为（　　） A． B． C． D． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点B在x轴上，连接AC，交x轴于点D，若OB＝8，AD＝3，则点C的坐标为（　　） A．（3，﹣4） B．（﹣3，4） C．（4，﹣3） D．（﹣4，3） 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，3），B（5，3），线段AB平移后得到线段A′B′，点A，B的对应点分别为点A′，B′，若四边形AA′B′B是菱形，且点A′在x轴正半轴上，则点B′的坐标为（　　） A．（5，0） B．（8，0） C．（9，0） D． 1．菱形不具有的性质是（　　） A．对角相等 B．对边平行 C．对角线互相垂直 D．对角线相等 2．菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（　　） A．两组对边分别相等 B．两组对边分别平行 C．对角线互相垂直 D．有一个角是直角 3．菱形的对角线长分别为10cm，8cm，则此菱形的周长为（　　） A．12cm B． C．4cm D．24cm 4．在菱形ABCD中如图，∠ABC＝80°，BA＝BE，则∠BAE＝（　　） A．75° B．70° C．40° D．30° 5．如图，四边形ABCD为菱形，点A、B、C、D在坐标轴上，A（2，0），AB＝3，则菱形ABCD的面积等于（　　） A． B． C． D．12 6．如图，在菱形ABCD中，连接BD，过点D作DE⊥AB于点E，若∠BDE＝35°，则∠ADC的度数为（　　） A．95° B．100° C．110° D．120° 7．如图，菱形ABCD的对角线交于点O，过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于点E，连接OE．若OB＝3，，则菱形ABCD的面积为（　　） A． B． C． D．9 8．如图，菱形ABCD沿对角线AC的方向平移到菱形A'B′C′D′的位置，点A′恰好是AC的中点．若菱形ABCD的边长为2，∠BCD＝60°，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C．1 D． 9．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝120cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．当四边形AEFD是菱形时，t的值为（　　） A．20秒 B．18秒 C．12秒 D．6秒 10．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，对角线AC，BD相交于点O，P是对角线BD上的一动点，且PM⊥AB于点M，PN⊥AD于点N．有以下结论：①△ABC为等边三角形；②OBOA；③∠MPN＝60°； ④PM+PNBD．其中正确的有（　　）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若∠BAD＝60°，，则对角线BD的长 　 　 ． 12．菱形OACB在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A的坐标是（4，2），则点B的坐标是　 　 ． 13．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝12，OH＝5，则S菱形ABCD＝ ． 14．如图，四边形ABCD是菱形，点P为AD边上一动点（不与点A，D重合），PE⊥AC于点E，PF⊥DB于点F．若AC＝6，BD＝12，则EF的最小值为 　 ． 15．如图，在菱形ABCD中，点P在对角线BD上，过点P作PH⊥AB于点H，且DP＝BH，连接CP，若∠ABC＝120°，BC＝3，则CP的长为　 　 ． 16．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，延长AC、CA至点F、E，连接DE、DF，DE＝DF．求证：AE＝CF． 17．如图，已知点A的坐标为，点B的坐标为，菱形ABCD的对角线交于坐标原点O． （1）求C，D两点的坐标； （2）求菱形ABCD的面积． 18．如图，将两块完全相同的含有30°角的直角三角尺ABC、DEF在同一平面内按如图方式摆放，其中点A、E、B、D在同一直线上，连接AF、CD．