22.2函数的表示同步练习2025-2026学年人教版数学八年级下册

22.2函数的表示 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．马峦山特长隧道是连接坪山新区和盐田区必不可少的交通要塞，也是目前深圳最长的隧道，全长，一辆小汽车匀速通过马峦山隧道，小汽车车身在隧道内的长度记为y米，小汽车进入隧道的时间记为t秒，则y与t之间的关系用图象描述大致是（   ） A． B． C． D． 2．课外科技小组研制了一种航模飞机，通过实验，收集了飞机飞行高度h（米）随飞行时间t（秒）变化的规律如下表所示． t/秒 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 … h/米 1.8 7.3 11.8 15.3 17.8 19.3 19.8 19.3 17.8 15.3 … 下列说法正确的是（   ） A．飞行时间t每增加0.5秒，飞行高度h就增加5.5米 B．飞行时间t每增加0.5秒，飞行高度h就减少5.5米 C．飞行时间t为2秒和4秒时，飞行高度h相同 D．从0秒到2秒飞机飞行的高度是15米 3．如图，在大水杯中放了一个小水杯，两个水杯内均没有水。现向小水杯中匀速注水，小水杯注满后，以同样的速度继续注水，则大水杯的液面高度与注水时间的大致图象是（    ） A． B． C．   D．   4．图是某人骑自行车出行的图象，从图象中可以得到的信息是（    ） A．从起点到终点共用了 B．时速度为0 C．前速度为 D．与时速度是不相同的 5．如图（1）在矩形中，动点P从点C出发，沿路线C→D→A作匀速运动，图（2）是此运动过程中，的面积S与点P运动的路程x之间的函数图象的一部分，则的长为（   ）    A．5 B．6 C．7 D．12 6．某型号汽车邮箱的剩余油量与行驶时间之间的关系如图所示的一次函数关系，根据图象可知，这辆汽车行驶每小时的耗油量与行驶的最长时间分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 7．某牛奶销售公司招聘送奶员，下面的海报显示的是这家公司的日薪计算方式：一天内送出的前240瓶牛奶，每瓶牛奶0.5元，此后，每多送一瓶每瓶多0.4元．下列正确表示这家公司的日薪与送奶数量关系的图是（   ） A． B． C． D． 8．在环城越野赛中，甲、乙两名选手的行程y（km）与所用时间x（h）间的函数图象如图，则下列说法中错误的是（     ） A．第1小时两人都跑了10千米 B．甲比乙先到达终点 C．两人都跑了20千米 D．乙的速度先快后慢，但平均速度比甲快 9．如图1，在中，，点D是的中点，动点P从点C出发沿运动到点B，设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数图象如图2所示，则的长为（    ） A．10 B．12 C． D． 10．小亮从学校步行回家，图中的折线反映了小亮离家的距离与时间的函数关系，根据图象提供的信息，给出以下结论：①他在前的平均速度是；②他在时在家中逗留；③他在时离家越来越远；④他在后到家．其中，正确的是（   ） A．①②③④ B．①④ C．①③ D．①③④ 11．下列各曲线中，不能表示是的函数是（   ） A． B． C． D． 12．端午节前夕，在东昌湖举行的第七届全民健身运动会龙舟比赛中，甲、乙两队在500米的赛道上，所划行的路程与时间之间的函数关系如图所示．下列说法错误的是（    ） A．乙队比甲队提前到达终点 B．当乙队划行时，此时落后甲队 C．后，乙队比甲队每分钟快 D．自开始，甲队若要与乙队同时到达终点，甲队的速度需提高到 二、填空题 13．一辆客车从甲地驶往乙地，同时一辆轿车从乙地驶往甲地．两车之间的距离s（千米）与行驶的时间x（小时）之间的函数关系如图所示，已知轿车速度是90千米/时，客车速度是60千米/时，设点A的横坐标为，点C的横坐标为，则 ． 14．汽车行驶的路程S（千米）与行驶的时间t（时）的函数关系的大致图象如图，那么该汽车行驶的速度是 ． 15．小亮家、小刚家、体育馆顺次在同一条直线上，周末小亮从家匀速步行去体育馆打羽毛球．小亮出发4分钟经过小刚家时，小刚跟随小亮一起前往体育馆，两人走了4分钟后，小刚发现自己忘记带装备，于是小刚加速返回家，取了装备后（取装备用了一段时间）又以返回家时的速度赶往体育馆；小亮仍以原速度前行，结果小刚比小亮提前1分钟到达体育馆．若小亮与小刚两人和体育馆之间的距离（米）与小刚出发的时间（分钟）之间的函数图象如图所示，则以下说法正确的是 （填写序号）． ①小刚返回家的速度为250米/分钟；    ②小亮与小刚家相距600米； ③小亮用了24分钟到达体育馆；    ④小刚回家后用了0.6分钟取装备； ⑤小刚取了装备后追上小亮时距离小亮家2725米． 16．若购买荔枝所付金额y(元)与购买数量x(千克)之间的函数图像如图所示，则购买3千克荔枝需要付 元． 17．如图1，正方形的边上有一定点，连接．动点从正方形的顶点出发，沿着的方向以2cm/s的速度匀速运动到终点．图2是点运动时，的面积随时间变化的全过程图象，则的长度为 cm． 三、解答题 18．已知正比例函数（）的图象经过点（3，）． （1）求这个函数的解析式； （2）直接在图中画出这个函数的图象； （3）判断点A（4，）、点B（，3）是否在这个函数图象上； （4）已知图象上两点C（，）、D（，），如果，比较，的大小． 19．通过《一次函数》的学习，我们学会了列表、描点、连线的方法来画出函数图像并结合函数图像研究函数性质．小明想应用这个方法来探究函数的性质．下面是他的探究过程，请你补充完整： … 0 1 … … 3 2 1 0 1 2 … (1)列表，直接填空：________． (2)描点并画出该函数的图像． (3)观察的图像，类比一次函数，请写出该函数的一条性质：_________． (4)在平面直角坐标系中，我们将横、纵坐标均为整数的点称为整点．则该函数图像与直线围成的区域内（不包括边界）整点的个数为______． 20．某班“数学兴趣小组”对函数的图像和性质进行了探究，探究过程如下，请完成下列问题． (1)函数的自变量的取值范围是__________． (2)下表是与的几组对应值： … … … … __________，__________． (3)如图，请在平面直角坐标系中，补全表中各组对应值为坐标的点，并根据描出的点，画出该函数的图像． (4)通过观察该函数的图像，小明发现该函数图像与反比例函数的图像形状相同，都是中心对称图形，且点和是一组对称点，则其对称中心的坐标为__________． (5)写出该函数图像的一条性质． 21．已知点在第一象限，且，，，设的面积为． (1)求关于的函数解析式，并写出的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出的取值范围． 22．问题：探究函数的图象和性质．  根据学习函数的方法和经验，进行了如下探究，请补充完整：  (1)函数的自变量的取值范围是______； (2)下表是与的几组对应值，请将表格补充完整： … … … ______ ______ ______ … (3)如图，在平面直角坐标系中描点并画出此函数的图象； (4)进一步探究：结合函数的图象，写出此函数的性质一条即可 23．如图1是一个相邻两边都互相垂直的平面图形，且，，动点从点出发，沿着图形的边以的速度按的方向运动，到点处停止运动．图2是的面积与点的运动时间的关系，请回答以下问题： (1) ， ，题2图中 ． (2)当点在边运动时，求与的关系式． 24．如图所示，数学老师每天晚饭后从家中出发去散步的时间与离开家的距离之间的关系的图象，请根据图象解答下列问题： (1)如图反映了哪两个变量之间的关系？________； (2)如果老师晚上分从家里出发，那么老师晚上________点回到家？ (3)老师散步时最远离家________米． (4)分别计算老师离开家后的20分钟内和返回家一段的平均速度． 《22.2函数的表示》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C C B C A A D D D 题号 11 12 答案 C D 1．D 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，主要考查了根据实际问题作出函数图象的能力．解题的关键是要知道本题是分段函数，分情况讨论与之间的函数关系． 先分析题意，把各个时间段内与之间的关系分析清楚，本题是分段函数，分为三段． 【详解】解：根据题意可知小汽车进入隧道的时间与汽车在隧道内的长度之间的关系具体可描述为：当小汽车开始进入时逐渐变大，小汽车完全进入后一段时间内不变，当小汽车开始出来时逐渐变小，故反映到图象上应选D． 故选：D． 2．C 【分析】本题考查函数的表示方法，根据表格中飞机飞行高度h（米）随飞行时间t（秒）变化的规律进行逐一判断即可求解． 【详解】解：由表格数据可得，秒过程中，随着飞行时间的增加，飞行高度增加，从3秒后，随着飞行时间的增加，飞行高度减小，故A、B不符合题意； 由表格可得，飞行时间t为2秒和4秒时，飞行高度h相同，故C符合题意； 由表格可得，从0秒到2秒飞机飞行的高度是（米），故D不符合题意； 故选：C． 3．C 【分析】本题考查了函数图象，根据函数图象即可求解，看懂函数图象是解题的关键． 【详解】解：刚开始向小水杯中匀速注水，小水杯液面高度上升，大水杯液面保持不变，为，直到小水杯注满水后，开始向大水杯注水，此时大水杯液面高度开始匀速上升，直到大水杯液面平到小水杯液面，然后大水杯液面继续匀速上升，但上升速度更慢， 故选：． 4．B 【分析】分别根据函数图象的实际意义可依次判断各个选项是否正确． 【详解】、从起点到终点共用了，故本选项错误； 、时速度为0，故本选项正确； 、前的速度是，故本选项错误； 、与时速度是相同的，故本选项错误． 故选：． 【点睛】本题考查了函数图象的读图能力．要理解函数图象所代表的实际意义是什么才能从中获取准确的信息． 5．C 【分析】由图（2）可知，当时，点P由点C到达点D，此时的面积S取最大值，根据面积公式即可求出的长． 【详解】解：由图（2）可知，当时，点P由点C到达点D，的面积S取最大值6， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C 【点睛】此题主要考查了动点问题的函数图象，解题的关键是利用函数图象得到当时，的面积S取最大值6． 6．A 【分析】本题考查了从函数图象中获取信息、有理数的混合运算的应用，根据图象列式计算即可得出答案，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由图可得：这辆汽车行驶每小时的耗油量， 行驶的最长时间为， 故选：A． 7．A 【分析】本题考查等量关系的知识，由题意可知，日薪与送奶数量是存在两种关系，当送奶数量小于或等于240瓶是日薪与送奶量一致且呈现递增的关系，当送奶数量大于240瓶是日新增长速度大于240瓶前，解题的关键是根据题意，判断出日薪与送奶数量的关系式即可． 【详解】解：由题意可知，日薪与送奶数量是存在两种关系，当送奶数量小于或等于240瓶是日薪与送奶量一致且呈现递增的关系，当送奶数量大于240瓶是日新增长速度大于240瓶前， ∴选项A符合题意， 故选：A． 8．D 【分析】A选项，时间1h，即横坐标一样时，看纵坐标判断即可；B选项，都到终点，即纵坐标都为20km时，看横坐标判断即可；C选项，看图像结束时坐标；D选项，先列出平均速度的计算公式，再进行判断即可 【详解】从直线的倾斜变化可以看出： 甲做匀速运动： 0~2h路程20km 速度为：（km/h） 乙的速度分为三段： 先快速： 0~0.5h路程8km 后慢速 最后快速 A选项： 由图可知，正确 B选项： 由图： 2h时，甲走了20km，到达终点 2h时，乙路程小于20km，没到终点 故B选项正确 C选项： 由图： 甲的路程到20km结束，乙路程到20km结束 故C选项正确 D选项： 乙的速度先快后慢最后快 平均速度： 甲和乙路程都是20km，甲的时间是2h，乙的时间大于2h 故甲的平均速度比乙大 D选项错误 故选：D 【点睛】本题考查函数的图像，注意图像上某点对应的横坐标和纵坐标，即为该点意义 9．D 【分析】本题考查了动点问题的函数图象：函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．解决本题的关键是利用分类讨论的思想求出和的长． 由图象可知：当时，S等于3，由此可得出的长，进而得出的长；当时，面积最大，且面积发生转折，此时点P和点A重合，可得，最后由勾股定理可得结论． 【详解】解：由图象可知：当时，， ，即， 解得， ∵点D是BC的中点， ∴， 当时，面积发生转折，此时点P和点A重合， ∴， 在中，，，， 由勾股定理可得，． 故选：D． 10．D 【分析】本题考查函数图象，关键是利用已知信息和图象所给的数据分析题意，依次解答．由图象可以直接得出前分钟小亮的平均速度，从而得出正确；由图象可知从分到分小亮又返回学校，可以判断错误，正确；求出小亮分钟离家距离，可以判断正确. 【详解】解：由图可知，前分钟的平均速度为：（米/分），故正确； 由图象可知，小亮第分钟又返回学校，故错误； 由图象可知，他在第分钟时离家越来越远故正确； 由图象可知：第41分钟离家距离为，故正确， 故选：． 11．C 【分析】根据函数的定义依次判断即可．对于两个变量x和y，如果给定一个x都有唯一的一个y值与它对应，那么y就是x的函数． 本题主要考查了函数的定义，熟练掌握函数的定义是解题的关键． 【详解】解：A、对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，故y是x的函数， A选项不符合题意； B、对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，故y是x的函数，B选项不符合题意； C、满足对于大于零的x的每一个取值，y都有两个确定的值与之对应关系，故y不是x的函数， C选项符合题意； D、对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，故y是x的函数，D选项不符合题意； 故选：C． 12．D 【分析】本题考查函数图象的应用，根据两队到达时间可判断A选项；先计算出两队的速度，再依次计算出乙队划行所用时间、乙队划行时甲队划行距离，可判断B选项；根据两队速度可判断C选项；先计算出时甲队距离终点的路程，以及乙队到达终点还需要的时间，利用路程、时间、速度关系求出甲队需要提高到的速度，可判断D选项． 【详解】解：根据图象信息可知，甲队用到达终点，乙队用到达终点，所以乙队比甲队提前到达终点，故A选项说法正确； 甲队的速度不变，为， 前，乙队的速度为，后，乙队的速度为， 当乙队划行时，所用时间为，此时甲队划行， 乙队落后甲队，故B选项说法正确； 后，乙队比甲队每分钟快，故C选项说法正确； 时，甲队划行，距离终点还有， 乙队到达终点还需，甲队若要与乙队同时到达终点，甲队的速度需要提高到，故D选项说法错误； 故选D． 13．6 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，观察图象得：点A的实际意义是两车此时相遇，甲乙两地之间的距离为600千米，再根据两车行驶的路程之和等于600千米，即可求出；点C的实际意义表示客车此时到达乙地，据此求出即可得到答案． 【详解】解：观察图象得：点A的实际意义是两车此时相遇，甲乙两地之间的距离为600千米，因为私家车的速度是90千米/时，客车的速度是60千米/时， ∴， 解得； 观察图象得：点C的实际意义表示客车此时到达乙地， ∴， ∴， ∴， 故答案为：6. 14．60km/h 【分析】根据图象和速度＝路程÷时间进行解答即可． 【详解】解：由图象可得，路程千米，时间小时， ∴速度（km/h）， 故答案为：60km/h． 【点睛】本题考查函数的图象，关键是根据图象和速度＝路程÷时间解答． 15．①②③④ 【分析】本题考查从函数图象获取信息，根据题意和图象中的数据，可以分别计算出各个小题中的说法是否正确，从而可以判断哪个小题符合题意． 【详解】解：由图象可得， 小刚返回家的速度为： （米/分钟）， 故①正确，符合题意； 小亮与小刚家相距为： （米）， 故②正确，符合题意； 小亮到体育馆用的时间为：（分）， 故③正确，符合题意； 小刚从家到体育馆用的时间为： （分）， 小刚回家后取装备用的时间为： （分）， 故④正确，符合题意； 小刚取了装备后追上小亮时用的时间为分钟， ， 解得， ∴小刚取了装备后追上小亮时距离小亮家距离为： （米）， 故⑤错误，不符合题意； 故答案为：①②③④． 16． 【分析】根据图像可得购买3kg荔枝需要付的钱即为当x=3时，y所对应的值，即求出AB段的函数解析式，将x=3代入即可． 【详解】解：设直线的解析式为：， 由图像可知：， ∴， ∴， 当时，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数中利用图像解决实际问题，掌握用待定系数法求函数解析式是解题的关键． 17．2 【分析】点P在点D时，设正方形的边长为a，a×a＝18，解得a＝6；当点P在点C时，×EP×6＝12，解得EP＝4，即EC＝4，进而即可求解． 【详解】解：当点P在点D时，由图象可知三角形APE的面积为18，设正方形的边长为a，y＝AB×AD＝a×a＝18，解得a＝6； 当点P在点C时，由图象可知三角形APE的面积为12，y＝EP×AB=×EP×6＝12，解得EP＝4，即EC＝4， ∴BE＝6-4=2， 故答案是：2． 【点睛】本题考查的是动点函数图象问题，此类问题关键是弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系． 18．（1）；（2）见解析；（3）点不在函数图象上，点在函数图象上；（4）． 【分析】（1）将点（3，）代入即可求得； （2）通过描点，连线作图； （3）将已知点代入解析式，分析判断即可； （4）根据正比例函数的性质或者结合图像分析即可． 【详解】（1）正比例函数（）的图象经过点（3，）， ， 解得：， 这个函数的解析式为：． （2）正比例函数经过原点，且是一条直线， 当时，， 则在图中找到， 作直线即可，如图： （3）将A（4，）、点B（，3）分别代入， ,则点不在函数图象上， ，则点在函数图象上； （4）， 随着增大而减小， 当时，． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，正比例函数图像的作图，正比例函数图像的性质，掌握正比例函数的相关知识是解题的关键． 19．(1)3 (2)见解析 (3)函数有最小值为0，当时，随着的增大而增大；时，随着的增大而减小 (4)4 【分析】本题考查了一次函数的图像和性质，画出函数图象并从图像中获取信息是解题的关键． （1）把代入函数关系式进行计算即可； （2）描点、连线画出函数图像即可； （3）观察图像可从该图像的最值，增减性解答即可； （4）观察图像即可解答． 【详解】（1）当时，， ， 故答案为：3； （2）描点、连线画出该函数图像如图． （3）写出该图像的一条性质：①函数有最小值为0，当时，随着的增大而增大； 时，随着的增大而减小， 故答案为：函数有最小值为0，当时，随着的增大而增大； 时，随着的增大而减小； （4）该函数图像与直线围成的区域内（不包括边界）整点的个数为4． 故答案为：4． 20．(1) (2)， (3)见解析 (4) (5)当时，随的增大而减小 【分析】本题考查函数的图像与性质，解题的关键是数形结合． （1）根据分母不能为零，即可求解； （2）求出时的函数值即可求出，求出时的值，即可求出； （3）利用描点法画出函数图像即可； （4）结合函数图像求解即可； （5）根据函数图像写出一条性质即可． 【详解】（1）解：函数的自变量的取值范围是， 故答案为：； （2）当时，， ， 当时，则， 解得：， ， 故答案为：，； （3）描点、连线画出的图像如图所示： （4）由图可知对称中心的坐标为， 故答案为：； （5）当时，随的增大而减小（答案不唯一）． 21．(1)关于的函数解析式为，的取值范围为 (2)的取值范围为 【分析】（1）根据割补法即可表示三角形的面积； （2）根据（1）中所得函数即可画出图象． 【详解】（1）点、在第一象限，且，． ，， 所以． ，，设的面积为 答：关于的函数解析式为，的取值范围为． （2）．． ． 如图：即为函数的图象． 答：的取值范围为． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，解决本题的关键是准确求出函数解析式． 22．(1) (2)0，， (3)见解析 (4)函数图象关于直线对称 【分析】由分母不为零，确定的取值范围；  将，，代入解析式计算即可；  在平面直角坐标系中描点连线画出函数的图象即可；  观察图象的特点，可得出函数图象是一个关于直线对称．  此题主要考查函数的图象，性质，观察函数图象并结合函数性质是解决本题的关键． 【详解】（1）解：因为分母不为零，  ，解得：，  故答案为：； （2）时，；  时，；  时，；  故答案为：，，； （3）如图：  （4）观察坐标的特点，可得出函数的性质：函数图象关于直线对称． 23．(1)3；6；18 (2) 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，能结合图象得到有用条件，利用动点的运动求出相关线段是本题的解题关键． （1）由函数图象知，由三角形面积求得，据此求解即可； （2）先求得，再利用三角形面积公式列式即可． 【详解】（1）解：当时点从点运动到点，， ∴， 点从点运动到点，面积从变化到， ∴， ∴， ∴； 故答案为：3；6；18； （2）解：， ∴． 24．(1)散步的时间与离开家的距离 (2) (3)900 (4)老师离开家后的20分钟内的平均速度为45米/分，返回家一段的平均速度为60米/分 【分析】本题考查一次函数的应用，从图象中获得必要的数学信息、掌握平均速度的求法是解题的关键． （1）观察图象进行作答即可； （2）根据出发的时间和回到家所用的时间计算即可； （3）观察图象进行作答即可； （4）分别根据平均速度=路程÷时间计算即可； 【详解】（1）解：图象反映了散步的时间与离开家的距离两个变量之间的关系， 故答案为：散步的时间与离开家的距离； （2）解：老师晚上分从家里出发，经过45分后回到家，则老师晚上回到家 故答案为：； （3）解：根据图象，老师散步时最远离家900米， 故答案为：900； （4）解：依题意，（米/分），（米/分） 答：老师离开家后的20分钟内的平均速度为45米/分，返回家一段的平均速度为60米/分． 学科网（北京）股份有限公司 $