专题21.8 正方形的性质（高效培优讲义）数学新教材人教版八年级下册

专题21.8 正方形的性质 教学目标 1. 熟悉正方形的定义，掌握正方形的性质，并能够熟练地应用性质。 教学重难点 1. 重点 （1） 正方形的性质。 2. 难点 （1）利用正方形的性质解决线段或角度问题； （2）利用正方形的性质结合平面直角坐标系求点的坐标。 知识点01 正方形的定义 1. 正方形的定义： 四条边都 相等 ，四个角都是 直角 的四边形叫做正方形。 所以正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，还是特殊的菱形。 知识点02 正方形的性质 1. 正方形的性质： 同时具有平行四边形、矩形以及菱形的一切性质。 性质 几何语言 图示 边 对边平行，四条边都相等 角 四个角都是直角 对角线 对角线相互垂直平分且相等，且平分每一组对角 面积 法1：对角线算法 法2：边的平方 对称性 既是中心对称图形，也是轴对称图形 【即学即练1】 1．正方形具有而一般矩形不一定具有的性质是（　　） A．两组对边分别相等 B．两条对角线互相平分 C．两条对角线互相垂直 D．两条对角线相等 【答案】C 【解答】解：根据正方形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用正方形具备而矩形不具备的性质判断如下： A、两组对边分别相等，矩形和正方形都具有，故不合题意； B、两条对角线互相平分，矩形和正方形都具有，故不合题意； C、两条对角线互相垂直，正方形具有而一般矩形不一定具有的性质，故合题意； D、两条对角线相等，矩形和正方形都具有，故不合题意． 故选：C． 【即学即练2】 2．正方形具有而菱形不具有的性质是（　　） A．对角线互相平分 B．每条对角线平分一组对角 C．对角线相等 D．对边相等 【答案】C 【解答】解：正方形的对角线相等，菱形的对角线不一定相等． 故选：C． 【即学即练3】 3．摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法，如图，在正方形ABCD的BC边上取中点E，以点E为圆心，线段DE长为半径作圆，交BC的延长线于点F，过点F作FG⊥AD，交AD的延长线于点G，得到长方形CDGF．若AB＝2，则CF的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，AB＝2， ∴AB＝BC＝CD＝2．∠BCD＝90°， ∵E是BC中点， ∴， 在直角三角形CDE中，由勾股定理得：， 由题意知， ∴， 故选：C． 【即学即练4】 4．如图，在正方形ABCD和正方形CEFG中，点G在CD上，BC＝4，CE＝2，H是AF的中点，那么CH的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：连接AC、CF，如图， ∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，BC＝4，CE＝2， ∴∠ACD＝45°，∠FCG＝45°，，， ∴∠ACF＝45°+45°＝90°， 在Rt△ACF中，， ∵H是AF的中点， ∴． 故选：A． 【即学即练5】 5．如图，在正方形ABCD中，F为对角线BD上一点，连接AF并延长交CD于点E，若EF＝EC，则∠ECF的度数为（　　） A．36° B．32° C．30° D．28° 【答案】C 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝DC，∠ADF＝∠CDF，∠ADE＝90°， ∵DF＝DF， ∴△ADF≌△CDF（SAS）， ∴∠DAE＝∠ECF， ∵EF＝EC， ∴∠ECF＝∠EFC， ∵∠DEA＝∠ECF+∠EFC＝2∠DAE， ∵∠DAE+∠DEA＝90°， ∴∠DAE＝30°， ∴∠ECF＝30°． 故选：C． 【即学即练6】 6．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ABE，连接DE、AC，相交于点F，则∠BFC的度数为（　　） A．60° B．75° C．45° D．80° 【答案】A 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴DC＝BC，∠DCF＝∠BCF＝45°． 又CF＝CF， ∴△DCF≌△BCF（SAS）． ∴∠CDF＝∠CBF． ∵△ABE是等边三角形， ∴AE＝AB，∠BAE＝60°． 又AB＝AD， ∴AD＝AE，且∠DAE＝90°+60°＝150°， ∴∠ADE＝（180°﹣150°）÷2＝15°． ∴∠CDF＝90°﹣15°＝75°＝∠CBF． ∴∠BFC＝180°﹣∠FCB﹣∠CBF＝180°﹣45°﹣75°＝60°． 故选：A． 【即学即练7】 7．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD的边AB在x轴上，AB的中点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点C落在y轴的正半轴上的点C′处，则点D的对应点D′的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：过点D'作D'E⊥x轴于点E，如图所示： ∴∠D'EA＝∠C'OB＝90°， ∴△D'EA和△C'OA都是直角三角形， ∵四边形ABCD正方形，且边长为2， ∴AB＝BC＝CD＝DA＝2，BC∥DA， ∵AB的中点是坐标原点O， ∴OB＝OAAB＝1， 根据四边形的不稳定性得：BC'＝BC＝2，D'A＝DA＝2，BC'∥D'A， ∴∠D'AE＝∠C'BO， 在Rt△C'OA中，由勾股定理得：C'O， 在△D'EA和△C'OA中， ， ∴△D'EA≌△C'OA（AAS）， ∴EA＝OB＝1，D'E＝C'O， ∴OE＝OE+EA＝2， ∴点点D的对应点D′的坐标为． 