专题21.3 平行四边形的判定（高效培优讲义）数学新教材人教版八年级下册

专题21.3 平行四边形的判定 教学目标 1. 掌握平行四边形的判定方法并能够通过题目已知条件选择合适的判定方法判定平行四边形。 2. 掌握三角形的中位线性质与判定，能够熟练的对三角形的中位线进行判断与对性质的熟练应用。 教学重难点 1. 重点 （1） 平行四边形的判定方法； （2） 三角形的中位线性质。 2. 难点 （1）平行四边形的判定与性质的综合； （2）三角形中位线性质的应用。 知识点01 平行四边形的判定 1. 平行四边形的判定： 元素 判定方法与文字语言 数学语言 图形 边 一组对边 的四边形是平行四边形 ∵AB CD或AD BC ∴四边形ABCD是平行四边形 两组对边分别 的四边形是平行四边形 ∵AB CD，AD BC ∴四边形ABCD是平行四边形 两组对边分别 的四边形是平行四边形 ∵AB CD，AD BC ∴四边形ABCD是平行四边形 角 两组对角 的四边形是平行四边形 ∵∠ABC ∠ADC， ∠BAD ∠BCD ∴四边形ABCD是平行四边形 对角线 对角线 的四边形是平行四边形 ∵OA OC，OB OD ∴四边形ABCD是平行四边形 【即学即练1】 1．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A．OA＝OC，OB＝OD B．AB＝CD，AD＝BC C．AD∥BC，AB∥CD D．AB∥CD，AD＝BC 【即学即练2】 2．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC和BD交于点O，要使四边形ABCD成为平行四边形，则应添加的条件是（　　） A．AB＝CD B．AC＝BD C．AO＝DO D．AO＝CO 【即学即练3】 3．如图，在四边形ABCD中，点E、F分别是对角线BD上的两点，且AF∥CE，AD∥BC，BF＝DE，求证：四边形ABCD是平行四边形． 【即学即练4】 4．如图，四边形ABCD中，M，N是BD上两点，AM∥CN，AN∥CM．若BM＝DN，求证：四边形ABCD是平行四边形． 【即学即练5】 5．如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，且AE＝CF． （1）求证：四边形ABCD是平行四边形； （2）若AE＝5，EB＝12，EF＝2，则四边形ABCD的周长是 　 ． 知识点02 三角形的中位线 1. 三角形中位线的定义： 连接三角形任意两边的 得到的线段叫做三角形的中位线。 2. 三角形的中位线定理： 三角形的中位线 第三边，且等于第三边的 。 几何语言：∵点D、E分别是AB、AC的中点 ∴DE∥BC，DE＝BC 【即学即练1】 6．如图，点D，E是△ABC的边AB，AC的中点，已知BC＝6，则DE＝　 　 ． 【即学即练1】 7．如图，在 Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点N在BC边上，点M为AB边上的动点，点D、E分别为CN，MN的中点，则DE的最小值是（　　） A．2 B．2.5 C．2.4 D．1.2 题型01 熟悉平行四边形的判定条件 【典例1】如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O．下列条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A．AB＝DC，AD＝BC B．AB∥DC，AD＝BC C．AB∥DC，∠BAD＝∠BCD D．OA＝OC，OB＝OD 【变式1】如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A．∠ABD＝∠BDC，OA＝OC B．∠ABC＝∠ADC，AD∥BC C．∠ABC＝∠ADC，AB＝CD D．∠ABD＝∠BDC，∠BAD＝∠DCB 【变式2】根据所标数据，不能判断下列四边形是平行四边形的是（　　） A． B． C． D． 题型02 添加平行四边形的判定条件 【典例1】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，添加一个条件，能使四边形ABCD成为平行四边形的是（　　） A．AD＝BC B．∠BAC＝∠ACD C．AB＝AD D．∠B＝∠D 【变式1】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，添加下列一个条件后，一定能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A．∠A＝∠C B．AD＝BC C．∠B+∠C＝180° D．AB＝BC 【变式2】在四边形ABCD中，AB∥CD，要使四边形ABCD是平行四边形，则需添加一个条件，其中错误的是（　　） A．∠C+∠D＝180° B．AD＝BC C．AB＝CD D．AD∥BC 题型03 平行四边形的判定证明 【典例1】如图，在△ABC中，CD是AB边上的中线，E是CD的中点，CF∥AB交BE的延长线于点F，连接AF．求证：四边形ADCF是平行四边形． 【变式1】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E、F在对角线BD上，且AE＝CF，∠AED＝∠CFB，求证：四边形ABCD是平行四边形． 【变式2】如图：已知∠B＝∠E＝90°，点B、C、F、E在一条直线上，AC＝DF，AB＝DE．求证：四边形ACDF是平行四边形． 题型04 三角形的中位线 【典例1】如图，为测量池塘两端A、B的距离，小明在池塘外选取了一个点C，使得点C可以直接到达A、B，他分别找到AC、BC的中点D、E，并且测得DE的长为16米，则池塘两端A、B的距离为（　　） A．8米 B．20米 C．25米 D．32米 【变式1】如图，D、E分别为△ABC的边AB、AC的中点．连接DE，过点B作BF平分∠ABC，交DE于点F．若EF＝4，AD＝7，则BC的长为 　 ． 【变式2】如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，点D、E分别在边AB和BC上，且AD＝4，CE＝3，连接DE，点M、N分别是AC、DE的中点，连接MN，则MN的长度为 　 ． 【变式3】如图，点D、E是Rt△ABC两直角边AB、AC上的一点，连接BE，已知点F、G、H分别是DE、BE、BC的中点． （1）若BD＝CE，那么FG与GH有什么数量和位置关系？请说明理由； （2）连CD，取CD中点M，连接GM，若BD＝8，CE＝6，求GM的长． 题型05 平行四边形的判定与性质 【典例1】如图，已知平行四边形ABCD，AC，BD相交于点O，延长CD到点E，使CD＝DE，连接AE． （1）求证：四边形ABDE是平行四边形； （2）连接BE，交AD于点F，连接OF，则CE与OF的关系为 ． 【变式1】如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于O，BE＝DF，连接AE、EC、CF、FA． （1）求证四边形AECF是平行四边形； （2）若点E是OB的中点，△ABE的面积为2，求四边形AECF的面积． 【变式2】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，延长DC到点E，使CE＝CD．过点E作EF∥AD交AC的延长线于点F，连接AE，DF． （1）求证：四边形ADFE是平行四边形； （2）过点E作EG⊥DF于点G，若BD＝2，AE＝6，求EG的长． 1．根据下列条件，不能判定四边形是平行四边形的是（　　） A．一组对边平行且相等的四边形 B．一组对边相等一组对角是直角的四边形 C．对角线相等的四边形 D．对角线互相平分的四边形 2．如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合的部分构成了一个四边形．转动其中一张纸条，四边形始终是平行四边形的依据是（　　） A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C．两组对角分别相等的四边形是平行四边形 D．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 3．如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（　　） A．∠ABD＝∠BDC，∠ACB＝∠CAD B．AB＝BC，AD＝CD C．AB＝CD，∠BAC＝∠ACD D．AO＝CO，BO＝DO 4．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．若OA＝OC，则添加下列条件，仍不能得出AB∥CD的是（　　） A．AD＝BC B．AD∥BC C．OB＝OD D．∠ADB＝∠CBD 5．根据下列四边形中所标的数据，一定能判定为平行四边形的是（　　） A． B． C． D． 6．如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点均在网格线的交点上，点D，E分别是边BA，CA与网格线的交点，连接DE，则DE的长为（　　） A． B．1 C． D． 7．如图，DE是△ABC的中位线，∠ACB的平分线交DE于点F，连接AF并延长交BC于G，若AC＝12，DE＝10，则BG的长为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 8．在△ABC中，D，F分别是AB，BC的中点，DE⊥AC，FG⊥BC，垂足分别为E，F，FG交DE于点G，且FG＝FC．若AE＝4，CE＝5.6，则DG的长为（　　） A．0.4 B．0.8 C．1.2 D．1.4 9．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AD＝16，BC＝21，CD＝13，动点P从点B出发，沿射线BC以每秒3个单位的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线段AD上以每秒1个单位的速度向终点D运动，当动点Q到达点D时，动点P也同时停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时t值为（　　）秒． A．2或 B． C．或 D． 10．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，△ABD、△ACE、△BCF都是等边三角形．下列结论中；①AB⊥AC；②∠DFE＝135°；③四边形AEFD是平行四边形；④四边形AEFD的面积为20．其中所有正确的序号是（　　） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 11．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E，F是对角线AC上两点，添加一个能判定四边形DEBF是平行四边形的条件： 　 ． 12．如图，在△ABC中，点D在BC上，BD＝AB，BM⊥AD于点M，N是AC的中点，连接MN．若AB＝5，BC＝8，则MN＝ 　 ． 13．如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，P是对角线BD的中点，M是DC的中点，N是AB的中点，∠A＝75°，∠ABC＝85°，则∠PNM的度数是　 　 ． 14．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝4cm，CD＝10cm．动点M从点A出发，以1cm/s的速度向点B运动．同时，动点N从点C出发，以2cm/s的速度向点D运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．从运动开始，当运动时间t＝ 　 s时，四边形AMND为平行四边形． 15．如图，在等边△ABC中，AB＝3，点M，N分别在边AC，BC上，且AM＝CN，则线段MN的最小值为 　 ． 16．已知：如图，E、F为▱ABCD对角线AC上的两点，且 　 ． 求证：四边形BFDE是平行四边形．请你在①AE＝CF；②BE⊥AC，DF⊥AC；③BE＝DF中选择其中一个你认为正确的条件添加，并进行结论的证明． 17．如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F是对角线BD上的点，且DF＝BE，连接AE，AF，CE，CF． （1）若∠DAF＝20°，求∠BCE的度数； （2）求证：四边形AECF是平行四边形． 18．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB边上一点，连接CD，E为CD中点，过点C作CF∥BD交BE的延长线于F，连接DF交AC于点G，连接CF． （1）求证：四边形DBCF是平行四边形； （2）若∠A＝30°，，CF＝6，求AD的长． 19．如图，等边△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，且AD＝CE，CD与BE交于点F，在BC上方作等边△BEG，连接AG，DG． （1）求证：四边形CDGE为平行四边形； （2）不添加任何辅助线，直接写出与∠AEG相等的角（不包括∠AEG）． 20．【三角形中位线定理】 已知：在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点．直接写出DE和BC的关系； 【应用】 如图，在四边形ABCD中，点E，F分别是边AB，AD的中点，若BC＝5，CD＝3，EF＝2，∠AFE＝45°，求∠ADC的度数； 【拓展】 如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点E，点M，N分别为AD，BC的中点，MN分别交AC，BD于点F，G，EF＝EG． 求证：BD＝AC． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题21.3 平行四边形的判定 教学目标 1. 掌握平行四边形的判定方法并能够通过题目已知条件选择合适的判定方法判定平行四边形。 2. 掌握三角形的中位线性质与判定，能够熟练的对三角形的中位线进行判断与对性质的熟练应用。 教学重难点 1. 重点 （1） 平行四边形的判定方法； （2） 三角形的中位线性质。 2. 难点 （1）平行四边形的判定与性质的综合； （2）三角形中位线性质的应用。 知识点01 平行四边形的判定 1. 平行四边形的判定： 元素 判定方法与文字语言 数学语言 图形 边 一组对边 平行且相等 的四边形是平行四边形 ∵AB CD或AD BC ∴四边形ABCD是平行四边形 两组对边分别 平行 的四边形是平行四边形 ∵AB ∥ CD，AD ∥ BC ∴四边形ABCD是平行四边形 两组对边分别 相等 的四边形是平行四边形 ∵AB ＝ CD，AD ＝ BC ∴四边形ABCD是平行四边形 角 两组对角 相等 的四边形是平行四边形 ∵∠ABC ＝ ∠ADC， ∠BAD ＝ ∠BCD ∴四边形ABCD是平行四边形 对角线 对角线 相互平分 的四边形是平行四边形 ∵OA ＝ OC，OB ＝ OD ∴四边形ABCD是平行四边形 【即学即练1】 1．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A．OA＝OC，OB＝OD B．AB＝CD，AD＝BC C．AD∥BC，AB∥CD D．AB∥CD，AD＝BC 【答案】D 【解答】解：A、∵OA＝OC，OB＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A不符合题意； B、∵AB＝CD，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形，故选项B不符合题意； C、∵AD∥BC，AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形，故选项C不符合题意； D、由AB∥CD，AD＝CB，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故选项D符合题意． 故选：D． 【即学即练2】 2．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC和BD交于点O，要使四边形ABCD成为平行四边形，则应添加的条件是（　　） A．AB＝CD B．AC＝BD C．AO＝DO D．AO＝CO 【答案】D 【解答】解：已知AD∥BC，要使四边形ABCD为平行四边形， 选项A：仅AD∥BC且AB＝CD，四边形可能是等腰梯形，无法判定为平行四边形，故 A错误； 选项B：AD∥BC且AC＝BD，四边形可能是等腰梯形，无法判定为平行四边形，故 B错误； 选项C：平行四边形要求对角线互相平分，仅AO＝DO不满足，故C错误； 选项D：∵AD∥BC， ∴∠DAO＝∠BCO， 在△DAO和△BCO中， ， ∴△DAO≌△BCO（ASA）， ∴AD＝BC， ∴四边形ABCD为平行四边形． 故D正确． 故选：D． 【即学即练3】 3．如图，在四边形ABCD中，点E、F分别是对角线BD上的两点，且AF∥CE，AD∥BC，BF＝DE，求证：四边形ABCD是平行四边形． 【答案】见解答． 【解答】证明：∵AD∥BC，AF∥CE， ∴∠ADF＝∠CBE，∠AFD＝∠CEB， ∵BF＝DE， ∴BF+EF＝DE+EF，即BE＝DF． 在△AFD和△CEB中， ， ∴△AFD≌△CEB（ASA）， ∴AD＝CB， ∵AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形． 【即学即练4】 4．如图，四边形ABCD中，M，N是BD上两点，AM∥CN，AN∥CM．若BM＝DN，求证：四边形ABCD是平行四边形． 【答案】证明见解析． 【解答】证明：如图，连接AC交BD于点O， ∵AM∥CN，AN∥CM， ∴四边形AMCN是平行四边形， ∴OM＝ON，OA＝OC， ∵BM＝DN， ∴OM+BM＝ON+DN， 即OB＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形． 【即学即练5】 5．如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，且AE＝CF． （1）求证：四边形ABCD是平行四边形； （2）若AE＝5，EB＝12，EF＝2，则四边形ABCD的周长是　　 ． 【答案】（1）见解答； （2）． 【解答】（1）证明：∵CF⊥BD，AE⊥BD， ∴∠AED＝∠CFB＝90°， 在Rt△ADE和Rt△CBF中， ， ∴Rt△ADE≌Rt△CBF（HL）， ∴∠ADE＝∠CBF， ∴AD∥BC， 又∵AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形； （2）解：∵EF＝2，EB＝12， ∴BF＝BE+EF＝12+2＝14， ∵Rt△ADE≌Rt△CBF， ∴DE＝BF＝14， ， ， ∴若AE＝5，EB＝12，EF＝2，则四边形ABCD的周长为：， 故答案为：26+2． 知识点02 三角形的中位线 1. 三角形中位线的定义： 连接三角形任意两边的 中点 得到的线段叫做三角形的中位线。 2. 三角形的中位线定理： 三角形的中位线 平行于 第三边，且等于第三边的 一半 。 几何语言：∵点D、E分别是AB、AC的中点 ∴DE∥BC，DE＝BC 【即学即练1】 6．如图，点D，E是△ABC的边AB，AC的中点，已知BC＝6，则DE＝　3　 ． 【答案】3． 【解答】解：∵点D、E是△ABC的边AB、AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， 由三角形中位线定理可知，， 故答案为：3． 【即学即练1】 7．如图，在 Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点N在BC边上，点M为AB边上的动点，点D、E分别为CN，MN的中点，则DE的最小值是（　　） A．2 B．2.5 C．2.4 D．1.2 【答案】D 【解答】解：如图，连接CM， ∵点D、E分别为CN，MN的中点， ∴DE是CMN的中位线， ∴DECM， 当CM⊥AB时，CM的值最小，此时DE的值也最小， 由勾股定理得：AB5， ∵S△ABC， ∴CM， ∴DE1.2， 故选：D． 题型01 熟悉平行四边形的判定条件 【典例1】如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O．下列条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A．AB＝DC，AD＝BC B．AB∥DC，AD＝BC C．AB∥DC，∠BAD＝∠BCD D．OA＝OC，OB＝OD 【答案】B 【解答】解：A、∵AB＝DC，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A不符合题意； B、∵AB∥DC，AD＝BC， ∴四边形ABCD不一定是平行四边形，也可能是等腰梯形，故选项B符合题意； C、∵AB∥CD， ∴∠ABC+∠BCD＝180°， ∵∠BAD＝∠BCD， ∴∠BAD+∠ABC＝180°， ∴AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形，故选项C不符合题意； D、∵OA＝OC，OB＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D不符合题意； 故选：B． 【变式1】如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A．∠ABD＝∠BDC，OA＝OC B．∠ABC＝∠ADC，AD∥BC C．∠ABC＝∠ADC，AB＝CD D．∠ABD＝∠BDC，∠BAD＝∠DCB 【答案】C 【解答】解：A、∵∠ABD＝∠BDC，OA＝OC， 又∠AOB＝∠COD， ∴△AOB≌△COD（AAS）， ∴DO＝BO， ∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不合题意； B、∵AD∥BC， ∴∠ABC+∠BAD＝180°， ∵∠ABC＝∠ADC， ∴∠ADC+∠BAD＝180°， ∴AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不合题意； C、∠ABC＝∠ADC，AB＝CD不能判断四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意； D、∵∠ABD＝∠BDC，∠BAD＝∠DCB， ∴∠ADB＝∠CBD， ∴AD∥CB， ∵∠ABD＝∠BDC， ∴AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不合题意； 故选：C． 【变式2】根据所标数据，不能判断下列四边形是平行四边形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：A、∵AO＝CO，BO＝DO， ∴四边形ABCD是平行四边形，故不符合题意； B、∵AB＝CD，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形，故不符合题意； C、∵∠ACB＝∠DAC＝40°， ∴AD∥BC， ∵AB＝CD， ∴不能判定四边形ABCD是平行四边形，故符合题意； D、∠ACB＝∠CAD＝40°， ∴AD∥BC， ∵∠ABD＝∠BDC＝35°， ∴AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形，故不符合题意； 故选：C． 题型02 添加平行四边形的判定条件 【典例1】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，添加一个条件，能使四边形ABCD成为平行四边形的是（　　） A．AD＝BC B．∠BAC＝∠ACD C．AB＝AD D．∠B＝∠D 【答案】D 【解答】解：A、AD＝BC，四边形ABCD有可能是等腰梯形，故A不符合题意； B、由AB∥CD推出∠BAC∠ACD，不能判定四边形ABCD为平行四边形，故B不符合题意； C、AB＝AD，不能判定四边形ABCD为平行四边形，故C不符合题意； D、由AB∥CD推出∠B+∠BCD＝180°，得到∠BCD+∠D＝180°，推出AD∥BC，判定四边形ABCD是平行四边形，故D符合题意． 故选：D． 【变式1】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，添加下列一个条件后，一定能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A．∠A＝∠C B．AD＝BC C．∠B+∠C＝180° D．AB＝BC 【答案】A 【解答】解：如图所示：∵AB∥CD， ∴∠B+∠C＝180°， 当∠A＝∠C时，则∠A+∠B＝180°， 故AD∥BC， 则四边形ABCD是平行四边形． 故选：A． 【变式2】在四边形ABCD中，AB∥CD，要使四边形ABCD是平行四边形，则需添加一个条件，其中错误的是（　　） A．∠C+∠D＝180° B．AD＝BC C．AB＝CD D．AD∥BC 【答案】B 【解答】解：在四边形ABCD中，AB∥CD， ∴可添加的条件是：AB＝DC或AD∥BC或∠C+∠D＝180°， ∴四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形） 故选：B． 题型03 平行四边形的判定证明 【典例1】如图，在△ABC中，CD是AB边上的中线，E是CD的中点，CF∥AB交BE的延长线于点F，连接AF．求证：四边形ADCF是平行四边形． 【答案】见解答． 【解答】证明：∵CF∥AB， ∴∠DBE＝∠CFE，∠BDE＝∠FCE， ∵点E是CD的中点， ∴DE＝CE， 在△BDE和△FCE中， ， ∴△BDE≌△FCE（AAS）， ∴CF＝BD， ∵CD是AB边上的中线， ∴BD＝AD， ∴CF＝AD， 又∵CF∥AD， ∴四边形ADCF是平行四边形． 【变式1】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E、F在对角线BD上，且AE＝CF，∠AED＝∠CFB，求证：四边形ABCD是平行四边形． 【答案】见解答． 【解答】证明：∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠CBD， 在△ADE和△BCF中， ∴△ADE≌△BCF（AAS）， ∴AD＝BC， 又∵AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形． 【变式2】如图：已知∠B＝∠E＝90°，点B、C、F、E在一条直线上，AC＝DF，AB＝DE．求证：四边形ACDF是平行四边形． 【答案】证明见解答过程． 【解答】证明：∵∠B＝∠E＝90°， ∴△ABC和△DEF都是直角三角形， 在Rt△ABC和Rt△DEF中， ， ∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）， ∴BC＝EF， ∵点B、C、F、E在一条直线上， ∴BC+CF＝EF+CF， ∴BF＝EC， 在△ABF和△DEC中， ， ∴△ABF≌△DEC（SAS）， ∴AF＝DC， 又∵AC＝DF， ∴四边形ACDF是平行四边形． 题型04 三角形的中位线 【典例1】如图，为测量池塘两端A、B的距离，小明在池塘外选取了一个点C，使得点C可以直接到达A、B，他分别找到AC、BC的中点D、E，并且测得DE的长为16米，则池塘两端A、B的距离为（　　） A．8米 B．20米 C．25米 D．32米 【答案】D 【解答】解：∵D、E分别为AC、BC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴AB＝2DE， ∵DE＝16米， ∴AB＝2×16＝32（米）． 故选：D． 【变式1】如图，D、E分别为△ABC的边AB、AC的中点．连接DE，过点B作BF平分∠ABC，交DE于点F．若EF＝4，AD＝7，则BC的长为 　22　 ． 【答案】22． 【解答】解：∵D、E分别为△ABC的边AB、AC的中点， ∴DE∥BC，DEBC，BD＝AD＝7， ∴∠DFB＝∠FBC， ∵BF平分∠ABC， ∴∠DFB＝∠DBF， ∴∠DBF＝∠FBC， ∴DF＝BD＝7， ∴DE＝DF+EF＝11， ∴BC＝2DE＝22， 故答案为：22． 【变式2】如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，点D、E分别在边AB和BC上，且AD＝4，CE＝3，连接DE，点M、N分别是AC、DE的中点，连接MN，则MN的长度为 　　 ． 【答案】 【解答】解：连接CD，设CD的中点为F，连接FN，FM，如图所示： 在Rt△ABC中，∠B＝90°，点D、E分别在边AB和BC上，且AD＝4，CE＝3， ∴AD⊥CE， ∵点M、N分别是AC、DE的中点， ∴FN是△CDE的中位线，FM是△ACD的中位线， ∴FN∥CD，FNCE，FM＝∥AD，FMAD＝2， ∴FM⊥FN， ∴△FMN是直角三角形， 在Rt△FMN中，由勾股定理得：MN， ∴MN的长度为． 故答案为：． 【变式3】如图，点D、E是Rt△ABC两直角边AB、AC上的一点，连接BE，已知点F、G、H分别是DE、BE、BC的中点． （1）若BD＝CE，那么FG与GH有什么数量和位置关系？请说明理由； （2）连CD，取CD中点M，连接GM，若BD＝8，CE＝6，求GM的长． 【答案】（1）FG＝GH且FG⊥GH，理由如下见解答． （2）5． 【解答】解：（1）FG＝GH且FG⊥GH．理由如下： ∵F、G、H分别是DE、BE、BC的中点， ∴，，FG∥DB，GH∥EC， ∵DB＝EC， ∴FG＝GH． ∵GH∥EC，FG∥DB， ∴∠DBE＝∠FGE，∠EGH＝∠AEG， ∵∠A＝90°， ∴∠ABE+∠AEB＝90°， ∴∠FGH＝∠FGE+∠EGH＝∠ABE+∠AEB＝90°， ∴FG＝GH且FG⊥GH． （2）如图所示：连接FM、HM， ∵M、H分别是BC和DC的中点， ∴MH∥BD，， 由（1）可知：GF∥BD，， ∴GF∥HM， ∵FG⊥GH， ∴∠GHM＝180°﹣90°＝90°， ∵G、H、M分别是BE、BC、DC的中点， ∴，， ∴． 题型05 平行四边形的判定与性质 【典例1】如图，已知平行四边形ABCD，AC，BD相交于点O，延长CD到点E，使CD＝DE，连接AE． （1）求证：四边形ABDE是平行四边形； （2）连接BE，交AD于点F，连接OF，则CE与OF的关系为 CE∥OF且CE＝4OF ． 【答案】（1）证明过程见解答； （2）CE∥OF且CE＝4OF． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∵CD＝DE， ∴AB＝DE， ∴四边形ABDE是平行四边形； （2）解：CE与OF的数量关系为：CE＝4OF，理由如下： 由（1）得：四边形ABDE是平行四边形， ∴BF＝EF， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝OD， ∴OF是△BDE的中位线， ∴OF∥CE，DE＝2OF． ∵CD＝DE， ∴CE＝2DE， ∴CE＝4OF． 故答案为：CE∥OF且CE＝4OF． 【变式1】如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于O，BE＝DF，连接AE、EC、CF、FA． （1）求证四边形AECF是平行四边形； （2）若点E是OB的中点，△ABE的面积为2，求四边形AECF的面积． 【答案】（1）见解答． （2）8． 【解答】（1）证明：∵ABCD为平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD． ∵BE＝DF， ∴OE＝OF． ∴四边形AECF是平行四边形． （2）解：当E为OB中点时，△AOE的面积＝△ABE的面积＝2． ∵OE＝OF， ∴△AOF的面积＝△AOE的面积＝2． ∵OA＝OC， ∴△COF的面积＝△AOF的面积＝2， △COE的面积＝△AOE的面积＝2． ∴四边形AECF的面积＝2+2+2+2＝8． 【变式2】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，延长DC到点E，使CE＝CD．过点E作EF∥AD交AC的延长线于点F，连接AE，DF． （1）求证：四边形ADFE是平行四边形； （2）过点E作EG⊥DF于点G，若BD＝2，AE＝6，求EG的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵EF∥AD， ∴∠FEC＝∠ADC， 又∵CE＝CD，∠FCE＝∠ACD， ∴△FCE≌△ACD（ASA）， ∴EF＝AD， ∴四边形ADFE是平行四边形； （2）解：如图， 由（1）可知，四边形ADFE是平行四边形， ∴DF＝AE＝6， ∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴CD＝BD＝2， ∴CE＝CD＝2， ∴DE＝2CD＝4， ∵EF∥AD， ∴EF⊥BC， ∴∠DEF＝90°， ∴EF2， ∵EG⊥DF， ∴S△DEFDF•EG•EF， ∴EG， 即EG的长为． 1．根据下列条件，不能判定四边形是平行四边形的是（　　） A．一组对边平行且相等的四边形 B．一组对边相等一组对角是直角的四边形 C．对角线相等的四边形 D．对角线互相平分的四边形 【答案】C 【解答】解：A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，能判定，不符合题意； B．一组对边相等且一组对角是直角的四边形：连接对角线，利用勾股定理可证另一组对边相等，从而判定平行四边形，能判定，不符合题意； C．对角线相等的四边形不能判定平行四边形，如等腰梯形对角线相等但不是平行四边形，不能判定，符合题意； D．对角线互相平分的四边形是平行四边形，能判定，不符合题意； 故选：C． 2．如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合的部分构成了一个四边形．转动其中一张纸条，四边形始终是平行四边形的依据是（　　） A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C．两组对角分别相等的四边形是平行四边形 D．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 【答案】A 【解答】解：由题意可知，AB∥CD，AD∥BC， ∴四边形ABCD为平行四边形， 故选：A． 3．如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（　　） A．∠ABD＝∠BDC，∠ACB＝∠CAD B．AB＝BC，AD＝CD C．AB＝CD，∠BAC＝∠ACD D．AO＝CO，BO＝DO 【答案】B 【解答】解：根据平行四边形的判定方法， A、∠ABD＝∠BDC，∠ACB＝∠CAD，推出AB∥CD，AD∥BC，则能判定这个四边形是平行四边形，所以本选项正确，不符合题意； B、AB＝BC，AD＝CD，不能判定这个四边形是平行四边形，所以本选项错误，符合题意； C、由∠BAC＝∠ACD，推出AB∥CD，又AB＝CD，能判定这个四边形是平行四边形，所以本选项正确，不符合题意； D、AO＝CO，BO＝DO，能判定这个四边形是平行四边形，所以本选项正确，不符合题意； 故选：B． 4．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．若OA＝OC，则添加下列条件，仍不能得出AB∥CD的是（　　） A．AD＝BC B．AD∥BC C．OB＝OD D．∠ADB＝∠CBD 【答案】A 【解答】解：A、∠AOD和∠BOC分别是AD和BC的对角，不能判定△AOD和△COB全等，得不到∠DAO＝∠BCO，不能判定AD和BC平行，因此不能判定四边形ABCD是平行四边形，不能得出AB∥CD，故A符合题意； B、由AD∥BC，推出∠DAO＝∠BCO，∠ADO＝∠CBO，而OA＝OC，判定△AOD≌△COB（AAS），得到AD＝CB，判定四边形ABCD是平行四边形，得出AB∥CD，故B不符合题意； C、由OB＝OD，OA＝OC，判定四边形ABCD是平行四边形，推出AB∥CD，故C不符合题意； D、由∠ADB＝∠CBD，∠AOD＝∠BOC，OA＝OC，推出△AOD≌△COB（AAS），得到OD＝OB，判定四边形ABCD是平行四边形，得出AB∥CD，故D不符合题意． 故选：A． 5．根据下列四边形中所标的数据，一定能判定为平行四边形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：A、由同旁内角互补，两直线平行判定上下一组对边平行，不能判定左右一组对边平行，不能判定四边形是平行四边形，故A不符合题意； B、由同旁内角互补，两直线平行判定左右一组对边平行，不能判定上下一组对边平行，不能判定四边形是平行四边形，故B不符合题意； C、由同旁内角互补，两直线平行判定上下一组对边平行，并且上下一组对边相等，判定四边形是平行四边形，故C符合题意； D、四边形的左右一组对边相等，但上下一组对边不一定相等，不能判定四边形是平行四边形，故D不符合题意． 故选：C． 6．如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点均在网格线的交点上，点D，E分别是边BA，CA与网格线的交点，连接DE，则DE的长为（　　） A． B．1 C． D． 【答案】B 【解答】解：如图，由题意可知，BC＝AF＝BG＝2，∠AFD＝∠BGD＝90°， 又∵∠ADF＝∠BDG， ∴△ADF≌△BDG（AAS）， ∴AD＝BD， 同理：AE＝CE， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DEBC＝1， 故选：B． 7．如图，DE是△ABC的中位线，∠ACB的平分线交DE于点F，连接AF并延长交BC于G，若AC＝12，DE＝10，则BG的长为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【解答】解：∵DE是△ABC的中位线， ∴DE∥BC，， ∵CF是∠ACB的平分线， ∴∠GCF＝∠ACF， ∵DE∥BC， ∴∠GCF＝∠EFC， ∴∠ACF＝∠EFC， ∴， ∴DF＝DE﹣EF＝10﹣6＝4， ∴BG＝2DF＝8， 故选：B． 8．在△ABC中，D，F分别是AB，BC的中点，DE⊥AC，FG⊥BC，垂足分别为E，F，FG交DE于点G，且FG＝FC．若AE＝4，CE＝5.6，则DG的长为（　　） A．0.4 B．0.8 C．1.2 D．1.4 【答案】B 【解答】解：取AC的中点H，连接DF，DH， ∵AC的中点为H，D，F分别是AB，BC的中点， ∴，， ∴四边形DFCH是平行四边形， ∴DH＝FC，DF＝CH， ∵FG＝FC， ∴DH＝FG， ∵DF∥AC，DH∥BC， ∴∠DHE＝∠C＝∠DFB， ∵DE⊥AC，FG⊥BC， ∴∠FGE+∠C＝180°，∠HDE＝90°﹣∠DHE＝90°﹣∠DFB＝∠GFD， ∵∠FGE+∠DGF＝180°， ∴∠C＝∠DGF， ∴∠EHD＝∠DGF， 在△EHD和△DGF中， ∵， ∴△DHE≌△FGD（ASA）， ∴HE＝GD， ∵AE＝4，CE＝5.6， ∴AC＝AE+CE＝9.6， ∴， ∴EH＝AH﹣AE＝0.8， ∴DG＝0.8， 故选：B． 9．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AD＝16，BC＝21，CD＝13，动点P从点B出发，沿射线BC以每秒3个单位的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线段AD上以每秒1个单位的速度向终点D运动，当动点Q到达点D时，动点P也同时停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时t值为（　　）秒． A．2或 B． C．或 D． 【答案】C 【解答】解：∵四边形PQDC是平行四边形， ∴DQ＝CP， 当P从B运动到C时，且P在BC上， ∵DQ＝AD﹣AQ＝16﹣t，CP＝21﹣3t， ∴16﹣t＝21﹣3t， 解得t， ∴当t秒时，四边形PQDC是平行四边形； 当点P在BC延长线上时， ∴16﹣t＝3t﹣21， 解得t， ∴t秒或秒时，P、Q、D、C为顶点的四边形为平行四边形． 故选：C． 10．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，△ABD、△ACE、△BCF都是等边三角形．下列结论中；①AB⊥AC；②∠DFE＝135°；③四边形AEFD是平行四边形；④四边形AEFD的面积为20．其中所有正确的序号是（　　） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 【答案】B 【解答】解：∵AB＝6，AC＝8，BC＝10， ∴AB2+AC2＝BC2， ∴△ABC是直角三角形， ∴∠BAC＝90°， ∴AB⊥AC， 故①正确； ∵△ABD，△ACE都是等边三角形， ∴∠DAB＝∠EAC＝60°， ∵△ABD和△FBC都是等边三角形， ∴BD＝BA，BF＝BC，∠DBF+∠FBA＝∠ABC+∠ABF＝60°， ∴∠DBF＝∠ABC， 在△ABC与△DBF中， ， ∴△ABC≌△DBF（SAS）， ∴AC＝DF＝AE＝8， 同理可证：△ABC≌△EFC（SAS） ∴AB＝EF＝AD＝6， ∴四边形AEFD是平行四边形， 故③正确； ∴∠DFE＝∠DAE＝360°﹣90°﹣60°﹣60°＝150°， 故②错误； 过A作AG⊥DF于G， ∴∠AGD＝90°， ∵四边形AEFD是平行四边形， ∴∠FDA＝180°﹣∠DFE＝180°﹣150°＝30°， ∴AGAD＝3， ∴S▱AEFD＝DF•AG＝8×3＝24， 故④错误． ∴正确的结论是①③， 故选：B． 11．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E，F是对角线AC上两点，添加一个能判定四边形DEBF是平行四边形的条件：E，F分别是OA，OC的中点（答案不唯一）　 ． 【答案】E，F分别是OA，OC的中点（答案不唯一）． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∵E、F分别是OA、OC的中点， ∴，， ∴OE＝OF， ∴四边形DEBF是平行四边形， 故添加一个能判定四边形DEBF是平行四边形的条件为：E，F分别是OA，OC的中点（答案不唯一）， 故答案为：E，F分别是OA，OC的中点（答案不唯一）． 12．如图，在△ABC中，点D在BC上，BD＝AB，BM⊥AD于点M，N是AC的中点，连接MN．若AB＝5，BC＝8，则MN＝　　 ． 【答案】 【解答】解：∵BD＝AB，BM⊥AD于点M， ∴AM＝DM， ∵N是AC的中点， ∴AN＝CN， ∴MN是三角形ADC的中位线， ∴MNDC， ∵AB＝5，BC＝8， ∴DC＝3， ∴MN， 故答案为：． 13．如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，P是对角线BD的中点，M是DC的中点，N是AB的中点，∠A＝75°，∠ABC＝85°，则∠PNM的度数是　10°　 ． 【答案】10°． 【解答】解：∵点P，N分别是BD，AB的中点， ∴PN是△ABD的中位线， ∴根据三角形中位线定理得，，PN∥AD， ∵点P，M分别是BD，CD的中点， ∴PM是△BCD的中位线， ∴，PM∥BC， ∵AD＝BC， ∴PN＝PM（等量代换）， ∴∠PMN＝∠PNM（等边对等角）， 设∠ABD＝α，则∠DBC＝85°﹣α， ∵∠A＝75°， ∴∠PNB＝75°， ∵PM∥BC，PN∥AD， ∴∠NPD＝75°+α，∠MPD＝∠DBC＝85°﹣α， ∴∠MPN＝∠NPD+∠MPD＝160°， ∴，则∠PNM的度数为10°． 故答案为：10°． 14．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝4cm，CD＝10cm．动点M从点A出发，以1cm/s的速度向点B运动．同时，动点N从点C出发，以2cm/s的速度向点D运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．从运动开始，当运动时间t＝　　 s时，四边形AMND为平行四边形． 【答案】． 【解答】解：由题意得，AM＝tcm，DN＝（10﹣2t）cm， ∵AB∥CD， ∴当AM＝DN时，四边形AMND是平行四边形， 即t＝10﹣2t， 整理得，3t＝10， 解得，即当运动秒时，四边形AMND为平行四边形． 故答案为：． 15．如图，在等边△ABC中，AB＝3，点M，N分别在边AC，BC上，且AM＝CN，则线段MN的最小值为　　 ． 【答案】． 【解答】解：如图，过点C，M分别作MN，BC的平行线，并交于点P，作射线AP． ∴四边形CPMN是平行四边形， ∴MP＝NC，MN＝PC， 又∵AM＝CN， ∴AM＝MP， ∴∠CAP＝∠MPA， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠PMC＝∠ACB＝60°， ∴∠CAP＝∠MPA＝30°． 