第27章相似寒假作业-2025-2026学年人教版数学九年级下册

（寒假作业）第27章相似-2025-2026学年数学九年级下册人教版 一、单选题 1．下列图形中一定相似的是（    ） A．等腰三角形 B．反比例函数图像 C．菱形 D．矩形 2．如图所示是嘉琪的一张书法练习纸，练习纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A，B，C都在竖格线上．若线段，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 3．校园里一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，点P为的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度为（    ）    A． B． C． D． 4．在中，与相交于点O，连接，若，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．如图，在平行四边形中，点E在上，若，则与的面积比为（ ） A． B． C． D． 6．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，与是第一象限内以点为位似中心的位似图形．若，点的坐标为，则点的坐标为(    ) A． B． C． D． 7．如图，在平行四边形中，点是上一点，，连接交于点G，延长交的延长线于点F，则的值为（   ） A． B． C． D． 8．在平面直角坐标系中，将一块直角三角板如图放置，直角顶点与原点O重合，顶点A，B恰好分别落在函数（x＜0），（x＞0）的图象上，则的值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．已知，则的值为 ． 10．命题：“任意两个矩形都相似”是 命题．（填“真”或“假”） 11．如图，与相交于点，．若，，，则 ． 12．如图，已知矩形，分别是边上的动点，且，点关于的对称点为，则点到边距离的最小值为 ． 13．在求解图形面积时，经常用到“同底等高”“等底等高”等方法．如图，为的对角线，分别在上，且，若，则 ． 14．如图，在中，，，点是边的一个三等分点，点在边上，线段交于点．若，则的长为 ． 15．如图，四边形是⊙的内接四边形，过点作的切线，交的延长线于点，连接并延长交于点．若，半径为，时，则 ， ． 16．如图，在中，．点分别在，，上，且四边形是正方形，点分别在上，且四边形是正方形，…，点分别在上，且四边形是正方形，则线段的长度是 ． 三、解答题 17．如图，在中，，，，，求的长． 18．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．以原点为位似中心，在图中画出的位似图形，使与的相似比为，点、、分别与点、、对应，且点在第二象限． 19．已知：如图，是等边三角形，点分别在边上， (1)求证：； (2)若，求的长． 20．2025年9月29日，“川超”联赛巴中红叶队主场对阵南充丝绸源点队的比赛在巴中市体育中心举行，小明对球门的高度萌生了探究欲，趁着赛前球员热身训练的间隙，开启了对球门的测量实践．（参考数据：国际上，标准十一人制足球比赛球门高度为2.44米）． (1)测量一：如图1，小明从球门后退24步到点，将随身所带的一面小镜子平放在地面上的点处，继续后退直到他在镜子中刚好看到球门横梁下沿时停止，此时他共后退了39步．已知小明眼睛离地面的高度米，请求出球门高度； (2)测量二：如图2，爸爸从球门后退20步到点处站立不动，小明从点继续后退5步到点处（点、、在同一直线上），此时小明眼睛、爸爸头顶、球门横梁下沿三点共线．已知爸爸身高米，小明目高米，请求出球门高度； (3)根据（1）（2）的计算结果，请计算球门高度的平均值（保留两位小数），并对照参考值说明小明的测量方案是否合理，说明理由． 21．初中几何模型有时候是解决几何问题的“金钥匙”，它能提供高效且精准的解题思路和方法．几何模型在学习中确实包含识别、理解、运用、构建等不同层次，这些层次反映了从基础感知到高级应用的认知过程． 【特例感知】 （1）如图1，在正方形中，点E在边上，F是的中点且． ①求证：； ②则_______． 【类比探究】 （2）如图2，在菱形中，，点E，F分别在上，求证：． 小兵同学证法是：先在的延长线上取一点H，使得，连接，… 请完成小兵同学的作图，并完成证明． 【拓展延伸】 （3）如图3，是的中位线，E是的中点，，请直接写出的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《（寒假作业）第27章相似-2025-2026学年数学九年级下册人教版》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D B D C A A A 1．B 【分析】本题主要考查了相似图形的判断，相似图形要求形状相同，大小可能不同．反比例函数图像无论k值如何，形状相同，一定相似；等腰三角形不一定相似；菱形和矩形对应角不一定相等或边不一定成比例，不一定相似． 【详解】解：等腰三角形对应角不一定相等，故不一定相似； ∵反比例函数的图像是双曲线，通过缩放可重合，形状相同； ∴反比例函数图像一定相似． ∵菱形的对应角不一定相等（例如，一个菱形的内角为，另一个菱形的内角为），所以菱形不一定相似。 ∵矩形的长宽比不一定相同（如正方形与长方形），对应边不成比例； ∴矩形不一定相似． 故选：B． 2．D 【分析】本题考查平行线分线段成比例，过点A作于点H，交于点D，再根据平行线分线段成比例定理可得，即可求出的长． 【详解】解：如图，过点A作于点H， ∵练习纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 3．B 【分析】本题考查了黄金分割，根据黄金分割的定义求出的长，即可解决问题． 【详解】解：∵点P为的黄金分割点（），且， ∴， 故选：B． 4．D 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 先根据相似三角形的判定可得，根据相似三角形的性质可得，再证出，根据相似三角形的性质可得，则可得的长，然后根据求解即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 5．C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形相似的判定与性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 根据平行四边形的性质，可得，，然后证明，接着根据，得到，最后利用相似三角形的性质求得答案． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， 与的面积比为：， 故选：C． 6．A 【分析】本题主要考查了位似变换的性质，正确理解位似与相似的关系，记忆关于原点位似的两个图形对应点坐标之间的关系是解题的关键．根据与以原点为位似中心，以及，得出与的相似比为，再结合点的坐标为，进而求出点的坐标． 【详解】解：∵与是以原点为位似中心的位似图形， ， ， ∴与位似比为， ∵点的坐标是， ∴点的坐标为，即点的坐标为， 故选：A． 7．A 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，解决本题的关键是利用平行四边形的性质对边平行而构建相似三角形． 先根据平行四边形的性质得到，则可判断，，于是根据相似三角形的性质和即可得结果． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ，， ， ∴，， ∵， ∴ ， ∴， ∴． ∴ 故选：A． 8．A 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，相似三角形的判定与性质，将面积比转化为相似比，解题的关键是：熟练掌握反比例函数的几何意义． 根据反比例函数的几何意义，可得，的面积；根据题意又可知这两个直角三角形相似，根据面积比等于相似比的平方，即可求解， 【详解】解：过点、分别作轴，轴，垂足为、， ∴ ∴ 点在反比例函数上，点在上， ∴，， 又∵， ∴ ， ， ∴， ∴， 故选：． 9．/0.25 【分析】此题考查了比例的性质，根据比例性质即可求解，解题的关键是正确理解比例的性质． 【详解】解：∵， ∴设，（）， ∴， 故答案为：． 10．假 【分析】本题考查真假命题的判断，涉及相似多边形的定义、矩形的性质，根据相似多边形的定义，判断对应角是否相等且对应边是否成比例． 【详解】解：任意两个矩形的对应角都相等（均为直角），但对应边不一定成比例，例如一个矩形长为2、宽为3，另一个矩形长为4、宽为5，对应边比分别为和，因此不相似，故该命题是假命题． 故答案为：假． 11．6 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质，证明是解题的关键．证明，则，求出，即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：6 12．/ 【分析】连接交于点，连接、，证明得，可知始终经过定点，又由对称得，即可得点在以点为圆心，为半径的圆上，过点作于，延长交于N，则当在上时，点到边距离的最小，利用矩形、相似三角形的性质、勾股定理等求出、的长即可求解． 【详解】解：连接交于点，连接、，如图， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴始终经过定点， ∵点关于的对称点为， ∴， ∴点在以点为圆心，为半径的圆上， 如图，过点作于，延长交于N，则当在上时，点到边距离的最小， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴同理可求，，， ∵，， ∴， ∴， ∴点到边距离的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，点和圆的位置关系，相似三角形的判定和性质，勾股定理等，正确作出辅助线是解题的关键． 13．7 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、等积变换，利用相似得到线段和高的比例关系是解题的关键． 先证明，再利用三角形相似的判定和性质，平行四边形的性质，解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：7． 14．/ 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质．利用等腰直角三角形两腰相等、底角为的性质得到斜边长和角度相等，根据三角形相似进而得到对应边的比例关系，是解题的关键． 首先根据等腰三角形的性质，得到的长，根据点是边的一个三等分点，得到的长，根据两角相等，得到，进而根据对应线段成比例得到的长，根据勾股定理得到的长，根据两角相等，得到，进而根据对应线段成比例得到的长，进而得到的长． 【详解】解：∵在中，，， ∴，， ∵点是边的一个三等分点， ∴, 在和中， ，， ∴， ∴, ∴， ∴, ∴， ∴, 又∵，， ∴， ∴, ∴， ∴, ∴． 故答案为：． 15． 或 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质等，由切线的性质可得，即得，再根据圆内接四边形的性质可求出，连接，延长交于点，过点作于，可证，即得，再利用垂径定理及直角三角形的性质、勾股定理可得，即得到，再根据解答即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：∵是的切线， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴， 连接，延长交于点，过点作于，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， 解得或， 故答案为：，或． 16． 【分析】本题考查了图形的变化类，找出变化规律是解题的关键．先根据相似三角形的性质求出前几个正方形的边长，找出它们之间的关系，再求解． 【详解】解：设正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为， 由题意得：， ∴，即， ， 解得：，即：， 同理：， ∴，即， ， 解得：，即：， 同理：， ， 解得：，即：， 由此规律得：， 线段的长为：． 故答案为：． 17． 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，利用平行线得到对应线段成比例是解题的关键． 由，根据平行线分线段成比例定理可得，代入，，求出，由即可得AC的长． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 18．见解析 【分析】本题考查了画位似图形，根据位似图形的性质正确作图是解题的关键． 根据位似图形的性质作图即可． 【详解】解：如图所示，即为所求： 19．(1)见解析 (2)2或1 【分析】(1)证明即可． (2)根据三角形相似的性质，列出方程，计算求解即可． 本题主要考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴ ， ∵，是等边三角形， ∴,， ∴ ， ∴， 解得或； 综上所述， 的长为1或2． 20．(1) (2) (3)小明的测量方案不合理，理由见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理与性质，平行线分线段成比例，平均数熟练掌握相似三角形的判定定理及性质是解题的关键． （1）根据题意证明，设，则，，结合相似三角形性质求解，即可解题； （2）连接交于点，根据平行线分线段成比例，推出，证明，利用相似三角形性质先求出，，进而即可求出球门高度； （3）根据平均数概念求出球门高度的平均值，再与参考值比较分析，即可解题． 【详解】（1）解：由题意和光的反射原理可知，， ， ， 设，则， ， 米， ， 解得； （2）解：连接交于点， 由题知，， ，， ，， 爸爸身高米，小明眼高米， ，解得， ， 解得； （3）解：， ， 小明的测量方案不合理． 21．（1）①见解析；②2；（2）见解析；见解析；（3） 【分析】（1）①根据题意可得，即可求证；②根据相似三角形的性质解答即可； （2）在的延长线上取一点H，使得，连结，证明，可得，即可解答； （3）证明，可得，过点E作于点K，则为等腰直角三角形，可得到，再结合勾股定理可求出，即可求解． 【详解】（1）①证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②解：∵F是的中点， ∴， ∵， ∴． 故答案为：2 （2）如图，在的延长线上取一点H，使得，连接， 在菱形中，， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）设， ∵是的中位线，E是的中点， ∴，，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，过点E作于点K，则为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，三角形的中位线性质，正方形的性质，三角形的外角性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质是解题的关键． 答案第1页，共2页 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