故选：C． 题型01 利用正方形的性质求线段 【典例1】若一个正方形的对角线长为4cm，则它的面积是（　　） A．8cm2 B．16cm2 C．32cm2 D．72cm2 【答案】A 【解答】解：∵正方形对角线长为4cm，且面积， ∴． 故选：A． 【变式1】如图，正方形ABCD的边长为3，点E在边AB上，连接ED，过点D作FD⊥DE，与BC的延长线相交于点F，连接EF，与边CD相交于点G，与对角线BD相交于点H．若BD＝BF，则BE的长为（　　） A．2 B． C． D． 【答案】C 【解答】解：∵正方形ABCD的边长为3， ∴∠A＝∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，AB＝BC＝CD＝AD＝3， ∴∠EDC+∠ADE＝∠ADC＝90°， 在直角三角形ABD中，由勾股定理得：， ∴， ∴， ∵FD⊥DE， ∴∠EDF＝90°， ∠EDF＝∠EDC+∠CDF＝90°， ∴∠ADE＝∠CDF， 在△ADE和△CDF中， ， ∴△ADE≌△CDF（AAS）， ∴， ∴． 故选：C． 【变式2】如图，正方形ABCD的一条边BC与等腰△CEF的一条边CF在同一直线上，AF分别交CD，CE于点G，H．已知BC＝CF＝2，CE＝EF，则GH的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：过E作EM⊥CF于M， ∵CE＝EF， ∴CM， ∴EM2， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝BC＝2＝EM，∠D＝∠DCB＝∠DCF＝90°， 在△ADG与△FCG中， ， ∴△ADG≌△FGC（AAS）， ∴DG＝CG＝1，AG＝FG， 在△ADG与△EMC中， ， ∴△ADG≌△EMC（SAS）， ∴∠AGD＝∠ECM＝∠CGF，AG＝CE＝FG， ∵∠CFG+∠CGF＝90°， ∴∠ECF+∠CFH＝90°， ∴∠CHF＝90°， ∴S△CGFFG•CH， ∴CH， ∴GH， 故选：A． 【变式3】如图，点E是正方形ABCD的中心（对角线的交点），以点E为直角顶点作Rt△EFG，Rt△EFG的两直角边EF，EG分别交BC，DC于点M，N，若正方形ABCD的边长为8，则重叠部分四边形EMCN的面积为（　　） A．6 B．9 C．12 D．16 【答案】D 【解答】解：过点E分别作EP⊥CD，EQ⊥BC，如图所示： ∵四边形ABCD是正方形，正方形ABCD的边长为8， ∴∠C＝90°，BC＝CD＝8， ∵EP⊥CD，EQ⊥BC， ∴∠EQC＝∠EPC＝∠C＝90°， ∴四边形EQCP是矩形， ∵点E是正方形ABCD的中心， ∴， ∴四边形EQCP是正方形， ∴∠QEP＝90°， ∴∠QEP＝∠QEN+∠NEP＝90°， ∵Rt△EFG的两直角边EF，EG分别交BC，DC于点M，N， ∴∠FEN＝∠FEQ+∠QEN＝90°， ∴∠PEN＝∠FEQ， 在△MQE和△NPE中， ， ∴△MQE≌△NPE（ASA）， ∴S△MQE＝S△NPE， 则重叠部分四边形EMCN的面积为S正方形EQCP， ∴S正方形EQCP＝4×4＝16， 即重叠部分四边形EMCN的面积为16， 故选：D． 题型02 利用正方形的性质求角度 【典例1】如图，在正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，AE的延长线交CD于点F，连接CE，若∠BAE＝53°，则∠CEF的度数为（　　） A．13° B．14° C．15° D．16° 【答案】D 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝CB＝AD＝CD，∠BAD＝∠BCD＝90°， ∴∠ABD＝∠ADB＝45°，∠CBD＝∠CDB＝45°， ∴∠ABD＝∠CBD， ∵∠BAE＝53°， ∴∠AEB＝180°﹣∠ABD﹣∠BAE＝180°﹣45°﹣53°＝82°， 在△ABE和△CBE中， ， ∴△ABE≌△CBE（SAS）， ∴∠AEB＝∠CEB＝82°， ∴∠CEF＝180°﹣∠AEB﹣∠CEB＝180°﹣82°﹣82°＝16°， 故选：D． 【变式1】如图，四边形ABCD是正方形，△CBE是等边三角形，∠CDE的度数为（　　） A．75° B．60° C．45° D．30° 【答案】A 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，△CBE是等边三角形， ∴∠DCB＝90°，∠ECB＝60°，BC＝CD＝CE， ∴∠ECE＝30°， ∵CE＝CD，∠ECD＝30°， ∴∠CDE（180°﹣∠ECD）＝75°， 故选：A． 【变式2】点E为正方形ABCD中对角线AC上一点（点E不与端点A、C重合），当△CBE为等腰三角形时，∠ABE的度数为 　45°或22.5°　 ． 【答案】45°或22.5°． 【解答】解：四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC＝90°，∠ACB＝45°， ∵点E是对角线AC上的一点（点E不与端点A、C重合）， ∴当△CBE为等腰三角形时， 有以下两种情况： ①当BE＝CE时，则∠EBC＝∠ACB＝45°，如图1所示： ∴∠ABE＝∠ABC﹣∠ACB＝90°﹣45°＝45°， ②当BC＝EC时，则∠CBE＝∠CEB，如图2所示： 在△CBE中，∠CBE+∠CEB+∠ACB＝180°， ∴2∠CBE+45°＝180°， ∴∠CBE＝67.5°， ∴∠ABE＝∠ABC﹣∠ACB＝90°﹣67.5°＝22.5°， 综上所述：∠ABE的度数为45°或22.5°． 故答案为：45°或22.5°． 【变式3】如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，点E、F分别为边BC和AB上的点，且CE＝BF，连接EF，过点E作EG⊥BC交AC于点G，点H为边AD上的点，连接GH，若GH＝EF，∠FEB＝25°，则∠AHG的度数为　115°　 ． 【答案】115°． 【解答】解：连接FG，延长EG交AD于点P，如图所示： ∵四边形ABCD是正方形，AC为对角线， ∴∠B＝∠BCD＝∠D＝∠DAB＝90°，∠BCA＝∠BAC＝45°， ∵EG⊥BC交AC于点G， ∴∠GEC＝∠GEB＝90°， 在△EGC中，∠GEC＝90°，∠BCA＝45°， ∴△EGC是等腰直角三角形， ∴GE＝CE， ∵CE＝BF， ∴GE＝BF， ∵∠GEC＝∠B＝90°， ∴GE∥BF， ∴四边形BEGF是平行四边形， 又∵∠B＝90°， ∴平行四边形BEGF是矩形， ∴∠FGE＝∠GFB＝90°， ∴∠FGP＝180°﹣∠FGE＝90°，∠AFG＝180°﹣∠GFB＝90°， ∴∠FGP＝∠AFG＝∠DAB＝90°， ∴四边形AFGP是矩形，△FGE是直角三角形， 在△AFG中，∠AFG＝90°，∠BAC＝45°， ∴FA＝FG， ∴矩形AFGP是正方形， ∴FG＝GP，∠GPA＝90°， ∴△GPH是直角三角形， 在Rt△FGE和Rt△GPH中， ， ∴Rt△FGE≌Rt△GPH（HL）， ∴∠GHP＝∠FEG， ∵∠GEB＝90°，∠FEB＝25°， ∴∠FEG＝∠GEB﹣∠FEB＝65°， ∴∠GHP＝∠FEG＝65°， ∴∠AHG＝180°﹣∠GHP＝115°， ∴∠AHG的度数为115°． 故答案为：115°． 题型03 利用正方形的性质求坐标 【典例1】如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O（0，0）；B（4，0），则顶点C的坐标是（　　） A．（2，2） B．（2，﹣2） C．（﹣2，2） D． 【答案】B 【解答】解：连接AC，交OB于点D， ∵B（4，0）， ∴OB＝4， ∵四边形OABC是正方形， ∴OB＝4＝AC，AC、OB互相垂直平分， ∴OD⊥DC，OD＝DB＝DA＝DC＝2， ∴C点坐标（2，﹣2）， 故选：B． 【变式1】在平面直角坐标系中，正方形OBCD的顶点O的坐标是（0，0），顶点B的坐标是（0，3），则顶点D的坐标是（　　） A．（3，0） B．（﹣3，0） C．（3，0）或（﹣3，0） D．（0，3）或（0，﹣3） 【答案】C 【解答】解：∵正方形OBCD的顶点O的坐标是（0，0），顶点B的坐标是（0，3）， ∴OD＝OB＝3， 当顶点D在y轴右侧时，顶点D的坐标是（3，0）， 当顶点D在y轴左侧时，顶点D的坐标是（﹣3，0）， 故选：C． 【变式2】如图，将边长为5的正方形OACD放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点D的横坐标为3，求A的坐标． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图，过点A作AB⊥x轴于B，过点D作DE⊥x轴于E， ∵四边形OACD是正方形， ∴OA＝OD，∠AOD＝90°， ∴∠DOE+∠AOB＝90°， 又∵∠OAB+∠AOB＝90°， ∴∠OAB＝∠DOE， 在△AOD和△OCE中， ， ∴△AOB≌△ODE（AAS）， ∴AB＝OE，OB＝DE， ∵点D的横坐标为3，AO＝OD＝5， ∴DE4， ∴AB＝3，OB＝4， ∴点A的坐标为（﹣4，3）． 【变式3】如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点B在x轴上，顶点C在y轴上，且C（0，﹣2），D（b，﹣1），则b的值是（　　） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 【答案】C 【解答】解：过点D作DE⊥y轴于点E． ∵四边形ABCD是正方形， ∴BC＝ CD，∠BCD＝90°， 又∵为∠BOC＝∠DEC＝90°，∠OBC+∠OCB＝90°，∠ECD+∠OCB＝ 90°， ∴∠OBC＝∠ECD． 在△BOC和△CED中， ， ∴△BOC≌△CED（AAS）． ∴OC＝DE，OB＝CE， ∵C（0，﹣2）， ∴OC＝2， ∵D（b，﹣1）， ∴DE＝|b|，CE＝|﹣1﹣（﹣2）|＝1． ∵OC＝2， ∴DE＝2，即|b|＝2． ∵D在第二象限， ∴b＞0， ∴b＝2． 故选：C． 1．矩形、菱形和正方形都具有的性质是（　　） A．对角线互相平分 B．对角线相等 C．每一条对角线平分一组对角 D．对角线互相垂直 【答案】A 【解答】解：矩形、菱形和正方形都具有的性质是对角线互相平分， 故选：A． 2．下列性质中，矩形具有、正方形也具有、但是菱形却不具有的性质是（　　） A．对角线互相垂直 B．对角线互相平分 C．对角线长度相等 D．每一条对角线平分一组对角 【答案】C 【解答】解：∵菱形具有的性质是：两组对边分别平行，对角线互相平分，对角线互相垂直； 矩形具有的性质是：两组对边分别平行，对角线互相平分，对角线相等； 正方形具有菱形和矩形的性质， ∴菱形不具有的性质为：对角线相等， 故选：C． 3．下列关于特殊四边形性质的说法，正确的是（　　） A．矩形的对角线互相垂直且平分 B．正方形的对角线相等且互相垂直平分 C．菱形的对角线相等且互相平分 D．平行四边形是中心对称图形也是轴对称图形 【答案】B 【解答】解：对于选项A， ∵矩形的对角线相等且平分，但不互相垂直， ∴该选项不正确，不符合题意； 对于选项B， ∵正方形的对角线相等且互相垂直平分， ∴该选项正确，符合题意； 对于选项C， ∴菱形的对角线垂直且互相平分，但不相等， ∴该选项不正确，不符合题意； 对于选项D， ∵平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形， ∴该选项不正确，不符合题意， 故选：B． 4．如图，在正方形ABCD中，点G在BC边上，连接AG，DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F，若BF＝4，DE＝9，则EF的长为（　　） A．5 B．8 C．12 D．2 【答案】A 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝DA，∠BAD＝90°， ∵DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F，BF＝4，DE＝9， ∴∠AFB＝∠DEA＝90°， ∴∠BAF＝∠ADE＝90°﹣∠DAE， 在△BAF和△ADE中， ， ∴△BAF≌△ADE（AAS）， ∴BF＝AE＝4，AF＝DE＝9， ∴EF＝AF﹣AE＝9﹣4＝5， 故选：A． 5．如图，边长为12的正方形ABCD中，点E是BC的中点，点F在CD上，且∠BAE＝∠FAE．则AF的长为（　　） A．15 B．16 C． D． 【答案】A 【解答】解：如图，四边形ABCD是正方形，过点E作AF的垂线AG，垂足为G，连接EF， ∴AB＝BC＝CD＝AD＝12，∠B＝∠C＝∠D＝90°， ∵点E是BC的中点， ∴， 在△ABE和△AGE中， ， ∴△ABE≌△AGE（AAS）， ∴AG＝AB＝12，GE＝BE＝6， ∴GE＝CE＝6，且∠EGF＝∠C＝90°，EF＝EF， ∴△EFG≌△EFC（HL）， ∴GF＝CF， 假设GF＝CF＝x，则DF＝CD﹣CF＝12﹣x，AF＝AG+GF＝12+x， 在直角三角形ADF中，根据勾股定理得：AD2+DF2＝AF2， 即122+（12﹣x）2＝（12+x）2， 解得：x＝3， ∴AF＝12+3＝15， 故选：A． 6．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为3的正方形，其中，点C位于第二象限，点B位于第一象限，且OC与y轴正半轴的夹角为15°，则点B的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：连接OB，作BE⊥y轴于点E， ∵四边形OABC是正方形， ∴∠BOC＝45°，∠C＝90°， 由勾股定理可得，， 由题意可得：∠COE＝15°，∠OEB＝90°， ∴∠BOE＝30°， 由三角函数可得，， 由三角函数可得，， ∴点B的坐标为：， 故选：A． 7．在正方形ABCD中，AC与BD交于点G，若DE平分∠GDC，连接BE并取中点F，连接AF，则∠AEB的度数是（　　） A．70° B．62.5° C．67.5° D．75° 【答案】C 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，AC与BC交于点G， ∴AD＝CD＝CB，∠ADC＝∠BCD＝90°，CA垂直平分DB， ∴∠DCA＝∠DAC＝45°，∠CDB＝∠CBD＝45°， ∵DE平分∠GDC， ∴∠CDE＝∠GDE∠CDB＝22.5°， ∴∠AED＝∠DCA+∠CDE＝45°+22.5°＝67.5°， ∵DE＝BE，EA⊥DB， ∴EA平分∠DEB， ∴∠AEB＝∠AED＝67.5°， 故选：C． 8．如图，在正方形ABCD中，AC，BD相交于点O，CE平分∠ACD交BD于点E，则下列结论错误的是（　　） A．BE＝CD B． C．∠BEC＝75° D．OB2+OE2＝CE2 【答案】C 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴BC＝CD，AC⊥BD，OB＝OC，∠BCO＝∠DCO＝∠CDO＝45°， ∵CE平分∠ACD交BD于点E， ∴∠OCE＝∠DCE∠DCO＝22.5°， ∴∠BCE＝∠BCO+∠OCE＝45°+22.5°＝67.5°， ∵∠BEC是△CDE的外角， ∴∠BEC＝∠DCE+∠CDO＝22.5°+45°＝67.5°， 故选项C不正确，符合题意； ∵∠BCE＝∠BEC＝67.5°， ∴BE＝BC＝CD， 故选项A正确，不符合题意； ∵AC⊥BD， ∴∠COE＝∠COB＝90°， ∴△COE和△COD都是直角三角形， 在Rt△COE中，由勾股定理得：OC2+OE2＝CE2， 又∵OB＝OC， ∴OB2+OE2＝CE2， 故选项D正确，不符合题意； 过点E作EF⊥CD于点F，如图所示， ∴∠EFD＝90°， ∵∠CDO＝45°， ∴△DEF是等腰直角三角形， ∴EF＝DF， 由勾股定理得：DEEF， ∵AC⊥BD， ∴EO⊥CO， ∵CE平分∠ACD，EF⊥CD， ∴OE＝EF， ∴DEEFOE， 故选项B正确， 综上所述：结论错误的是选项C． 故选C． 9．如图，四边形ABCD是长方形，四边形ABMN是面积为15的正方形，点M、N分别在BC、AD上，点E、F在MN上，点G、H在CD上，且四边形EFGH是正方形，连接AE、DE、BF、CF，若图中阴影部分的总面积为6，则正方形EFGH的面积为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【解答】解：设大正方形ABMN的边长为a，小正方形EFGH的边长为b， 则阴影面积的底为AD＝BC＝a+b，高之和为NE+MF＝a﹣b， ∴阴影面积为，即a2﹣b2＝12， ∵大正方形ABMN的面积为a2＝15， ∴b2＝3，即小正方形EFGH的面积为3， 故选：D． 10．如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边BC上，BE＝1，点M在BC的延长线上．CP平分∠DCM，点F在CP上，，过点F作FH⊥BM于点H，连接AF交CD于点N，连接AE、EF．下列结论：①AE⊥EF；②△AEF的面积为；③△ECN的周长为8；④EN2＝BE2+DN2．其中正确结论的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解答】解：①∵四边形ABCD是正方形，且边长为4， ∴AB＝BC＝CD＝1，∠DAB＝∠B＝∠BCD＝∠CDA＝90°， ∴∠DCM＝180°﹣∠BCD＝90°， ∵CP平分∠DCM， ∴∠PCM∠DCM＝45°， ∵FH⊥BM于点H， ∴∠FHE＝90°， ∴△HCF是等腰直角三角形， ∴CH＝FH， 在Rt△HCF中，CF， 由勾股定理得：CFCH， ∴CH＝FHCF1， ∵点E在边BC上，BE＝1， ∴CE＝BC﹣BE＝3，BE＝FH＝1， ∴EH＝CE+CH＝4， ∴AB＝EH＝4， 在△ABE和△EHF中， ， ∴△ABE≌△EHF（SAS）， ∴AE＝FE，∠BAE＝∠HEF， 在Rt△ABE中，∠BAE+∠AEB＝90°， ∴∠HEF+∠AEB＝90°， ∴∠AEF＝180°﹣（∠HEF+∠AEB）＝90°， ∴AE⊥EF， 故结论①正确； ②在Rt△ABE中，AB＝4，BE＝4， 由勾股定理得：AE， ∴AE＝FE， ∵AE⊥EF， ∴△AEF的面积为：AE•FE， 故结论②正确； ③过点A作AQ⊥AF交CB的延长线于点Q，如图所示： ∴∠QAF＝90°， ∵∠DAB＝∠ABC＝∠CDA＝90°， ∴∠ABQ＝∠ADN＝90°，∠QAF＝∠DAB＝90°， ∴∠QAF﹣∠BAF＝∠DAB﹣∠BAF， ∴∠QAB＝∠NAD， 在△ABQ和△ADN中， ， ∴△ABQ≌△ADN（SAS）， ∴AQ＝AN，BQ＝DN， ∴EQ＝BE+BQ＝BE+DN， ∵AE＝FE，AE⊥EF， ∴△AEF是等腰直角三角形， ∴∠EAN＝45°， ∴∠NAD+∠BAE＝∠DAB﹣∠EAN＝45°， ∴∠QAB+∠BAE＝45°， 即∠EAQ＝45°， ∴∠EAQ＝∠EAN＝45°， 在△EAQ和△EAN中， ， ∴△EAQ≌△EAN（SAS）， ∴EQ＝EN＝BE+DN， 设DN＝a， ∴CN＝CD﹣DN＝4﹣a，EN＝BE+DN＝1+a， 在Rt△CEN中，由勾股定理得：EN2＝CE2+CN2， ∴（1+a）2＝32+（4﹣a）2， 解得：a＝2.4， ∴CN＝4﹣a＝1.6，EN＝1+a＝3.4， ∴△ECN的周长为：CN+EN+CE＝1.6+3.4+3＝8， 故结论③正确； ④∵DN＝2.4，BE＝1， ∴BE2+DN2＝12+2.42＝6.76， 又∵EN＝3.4， ∴EN2＝3.42＝11.56， ∴EN2≠BE2+DN2， 故结论④不正确， 综上所述：正确的结论是①②③，共3个． 故选：C． 11．把边长为1的正方形纸片对折4次后，所得的图形面积是　　 ． 【答案】． 【解答】解：初始正方形面积为1×1＝1； 对折1次后面积为； 对折2次后面积为； 对折3次后面积为； 对折4次后面积为； 即对折4次后，所得的图形面积为． 故答案为：． 12．如图，阴影部分是两个正方形．若两个正方形面积的和与周长的和分别为5，12，则图中两个空白长方形的面积之和等于　4　 ． 【答案】4． 【解答】解：设图中阴影部分的两个正方形的边长为：a，b， ∵阴影部分的两个正方形的面积的和与周长的和分别为5，12， ∴a2+b2＝5，4a+4b＝12， ∴a+b＝3， ∴（a+b）2＝9， ∴a2+b2+2ab＝9， ∴2ab＝9﹣5＝4， ∵图中两个空白长方形的面积之和等于2ab， ∴图中两个空白长方形的面积之和等于4． 故答案为：4． 13．如图，在正方形ABCD中，点E为对角线AC上的一点，EF⊥CD，EG⊥AD，垂足分别为F、G，若EG＝2，EF＝6，则BE的长度为 　　 ． 【答案】． 【解答】解：方法一：四边形ABCD是正方形，如图1，连接DE，GF， ∴CB＝CD，∠ECB＝∠ECD＝45°，CE＝CE， 在△CBE和△CDE中， ， ∴△CBE≌△CDE（SAS）， ∴BE＝ED， ∵EF⊥CD，EG⊥AD， ∴∠EGD＝∠GDF＝∠DFE＝90°， ∴四边形GEFD是矩形， ∴GF＝DE， 在Rt△EFG中，EG＝2，EF＝6， 由勾股定理得：， ∴； 方法二：在正方形ABCD中，点E为对角线AC上的一点，EF⊥CD，EG⊥AD，如图2，延长FE交AB于点H，则EH⊥AB， ∴AD＝AB，EH＝GE，EF＝GD， ∴四边形AHFE、四边形EFDG是矩形，四边形AHEG是正方形， ∵EG＝2，EF＝6， ∴EH＝AH＝2，AD＝FH＝HE+EF＝8， ∴AB＝8， ∴BH＝AB﹣AH＝8﹣2＝6， 在直角三角形BEH中，由勾股定理得： BE2， 故答案为：． 14．如图，已知正方形ABCD的边长为8cm．若点N从点A出发，以每秒3cm的速度沿线段AD运动到点D后立即反向以原速向点A运动；同时点M从点B出发，以每秒4cm的速度沿折线B→C→D方向运动．当点M到达点D时，两点同时停止运动．当运动时间是　或　 秒时，AN＝CM． 【答案】或． 【解答】解：由题意可得：点N从A到D用时，从D到A用时；点M从B到C用时2s，从C到D用时2s． 情况1：0＜t≤2（N在A→D，M在B→C）， ∵AN＝3t，CM＝8﹣4t， ∵AN＝CM， ∴3t＝8﹣4t， ∴7t＝8， ∴（满足）； 情况2：（N在A→D，M在C→D）， ∵AN＝3t，CM＝4t﹣8， ∵AN＝CM， ∴3t＝4t﹣8， ∴t＝8（不满足，舍去）； 情况3：（N在D→A，M在C→D）， ∵AN＝16﹣3t，CM＝4t﹣8， ∵AN＝CM， ∴16﹣3t＝4t﹣8， ∴7t＝24， ∴（满足）； 故答案为：或． 15．如图，在正方形ABCD中，E是对角线AC上的动点，以DE为边作正方形DEFG，M是CD的中点，连接GM．若正方形ABCD的边长为4，则GM的最小值为 　　 ． 【答案】． 【解答】解：过点C，G作直线l，过点M作MH⊥直线l，如图所示： ∴∠MHC＝90°， ∵四边形ABCD是正方形，且边长为4， ∴CD＝AD＝4，∠CDA＝90°，∠DAC＝∠DCA＝45°， ∵点M是CD的中点， ∴CM＝DMCD＝2， ∵四边形DEFG是正方形， ∴DG＝DE，∠GDE＝90°， ∴∠GDE＝∠CDA＝90°， ∴∠GDE﹣∠CDE＝∠CDA﹣∠CDE， ∴∠GDC＝∠EDA， 在△GDC和△EDA中， ， ∴△GDC≌△EDA（SAS）， ∴∠DCG＝∠DAC＝45°， ∴∠ACG＝∠DCG+∠DCA＝90°， ∴直线l⊥AC， ∴当点D在对角线AC运动时，点G在直线l上运动， 根据“垂线段最短”得：当点G与点H重合时，GM为最小，最小值为HM的长， 在△MHC中，∠MHC＝90°，∠DCG＝45°， ∴△MHC是等腰直角三角形， ∴HM＝HC， 由勾股定理得：CMHM， ∴HMCM， ∴GM的最小值为， 故答案为：． 16．一个正方体的木箱卡在了垂直于地面且互相平行的两堵墙之间，抽象出几何图形如图，AD、BE为墙面，四边形DCEF为正方形，说明该正方体木箱能否平放在这两堵墙之间． 【答案】见解析． 【解答】解：该正方体木箱能平放在这两堵墙之间． 说明如下： ∵四边形DCEF为正方形 ∴∠A＝∠B＝∠DCE＝90°，DC＝CE（正方形的性质）， ∴∠ACD+∠ADC＝90°， 又∠ACD+∠BCE＝90°， ∴∠BCE＝∠ADC， 在△BEC和△ACD中， ， ∴△BEC≌△ACD（AAS）， ∴BC＝AD， ∴AB＝AC+BC＝AC+AD， 在△ACD中，由三角形三边关系可得AC+AD＞CD， 即AB＞CD， ∴该正方体木箱能平放在这两堵墙之间． 17．如图，正方形ABCD的边长为2，点E、F分别在边AD、AB上，连接CE、CF、EF，已知． （1）求证：AE＝AF； （2）求EF的长． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴BC＝DC＝AD＝AB，∠B＝∠D＝90°， 在Rt△BCF和Rt△DCE中， ， ∴Rt△BCF≌Rt△DCE（HL）， ∴BF＝DE， ∴AB﹣BF＝AD﹣DE， ∴AF＝AE，即AE＝AF； （2）解：∵四边形ABCD是正方形， ∴BC＝DC＝AD＝AB＝2，∠A＝∠D＝90°， ∴， ∴AE＝AD﹣DE＝2﹣1＝1， ∴AE＝AF＝1， ∴， ∴EF的长为． 18．如图，四边形ABCD是正方形，G是BC上任意一点（点G与B、C不重合），AE⊥DG于E，CF⊥DG于F． （1）求证：△AED≌△DFC； （2）求证：AE＝FC+EF． 【答案】（1）证明见解答过程； （2）证明见解答过程． 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝DC，∠ADC＝90°， ∴∠ADE+∠CDF＝90°， ∵AE⊥DG，CF⊥DG， ∴∠AED＝∠DFC＝90°， ∴∠DAE+∠ADE＝90°， ∴∠DAE＝∠CDF， 在△AEE和△DFC中， ， ∴△AED≌△DFC（AAS）； （2）∵△AED≌△DFC， ∴AE＝DF，ED＝FC， ∵DF＝ED+EF＝FC+EF． ∴AE＝FC+EF． 19．如图，∠MON＝90°，正方形ABCD的顶点A、B分别在OM、ON上，E为AC上一点，且∠EBC＝∠CBN，直线DE与ON交于F． （1）求证：∠CBN＝∠BAO； （2）判断DF与ON的位置关系，并说明理由． 【答案】见解析． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC＝90°，即∠ABO+∠CBN＝90°． 又∵∠MON＝90°， 在△ABO中，∠BAO+∠ABO＝90°． ∴∠CBN＝∠BAO； （2）DF⊥ON；理由如下： ∵四边形ABCD是正方形， ∴CA平分∠BCD，BC＝DC， ∴∠BCE＝∠DCE＝45°． 在△BCE和△DCE中， ， ∴△BCE≌△DCE（SAS）， ∴∠EBC＝∠EDC， ∵∠EBC＝∠CBN， ∴∠EDC＝∠CBN， 又∵∠EDC+∠CGE＝90°，∠CGE＝∠BGF， ∴∠BGF+∠CBN＝90°， ∴∠EFB＝90°， ∴DF⊥ON． 20．在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．在线段AO上任取一点P（端点除外），连接PD、PB．点Q在BA的延长线上且PQ＝PD． （1）如图1，若四边形ABCD是正方形． ①求∠DPQ的度数； ②探究AQ与OP的数量关系并说明理由． （2）如图2，若四边形ABCD是菱形且∠ABC＝60°．探究AQ与CP的数量关系并说明理由． 【答案】（1）①∠DPQ＝90°； ②AQOP，理由见解答； （2）AQ＝CP，理由见解答． 【解答】解：（1）①∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝AB，∠DAC＝∠BAC＝45°，∠DAB＝90°， ∴∠DAQ＝90°， ∵AP＝AP， ∴△DAP≌△BAP（SAS）， ∴PD＝PB，∠ADP＝∠ABP， ∵PQ＝PD， ∴PQ＝PB， ∴∠PQA＝∠PBA＝∠ADP， ∵∠AMQ＝∠DMP， ∴∠DPQ＝∠DAQ＝90°； ②AQOP，理由如下： 如图2，在OD上取一点N，使DN＝PA，连接PN， ∵四边形ABCD是正方形， ∴OD＝OA，∠AOD＝90°， ∴ON＝OP， ∴△PON是等腰直角三角形， ∴PNOP， ∵∠DPQ＝90°， ∴∠APQ+∠OPD＝90°， ∵∠OPD+∠ODP＝90°， ∴∠APQ＝∠ODP， ∵PD＝PQ， ∴△DNP≌△PAQ（SAS）， ∴PN＝AQ， ∴AQOP； （2）AQ＝CP，理由如下： 如图3，过点D作DE⊥BQ于E，连接DQ， ∴∠AED＝∠DEQ＝90°， ∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，AD∥BC， ∴∠ABD＝30°，AC⊥BD，AD＝AB＝BC，∠DAE＝∠ABC＝60°， ∴∠AOB＝∠BOC＝90°，△ABC是等边三角形， ∴∠BOC＝∠AED，∠AOB＝∠DEQ，∠ACB＝60°， 由（1）同理得：PB＝PD＝PQ，∠DPQ＝∠DAQ＝60°， ∴△PDQ是等边三角形， ∴DQ＝PD＝PB， ∴△ADE≌△BCO（AAS）， ∴DE＝OB，OC＝AE， ∴Rt△DEQ≌Rt△BOP（HL）， ∴EQ＝OP， ∴EQ+AE＝OP+OC， 即AQ＝CP． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题21.8 正方形的性质 教学目标 1. 熟悉正方形的定义，掌握正方形的性质，并能够熟练地应用性质。 教学重难点 1. 重点 （1） 正方形的性质。 2. 难点 （1）利用正方形的性质解决线段或角度问题； （2）利用正方形的性质结合平面直角坐标系求点的坐标。 知识点01 正方形的定义 1. 正方形的定义： 四条边都 ，四个角都是 的四边形叫做正方形。 所以正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，还是特殊的菱形。 知识点02 正方形的性质 1. 正方形的性质： 同时具有平行四边形、矩形以及菱形的一切性质。 性质 几何语言 图示 边 对边平行，四条边都相等 角 四个角都是直角 对角线 对角线相互垂直平分且相等，且平分每一组对角 面积 法1：对角线算法 法2：边的平方 对称性 既是中心对称图形，也是轴对称图形 【即学即练1】 1．正方形具有而一般矩形不一定具有的性质是（　　） A．两组对边分别相等 B．两条对角线互相平分 C．两条对角线互相垂直 D．两条对角线相等 【即学即练2】 2．正方形具有而菱形不具有的性质是（　　） A．对角线互相平分 B．每条对角线平分一组对角 C．对角线相等 D．对边相等 【即学即练3】 3．摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法，如图，在正方形ABCD的BC边上取中点E，以点E为圆心，线段DE长为半径作圆，交BC的延长线于点F，过点F作FG⊥AD，交AD的延长线于点G，得到长方形CDGF．若AB＝2，则CF的长是（　　） A． B． C． D． 【即学即练4】 4．如图，在正方形ABCD和正方形CEFG中，点G在CD上，BC＝4，CE＝2，H是AF的中点，那么CH的长为（　　） A． B． C． D． 【即学即练5】 5．如图，在正方形ABCD中，F为对角线BD上一点，连接AF并延长交CD于点E，若EF＝EC，则∠ECF的度数为（　　） A．36° B．32° C．30° D．28° 【即学即练6】 6．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ABE，连接DE、AC，相交于点F，则∠BFC的度数为（　　） A．60° B．75° C．45° D．80° 【即学即练7】 7．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD的边AB在x轴上，AB的中点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点C落在y轴的正半轴上的点C′处，则点D的对应点D′的坐标为（　　） A． B． C． D． 题型01 利用正方形的性质求线段 【典例1】若一个正方形的对角线长为4cm，则它的面积是（　　） A．8cm2 B．16cm2 C．32cm2 D．72cm2 【变式1】如图，正方形ABCD的边长为3，点E在边AB上，连接ED，过点D作FD⊥DE，与BC的延长线相交于点F，连接EF，与边CD相交于点G，与对角线BD相交于点H．若BD＝BF，则BE的长为（　　） A．2 B． C． D． 【变式2】如图，正方形ABCD的一条边BC与等腰△CEF的一条边CF在同一直线上，AF分别交CD，CE于点G，H．已知BC＝CF＝2，CE＝EF，则GH的长为（　　） A． B． C． D． 【变式3】如图，点E是正方形ABCD的中心（对角线的交点），以点E为直角顶点作Rt△EFG，Rt△EFG的两直角边EF，EG分别交BC，DC于点M，N，若正方形ABCD的边长为8，则重叠部分四边形EMCN的面积为（　　） A．6 B．9 C．12 D．16 题型02 利用正方形的性质求角度 【典例1】如图，在正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，AE的延长线交CD于点F，连接CE，若∠BAE＝53°，则∠CEF的度数为（　　） A．13° B．14° C．15° D．16° 【变式1】如图，四边形ABCD是正方形，△CBE是等边三角形，∠CDE的度数为（　　） A．75° B．60° C．45° D．30° 【变式2】点E为正方形ABCD中对角线AC上一点（点E不与端点A、C重合），当△CBE为等腰三角形时，∠ABE的度数为 　 　 ． 【变式3】如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，点E、F分别为边BC和AB上的点，且CE＝BF，连接EF，过点E作EG⊥BC交AC于点G，点H为边AD上的点，连接GH，若GH＝EF，∠FEB＝25°，则∠AHG的度数为 　 ． 题型03 利用正方形的性质求坐标 【典例1】如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O（0，0）；B（4，0），则顶点C的坐标是（　　） A．（2，2） B．（2，﹣2） C．（﹣2，2） D． 【变式1】在平面直角坐标系中，正方形OBCD的顶点O的坐标是（0，0），顶点B的坐标是（0，3），则顶点D的坐标是（　　） A．（3，0） B．（﹣3，0） C．（3，0）或（﹣3，0） D．（0，3）或（0，﹣3） 【变式2】如图，将边长为5的正方形OACD放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点D的横坐标为3，求A的坐标． 【变式3】如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点B在x轴上，顶点C在y轴上，且C（0，﹣2），D（b，﹣1），则b的值是（　　） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 1．矩形、菱形和正方形都具有的性质是（　　） A．对角线互相平分 B．对角线相等 C．每一条对角线平分一组对角 D．对角线互相垂直 2．下列性质中，矩形具有、正方形也具有、但是菱形却不具有的性质是（　　） A．对角线互相垂直 B．对角线互相平分 C．对角线长度相等 D．每一条对角线平分一组对角 3．下列关于特殊四边形性质的说法，正确的是（　　） A．矩形的对角线互相垂直且平分 B．正方形的对角线相等且互相垂直平分 C．菱形的对角线相等且互相平分 D．平行四边形是中心对称图形也是轴对称图形 4．如图，在正方形ABCD中，点G在BC边上，连接AG，DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F，若BF＝4，DE＝9，则EF的长为（　　） A．5 B．8 C．12 D．2 5．如图，边长为12的正方形ABCD中，点E是BC的中点，点F在CD上，且∠BAE＝∠FAE．则AF的长为（　　） A．15 B．16 C． D． 6．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为3的正方形，其中，点C位于第二象限，点B位于第一象限，且OC与y轴正半轴的夹角为15°，则点B的坐标为（　　） A． B． C． D． 7．在正方形ABCD中，AC与BD交于点G，若DE平分∠GDC，连接BE并取中点F，连接AF，则∠AEB的度数是（　　） A．70° B．62.5° C．67.5° D．75° 8．如图，在正方形ABCD中，AC，BD相交于点O，CE平分∠ACD交BD于点E，则下列结论错误的是（　　） A．BE＝CD B． C．∠BEC＝75° D．OB2+OE2＝CE2 9．如图，四边形ABCD是长方形，四边形ABMN是面积为15的正方形，点M、N分别在BC、AD上，点E、F在MN上，点G、H在CD上，且四边形EFGH是正方形，连接AE、DE、BF、CF，若图中阴影部分的总面积为6，则正方形EFGH的面积为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 10．如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边BC上，BE＝1，点M在BC的延长线上．CP平分∠DCM，点F在CP上，，过点F作FH⊥BM于点H，连接AF交CD于点N，连接AE、EF．下列结论：①AE⊥EF；②△AEF的面积为；③△ECN的周长为8；④EN2＝BE2+DN2．其中正确结论的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 11．把边长为1的正方形纸片对折4次后，所得的图形面积是　 　 ． 12．如图，阴影部分是两个正方形．若两个正方形面积的和与周长的和分别为5，12，则图中两个空白长方形的面积之和等于　 　 ． 13．如图，在正方形ABCD中，点E为对角线AC上的一点，EF⊥CD，EG⊥AD，垂足分别为F、G，若EG＝2，EF＝6，则BE的长度为 ． 14．已知正方形ABCD的边长为8cm．若点N从点A出发，以每秒3cm的速度沿线段AD运动到点D后立即反向以原速向点A运动；同时点M从点B出发，以每秒4cm的速度沿折线B→C→D方向运动．当点M到达点D时，两点同时停止运动．当运动时间是　 秒时，AN＝CM． 15．如图，在正方形ABCD中，E是对角线AC上的动点，以DE为边作正方形DEFG，M是CD的中点，连接GM．若正方形ABCD的边长为4，则GM的最小值为 　 ． 16．一个正方体的木箱卡在了垂直于地面且互相平行的两堵墙之间，抽象出几何图形如图，AD、BE为墙面，四边形DCEF为正方形，说明该正方体木箱能否平放在这两堵墙之间． 17．如图，正方形ABCD的边长为2，点E、F分别在边AD、AB上，连接CE、CF、EF，已知． （1）求证：AE＝AF； （2）求EF的长． 18．如图，四边形ABCD是正方形，G是BC上任意一点（点G与B、C不重合），AE⊥DG于E，CF⊥DG于F． （1）求证：△AED≌△DFC； （2）求证：AE＝FC+EF． 19．如图，∠MON＝90°，正方形ABCD的顶点A、B分别在OM、ON上，E为AC上一点，且∠EBC＝∠CBN，直线DE与ON交于F． （1）求证：∠CBN＝∠BAO； （2）判断DF与ON的位置关系，并说明理由． 20．在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．在线段AO上任取一点P（端点除外），连接PD、PB．点Q在BA的延长线上且PQ＝PD． （1）如图1，若四边形ABCD是正方形． ①求∠DPQ的度数； ②探究AQ与OP的数量关系并说明理由． （2）如图2，若四边形ABCD是菱形且∠ABC＝60°．探究AQ与CP的数量关系并说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $