8.3 实数及其简单运算（第1课时实数的概念及数轴表示）（培优教学课件）数学新教材人教版七年级下册

8.3实数及其简单运算 第1课时 实数的概念 及数轴表示 第八章 实数 实数 第八章 8.1 平方根 8. 2 立方根 8. 3 实数及其简单运算 章节导读 平方根 算术平方根及其估算 用计算器求算术平方根 立方根 立方根的性质及用计算器求立方根 实数的概念及数轴表示 实数的性质及简单运算 学 习 目 标 1 2 3 能结合具体实例，准确区分有理数与无理数，明确实数的定义与分类标准； 掌握实数与数轴上的点一一对应的关系，能在数轴上表示常见无理数，并能比较实数的大小； 经历从有理数到实数的数系扩充过程，体会类比与归纳的思想，提升数学抽象与逻辑推理的核心素养. 导入新课 在前面的学习中，我们通过引入一类新的数———负数，使数的范围扩充到有理数．本章我们认识了像， 这样的无限不循环小数，它们是有理数吗？如果不是，我们将再次扩充数的范围． 同学们，我们之前学过有理数，大家还记得有理数可以分成哪几类吗？ 有理数包括整数和分数． 有理数也可以按正负分为正有理数、0、负有理数． 新知探究 把下列有理数写成小数的形式，你发现了什么? ，，， ， ，. 探究 整数可以写成小数点后是 0 的小数 ， ， ， ， ， . 上面的有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式． 新知探究 事实上，任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式．反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数． 有理数 有限小数或 无限循环小数 新知探究 通过前两节的学习，我们知道，很多数的平方 根、立方根是无限不循环小数，例如，， ， 等． π＝3.14159265…也是无限不循环小数． 无限不循环小数都不是有理数. 无限不循环小数又叫作无理数. 无理数是不能写成两个整数之比（分数）的数，它和有理数一样，都是现实世界中客观存在的量的反映． 新知探究 ， ， ， ， ， 1.010010001…(两个1之间依次多一个0) ， ， ， ， ， -2.323323332…(两个1之间依次多一个0) 正 无 理 数 负 无 理 数 像有理数一样，无理数也有正负之分． 常见的无理数的形式: ①开方开不尽的数的方根 ②π及化简后含π的数 ③有规律但不循环的小数 新知探究 我国古人对无理数已经有了很多识．《九章算术》中用 “面”来表示开平方开不尽的数．刘徽在其著作 《九章算术注》中，不仅记录了包含无理数运算的问题，而且给出了用有限小数无限逼近无理数的算法 “求微数法”． 新知探究 我们将有理数和无理数统称为实数，仿照有理数的分类，据此你能给实数分类吗？ 实数 有理数 无理数 正有理数 0 负有理数 正无理数 负无理数 有限小数或无限循环小数 无限不循环小数 　　1．按照定义分类． 　　2．按照大小分类． 实数 正实数 负实数 正有理数 负有理数 负无理数 0 正无理数 典例分析 例1：下列说法正确的是（    ） A．正实数和负实数统称实数 B．正数、和负数统称有理数 C．带根号的数和负数统称实数 D．无理数和有理数统称实数 D 【解析】此题主要考查实数的定义和分类，解题的关键是熟知实数的定义．根据实数的定义判断即可． 解：A、正实数和负实数统称实数，错误，0也是实数，故不符合题意；B、正数、0和负数统称有理数，错误，正数、0和负数统称实数，故不符合题意；C、带根号的数和分数统称实数，错误，故不符合题意；D、无理数和有理数统称实数，正确，故符合题意； 故选：D． 基础训练 1．在实数，，，，中，无理数的个数为 ． 2 【解析】本题考查了求一个数的立方根，无理数的定义，首先计算立方根，然后根据无限不循环小数即为无理数求解即可． 解：， ∴其中无理数有，，共2个． 故答案为：2． 基础训练 2．将下列各数填在相应的大括号内． 3.030030003…（每两个3之间依次增加一个0），，，3.1415926，，0，，，，． 有理数：{                                                                                 ，…}； 无理数：{                                                                                 ，…}； 正实数：{                                                                                 ，…}； 整 数：{                                                                                 ，…}． 【解析】本题考查了实数的分类（有理数、无理数、正实数、整数），解题关键是先化简能计算的数，再根据定义准确分类，注意无限不循环小数是无理数，而整数和分数都属于有理数． 、、、、、 、、、 、、、、、、 、、 新知探究 与有理数可以用数轴上的点表示类似，无理数也可以用数轴上的点表示． 数轴上表示正无理数a的点在数轴的正半轴上，与原点的距离是a个单位长度；表示负无理数 （＞0）的点在数轴的负半轴上，与原点的距离是b个单位长度． 下面，我们以， ， 为例，看一看如何在数轴上表示无理数． 新知探究 －2 －1 1 3 2 4 ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● O' O 从图中可以看出， OO′的长是这个圆的周长，所以点O′对应的数是．这样，数轴上的点O′就表示无理数． 以单位长度为直径画一个圆，它的周长等于．如图所示，从原点开始，将这个圆沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点O 到达点O′，点O′对应的数是多少？ 思考 新知探究 以单位长度为边长画一个正方形，以原点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与正半轴的交点就表示，与负半轴的交点就表示 . 新知探究 当数的范围从有理数扩充到实数后，每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．因此实数与数轴上的点是一一对应的. 实数 数轴上的点 一一对应 与规定有理数的大小一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大． 典例分析 例2：如图，在数轴上，手掌遮挡住的点表示的数可能是（    ） A． B． C． D． B 【解析】本题考查实数与数轴的对应关系以及无理数的估算．先估算出每个选项中数的大致范围，再根据数轴上手掌遮挡点的位置判断该点表示的数的范围，最后对比得出答案． 解：A、因为，所以，则，不符合数轴上手掌遮挡点的位置．B、因为，所以，则，符合数轴上手掌遮挡点的位置．C、因为，所以，则，不符合数轴上手掌遮挡点的位置．D、因为是正数，不符合数轴上手掌遮挡点的位置． 故选：B． 基础训练 1．春节申遗成功，越来越多的人参与到各类体育年俗活动中，让喜庆的春节氛围多了一些“燃”的味道．如图①，捶丸是春节游园会上常见的民俗娱乐活动，小明沿直线将捶丸击出，将轨迹所在直线绘制成如图②所示的数轴．若捶丸恰好停在表示数“”的点处，则此时捶丸在数轴上对应点的位置应介于字母 之间． B与C 【解析】本题考查了实数与数轴、无理数的估算，掌握无理数的估算方法是解题的关键．根据无理数的估算、实数与数轴的关系即可解答. 解： ， ∴此时捶丸在数轴上对应点的位置应介于字母与之间． 故答案为：与． 基础训练 2．将下列各数近似地表示在数轴上，并把它们按从小到大的顺序排列，用“”号连接． ，，， 【解析】本题考查实数与数轴，无理数的估算，先化简各数，确定无理数的范围，进而在数轴上表示出各数，根据数轴上的数右边的比左边的大，比较大小即可． 解：∵，，，∴， 在数轴上表示各数如图： 由数轴可知：． 新知总结 实数 ①实数的定义与分类 ②实数与数轴的关系 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数，即实数与数轴上的点是一一对应的. 有理数和无理数统称为实数．实数按定义分为有理数和无理数；按正负分正实数、0和负实数． ③实数的大小比较 与规定有理数的大小一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大．正实数大于 0，负实数小于 0，正实数大于一切负实数． 巩固练习 1．下列说法正确的是（    ） A．有理数是有限小数 B．无理数是无限小数 C．无限小数是无理数 D．是分数 B 【解析】本题考查了实数的相关概念．无理数就是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 解：A．有理数也包括无限循环小数（如），原说法错误，本选项不符合题意；B．无理数是无限不循环小数，原说法正确，本选项符合题意；C．无限小数也包括无限循环小数，而无限循环小数是有理数，故原说法错误，本选项不符合题意；D．是无理数，分数属于有理数，原说法错误，本选项不符合题意；故选：B． 巩固练习 2．在实数，0，，，，中，无理数有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 B 【解析】本题主要考查了无理数的定义、算术平方根等知识点，掌握无理数是无限不循环小数且不能表示为分数是解题的关键.根据无理数的定义以及算术平方根逐个判断是否为无理数即可解答． 解：可写为分数，是有理数；0是整数，是有理数；是无理数；是有限小数，是有理数；是整数，有理数；2π是无理数．所以无理数有和，共2个．故选：B． 巩固练习 3．下列说法中，正确的是（    ） A．正实数包括正有理数，正无理数和0； B．实数可以分为正实数和负实数； C．所有有理数都可以对应数轴上的点； D．数轴上的点都对应有理数． 【解析】本题考查实数的分类和数轴的性质.通过分析每个选项的定义和性质判断正误． C 解：∵ 正实数是指大于0的实数，不包括0，∴ A错误；∵ 实数包括正实数、负实数和0，不能仅分为正实数和负实数，∴ B错误；∵ 有理数是实数的子集，数轴上的点与实数一一对应，因此所有有理数都可以对应数轴上的点，∴ C正确；∵ 数轴上的点对应所有实数，包括无理数，而并非只对应有理数，∴ D错误．故选：C． 巩固练习 4．已知点在数轴上，且与原点相距个单位长度，则点表示的实数为_________. 【解析】本题考查数轴上点到原点的距离，掌握知识点是解题的关键．根据数轴上与原点距离相等的点有两个，它们互为相反数，即可解答． 解：设点M表示的实数为a，则点M到原点的距离为，根据题意， ，解得． ∴点M表示的实数为．故答案为：． 拓展提升 5．（1）过A，B两点画一条数轴，使A，B两点所表示的数互为相反数． （2）在你所画的数轴上表示下列各数：，2，，，并用“<”连接起来． 解：（1）、B两点之间有8个格子，故在A、B之间确定原点O，则A，B两点所表示的数互为相反数． （2）， 所以 课堂总结 感谢聆听! $