当PC⊥AP时，PC有最小值，此时， ∴MN最小值是． 故答案为． 16．已知：如图，E、F为▱ABCD对角线AC上的两点，且　①或②　 ． 求证：四边形BFDE是平行四边形．请你在①AE＝CF；②BE⊥AC，DF⊥AC；③BE＝DF中选择其中一个你认为正确的条件添加，并进行结论的证明． 【答案】①或②，证明见解析． 【解答】解：添加：①AE＝CF，理由如下： 四边形ABCD是平行四边形，如图，连接DB，交AC于O， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∵AE＝CF， ∴OE＝OF， ∴四边形BFDE是平行四边形． 添加：②BE⊥AC，DF⊥AC；理由如下： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∴∠BAE＝∠DCF， ∵BE⊥AC，DF⊥AC， ∴∠AEB＝∠CFD＝90°，BE∥DF， 在△BAE和△DCF中， ， ∴△BAE≌△DCF（AAS）， ∴BE＝DF， ∴四边形BFDE是平行四边形； 添加：③BE＝DF， 由②得∠BAE＝∠DCF，AB＝CD， 不能证明△BAE≌△DCF， ∴不能证明四边形BFDE是平行四边形． 17．如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F是对角线BD上的点，且DF＝BE，连接AE，AF，CE，CF． （1）若∠DAF＝20°，求∠BCE的度数； （2）求证：四边形AECF是平行四边形． 【答案】（1）20°； （2）见解析． 【解答】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ADF＝∠CBE， 在△ADF和△CBE中， ∵AD＝BC，∠ADF＝∠CBE，DF＝BE， ∴∠BCE＝∠DAF＝20°； （2）证明：由（1）得：△ADF≌△CBE， ∴CE＝AF，∠BEC＝∠AFD， ∴∠CEF＝∠AFE， ∴CE∥AF， ∴四边形AECF是平行四边形． 18．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB边上一点，连接CD，E为CD中点，过点C作CF∥BD交BE的延长线于F，连接DF交AC于点G，连接CF． （1）求证：四边形DBCF是平行四边形； （2）若∠A＝30°，，CF＝6，求AD的长． 【答案】（1）见解析； （2）2． 【解答】（1）证明：∵E为CD中点， ∴CE＝DE， ∵CF∥BD， ∴∠CFE＝∠DBE，∠FCE＝∠BDE， 在△CEF和△DEB中， ， ∴△CEF≌△DEB（AAS）， ∴CF＝DB， ∵CF∥DB， ∴四边形DBCF是平行四边形． （2）解：∵四边形DBCF是平行四边形， ∴CF＝BD＝6， ∵∠ACB＝90°，∠A＝30°， ∴AB＝2BC， ∴在Rt△ACB中，AC2+BC2＝AB2， 设BC＝x，则AB＝2x， ∴， 解得x＝±4（负值舍去）， ∴AB＝8， ∴AD＝AB﹣BD＝8﹣6＝2． 19．如图，等边△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，且AD＝CE，CD与BE交于点F，在BC上方作等边△BEG，连接AG，DG． （1）求证：四边形CDGE为平行四边形； （2）不添加任何辅助线，直接写出与∠AEG相等的角（不包括∠AEG）． 【答案】（1）见解析； （2）∠ACD，∠DGE，∠ABG，∠CBE． 【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，AB＝AC， 在△ADC和△CEB中， ， ∴△ADC≌△CEB（SAS）， ∴CD＝BE，∠ACD＝∠CBE， ∵△BEG是等边三角形， ∴BE＝BG，∠EBG＝60°， ∴∠EBG＝∠ABC，CD＝GE， ∴∠EBG﹣∠ABE＝∠ABC﹣∠ABE， ∴∠GBD＝∠EBC． 在△AGB和△CEB中， ， ∴△AGB≌△CEB（SAS）， ∴AG＝CE．∠GAC＝∠BCE＝60°， ∵AD＝CE， ∴AG＝AD， ∴△ADG是等边三角形， ∴DG＝AD， ∴DG＝CE， ∴四边形CDGE是平行四边形； （2）解：与∠AEG相等的角有∠ACD，∠DGE，∠ABG，∠CBE；理由如下： ∵四边形CDGE是平行四边形， ∴GE∥CD，∠ACD＝∠DGE， ∴∠ACD＝∠AEG，∠DGE＝∠AEG， ∵△ADC≌△CEB， ∴∠ACD＝∠CBE， ∴∠CBE＝∠AEG， ∵△AGB≌△CEB， ∴∠ABG＝∠CBE， ∴∠ABG＝∠AEG， ∴与∠AEG相等的角有∠ACD，∠DGE，∠ABG，∠CBE． 20．【三角形中位线定理】 已知：在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点．直接写出DE和BC的关系； 【应用】 如图，在四边形ABCD中，点E，F分别是边AB，AD的中点，若BC＝5，CD＝3，EF＝2，∠AFE＝45°，求∠ADC的度数； 【拓展】 如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点E，点M，N分别为AD，BC的中点，MN分别交AC，BD于点F，G，EF＝EG． 求证：BD＝AC． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：【三角形中位线定理】DE∥BC，DEBC； 理由：∵点D，E分别是边AB，AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE∥BC，DEBC； 【应用】连接BD，如图所示， ∵E、F分别是边AB、AD的中点， ∴EF∥BD，BD＝2EF＝4， ∴∠ADB＝∠AFE＝45°， ∵BC＝5，CD＝3， ∴BD2+CD2＝25，BC2＝25， ∴BD2+CD2＝BC2， ∴∠BDC＝90°， ∴∠ADC＝∠ADB+∠BDC＝135°； 【拓展】证明：取DC的中点H，连接MH、NH． ∵M、H分别是AD、DC的中点， ∴MH是△ADC的中位线， ∴MH∥AC且MHAC（三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半）， 同理可得NH∥BD且NHBD． ∵EF＝EG， ∴∠EFG＝∠EGF， ∵MH∥AC，NH∥BD， ∴∠EFG＝∠HMN，∠EGF＝∠HNM， ∴∠HMN＝∠HNM， ∴MH＝NH， ∴AC＝BD． 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