（1）试判断四边形ACDF的形状，并说明理由； （2）已知BC＝2，若四边形ACDF是菱形，求AD的长． 19．图1是一种利用了四边形不稳定性设计的千斤顶．如图2所示，该千斤顶的基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变∠ADC的大小（菱形的边长不变），从而改变千斤顶的高度（即A，C之间的距离）．已知AB＝36cm． （1）当∠ADC＝60°时，求千斤顶高AC的长度； （2）当∠ADC从60°变为120°时，千斤顶升高了多少？ 20．如图，在△ABC中，点D、E分别是边BC、AC的中点，过点A作AF∥BC交DE的延长线于F点，连接AD、CF，过点D作DG⊥CF于点G． （1）求证：四边形ADCF是平行四边形． （2）若AB＝6，BC＝10，若四边形ADCF是菱形，求DG的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题21.6 菱形的性质 教学目标 1. 熟悉菱形的定义，掌握菱形的性质，并能够熟练地应用性质。 教学重难点 1. 重点 （1） 菱形的性质。 2. 难点 （1）利用菱形的性质求线段的长度与角的度数； （2）菱形的性质结合平面直角坐标系求点的坐标； （3）注意区分菱形的性质与矩形的性质。 知识点01 菱形的定义与性质 1. 菱形的概念： 有一组邻边 相等 的平行四边形是菱形。 2. 菱形的性质： （1）菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形所有的性质。 特殊性： （2）边的特殊性：四条边都 相等 。 即：AB = BC = CD = AD （3）对角线的特殊性：对角线相互 垂直 且 平分 每一组对角。 即：AC ⊥ BD，且∠DAC ＝ ∠BAC ＝ ∠DCA ＝ ∠BCA， ∠ADB ＝ ∠CDB ＝ ∠ABD ＝ ∠CBD。 （4） 面积计算：等于对角线乘积的一半。即。 （5） 对称性：既是中心对称图形，也是轴对称图形。 【即学即练1】 1．下列性质中菱形一定具有的是（　　） A．对角线相等 B．有一个角是直角 C．对角线互相垂直 D．四个角相等 【答案】C 【解答】解：∵菱形的对角线互相平分且垂直，矩形的对角线相等且互相平分， ∴菱形具有而矩形不一定具有的是两条对角线互相垂直． 故选：C． 【即学即练2】 2．下列结论中，菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（　　） A．对边相等 B．对角线相等 C．四条边相等 D．对角线互相平分 【答案】C 【解答】解：A、对边相等是平行四边形与菱形均具有的性质，不符合题意； B、对角线相等既不是菱形的性质，也不是平行四边形的性质，不符合题意； C、四条边相等是菱形性质，不是平行四边形性质，符合题意； D、对角线互相平分是平行四边形与菱形均具有的性质，不符合题意； 故选：C． 【即学即练3】 3．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是BC的中点．若AC＝6，BD＝8，则OE的长是（　　） A．3 B．4 C．2.4 D．2.5 【答案】D 【解答】解：由菱形的性质可得，OAAC＝3，OBBD＝4，∠AOB＝90°， ∴AB5， ∵O是AC的中点，E是BC的中点， ∴OE是△ABC的中位线， ∴OEAB＝2.5， 故选：D． 【即学即练4】 4．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连接BF，则∠BFC的度数为（　　） A．90° B．80° C．70° D．60° 【答案】B 【解答】解：∵在菱形ABCD中，∠BAD＝80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F， ∴，AF＝FB， ∴∠BAF＝∠FBA＝40°， ∴∠AFB＝180°﹣∠BAF﹣∠BFA＝100°， ∴∠BFC＝180°﹣∠AFB＝80°， 故选：B． 【即学即练5】 5．如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的顶点D在x轴上，若点A的坐标为，则C点的坐标为（　　） A．（0，﹣1） B．（0，﹣1.5） C．（0，﹣2） D．（﹣2，0） 【答案】C 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC， ∴AD⊥OD， ∵， ∴，AD＝3， ∵四边形ABCD是菱形， ∴CD＝AD＝3， 在Rt△ODC中，， ∴C（0，﹣1）， 故选：C． 【即学即练6】 6．如图，菱形ABCD中，作BE⊥AD、CF⊥AB，分别交AD、AB的延长线于点E、F． （1）求证：AE＝BF； （2）若点E恰好是AD的中点，AB＝6，求BE的值． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解答】（1）证明：四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC，AD∥BC， ∴∠A＝∠CBF， ∵BE⊥AD、CF⊥AB， ∴∠AEB＝∠BFC＝90°， 在△AEB和△BFC中， ， ∴△AEB≌△BFC（AAS）， ∴AE＝BF； （2）解：∵E是AD中点，且BE⊥AD， ∴直线BE为AD的垂直平分线， ∴AB＝BD＝6， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD＝6， ∴△ABD是等边三角形， ∴∠A＝60°， ∴∠ABE＝90°﹣∠A＝30°， ∴， ∴． 题型01 利用菱形的性质求线段 【典例1】如图，在周长为20的菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O．已知AC＝6，则BD的长为（　　） A．4 B．3 C．8 D．14 【答案】C 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，且菱形ABCD的周长为20， ∴AC⊥BD，AD＝DC＝CB＝BA＝5， ∵AC＝6， ∴AO＝3， ∴， ∴BD＝8． 故选：C． 【变式1】如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC＝2，BD＝4，则该菱形的周长是（　　） A．4 B．8 C．4 D．16 【答案】C 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，且AC＝2，BD＝4， ∴OAAC＝1，OBBD＝2，AC⊥BD， ∴△OAB是直角三角形， 在Rt△OAB中，由勾股定理得：AB， ∴该菱形的周长为：4AB． 故选：C． 【变式2】如图，在菱形ABCD中，AC交BD于O，DH⊥AB于H，连接OH，AC＝16，AB＝10，则OH＝（　　） A．2.4 B．4.8 C．9.6 D．6 【答案】D 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝16， ∴OA＝OCAC＝8，OB＝OD，AC⊥DB， ∴∠AOB＝90°， ∴OB6， ∴BD＝2OB＝12， ∵DH⊥AB， ∴∠DHB＝90°， ∴OHBD＝6， 故选：D． 【变式3】如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E是BC的中点，F是DE上一点且满足BF⊥CF，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：过点D作DH⊥BC，交BC的延长线于点H，如图所示： ∴∠H＝90°， ∴△DCH和△DEH都是直角三角形， ∵E是BC的中点， ∴设BE＝CE＝a， ∴BC＝BE+CE＝2a， ∵四边形ABCD是菱形， ∴CD＝BC＝2a，AB∥CD， ∵∠ABC＝60°， ∴∠DCH＝∠ABC＝60°， 在Rt△DCH中，∠CDH＝90°﹣∠DCH＝30°， ∴CHCD＝a， 由勾股定理得：DH， 在Rt△DEH中，EH＝CE+CH＝2a， 由勾股定理得：DE， ∵BF⊥CF， ∴∠BFC＝90°， ∴△BFC是直角三角形， ∵E是BC的中点， ∴EF是Rt△BFC的斜边BC上的中线， ∴EFBC＝a， ∴． 故选：C． 题型02 利用菱形的性质求角度 【典例1】如图，BD是菱形ABCD的对角线，点E在BD上，过点E作EF∥BC交CD边于点F，如果∠ABC＝50°，那么∠DEF的度数为（　　） A．25° B．30° C．35° D．40° 【答案】A 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴∠DBC∠ABC， ∵∠ABC＝50°， ∴， ∵EF∥BC， ∴∠DEF＝∠DBC＝25°． 故选：A． 【变式1】如图，在菱形ABCD中，点E是边AB上一点，连接DE、CE，DE＝AD，若∠A＝72°，则∠DEC的度数（　　） A．54° B．72° C．50° D．48° 【答案】A 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝CD，CD∥AB， ∵DE＝AD，∠A＝72°， ∴DE＝CD，∠A＝∠DEA＝72°， ∵CD∥AB， ∴∠CDE＝∠DEA＝72°， ∵DE＝DC， ∴∠DEC＝∠DCE（180°﹣72°）＝54°， 故选：A． 【变式2】如图，在菱形ABCD中，点E在对角线BD上，且AB⊥AE，若∠ABC＝40°，则∠AEB的度数为　70°　 ． 【答案】70°． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴BD判定平分∠ABC， ∴∠ABE∠ABC40°＝20°， ∵AB⊥AE， ∴∠BAE＝90°， ∴∠AEB＝90°﹣∠ABE＝70°． 故答案为：70°． 【变式3】如图，在菱形ABCD中，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，点E为垂足，连接DF．若∠BAD＝α，则∠CDF为（　　） A．α B． C． D．180°﹣2α 【答案】C 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴∠DCF＝∠BCF，CD＝CB，，∠BAD+∠ABD＝180°， 在△BCF和△DCF中， ， ∴△BCF≌△DCF（SAS）， ∴∠CBF＝∠CDF， ∵FE垂直平分AB，， ∴， ∵∠ABC＝180°﹣∠BAD＝180°﹣α， ∴， ∴． 故选：C． 题型03 利用菱形的性质求坐标 【典例1】如图，已知点A的坐标为，点B的坐标为，菱形ABCD的对角线交于坐标原点O，则C，D两点的坐标分别为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：∵四边形ABCD为菱形， ∴OB＝OD，OA＝OC， 又∵点O为坐标原点， ∴点B和点D关于原点对称，点A和点C关于原点对称， ∵点B的坐标为，点A的坐标为， ∴D点坐标为．C点坐标为， 故选：B． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD中，AB＝4，∠ABC＝45°，点D在y轴上，则点A的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：∵菱形ABCD中，AB＝4，∠ABC＝45°， ∴AB∥CD，AB＝CD＝AD＝4（菱形的性质）， ∴∠DCO＝∠ABC＝45°（两直线平行，同位角相等）， 又∵∠DOC＝90°， ∴ODDC4＝2， ∴， 故选：A． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点B在x轴上，连接AC，交x轴于点D，若OB＝8，AD＝3，则点C的坐标为（　　） A．（3，﹣4） B．（﹣3，4） C．（4，﹣3） D．（﹣4，3） 【答案】C 【解答】解：∵菱形OABC的顶点B在x轴上，AC交x轴于点D，OB＝8，AD＝3， ∴，DC＝AD＝3， ∴点C的坐标为（4，﹣3）， 故选：C． 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，3），B（5，3），线段AB平移后得到线段A′B′，点A，B的对应点分别为点A′，B′，若四边形AA′B′B是菱形，且点A′在x轴正半轴上，则点B′的坐标为（　　） A．（5，0） B．（8，0） C．（9，0） D． 【答案】C 【解答】解：根据题意，画出图形如下： ∵A（0，3），B（5，3）， ∴AB∥x轴，OA＝3，AB＝5， 由平移的性质得：A′B′∥AB，A′B′＝AB＝5， ∵四边形AA′B′B是菱形，且点A′在x轴正半轴上， ∴点B′也在x轴正半轴上，AA′＝AB＝5， 在Rt△AOA′中，由勾股定理得：OA′4， ∴OB′＝OA′+A′B′＝4+5＝9， ∴点B′的坐标为（9，0）， 故选：C． 1．菱形不具有的性质是（　　） A．对角相等 B．对边平行 C．对角线互相垂直 D．对角线相等 【答案】D 【解答】解：∵菱形不具有的性质是对角线相等， ∴选项D符合题意， 故选：D． 2．菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（　　） A．两组对边分别相等 B．两组对边分别平行 C．对角线互相垂直 D．有一个角是直角 【答案】C 【解答】解：根据菱形的性质、平行四边形的性质分别判定： A、菱形、平行四边形的两组对边都相等，不符合题意； B、菱形、平行四边形的两组对边都平行，不符合题意； C、菱形的对角线互相垂直，一般平行四边形对角线不互相垂直，符合题意； D、菱形、平行四边形不一定都有一个角是直角，不符合题意； 故选：C． 3．菱形的对角线长分别为10cm，8cm，则此菱形的周长为（　　） A．12cm B． C．4cm D．24cm 【答案】C 【解答】解：如图，∵菱形的两条对角线长分别为10cm，8cm， ∴AO＝4cm，BO＝5cm， 在Rt△AOB中，根据勾股定理，ABcm， 所以，周长4＝4（cm．）． 故选：C． 4．在菱形ABCD中如图，∠ABC＝80°，BA＝BE，则∠BAE＝（　　） A．75° B．70° C．40° D．30° 【答案】B 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴， ∵BA＝BE， ∴∠BAE＝∠BEA， 在△ABE中， ∴， 故选：B． 5．如图，四边形ABCD为菱形，点A、B、C、D在坐标轴上，A（2，0），AB＝3，则菱形ABCD的面积等于（　　） A． B． C． D．12 【答案】B 【解答】解：∵四边形ABCD为菱形， ∴，∠AOB＝90°， ∵A（2，0）， ∴AO＝2，AC＝4， ∵AB＝3， ∴， ∴， ∴菱形ABCD的面积为：， 故选：B． 6．如图，在菱形ABCD中，连接BD，过点D作DE⊥AB于点E，若∠BDE＝35°，则∠ADC的度数为（　　） A．95° B．100° C．110° D．120° 【答案】C 【解答】解：∵DE⊥AB， ∴∠DEB＝90°． ∵∠BDE＝35°， ∴∠ABD＝90°﹣∠BDE＝90°﹣35°＝55°． ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠ABC＝∠ADC，， ∴∠ABC＝2∠ABD＝2×55°＝110°， ∴∠ADC＝∠ABC＝110°． 故选：C． 7．如图，菱形ABCD的对角线交于点O，过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于点E，连接OE．若OB＝3，，则菱形ABCD的面积为（　　） A． B． C． D．9 【答案】B 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，OB＝3，， ∴BD＝2OB＝6，AO＝CO， ∵CE⊥AB， ∴∠AEC＝90°， ∴， ∴菱形ABCD的面积， 故选：B． 8．如图，菱形ABCD沿对角线AC的方向平移到菱形A'B′C′D′的位置，点A′恰好是AC的中点．若菱形ABCD的边长为2，∠BCD＝60°，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C．1 D． 【答案】B 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AD＝2＝CD，∠DCA∠BCD＝30°， ∴A'D＝1，A'CDA'， ∴菱形ABCD的面积＝4A'D×A'C＝2， 如图， 由平移的性质得，▱ABCD∽▱A'ECF，且A'CAC， ∴四边形A'ECF的面积是▱ABCD面积的， ∴阴影部分的面积， 故选：B． 9．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝120cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．当四边形AEFD是菱形时，t的值为（　　） A．20秒 B．18秒 C．12秒 D．6秒 【答案】A 【解答】解：由题意CD＝4t，AE＝2t， ∵DF⊥BC于F， ∴∠DFC＝90° 在Rt△DFC中，∵∠C＝30°， ∴DFCD＝2t， ∴DF＝AE， ∵∠CFD＝∠B＝90°， ∴DF∥AE， ∴四边形DFEA是平行四边形， ∴当DF＝AD时，四边形DFEA是菱形． ∴120﹣4t＝2t， ∴t＝20s， ∴t＝20s时，四边形DFEA是菱形． 故选：A． 10．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，对角线AC，BD相交于点O，P是对角线BD上的一动点，且PM⊥AB于点M，PN⊥AD于点N．有以下结论：①△ABC为等边三角形；②OBOA；③∠MPN＝60°； ④PM+PNBD．其中正确的有（　　）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【解答】解：在菱形ABCD中，AB＝BC， ∵∠ABC＝60°， ∴△ABC为等边三角形，故①正确； ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，∠ABO＝∠CBO＝30°， ∴OBOA，故②正确； ∵PM⊥AB，PN⊥AD， ∴∠AMP＝∠ANP＝90°， ∵AD∥BC，∠ABC＝60°， ∴∠BAD＝120°， ∴∠MPN＝60°，故③正确； 如图，延长NP交BC于点G， ∵AD∥BC，PN⊥AD， ∴PG⊥BC， ∵PM⊥AB，BP平分∠ABC， ∴PM＝PG， ∴PM+PN＝PG+PN＝NG， ∵∠PBG＝∠PDN＝30°， ∴PB＝2PG，PD＝2PN， ∴PM+PN＝PG+PNPBPD（PB+PD）BD， ∴PM+PNBD，故④正确， 综上所述：正确的有4个． 故选：D． 11．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若∠BAD＝60°，，则对角线BD的长 　8　 ． 【答案】8． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，且对角线AC，∠BAD＝60°， ∴OAAC，OD＝OB，AC⊥BD，∠OAB∠BAD＝30°， ∴△OAB是直角三角形， 在Rt△OAB中，tan∠OAB， ∴OB＝OA•tan∠OAB4， ∴OD＝OB＝4， ∴BD＝OD+OB＝8． 故答案为：8． 12．菱形OACB在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A的坐标是（4，2），则点B的坐标是　（4，﹣2）　 ． 【答案】（4，﹣2）． 【解答】解：如图，四边形OACB是菱形，连接AB，交OC于点D， ∴AB⊥OC，AD＝BD， ∵点A的坐标是（4，2）， ∴OD＝4，AD＝2， ∴BD＝AD＝2， ∵点B在第四象限， ∴点B（4，﹣2）， 故答案为：（4，﹣2）． 13．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝12，OH＝5，则S菱形ABCD＝ 　120　 ． 【答案】120． 【解答】解：∵菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O， ∴点O为BD的中点，AC＝2OA＝24， ∵DH⊥AB， ∴BD＝2OH＝10， ∴， 故答案为：120． 14．如图，四边形ABCD是菱形，点P为AD边上一动点（不与点A，D重合），PE⊥AC于点E，PF⊥DB于点F．若AC＝6，BD＝12，则EF的最小值为　　 ． 【答案】． 【解答】解：连接OP，作OH⊥AB于点H， ∵四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O， ∴AC⊥BD，OA＝OCAC6＝3，OB＝ODBD12＝6， ∴∠AOB＝90°， ∴AB3， ∵AB•OHOA•OD＝S△AOB， ∴3OH3×6， 解得OH， ∵PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F， ∴∠PEO＝∠PFO＝∠EOF＝90°， ∴四边形PEOF是矩形， ∴EF＝OP， ∴OP≥OH， ∴EF， ∴EF的最小值为， 故答案为：． 15．如图，在菱形ABCD中，点P在对角线BD上，过点P作PH⊥AB于点H，且DP＝BH，连接CP，若∠ABC＝120°，BC＝3，则CP的长为　　 ． 【答案】． 【解答】解：在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，AB＝BC＝AD＝3， 则， ∴△ABD为等边三角形， ∴BD＝AB＝3， 设BH＝x，则DP＝BH＝x， ∵过点P作PH⊥AB于点H， ∴∠PHB＝90°， 在Rt△PBH中，∠BPH＝30°，∠PHB＝90°， ∴BP＝2BH＝2x， 由BD＝BP+DP， 得3＝2x+x， 解得x＝1， 故BP＝2，DP＝1， 过P作PM⊥DC于点M， ∵CD∥AB， ∴∠CDP＝∠DBA＝60°， 在Rt△PMD中，∠DPM＝30°，∠PMD＝90°， ∴， 在Rt△PMD中，∠PMD＝90°，由勾股定理可得： ， ， 在Rt△PMC中，∠PMC＝90°，由勾股定理可得： ∴若∠ABC＝120°，BC＝3，则． 故答案为：． 16．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，延长AC、CA至点F、E，连接DE、DF，DE＝DF．求证：AE＝CF． 【答案】见解析． 【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴DC＝AD， ∴∠ACD＝∠CAD， ∴180°﹣∠CAD＝180°﹣∠ACD，即∠EAD＝∠FCD， ∵DE＝DF， ∴∠E＝∠F， 在△AED和△CFD中， ， ∴△AED≌△CFD（AAS）， ∴AE＝CF． 17．如图，已知点A的坐标为，点B的坐标为，菱形ABCD的对角线交于坐标原点O． （1）求C，D两点的坐标； （2）求菱形ABCD的面积． 【答案】（1），； （2）16． 【解答】解：（1）∵菱形ABCD的对角线交于坐标原点O．点A的坐标为，点B的坐标为， ∴点C和点A关于原点O对称，点D和点B关于原点O对称， ∴，﹣2），D（1，； （2）∵A，B，，﹣2），D（1，， ∴，， ∴菱形ABCD的面积AC•BD＝16． 18．如图，将两块完全相同的含有30°角的直角三角尺ABC、DEF在同一平面内按如图方式摆放，其中点A、E、B、D在同一直线上，连接AF、CD．（1）试判断四边形ACDF的形状，并说明理由； （2）已知BC＝2，若四边形ACDF是菱形，求AD的长． 【答案】（1）四边形ACDF是平行四边形，理由如下见解析； （2）6． 【解答】解：（1）四边形ACDF是平行四边形，理由如下： ∵△ACB≌△DFE， ∴AC＝DF，∠CAB＝∠FDE， ∴AC∥DF， ∴四边形ACDF是平行四边形； （2）解：连接CF交AD于O， ∵∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，BC＝2， ∴ACBC＝2， ∵四边形ACDF是菱形， ∴CF⊥AD，AD＝2AO， ∴∠AOC＝90°， ∴AOAC23， ∴AD＝2AO＝6． 19．图1是一种利用了四边形不稳定性设计的千斤顶．如图2所示，该千斤顶的基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变∠ADC的大小（菱形的边长不变），从而改变千斤顶的高度（即A，C之间的距离）．已知AB＝36cm． （1）当∠ADC＝60°时，求千斤顶高AC的长度； （2）当∠ADC从60°变为120°时，千斤顶升高了多少？ 【答案】（1）36cm； （2）． 【解答】解：（1）如图，四边形ABCD是菱形，连接AC，交BD于点O．AB＝36cm， ∴DB平分∠ADC，AC⊥BD，AC＝2AO，AD＝CD＝AB＝BC＝36cm， 当∠ADC＝60°时，△ACD是等边三角形， ∴AC＝AD＝CD＝36cm； （2）当∠ADC＝120°时， ∵DB平分∠ADC，AC⊥BD， ∴． 在Rt△ADO中，ODAD＝18cm， 由勾股定理得：AO18cm， ∴AC＝2AO＝36cm， ∴千斤顶升高了． 20．如图，在△ABC中，点D、E分别是边BC、AC的中点，过点A作AF∥BC交DE的延长线于F点，连接AD、CF，过点D作DG⊥CF于点G． （1）求证：四边形ADCF是平行四边形． （2）若AB＝6，BC＝10，若四边形ADCF是菱形，求DG的值． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解答】（1）证明：∵点D、E分别是边BC、AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线，BD＝CD， ∴DE∥AB， ∵AF∥BC， ∴四边形ABDF是平行四边形， ∴AF＝BD， ∴AF＝DC， ∵AF∥BC， ∴四边形ADCF是平行四边形； （2）解：∵四边形ADCF是菱形， ∴AC⊥DF，AD＝CD＝CF， ∴， ∵CD＝BD， ∴AD＝CD＝BD， ∴∠ABD＝∠DAB，∠ACD＝∠DAC， ∵∠ABD+∠DAB+∠ACD+∠DAC＝180°， ∴∠BAC＝∠DAB+∠DAC＝90°， ∴， 由（1）可知，四边形ABDF是平行四边形， ∴DF＝AB＝6， ∵DG⊥CF， ∴， 即， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $