第21章一元二次方程寒假作业-2025-2026学年人教版数学九年级上册

（寒假作业）第21章一元二次方程-2025-2026学年数学九年级上册人教版 一、单选题 1．下列方程中是关于的一元二次方程的是（   ）． A． B． C． D． 2．若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 3．一元二次方程的解为（    ） A． B． C．， D．， 4．某商品原价200元，连续两次降价后售价为148元，下列所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 5．如果关于的方程有两个实数根，那么的取值范围是（    ） A． B． C．且 D． 6．若，分别是一元二次方程 的两个根，则 的值为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 7．如图，是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为，求车道的宽度（单位：m）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（   ） A． B． C． D． 8．关于x、y的多项式．（m，k，n为非零实数）下列说法： （1）若，则多项式一定是完全平方式； （2）若，且，则多项式的值一定是非负数； （3）若，且，则在实数范围内，多项式一定可以分解成的形式． 其中正确的个数为（） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 二、填空题 9．若方程的二次项系数是1，则一次项系数是 ． 10．关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是 ． 11．已知、分别是方程的两根，则代数式的值为 ． 12．已知是关于的方程（为有理数，且）的一个根，则该方程的另外两个根分别是 ， ． 13．将两张全等的等腰三角形纸片按照图①所示的方式剪成四个全等的直角三角形，这四个直角三角形可以拼成图②或图③所示的正方形．已知等腰三角形纸片的底边长为2，底边上的高为，并且．如果四边形的面积等于四边形面积的，那么的值是 ． 14．如图，在中，，，．动点P从点B出发沿射线以的速度移动，设运动时间为，当为以或为底边的等腰三角形时，t的值是 ． 15．中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问阔几何．”其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的宽是多少步？”设这块矩形田地的宽为x步，则根据题意可列方程为 ． 16．已知关于的方程有两个不相等的实数根，，关于的方程的根为，给出下面三个结论： ①；②；③． 上述结论中，所有可能正确的结论的序号是 ． 三、解答题 17．解方程： (1)． (2)． 18．2025年乡村振兴背景下，平顺县“新农人”宋建红通过直播带货推广家乡地理标志产品——潞党参，这款太行山滋补佳品广受青睐．已知每盒潞党参成本30元，售价为50元时，每月可售200盒；售价每降低1元，月销量增加20盒．若月利润目标为4480元，为更多让利于顾客，求该款潞党参的实际售价． 19．小宇要对一幅书法作品进行装裱，装裱后如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边，已知原作品的长为，宽为，在装裱后左右两边的边宽相等，天头长与地头长也相等，且右边宽与天头长的比为，设右边宽为． (1)天头长为 ；（用含x的代数式表示） (2)若装裱后作品总面积为，则右边宽为多少厘米？ 20．已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求的取值范围； (2)设是方程的一个实数根，且满足，求的值． 21．如图所示，中，，，．点P从点A开始沿边向B以速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，P、Q分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t秒． (1)几秒后，的长度等于？ (2)线段能否将分成面积的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由． 22．如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，方程的两个根是和，则方程就是“倍根方程”． (1)若一元二次方程是“倍根方程”，则________； (2)若是“倍根方程”，求代数式的值； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《（寒假作业）第21章一元二次方程-2025-2026学年数学九年级上册人教版》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D D C B C B B B 1．D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为的整式方程）为解题的关键．根据一元二次方程定义对给出的方程进行辨别即可求解． 【详解】解： 一元二次方程需满足：① 整式方程；② 只含一个未知数；③ 未知数的最高次数为． 对于A：含分式，不是整式方程，不符合①，故不符合题意； 对于B：中可能为，当时不是二次方程，故不符合题意； 对于C：含两个未知数和，不符合②，故不符合题意； 对于D：可化为 ，满足①②③，是一元二次方程，故符合题意． 故选：D． 2．D 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，以及判别式，熟练掌握是一元二次方程的判别式，方程有两个不相等的实数根，方程有两个相等的实数根，方程没有实数根是解题的关键．根据一元二次方程的定义和判别式与根的关系求解即可． 【详解】解：∵方程有两个实数根， ∴且， ∴且． 故选：D． 3．C 【分析】本题考查解一元二次方程，移项后，利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：， ， ， 或， 解得， ， 故选C． 4．B 【分析】本题考查了一元二次方程的增长率，由连续两次降价，得每次降价后价格变为原价的倍，因此两次降价后价格为原价乘以，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵某商品原价200元，连续两次降价后售价为148元， ∴， 故选：B． 5．C 【分析】本题考查了一元二次方程根的情况，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．根据方程有两个实数根，需满足是一元二次方程（）且判别式，解不等式即可得解． 【详解】解：关于的方程有两个实数根， 且 ， 解得， 且． 故选：C． 6．B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，若，是一元二次方程的两根时，，，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 根据一元二次方程解的定义和根与系数的关系得到，，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】∵，是方程的根， ∴，， 即，， ∴． 故选：B． 7．B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设停车场内车道的宽度为，则停车位（图中阴影部分）可合成长为，宽为的矩形，根据矩形的面积公式列出方程即可求解，掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】解：设停车场内车道的宽度为，则停车位（图中阴影部分）可合成为长为，宽为的矩形， 由题意得，， 故选：． 8．B 【分析】本题考查多项式的基本性质，包括完全平方式的条件、二次型的非负性以及因式分解的可能性，根的判别式，需要逐一分析每个陈述的正确性． 【详解】解：（1）当，，时，，但多项式为，不是完全平方式，该项错误． （2）∵，，且， ∴， ， ∵，且， ∴，该项正确． （3） ， ∵，，且， ∴， 则 ∴当，，且时，在实数范围内，多项式一定可以分解成的形式可分解为形式，该项正确． 综上，正确个数为2个． 故选B． 9．2 【分析】本题考查一元二次方程的一般式，项与系数，掌握知识点是解题的关键． 将方程化为一般形式后，根据一元二次方程的标准形式确定一次项系数即可． 【详解】解：原方程为 化为， 合并同类项得 ． 故一次项系数为：2． 10．且 【分析】本题考查一元二次方程的定义、根的判别式、不等式的解法．解题的关键是正确计算判别式，并注意二次项系数． 因为方程是一元二次方程，所以二次项系数．再根据方程有实数根，需满足判别式．将系数，，代入判别式，得到关于的不等式，解不等式并与结合，即可得到的取值范围． 【详解】∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴判别式， 解得． 又∵方程是一元二次方程， ∴二次项系数， ∴的取值范围是且． 故答案为：且． 11． 【分析】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数之间的关系，熟练掌握基础知识是解题的关键． 由根与系数的关系可得；利用方程解的定义，将用表示，代入代数式化简后求值． 【详解】解：∵是方程的根， ∴，即． ∴． 又∵，是方程的两根， ∴． ∴原式． 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了解一元二次方程，由方程可得或，即得或，进而根据是方程的一个根即可求解，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴或， ∴或，即， ∵是关于的方程的一个根，为有理数， ∴，的一个值是， ∴是方程的另外一个根， ∴该方程的另外两个根分别是和， 故答案为：，． 13． 【分析】本题考查图形的拼剪，正方形的性质，一元二次方程的应用，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．根据四边形的面积等于四边形面积的2倍，构建方程求解． 【详解】解：由题意得， 解得：（舍去）． 故答案为：． 14．或． 【分析】本题考查勾股定理和动点问题，设运动时间为，分别当为以或为底边的等腰三角形时，列方程解答即可． 【详解】解：设运动时间为， ， 当为以为底边的等腰三角形时，即， ∵，，， ∴， ∴，即， 解得：； 当为以为底边的等腰三角形时，即 ∴即 解得：或（舍去） ∴或． 15． 【分析】本题主要考查了列一元二次方程解决古代问题，解题的关键是找准等量关系． 设宽为x步，则长为步，根据矩形面积公式列方程． 【详解】解：设宽为x步，则长为步．由题意， 得． 故答案为． 16．①③ 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解、一元二次方程中根与系数的关系，利用根与系数的关系得到和，进而将用和表示为，然后通过计算和的表达式，分情况讨论和的符号关系，判断大小顺序． 【详解】解：对于方程（），有两个不相等的实数根，（），由根与系数的关系，得， 对于方程，解得：， 代入根与系数的关系，， ∴， ， 分情况讨论： 当时，，则，，所以，结论①正确； 当时，，则，，所以，结论③正确； 当时， 若，则，，， 所以，结论①正确； 若，则，，， 所以，结论③正确； 综上，所有可能正确的结论是①和③． 故答案为：①③． 17．(1)， (2)， 【分析】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法． （1）整理成一般式，再利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于的一元一次方程，再进一步求解即可； （2）移项后，利用因式分解法进行求解，继而得出两个关于的一元一次方程，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：化成一般形式为， 将方程的左边因式分解得， 所以或， ，． （2）解：， ， ， ， ∴或， ∴，． 18．该款潞党参的实际售价为44元 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键．设每盒降价x元（x为整数），则实际售价为元，根据月利润目标为4480元列出方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设每盒降价x元（x为整数），则实际售价为元， 根据题意得， 解得（舍去），， 当时，售价元． 答：该款潞党参的实际售价为44元． 19．(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据右边宽与天头长的比为，即可求解； （2）根据“装裱后作品总面积为”，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】（1）解：∵装裱后左右两边的边宽分别是，右边宽与天头长的比为， ∴天头长和地头长分别是； 故答案为： （2）解：由题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：装裱后右边宽是． 20．(1) (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程的根的定义、根的判别式及解一元二次方程，由方程根的情况得到判别式的符号是解题的关键． （1）由方程有两个实数根，利用根的判别式得到关于的不等式，解不等式求得的取值范围即可； （2）根据一元二次方程的根的定义得出，代入，得到关于的一元二次方程，解方程求出的值，根据（1）中所得的取值范围，确定的值即可． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得：． （2）解：∵是方程的一个实数根， ∴， ∴， ∵， ∴， 整理得：， 解得：，， 由（1）可知，， ∴． 21．(1)或 (2)能， 【分析】本题考查了勾股定理，一元二次方程的应用； （1）根据题意得，，由勾股定理得，据此列出方程求解即可； （2）分类讨论：当时，当时，分别列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得 ，， ， ， 解得，， 故或后，的长度等于． （2）解：能； ， ； 当时， ， ， 整理得， 解得； 当时， ， ， 整理得， ， 此时方程无实数解， 故此种情况不存在； 综上所述：当时，线段能将分成面积的两部分． 22．(1)2 (2)0 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系、“倍根方程”的定义，熟练掌握根与系数的关系，正确理解“倍根方程”的定义是解题的关键． （1）设方程的两个根为，，根据一元二次方程根和系数的关系解答即可求解； （2）求出方程的解，再根据“倍根方程”的定义解答即可求解． 【详解】（1）解：设方程的两个根为，， 由一元二次方程根和系数的关系得，，， 即，， 则方程的两个根为和， 因此， 故答案为：； （2）解：解方程，得，， 由于方程是“倍根方程”， 若，即， 解得，即， 若，即， 解得，即， 当时，； 当时，； 综上所述，代数式的值为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $