第25章概率初步寒假作业-2025-2026学年人教版数学九年级上册

（寒假作业）第25章概率初步-2025-2026学年数学九年级上册人教版 一、单选题 1．下列事件中，是必然事件的是（    ） A．任意买一张电影票，座位号是偶数 B．抽查背诵，刚好抽到学号是5的同学 C．对顶角相等 D．打开收音机，正好播放音乐《一路山程》 2．为丰富职工业余生活，工会计划组织活动，从“白云山登山”、“帽峰山骑行”、“流溪河垂钓”、“广州体育馆羽毛球赛”这四个活动中随机选取两个作为活动项目，求恰好选中“白云山登山”和“帽峰山骑行”的概率（    ）． A． B． C． D． 3．在单词（数学）中任意选择一个字母，恰好是字母“”的概率是（    ） A． B． C． D． 4．一个不透明的盒子中装有20个除颜色不同外其他都相同的乒乓球，将其摇匀，从中随机摸出一个乒乓球并记录颜色，记录后放回．通过多次重复试验后发现摸到黄球的频率为0.30，估计盒子中黄球的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 5．教室地面的瓷砖如图所示，一把钥匙被藏在某种颜色的一块瓷砖下面，则下列判断中，正确的是（   ） A．被藏在白色瓷砖下的概率大 B．被藏在灰色瓷砖下的概率大 C．被藏在两种瓷砖下的概率一样大 D．无法确定 6．为了估计某种新型催化剂在化学反应中的有效催化概率，兴趣小组通过实验，记录了如下催化情况： 实验总次数 80 150 300 500 800 1200 有效催化频数 74 131 271 453 727 1093 有效催化频率 0.925 0.873 0.903 0.906 0.909 0.911 由此可估计该新型催化剂的有效催化概率约为（    ） A．0.87 B．0.90 C．0.91 D．0.93 7．不透明袋子中装有若干个红球和白球，除颜色外无其他差别．小梧从袋中随机摸出一个后放回并搅匀，这样重复摸了100次，其中摸到红球90次．下列说法正确的是（    ） A．袋中红球有90个 B．第101次摸到红球的可能性较大 C．第101次会摸到红球 D．红球的数量占袋中总球数的 8．一个不透明的口袋里装有20个不同颜色的小球（除颜色外其余均相同），其中有5个蓝球，个红球，还有个黄球．每次摸出一个球记录下颜色后再放回，统计每次实验红球出现的频率如图，则的值最可能是（   ） A．12 B．3 C．10 D．5 二、填空题 9．“荣昌四宝”是指荣昌折扇、荣昌陶、荣昌夏布、荣昌猪，现从某文创商店这“四宝”文创书签中挑选种作为纪念，则挑选到“荣昌猪”的概率是 ． 10．如图，有两个可自由转动的转盘，转盘被分成二等份，分别标有数字、，转盘被分成三等份，分别标有数字、、，转动两个转盘各一次（若转到分界线，再重转一次），转盘停止后，指针指向的数字之和为0的概率是 ． 11．某班学生到三峡博物馆参加研学活动．博物馆为同学们准备了以镇馆之宝“战国青铜鸟形尊”“商代三羊尊”“东汉偏将军金印”为主题的三款文创产品，每位同学可从中随机抽取一个作为纪念品．若抽到每一款的可能性相等，则甲、乙两位同学同时抽到“东汉偏将军金印”的概率是 ． 12．一个不透明的袋子里装有4个红球和若干个蓝球，这些球除颜色外完全相同，随机摸出一个球是红球的概率为，则蓝球的个数是 ． 13．在边长为1的小正方形组成的网格中，有如图所示的，两点，在格点上任意放置点（除点，外的格点），恰好能使得的面积为1的概率为 ． 三、解答题 14．某校组织七年级学生开展“传承赣鄱文化，建设美丽江西”为主题的朗诵比赛，朗诵作品由抽卡片决定，现有，，三张不透明卡片，卡片正面分别写着：．《滕王阁序》（王勃）；．《石钟山记》（苏轼）；．《琵琶行》（白居易）、卡片除正面不同外其余均相同，将张卡片正面向下洗牌，小明先从中随机抽取一张卡片，小亮再从剩下的卡片中随机抽取一张． (1)小明抽到卡片的概率是___________； (2)请用画树状图或列表的方法，求两人抽到的卡片是和的概率． 15．在一个不透明的口袋中装有红、绿小球各一个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个小球． (1)请用画树状图或列表的方法，求两次都摸到红球的概率； (2)某数学兴趣小组在以上条件下，进行多次重复试验，结果如下表所示： 实验次数 两次都摸到红球的频率 根据表中数据，估计两次都摸到红球的概率，请直接写出此概率的值（精确到）； (3)根据以上内容，请说明频率与概率的关系． 16．某校为了解九年级学生对消防安全知识掌握的情况，随机抽取该校20名九年级学生进行测试，并将20名学生分成甲、乙两组，每组各10人．对测试成绩进行收集、整理、描述和分析（测试满分为10分），收集整理的数据制成了如下统计图表： 平均数 中位数 众数 甲组 8.3 8 8 乙组 8.3 a b 根据以上信息，回答下列问题． (1)填空：________， ； (2)该校九年级共有360名学生，若全年级学生都参加本次测试，请估计竞赛成绩达到9分及以上的人数； (3)现在准备从甲、乙两组满分为10分的学生中随机抽取两名学生参加市级竞赛，请用列表法或画树状图法求所抽取的两名学生恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的概率． 17．新课标（年版）要求学校教育要坚持“立德树人”，实施“跨学科学习、项目式学习”，某市教育局对九年级学生进行了一次数学素养监测，并随机抽取了名学生的测试成绩，按照“优”“良”“中”“差”四个等级进行统计，并根据统计结果绘制成了如下两幅不完整的统计图． 请根据统计图中提供的信息，解答下面的问题． (1)的值是___________；并补全条形统计图； (2)扇形统计图中，“中”等级对应的圆心角是___________度； (3)若该市有名九年级学生，请估计约有___________名学生成绩在“优”等级； (4)现从成绩为“优”的甲、乙、丙、丁四位同学中随机抽取两位同学参与“跨学科学习项目式学习”汇报，请用列表或树状图求甲同学被抽到的概率； 18．某商场为了吸引顾客，打出这样一个广告：本商场为了感谢广大消费者的支持和厚爱，特举行购物抽奖活动，中奖率，最高奖为50元．具体规则是顾客购物每满100元，就能获得1次转动如下图所示的转盘的机会（转盘被等分成16份）．如果转盘停止后，指针正好对准黄色、红色、绿色、白色区域，那么顾客就可以分别获得50元、20元、10元、5元的购物券（若指针与边界线重合，则重转）．请根据以上信息，解答下列问题： (1)若小亮的妈妈购物满100元，她获得购物券的概率是多少？ (2)若小亮的妈妈购物满150元，她获得50元、5元购物券的概率分别是多少？ (3)若改变红色区域的份数，使得自由转动这个转盘，当它停止转动时，指针对准红色区域的概率是，请算出它的份数并在转盘的适当位置涂上颜色． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《（寒假作业）第25章概率初步-2025-2026学年数学九年级上册人教版》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C D B C A C B A 1．C 【分析】本题主要考查随机事件，解题的关键是理解定义；必然事件是指在一定条件下一定会发生的事件；选项A、B、D都是随机事件，可能发生也可能不发生；选项C是几何性质，对顶角一定相等，因此是必然事件，然后问题可求解． 【详解】解：∵对顶角相等是几何基本定理， ∴选项C是必然事件； 其他选项：A中座位号可能为奇数或偶数；B中抽查可能抽到其他学号；D中收音机播放内容随机，均不一定发生； 故选C． 2．D 【分析】本题考查概率，正确掌握求概率的方法是解题的关键． 利用画树状图的方法，求出所有的等可能的结果和满足事件的等可能结果，计算即可求解． 【详解】解：记“白云山登山”、“帽峰山骑行”、“流溪河垂钓”、“广州体育馆羽毛球赛”这四个活动分别为A、B、C、D， 由图可得，共有12种等可能的结果，其中恰好选中“A”和“B”的等可能结果有2种， 则恰好选中“白云山登山”和“帽峰山骑行”的概率为． 故选：D． 3．B 【分析】本题主要考查运用概率公式求概率，根据已知条件找出总的情况数和符合条件的情况数是解题关键． 直接应用概率公式，计算总字母数和字母“”的出现次数． 【详解】解：∵单词“”共有11个字母， 其中字母“”出现次， ∴概率为， 故选B． 4．C 【分析】本题考查了利用频率估计概率，利用频率估计概率得到摸到黄球的概率为0.30，然后根据概率公式计算出盒子中黄球的个数． 【详解】解：∵通过多次重复试验后发现摸到黄球的频率为0.30， ∴估计摸到黄球的概率为0.30， ∴估计盒子中黄球的个数为（个）． 故选：C． 5．A 【分析】本题考查了几何概率，解答此题的关键是分别计算出灰白瓷砖的块数，用到的知识点为：概率相应的面积与总面积之比． 先求出教室地面的瓷砖的总块数，再分别求出灰、白瓷砖的块数，根据概率公式解答即可． 【详解】解：教室地面的瓷砖共有（块）， 其中白色瓷砖有块，概率为， 灰色瓷砖有块，概率为， 故被藏在白色瓷砖下的概率大． 故选：A． 6．C 【分析】本题考查利用频率估计概率，根据频率估计概率的原理，当实验次数较大时，频率稳定在概率附近，因此选取实验次数最大的频率进行估计． 【详解】解：∵ 实验总次数为1200时，有效催化频率为0.911，且随实验次数增加，频率逐渐稳定在0.91附近， ∴ 估计该新型催化剂的有效催化概率约为0.91． 故选：C． 7．B 【分析】本题考查根据频率估计概率，摸到红球的频率为，故概率约为；每次摸球独立且概率不变，因此第101次摸到红球的可能性较大，据此逐项判断即可． 【详解】解：∵ 摸球100次，摸到红球90次，且每次摸球后放回搅匀，每次摸球独立， ∴ 摸到红球的频率为，估计概率为， ∴ 第101次摸到红球的概率约为，故摸到红球的可能性较大， 选项A错误，因为总球数未知； 选项B正确； 选项C错误，因为概率不为1； 选项D错误，因为频率不一定精确等于比例， 故选B． 8．A 【分析】由图形知，红球出现的频率逐渐稳定于数值，再乘以球的总个数即可得出答案． 本题主要考查利用频率估计概率，根据概率求数量，大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 【详解】解：由图形知，红球出现的频率逐渐稳定于数值， 所以估计袋中红球的个数为：（个）， 故选：A． 9． 【分析】本题考查了列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解题的关键． 用分别表示荣昌折扇、荣昌陶、荣昌夏布、荣昌猪，先画树状图展示所有种等可能的结果，再找出选到“荣昌猪”的结果数，然后根据概率公式计算． 【详解】解：用分别表示荣昌折扇、荣昌陶、荣昌夏布、荣昌猪， 画树状图为： 共有种等可能的结果，挑选到“荣昌猪”（）结果数为种，故挑选到“荣昌猪”的概率是． 故答案为：． 10． 【分析】本题考查了列表法或画树状图法求随机事件的概率，根据题意，把所有等可能结果表示出来，再根据概率计算公式即可求解． 【详解】解：画树状图为： 共有6种等可能的结果，其中指针指向的数字之和为0的有2种结果， 所以指针指向的数字之和为0的概率为， 故答案为：． 11． 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，解题关键是正确列表或画出树状图．先画出树状图，再得出所有可能结果与符合条件的结果数，再利用概率公式求解． 【详解】解：用A，B，C分别代表“战国青铜鸟形尊”“商代三羊尊”“东汉偏将军金印”，画树状图如下： 共有9种情况，其中甲、乙两位同学都抽到“东汉偏将军金印”的情况有1种，概率为， 故答案为：． 12．6 【分析】本题考查了概率的应用，弄清题意，熟练掌握概率的求解方法是解题的关键． 设蓝球个数为x，根据摸出红球的概率公式建立方程 【详解】解：设蓝球个数为x，则总球数为， 由概率公式得， 即， ， ， 解得：． 故答案为：6． 13． 【分析】此题主要考查了概率公式，解决此题的关键是正确找出恰好能使的面积为的点． 根据题意分别找出点所在的位置：当点与点在同一条网格线上时，边上的高为，，符合条件的点有个；当点与点在同一条网格线上时，边上的高为，，符合条件的点有个，再根据概率公式求出概率即可． 【详解】解：如图，可以找到个恰好能使的面积为的点，则概率为． 故答案为：． 14．(1)； (2)． 【分析】此题考查了用列表法或树状图法求概率，概率公式，掌握知识点的应用是解题的关键． （）直接利用概率公式计算； （）列表，找出小明和小亮恰好抽到的卡片是和的结果数，然后根据概率公式计算． 【详解】（1）解：小明抽到卡片的概率是， 故答案为：； （2）解：根据题意，列表如下， 小明小亮 共有种等可能结果，其中两人抽到的卡片是和有种， ∴两人抽到的卡片是和的概率是． 15．(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查了用列表法或树状图法求概率、频率与概率的关系，熟练掌握概率的计算方法和频率的稳定性是解题的关键． （1）通过列表或画树状图的方法，列出所有等可能的结果，再找出两次都摸到红球的结果数，进而计算概率； （2）根据大量重复试验下频率的稳定性，用频率的稳定值估计概率； （3）结合试验次数与频率的变化趋势，说明频率与概率的关系． 【详解】（1）解：由题意，画树状图如下： 第次 第次 列表： 第次第次 红 绿 红 绿 共有种可能出现的结果，且每种结果出现的可能性相等，其中两次都摸到红球（记为事件A）的结果有种， ． （2）解：由表可得，两次都摸到红球的概率为． （3）解：当试验次数越来越多时，频率越来越稳定在概率附近．（言之有理即可） 16．(1)8.5；7 (2)估计测试成绩达到9分及以上的人数有144名 (3) 【分析】本题考查列表法或树状图法求概率，条形统计图、折线统计图以及样本估计总体，掌握中位数、众数的计算方法是正确解答的前提，列举出所有可能出现的结果是计算概率的关键． （1）从条形统计图中可以看出，乙组中得分的有人，得分的有人，得分的有人，得分的有人；根据中位数的定义可以得到乙组的中位数为、众数为； （2）利用估计总体，即可求解； （3）运用列表法表示出随机抽出人总共有种情况，其中抽取的两名学生恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的有种情况，从而得到抽取的两名学生恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的概率为． 【详解】（1）解：从条形统计图中可以看出，乙组中得分的有人，得分的有人，得分的有人，得分的有人， 乙组的中位数为， 乙组中出现次数最多的数据是， 乙组的众数为， 故答案为：，； （2）解：（名） 答：估计测试成绩达到9分及以上的人数有144名； （3）解：将甲组满分为10分的一名学生记为A，乙组满分为10分的两名学生分别记为B，C，列表如下： A B C A B C 共有6种等可能的结果，其中所抽取的两名学生恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的结果有4种， ∴所抽取的两名学生恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的概率为． 17．(1)，补全条形统计图见解析； (2)； (3)； (4)甲同学被抽到的概率为． 【分析】本题考查了条形图和扇形图的综合应用，树状图求概率，样本估计总体，解题的关键是正确求出总人数和画出树状图． （）用“优”的人数除以“优”所占的百分比即可求解； （）依据总人数求出“中”的人数，再利用所占总体百分比求对应角度即可； （）利用样本估计总体计算即可； （）画出树状图，列出所有可能的情况及符合条件的情况数，运用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：由图表信息可得，（人）， ∴“中”等级的人数为：（人）， 补全条形统计图如下： 故答案为：； （2）解：由（）得“中”等级的人数有人， ∴“中”等级对应的圆心角是， 故答案为：； （3）解：成绩在“优”等级的人数：（人）， 故答案为：； （4）解：根据题意，画树状图如下， ， 一共有种等可能情况，其中甲同学被抽到的有种， ∴甲同学被抽到的概率为：． 18．(1)1 (2)， (3)使转盘上共有6份为红色区域即可，见解析． 【分析】本题考查概率的求法与运用，概率公式，掌握如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率是解题的关键． （1）由中奖率，可得获得购物券的概率是； （2）由转盘共分为等份，获得元的购物券的只有种情况，获得元的购物券的只有种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案； （3）由指针落在红色区域的概率为，可得红色区域为块，继而求得答案． 【详解】（1）解：若小亮的妈妈购物满元，则有次转动转盘的机会，所以她获得购物券的概率是． （2）解：若小亮的妈妈购物满元，则有次转动转盘的机会． ∵转盘被等分成份，黄色区域占份，白色区域占份， ∴她获得元、元购物券的概率分别是，． （3）（份），要使指针对准红色区域的概率是，只要使转盘上共有份为红色区域即可． 如图所示： 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $