专题21.4 矩形的性质（高效培优讲义）数学新教材人教版八年级下册

专题21.4 矩形的性质 教学目标 1. 理解矩形的定义，掌握矩形的性质并能够熟练应用； 2. 理解掌握直角三角形斜边上的中线的性质并能够熟练的应用。 教学重难点 1. 重点 （1） 矩形的定义及其性质； （2） 直角三角形斜边的中线的性质。 2. 难点 （1）利用矩形的性质求线段的长度和角的度数； （2）矩形的性质结合平面直角坐标系求点的坐标； （3）直角三角形的斜边的中线的性质的应用。 知识点01 矩形的定义与性质 1. 矩形的定义： 有一个角是 的平行四边形是矩形。矩形也就是长方形。 2. 矩形的性质： （1）矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的一切性质。 特殊性质： （2）边的特殊性：邻边 。 （3）角的特殊性：四个角都是 。 （4）对角线的特殊性：对角线 。即对角线 。 即：AC BD，OA OB OC OD。 由此可得：△OAB，△OBC，△OCD，△OAD均是 。 （5）面积：等于任意一组 的乘积。 （6）对称性：既是中心对称图形，也是轴对称图形。 【即学即练1】 1．矩形不具有的性质是（　　） A．对边平行且相等 B．对角线相等 C．四角相等 D．对角线互相垂直 【即学即练2】 2．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，M，N分别为BC，OC的中点，若AO＝4，则MN的长为（　　） A．4 B．2 C．8 D．6 【即学即练3】 3．如图，在矩形ABCD中，O是对角线BD的中点，E，F分别是BC，AD上的点，且AF＝BE＝1．若AB＝3，BC＝4，则OE+OF的长为（　　） A． B．2 C． D． 【即学即练4】 4．如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连接AE，若∠ADB＝40°，则∠E的度数是（　　） A．20° B．25° C．30° D．35° 【即学即练5】 5．将矩形ABCD如图放置，若点B的坐标是（﹣4，6），点C的坐标是（﹣2，0），点D的坐标是（10，4），则点A的坐标是 ． 知识点02 直角三角形斜边上的中线 1. 直角三角形斜边的中线的性质： 由矩形的对角线的性质可知：直角三角形斜边上的中线等于斜边的 。 几何语言：在Rt ABC三角形中，∠ACB＝90°，点D是AB边的中点，则 【即学即练1】 6．如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝6，BC＝8，则EF的长为（　　） A．1 B．2 C．1.5 D．2.5 【即学即练2】 7．如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点，EF＝8，BC＝20，△EFM的周长是（　　） A．26 B．28 C．30 D．32 题型01 利用矩形的性质求线段 【典例1】如图，在矩形ABCD中，已知AE⊥BD于E，∠BDC＝60°，BE＝1，则AD的长为（　　） A． B． C．2 D． 【变式1】如图，把两个全等的矩形ABCD和矩形CEFG拼成如图所示的图案，点D在CG上，已知矩形的长BC为3，宽AB为2，则AF的长为（　　） A． B．5 C． D．6 【变式2】如图，矩形OABC在平面直角坐标系内，点B的坐标为（1，3），则对角线AC的长为（　　） A．4 B． C． D． 【变式3】如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，BC上的点，且AE＝2BE，BF＝2CF，连接EC，FD，M，N分别是EC，FD的中点，连接MN，若AB＝6，BC＝9，则MN的长为（　　） A． B． C． D．2 【变式3】如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，P是AD上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足为E，F．求PE+PF的值为（　　） A． B．2.5 C． D． 题型02 利用矩形的性质求角度 【典例1】如图，在矩形ABCD中，AC、BD交于点O，∠AOD＝110°，则∠OAD大小是（　　） A．55° B．35° C．45° D．20° 【变式1】如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DE⊥AC于点E，若∠COD＝50°，则∠CDE的度数为（　　） A．25° B．30° C．35° D．50° 【变式2】有一长方形纸片ABCD，如图，点P在线段BC上，点E在线段AB上，将长方形纸片沿着EP翻折，使点B落在点B'处，如果∠BPE与∠B′PC之差的绝对值等于60°，即|∠BPE﹣∠B'PC|＝60°，那么∠BPE＝　 　 ． 【变式3】如图，在矩形ABCD中，∠ABD＝48°，P为AD边上一点，连接BP，作△PBA关于BP对称的△PBE，点F与点E关于BD对称．设∠ABP＝x°，若点F在△PBD内（不包括边界），则x的取值范围是（　　） A．21＜x＜24 B．24＜x＜32 C．24＜x＜42 D．42＜x＜48 题型03 利用矩形的性质求坐标 【典例1】如图，以长方形ABCD的边CD所在的直线为x轴，以边CD的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系．若点A的坐标为（2，1），则点C的坐标为（　　） A．（﹣2，0） B．（0，﹣2） C．（2，0） D．（﹣2，﹣1） 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，矩形OBCD的OB，OD两边分别与两坐标轴的正半轴重合，对角线OC，BD相交于点E．若∠OED＝60°，OD＝2，则点E的坐标为（　　） A．（2，1） B． C．（1，2） D． 【变式2】在平面直角坐标系中，一个长方形的三个顶点坐标分别为（﹣2，0）、（﹣2，1）、（0，0），则第四个顶点的坐标为（　　） A．（0，1） B．（1，0） C．（1，1） D．（﹣2，﹣1） 【变式3】如图，矩形OABC的顶点O，A，C的坐标分别是（0，0），（3，0），（0，2），▱OADE与矩形OABC周长相等，▱OADE的面积是矩形OABC面积的一半，则点D的坐标为（　　） A． B． C．（5，1） D． 题型04 直角三角形斜边的中线 【典例1】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，且AD＝6，则BC的长是（　　） A．3 B．6 C．9 D．12 【变式1】如图，在矩形ABCD中，AE平分∠BAD交CD于点E，连接BE，点F为BE的中点，连接CF，若AB＝3，AD＝2，则CF的长为（　　） A． B． C． D． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOC的斜边OA在第一象限，过点A作AB⊥x轴于点B，若AB＝3，OB＝4，点E为OA的中点，则CE＝ 　 ． 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，1）、点B（0，1+t）、C（0，1﹣t）（t＞0），点P在以D（3，3）为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC＝90°，则t的最小值是　 　 ． 1．下列选项中，矩形一定具有的性质是（　　） A．对角线相等 B．对角线互相垂直 C．邻边相等 D．一条对角线平分一组对角 2．矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（　　） A．对角线相等 B．对边相等 C．对角相等 D．对角线互相平分 3．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，如果∠ADB＝25°，那么∠AOB的度数为（　　） A．50° B．54° C．56° D．58° 4．如图，点E是矩形ABCD外一点，连接AE，过点E作EG⊥AE交AD，BC分别于点F，G．∠2＝118°．则∠1的度数为（　　） A．12° B．18° C．22° D．28° 5．如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，AD＝6cm，AE平分∠BAD交BC于点E，连接DE，取DE的中点F，连接CF，则CF的长为（　　） A． B． C． D． 6．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点点B的坐标是（2，3），则线段AC的长度为（　　） A． B． C． D．5 7．如图，矩形ABCD对角线AC、BD相交于点O，E为OD上一点，连接CE，取CE的中点F，若∠EOF＝90°，OE＝6，OF＝4，则DE的长为（　　） A．2 B． C． D．4 8．将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，EN，EM为折痕，折叠后点A′，B′，E在同一直线上，已知∠AEN＝32°，∠EMB'的度数为（　　） A．58° B．32° C．35° D．45° 9．如图，在矩形ABCD中，AE＝EB，BF＝FC，CG＝GD，点H为AD边上任意一点，则阴影部分面积和矩形ABCD面积的比为（　　） A．1：4 B．4：1 C．1：2 D．2：1 10．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是AD边上的动点，点M是点A关于直线BE的对称点，连接MD，则MD的最小值是（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 11．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，点D是BC边上的一点，点P是AD的中点，若AC的垂直平分线经过点D，DC＝8，则BP＝　 　 ． 12．如图，矩形ABCD中，AD＝5，AB＝12，点G是边AB上的一点，点P是BC边上的一个动点，连接DG，GP，点E，F分别是GD，GP的中点，在点P的运动过程中，EF的最大长度为 ． 13．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，AC＝10，BD＝6，E是对角线AC的中点，F是对角线BD上的动点，当EF⊥BD时，EF＝　 　 ． 14．如图，点P是矩形ABCD的AD边上一动点，AB、BC长分别为15和20，那么点P到矩形两条对角线AC和BD的距离之和是　 　 ． 15．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝15，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BC，BD于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧，在∠CBD的内部交于点G，作射线BG，以点C为圆心，以大于点C到射线BG的距离为半径画弧，交BG于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点H，作射线CH，分别交BD，AD于P，Q两点，则CP的长是　　 ． 16．如图，在矩形ABCD中，点E，F在边BC上，连接AE，DF，∠BAE＝∠CDF． （1）求证：△ABE≌△DCF． （2）当AB＝12，DF＝13时，求BE的长． 17．如图，BE、CF是△ABC的两条高，P是BC边的中点，连接PE、PF、EF． （1）求证：△PEF是等腰三角形； （2）若∠A＝x°，∠EPF的度数＝　 　 （用含x的代数式表达）． 18．如图，将矩形ABCD绕点C顺时针旋转得到矩形FGCE（点A、B、D的对应点分别是点F、G、E），使得点E落在AB边上，AB的延长线与FG交于点H，连接DE． （1）求证：ED平分∠AEC； （2）试判断CE与EH的长度是否相等，并说明理由． 19．课本再现 我们在学习矩形的性质时发现了：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若点D是斜边AB的中点，则． 定理证明 （1）请完成这个定理的证明． 拓展应用 （2）如图2，已知∠ABC＝∠ADC＝90°，点E、F分别为AC、BD的中点，AC＝26，BD＝24．求EF的长． 20．如图，四边形ABCD为长方形，长AB＝10，宽AD＝4，点E是AB的中点，点P在CD上运动，连接AP，PE． （1）若△APE是以AP为斜边的直角三角形时，求AP的长； （2）若△APE是等腰三角形时，求DP的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题21.4 矩形的性质 教学目标 1. 理解矩形的定义，掌握矩形的性质并能够熟练应用； 2. 理解掌握直角三角形斜边上的中线的性质并能够熟练的应用。 教学重难点 1. 重点 （1） 矩形的定义及其性质； （2） 直角三角形斜边的中线的性质。 2. 难点 （1）利用矩形的性质求线段的长度和角的度数； （2）矩形的性质结合平面直角坐标系求点的坐标； （3）直角三角形的斜边的中线的性质的应用。 知识点01 矩形的定义与性质 1. 矩形的定义： 有一个角是 直角 的平行四边形是矩形。矩形也就是长方形。 2. 矩形的性质： （1）矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的一切性质。 特殊性质： （2）边的特殊性：邻边 相互垂直 。 （3）角的特殊性：四个角都是 直角（或90°） 。 （4）对角线的特殊性：对角线 相等 。即对角线 相互平分且相等 。 即：AC ＝ BD，OA ＝ OB ＝ OC ＝ OD。 由此可得：△OAB，△OBC，△OCD，△OAD均是 等腰三角形 。 （5）面积：等于任意一组 邻边 的乘积。 （6）对称性：既是中心对称图形，也是轴对称图形。 【即学即练1】 1．矩形不具有的性质是（　　） A．对边平行且相等 B．对角线相等 C．四角相等 D．对角线互相垂直 【答案】D 【解答】解：对角线互相垂直，矩形不具有此性质，故D选项符合题意， 故选：D． 【即学即练2】 2．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，M，N分别为BC，OC的中点，若AO＝4，则MN的长为（　　） A．4 B．2 C．8 D．6 【答案】B 【解答】解：由题意可得：AC＝BD，，， ∴AO＝BO＝4， ∵M，N分别为BC，OC的中点， ∴， 故选：B． 【即学即练3】 3．如图，在矩形ABCD中，O是对角线BD的中点，E，F分别是BC，AD上的点，且AF＝BE＝1．若AB＝3，BC＝4，则OE+OF的长为（　　） A． B．2 C． D． 【答案】A 【解答】解：设BC，AD的中点分别为M，N，连接OM，ON， ∵O是矩形ABCD对角线BD的中点， ∴OM为△BCD的中位线， ∴OM∥CD（三角形的中位线平行于第三边）， ∴AB＝CD＝3，BC＝AD＝4，， ∵BC⊥CD， ∴OM⊥BC， ∵M为BC中点，BC＝4， ∴BM＝2，EM＝BM﹣BE＝1， ∴， 同理可得， ∴， ∴． 故选：A． 【即学即练4】 4．如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连接AE，若∠ADB＝40°，则∠E的度数是（　　） A．20° B．25° C．30° D．35° 【答案】A 【解答】解：连接AC， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BE，AC＝BD，且∠ADB＝∠CAD＝40°， ∴∠E＝∠DAE， 又∵BD＝CE， ∴CE＝CA， ∴∠E＝∠CAE， ∵∠CAD＝∠CAE+∠DAE， ∴∠E+∠E＝40°，即∠E＝20°． 故选：A． 【即学即练5】 5．将矩形ABCD如图放置，若点B的坐标是（﹣4，6），点C的坐标是（﹣2，0），点D的坐标是（10，4），则点A的坐标是 （8，10） ． 【答案】（8，10）． 【解答】解：如图，过点B作BE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，过点A作AH⊥x轴于点H，过点B作BG⊥AH轴于点G， 则四边形BEHG是矩形， ∴GH＝BE，∠EBG＝90°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD，∠ABC＝90°， ∴∠ABG＝∠EBC， ∵∠EBC+∠ECB＝∠ECB+∠DCF＝90°， ∴∠EBC＝∠DCF， ∴∠ABG＝∠DCF， 在△ABG和△DCF中， ， ∴△ABG≌△DCF（AAS）， ∴AG＝DF，BG＝CF， ∵点B的坐标是（﹣4，6），点C的坐标是（﹣2，0），点D的坐标是（10，4）， ∴BE＝6，OC＝2，OF＝10，DF＝4， ∴AG＝DF＝4， ∴AH＝AG+GH＝AG+BE＝4+6＝10， ∴BG＝CF＝OC+OF＝12， ∴OH＝12﹣4＝8， 则点A的坐标是（8，10）． 方法2：C点到D点向右平移12个单位长度，向上平移4个单位长度， ∴B点到A点向右平移12个单位长度，向上平移4个单位长度， ∴A（8，10）； 故答案为：（8，10）． 知识点02 直角三角形斜边上的中线 1. 直角三角形斜边的中线的性质： 由矩形的对角线的性质可知：直角三角形斜边上的中线等于斜边的 一半 。 几何语言：在Rt ABC三角形中，∠ACB＝90°，点D是AB边的中点，则 【即学即练1】 6．如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝6，BC＝8，则EF的长为（　　） A．1 B．2 C．1.5 D．2.5 【答案】A 【解答】解：∵DE是△ABC的中位线，BC＝8， ∴，D是AB的中点， ∵∠AFB＝90°， ∴， ∴EF＝DE﹣DF＝1， 故选：A． 【即学即练2】 7．如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点，EF＝8，BC＝20，△EFM的周长是（　　） A．26 B．28 C．30 D．32 【答案】B 【解答】解：∵CF⊥AB，M为BC的中点，BC＝20， ∴， 同理可得：， ∵EF＝8， ∴△EFM的周长＝FM+ME+EF＝10+10+8＝28． 故选：B． 题型01 利用矩形的性质求线段 【典例1】如图，在矩形ABCD中，已知AE⊥BD于E，∠BDC＝60°，BE＝1，则AD的长为（　　） A． B． C．2 D． 【答案】B 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∠BDC＝60°， ∴AB∥CD，∠BAD＝90°， ∴∠ABD＝∠BDC＝60°， ∵AE⊥BD于E，BE＝1， ∴∠AEB＝90°， ∴∠BAE＝∠ADB＝90°﹣∠ABD＝30°， ∴AB＝2BE＝2， ∴BD＝2AB＝4， ∴AD2， 故选：B． 【变式1】如图，把两个全等的矩形ABCD和矩形CEFG拼成如图所示的图案，点D在CG上，已知矩形的长BC为3，宽AB为2，则AF的长为（　　） A． B．5 C． D．6 【答案】C 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝90°， 在Rt△ABC中，BC＝3，AB＝2， 由勾股定理得：AC， ∵矩形ABCD和矩形CEFG全等， ∴CE＝AB，EF＝BC，∠E＝∠B＝90°， 在△CEF和△ABC中， ， ∴△CEF≌△ABC（SAS）， ∴CF＝AC，∠ECF＝∠BAC， 在Rt△ABC中，∠BAC+∠BCA＝90°， ∴∠ECF+∠BCA＝90°， ∴∠ACF＝180°﹣（∠ECF+∠BCA）＝90°， ∴△ACF是等腰直角三角形， 由勾股定理得：AF． 故选：C． 【变式2】如图，矩形OABC在平面直角坐标系内，点B的坐标为（1，3），则对角线AC的长为（　　） A．4 B． C． D． 【答案】B 【解答】解；连接OB，如图所示， ∵四边形OABC是矩形， ∴OB＝AC， ∵B（1，3）， ∴， 故选：B． 【变式3】如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，BC上的点，且AE＝2BE，BF＝2CF，连接EC，FD，M，N分别是EC，FD的中点，连接MN，若AB＝6，BC＝9，则MN的长为（　　） A． B． C． D．2 【答案】A 【解答】解：在矩形ABCD中，M，N分别是EC，FD的中点，如图，连接CN并延长交AD于点G，连接EG， ∴AD∥BC，AB＝BC，BC＝AD，∠A＝∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，DN＝FN， ∴∠GDN＝∠CFN， 在△GND和△CNF中， ， ∴△GND≌△CNF（ASA）， ∴GN＝CN，即N是CG的中点． ∴MN是△CEG的中位线． ∴． ∵AE＝2BE，BF＝2CF，AB＝6，BC＝9， ∴，，AG＝AD﹣DG＝6． 在Rt△AEG中 AE2+AG2＝EG2 ∴． ∴， 故选：A． 【变式3】如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，P是AD上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足为E，F．求PE+PF的值为（　　） A． B．2.5 C． D． 【答案】C 【解答】解：∵矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4， ∴，， ∴， 连接OP， ∵过点P分别作AC和BD的垂线，垂足为E，F， ∴， ∴； 故选：C． 题型02 利用矩形的性质求角度 【典例1】如图，在矩形ABCD中，AC、BD交于点O，∠AOD＝110°，则∠OAD大小是（　　） A．55° B．35° C．45° D．20° 【答案】B 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴OA＝OD， ∵∠AOD＝110°， ∴35°， 故选：B． 【变式1】如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DE⊥AC于点E，若∠COD＝50°，则∠CDE的度数为（　　） A．25° B．30° C．35° D．50° 【答案】A 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴OD＝OC， ∵∠COD＝50°，DE⊥AC， ∴， ∴∠CDE＝∠ODC﹣∠ODE＝25°； 故选：A． 【变式2】有一长方形纸片ABCD，如图，点P在线段BC上，点E在线段AB上，将长方形纸片沿着EP翻折，使点B落在点B'处，如果∠BPE与∠B′PC之差的绝对值等于60°，即|∠BPE﹣∠B'PC|＝60°，那么∠BPE＝　40°或80°　 ． 【答案】40°或80°． 【解答】解：如图1，当∠BPE＜∠B′PC时， ∵|∠BPE﹣∠B′PC|＝60°， ∴∠B′PC﹣∠BPE＝60°， 即∠B′PC＝∠BPE+60°， ∵三角形BPE翻折得到三角形B′PE， ∴∠BPE＝∠B'PE， ∵∠BPE+∠B′PE+∠B′PC＝180°， ∴∠BPE+∠BPE+（∠BPE+60°）＝180°， ∴∠BPE＝40°； 如图2，当∠BPE＞∠B′PC时， ∵|∠BPE﹣∠B′PC|＝60°， ∴∠BPE﹣∠B′PC＝60°， 即∠B′PC＝∠BPE﹣60°， ∵∠BPE＝∠B'PE， ∵∠BPE+∠B′PE+∠B′PC＝180°， ∴∠BPE+∠BPE+（∠BPE﹣60°）＝180°， ∴∠BPE＝80°； 故答案为：40°或80°． 【变式3】如图，在矩形ABCD中，∠ABD＝48°，P为AD边上一点，连接BP，作△PBA关于BP对称的△PBE，点F与点E关于BD对称．设∠ABP＝x°，若点F在△PBD内（不包括边界），则x的取值范围是（　　） A．21＜x＜24 B．24＜x＜32 C．24＜x＜42 D．42＜x＜48 【答案】B 【解答】解：当点F在BD上时，∠ABP＝x°为最小， ∵点F与点E关于BD对称， ∴点E于点F重合，如图1所示： ∵△PBA和△PBE关于BP对称， ∴BP平分∠ABD， ∵∠ABD＝48°， ∴∠ABP＝x°∠ABD＝24°， ∴x＝24， 当点F在BP上时，∠ABP＝x°为最大，如图2所示： ∵△PBA和△PBE关于BP对称， ∴∠PBE＝∠ABP＝x° ∵点F与点E关于BD对称， ∴∠PBD∠PBEx°， ∵∠ABP+∠PBD＝∠ABD＝48°， ∴x°x°＝48°， 解得：x＝32， ∵点F在△PBD内（不包括边界）， ∴x的取值范围是：24＜x＜32． 故选：B． 题型03 利用矩形的性质求坐标 【典例1】如图，以长方形ABCD的边CD所在的直线为x轴，以边CD的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系．若点A的坐标为（2，1），则点C的坐标为（　　） A．（﹣2，0） B．（0，﹣2） C．（2，0） D．（﹣2，﹣1） 【答案】A 【解答】解：由题意可知，O为CD中点， ∴OC＝OD， ∵点A的坐标为（2，1）， ∴OD＝2， ∴OC＝OD＝2 ∵点C在x轴负半轴， ∴点C的坐标为（﹣2，0）， 故选：A． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，矩形OBCD的OB，OD两边分别与两坐标轴的正半轴重合，对角线OC，BD相交于点E．若∠OED＝60°，OD＝2，则点E的坐标为（　　） A．（2，1） B． C．（1，2） D． 【答案】B 【解答】解：∵四边形OBCD是矩形， ∴OE＝CE＝DE＝BE，∠DOB＝90°， ∵∠OED＝60°， ∴△ODE是 等边三角形， ∴OD＝OE＝DE＝2，∠ODE＝∠OED＝60°， ∴BD＝4， 由勾股定理得：， ∴D（0，2），， ∴， 即点E的坐标为， 综上所述，只有选项B正确，符合题意， 故选：B． 【变式2】在平面直角坐标系中，一个长方形的三个顶点坐标分别为（﹣2，0）、（﹣2，1）、（0，0），则第四个顶点的坐标为（　　） A．（0，1） B．（1，0） C．（1，1） D．（﹣2，﹣1） 【答案】A 【解答】解：如图， 则第四个顶点的坐标为（0，1）． 故选：A． 【变式3】如图，矩形OABC的顶点O，A，C的坐标分别是（0，0），（3，0），（0，2），▱OADE与矩形OABC周长相等，▱OADE的面积是矩形OABC面积的一半，则点D的坐标为（　　） A． B． C．（5，1） D． 【答案】A 【解答】解：过点D作DF⊥x轴于点F，如图所示： ∴∠AFD＝90°， 即△AFD是直角三角形， ∵矩形OABC的顶点O，A，C的坐标分别是（0，0），（3，0），（0，2）， ∴OA＝BC＝3，AB＝OC＝2， ∴矩形OABC的周长为：2（OA+AB）＝2×（3+2）＝10，矩形OABC的面积为：OA•AB＝2×3＝6， ∵四边形OADE是平行四边形， ∴AD＝OE，DE＝OA＝3， ∴平行四边形OADE的周长为：2（OA+AD）＝2×（3+AD），平行四边形OADE的面积为：OA•DF＝3DF， ∵平行四边形OADE的周长与矩形OABC周长相等， ∴2×（3+AD）＝10， ∴AD＝2， 又∴平行四边形OADE的面积是矩形OABC面积的一半， ∵3DF6， ∴DF＝1， 在Rt△AFD中，由勾股定理得：AF， ∴OF＝OA+AF， ∴点D的坐标为． 故选：A． 题型04 直角三角形斜边的中线 【典例1】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，且AD＝6，则BC的长是（　　） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】D 【解答】解：∵∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线， ∴BC＝2AD， ∵AD＝6， ∴BC＝12， 故选：D． 【变式1】如图，在矩形ABCD中，AE平分∠BAD交CD于点E，连接BE，点F为BE的中点，连接CF，若AB＝3，AD＝2，则CF的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥DC，AB＝DC＝3，AD＝BC＝2，∠BCE＝90°， ∴∠AED＝∠EAB（两直线平行，内错角相等）， ∵AE平分∠BAD， ∴∠EAB＝∠EAD（角平分线的性质）， ∴∠EAD＝∠AED（等量代换）， ∴AD＝DE＝2（等角对等边）， ∴CE＝DC﹣DE＝3﹣2＝1， 在直角△BCE中，BE2＝BC2+CE2＝22+12＝5， ∴， ∵F为BE的中点， ∴． 故选：C． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOC的斜边OA在第一象限，过点A作AB⊥x轴于点B，若AB＝3，OB＝4，点E为OA的中点，则CE＝ 　2.5　 ． 【答案】2.5 【解答】解：∵AB⊥x轴， ∴∠ABO＝90°， ∵AB＝3，OB＝4， ∴OA5， 在Rt△AOC中，点E为OA的中点， ∴CEOA＝2.5， 故答案为：2.5． 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，1）、点B（0，1+t）、C（0，1﹣t）（t＞0），点P在以D（3，3）为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC＝90°，则t的最小值是　1　 ． 【答案】1 【解答】解：如图，连接AP， ∵点A（0，1）、点B（0，1+t）、C（0，1﹣t）（t＞0）， ∴AB＝（1+t）﹣1＝t，AC＝1﹣（1﹣t）＝t， ∴AB＝AC， ∵∠BPC＝90°， ∴APBC＝AB＝t， 要t最小，就是点A到⊙D上的一点的距离最小， ∴点P在AD上， ∵A（0，1），D（3，3）， ∴AD， ∴t的最小值是AP＝AD﹣PD1， 故答案为1． 1．下列选项中，矩形一定具有的性质是（　　） A．对角线相等 B．对角线互相垂直 C．邻边相等 D．一条对角线平分一组对角 【答案】A 【解答】解：矩形一定具有的性质是对角线相等，故A符合题意，而B、C、D中的性质是菱形所具有的． 故选：A． 2．矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（　　） A．对角线相等 B．对边相等 C．对角相等 D．对角线互相平分 【答案】A 【解答】解：由于矩形的对角线互相平分且相等，而平行四边形的对角线互相平分，不一定相等， 故矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是对角线相等． 故选：A． 3．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，如果∠ADB＝25°，那么∠AOB的度数为（　　） A．50° B．54° C．56° D．58° 【答案】A 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴OAAC，ODBD，AC＝BD， ∴OA＝OD， ∴∠OAD＝∠ADB＝25°， ∴∠AOB＝∠OAD+∠ADB＝50°． 故选：A． 4．如图，点E是矩形ABCD外一点，连接AE，过点E作EG⊥AE交AD，BC分别于点F，G．∠2＝118°．则∠1的度数为（　　） A．12° B．18° C．22° D．28° 【答案】D 【解答】解：点E是矩形ABCD外一点，过点E作EG⊥AE交AD，BC分别于点F，G，∠2＝118°， ∴AD∥BC， ∴∠EFD＝∠2＝118°， ∵EG⊥AE， ∴∠E＝90°， ∵∠EFD＝∠1+∠E， ∴∠1＝∠EFD﹣∠E＝28°， 故选：D． 5．如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，AD＝6cm，AE平分∠BAD交BC于点E，连接DE，取DE的中点F，连接CF，则CF的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝DC＝4cm，AD＝BC＝6cm，AD∥BC，∠DCE＝90°， ∴∠DAE＝∠BEA， ∵AE平分∠BAD， ∴∠DAE＝∠BAE， ∴∠BEA＝∠BAE， ∴AB＝BE＝4cm， ∴CE＝BC﹣BE＝6﹣4＝2cm， 在直角△CDE中，， ∵点F是DE的中点， ∴CF是直角△CDE斜边上的中线， ∴CFDE2cm， 则CF的长为cm． 故选：D． 6．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点点B的坐标是（2，3），则线段AC的长度为（　　） A． B． C． D．5 【答案】C 【解答】解：连接OB，如图： ∵顶点B的坐标为（2，3）， ∴， ∵四边形OABC是矩形， ∴， 即线段AC的长度为， 综上所述，只有选项C正确，符合题意， 故选：C． 7．如图，矩形ABCD对角线AC、BD相交于点O，E为OD上一点，连接CE，取CE的中点F，若∠EOF＝90°，OE＝6，OF＝4，则DE的长为（　　） A．2 B． C． D．4 【答案】D 【解答】解：如图，连接AE， 由条件可知OF是△ACE的中位线， ∴OFAE，OF∥AE， ∴AE＝8，∠AEO＝90°， 在Rt△AEO中，由勾股定理得：AO10， 根据矩形的性质可知AO＝OD＝10， ∴DE＝OD﹣OE＝10﹣6＝4． 故选：D． 8．将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，EN，EM为折痕，折叠后点A′，B′，E在同一直线上，已知∠AEN＝32°，∠EMB'的度数为（　　） A．58° B．32° C．35° D．45° 【答案】B 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝90°， 由折叠得∠A′EN＝∠AEN＝32°，∠B′EM＝∠BEM，∠EB′M＝∠B＝90°， ∴∠AEA′＝2∠AEN＝64°，∠BEB′＝2∠B′EM， ∵点A′，B′，E在同一直线上， ∴∠AEA′+∠BEB′＝180°， ∴64°+2∠B′EM＝180°， ∴∠B′EM＝58°， ∴∠EMB′＝90°﹣∠B′EM＝90°﹣58°＝32°， 故选：B． 9．如图，在矩形ABCD中，AE＝EB，BF＝FC，CG＝GD，点H为AD边上任意一点，则阴影部分面积和矩形ABCD面积的比为（　　） A．1：4 B．4：1 C．1：2 D．2：1 【答案】C 【解答】解：如图，连接BH、CH， ∵AE＝EB，BF＝FC，CG＝GD， ∴△AEH 和△BEH的面积相等；△BFH 和△CFH的面积相等；△CGH 和△DGH 的面积相等； ∴空白部分和阴影部分的面积相等， ∴阴影部分面积和矩形ABCD的面积的比是1：2． 故答案为：1：2． 故选：C． 10．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是AD边上的动点，点M是点A关于直线BE的对称点，连接MD，则MD的最小值是（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【解答】解：连接BD，以点B为圆心，BA为半径作圆，交BD于点M， ∵四边形ABCD为矩形， ∴∠A＝90°， ∴BD10， ∵点A和点M关于BE对称， ∴AB＝BM＝6， ∴DM＝BD﹣BM＝10﹣6＝4． 故DM的最小值为4． 故选：C． 11．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，点D是BC边上的一点，点P是AD的中点，若AC的垂直平分线经过点D，DC＝8，则BP＝　4　 ． 【答案】4． 【解答】解：∵点D在AC的垂直平分线上， ∴DA＝DC＝8， ∵∠ABC＝90°，点P是AD的中点， ∴BP＝AD＝4， 故答案为：4． 12．如图，矩形ABCD中，AD＝5，AB＝12，点G是边AB上的一点，点P是BC边上的一个动点，连接DG，GP，点E，F分别是GD，GP的中点，在点P的运动过程中，EF的最大长度为 　6.5　 ． 【答案】6.5． 【解答】解：连接BD，DP，如图所示： ∵点E，F分别是GD，GP的中点， ∴EFDP， ∴当DP最大时，EF最大， 当点P在点B处时，DP最大，即DB的长度， ∵四边形ABCD为矩形， ∴∠DAB＝90°， ∴BD13， ∴EF的最大长度为13＝6.5， 故答案为：6.5． 13．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，AC＝10，BD＝6，E是对角线AC的中点，F是对角线BD上的动点，当EF⊥BD时，EF＝　4　 ． 【答案】4． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，E是AC的中点， 则BEAC＝5， 同理可得：DEAC＝5， ∴BE＝DE， 当EF⊥BD时，BF＝DFBD＝3， 由勾股定理得：EF4， 故答案为：4． 14．如图，点P是矩形ABCD的AD边上一动点，AB、BC长分别为15和20，那么点P到矩形两条对角线AC和BD的距离之和是　12　 ． 【答案】12． 【解答】解：连接OP， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD，OA＝OCAC，OB＝ODBD，∠ABC＝90°， S△AOD矩形ABCD的面积， ∴OA＝ODAC， ∵AB＝15，BC＝20， ∴AC25，S△AOD矩形ABCD的面积15×20＝75， ∴OA＝ODAC， ∴S△AOD＝S△APO+S△DPOOA•PEOD•PFOA•（PE+PF）（PE+PF）＝75， ∴PE+PF＝12． ∴点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是12． 故答案为：12． 15．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝15，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BC，BD于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧，在∠CBD的内部交于点G，作射线BG，以点C为圆心，以大于点C到射线BG的距离为半径画弧，交BG于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点H，作射线CH，分别交BD，AD于P，Q两点，则CP的长是　　 ． 【答案】． 【解答】解：根据所给作图步骤可知， BG平分∠CBD，CP⊥MN， 令BN与CQ及CD的交点为L，J，如图所示， 因为BG平分∠CBD， 所以∠CBG＝∠PBG． 因为CP⊥MN， 所以∠BLC＝∠BLP． 在△BLC和△BLP中， ， 所以△BLC≌△BLP（ASA）， 所以PL＝CL， 所以BN垂直平分PC， 所以BP＝BC，JP＝JC， 所以∠BPC＝∠BCP，∠JPC＝∠JCP， 所以∠BPJ＝∠BCJ＝90°． 在Rt△BCD中， BD， 由面积法可知， ， 则JP＝JC． 在Rt△BCJ中， BJ． 由面积法可知， ， 则CL， 所以CP＝2CL． 故答案为：． 16．如图，在矩形ABCD中，点E，F在边BC上，连接AE，DF，∠BAE＝∠CDF． （1）求证：△ABE≌△DCF． （2）当AB＝12，DF＝13时，求BE的长． 【答案】（1）证明过程见解答； （2）5． 【解答】（1）证明：在矩形ABCD中，AB＝CD，∠B＝∠C＝90°， 在△ABE和△DCF中， ， ∴△ABE≌△DCF（ASA）； （2）解：由（1）知：△ABE≌△DCF， ∴AE＝DF＝13， ∵AB＝12， ∴BE5． 17．如图，BE、CF是△ABC的两条高，P是BC边的中点，连接PE、PF、EF． （1）求证：△PEF是等腰三角形； （2）若∠A＝x°，∠EPF的度数＝　（180﹣2x）°　 （用含x的代数式表达）． 【答案】（1）见解析； （2）（180﹣2x）°． 【解答】（1）证明：∵BE、CF是△ABC的两条高， ∴△BFC和△CEB是直角三角形， 又∵P为BC的中点， ∴， ∴△PEF是等腰三角形； （2）解：∵∠A＝x°， ∴∠ACB+∠ABC＝180°﹣∠A＝180°﹣x°， ∵P为BC的中点， ∴， 又∵， ∴CP＝EP，BP＝FP， ∴∠CEP＝∠PCA，∠BFP＝∠ABC， ∴∠BFP+∠ABC+∠CEP+∠PCA＝2（∠ACB+∠ABC）＝360°﹣2x°， 又∵∠CEP+∠ACB+∠CPE＝180°，∠BFP+∠ABC+∠BPF＝180°， ∴∠BFP+∠ABC+∠BPF+∠CEP+∠ACB+∠CPE＝360°， ∴∠BPF+∠CPE＝360°﹣2（∠ACB+∠ABC）＝2x°， ∴∠FPE＝180°﹣（∠BPF+∠CPE）＝180°﹣2x°， 故答案为：（180﹣2x）°． 18．如图，将矩形ABCD绕点C顺时针旋转得到矩形FGCE（点A、B、D的对应点分别是点F、G、E），使得点E落在AB边上，AB的延长线与FG交于点H，连接DE． （1）求证：ED平分∠AEC； （2）试判断CE与EH的长度是否相等，并说明理由． 【答案】见解析； 【解答】（1）证明：由旋转的性质可知，CD＝CE， ∴∠CDE＝∠CED． ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD， ∴∠AED＝∠CDE， ∴∠AED＝∠CED， ∴DE平分∠AEC； （2）解：CE＝EH，理由如下： 将矩形ABCD旋转得到矩形FGCE， ∴∠F＝∠ABC＝90°，BC＝CG＝EF，FG∥CE， ∴∠FHE＝∠CEB， 在△EFH与△CBE中， ， ∴△EFH≌△CBE（AAS）， ∴CE＝EH． 19．课本再现 我们在学习矩形的性质时发现了：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若点D是斜边AB的中点，则． 定理证明 （1）请完成这个定理的证明． 拓展应用 （2）如图2，已知∠ABC＝∠ADC＝90°，点E、F分别为AC、BD的中点，AC＝26，BD＝24．求EF的长． 【答案】（1）见解析； （2）5． 【解答】解：（1）如图1，延长CD到E使得DE＝CD，连接BE，AE， ∵D为AB中点， ∴AD＝BD， ∴四边形ACBE为平行四边形， ∵∠ACB＝90°， ∴四边形ACBE为矩形， ∴AB＝CE＝2CD， ∴； （2）连接BE、DE， ∵点E是AC的中点，AC＝26， ∴， 由题意可得：EF⊥BD，， ∴5． 20．如图，四边形ABCD为长方形，长AB＝10，宽AD＝4，点E是AB的中点，点P在CD上运动，连接AP，PE． （1）若△APE是以AP为斜边的直角三角形时，求AP的长； （2）若△APE是等腰三角形时，求DP的长． 【答案】（1）； （2）DP 的长为3或2或或8． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD为长方形，长AB＝10，宽 AD＝4，点E是AB的中点， ∴AB＝CD＝10，AD＝BC＝4，，∠D＝∠C＝∠B＝∠DAB＝90°， 当△APE是以AP为斜边的直角三角形时，则∠AEP＝90°， ∴四边形ADPE是长方形， ∴AD＝PE＝4， ∴； （2）当AP＝AE＝5 时，； 当AP＝PE时，如图，过P作PM⊥AB于M，则，四边形ADPM是长方形， ∴； 当AE＝PE＝5时，如图，过P作 PM⊥AB于M，则四边形ADPM是长方形， ∴DP＝AM，AD＝PM＝4， ∴， ∴DP＝AM＝AE﹣EM＝5﹣3＝2，或 DP＝AE+EM＝5+3＝8； 综上所述，若△APE 是等腰三角形时，DP 的长为3或2或或8； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $