1.1 三角形内角和定理 同步练习 2025-2026学年北师大版数学八年级下册

1.1《三角形内角和定理》小节复习题 【题型1 三角形内角和定理的证明】 1.在探究证明“三角形的内角和是”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是（ ） A．如图①所示，过点作EF//AB B．如图②所示，过点作BG//AC C．如图③所示，过点作、垂足为点 D．如图④所示，过边上点作PM//CB， 2.回答下列问题． (1)小明在预习说明“三角形内角和等于”一节课时，抄写了如下预习笔记，不小心漏抄了部分理由，请你将漏抄的理由填写完整：    解：过△ABC顶点A作， ，（所作） ，．（____） 点E，A，F在同一条直线上（所作）， ．（____） ．（____） (2)请你用不同的方法说明“三角形内角和等于”    3．数学课上，同学们通过撕、拼的方法，探索、验证三角形的内角和等于．下面是小彬的课堂笔记，请阅读操作方法，补全说理过程． 如图①，的三个内角分别为． 将和撕下，按图②的方式摆拼，使和的顶点均与的顶点重合，的一边与AB重合，的一边与AC重合．    理由：由操作可知，所以（__________）． 同理，， 所以__________∥__________． 因为经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，所以点D，A，E在同一直线上， 所以__________， 即__________+__________=__________． 4.阅读材料：为了证明“三角形的内角和是”，林老师给出了如图所示四种作辅助线的方法回答下列问题：    (1)图①，②在证明三角形内角和的过程中应用的数学思想是（    ） A．转化思想    B．整体思想    C．方程思想    D．数形结合思想 (2)请选用③或④证明三角形的内角和为． 【题型2利用三角形内角和定理求角的度数】 5．如图，，，． （1） ； （2）在直线上取一点，使得，则的度数是 ．    6.如图，直角△ABC中，，分别是的角平分线，则 ．    7．如图所示，在△ABC中，，、分别平分，，则等于 ．    8.如图，在△ABC中，的平分线交于点是与平分线的交点，是△ABC的两外角平分线的交点，若，则的度数分别 ．    【题型3 三角形折叠中的角度问题】 9.如图，三角形纸片中，，，将沿对折，使点落在△ABC外的点处，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 10.如图，△ABC中，，边上有一点，使得，将△ABC沿翻折得△A'BD，此时，则 度．    11.如图，在△ABC中，，点D、E分别是，上一点，将△ABC沿折叠，使点A落在点F处，已知，的度数 ．    12.如图，在△ABC中，∠B=90°，，D是的中点，点E是边上一个动点，将△ADE沿翻折，使点A落在点处，当时，的度数为 ．        【题型4 三角形的外角的定义与性质】 13.如图，的补角等于，，则 ． 14.如图所示，，，，则 ． 15.如图，是∆ABC的外角的角平分线，且交的延长线于点．若，则 ．（结果用含有的式子表示） 16.如图，和是∆ABC的外角，，，若，则 ． 【题型5 三角形的内角和与外角的综合问题】 17.如图，分别是∆ABC的两个外角． (1)若，求的度数． (2)若，请用含的代数式表示的度数． 18.如图，在∆ABC中，的平分线与的平分线相交于点P，的外角平分线与的外角平分线相交于点Q． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数； (3)直接写出与的数量关系为____________． 19.如图，在∆ABC中，点在上，过点作，交于点，平分，交的平分线于点，与相交于点，的平分线与相交于点． (1)若，，则______°，_____°； (2)求证：； (3)若中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请直接写出所有符合条件的的度数． 20.如图，等腰∆ABC中，，点P是边上的一个动点不与B，C重合，连接，在边上取一点Q，使得，连接， (1)若，，求的度数； (2)若，，请用含x的代数式表示的度数； (3)由（1）（2）的结论，请猜想与的数量关系，并证明你的猜想． 【题型6 多边形内角和问题】 21.一个六边形的内角和等于 度． 22.若一个多边形的内角和为，则这个多边形的边数是 ． 23.若六边形的内角中有一个内角为，则其余五个内角之和为 ． 24.图是鼓浪屿八卦楼的航拍图，八卦楼的名称源于其屋顶逐层凸起的八边形造型和八棱红色穹顶，则八边形的内角和为 ． 【题型7 多边形对角线的条数问题】 25.八边形的内角和是 ，它共有条 对角线． 26.小宇用计算一个多边形的内角和，则该多边形共 条对角线． 27.如果从一个边形的一个顶点出发，最多能引出7条对角线，那么这个边形的内角和是 ． 28.从九边形的一个顶点出发，可以引 条对角线，九边形共有 条对角线，九边形的内角和为 ． 【题型8 多边形截角后的边数问题】 29.一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或或 30.一个多边形截去一个角后，形成的多边形的内角和是其外角和的5倍，则原来多边形的边数是（   ） A．12 B．13 C．12或13 D．11或12或13 31.一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为，那么多边形的边数为 32.一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为，则原多边形的边数是 ． 【题型9 多边形截角后的内角和问题】 33.将一个五边形纸片，剪去一个角后得到另一个多边形，则得到的多边形的内角和是（     ） A． B． C．或 D．或或 34.将一个四边形截去一个角后，所形成的一个新的多边形的内角和是（    ） A．14 B．23 C．或 D．或或 35.把一个六边形纸片沿一条直线截下一个角后，得到的多边形纸片的内角和为 ． 36.从一个六边形上截去一个角，则得到的多边形的内角和为 ． 【题型10 多边形外角和的实际应用】 37.杭州八卦田遗址曾是南宋皇家籍田的遗址，遗址的外圈可以看成是一个八边形，则这个八边形的外角和为 ． 38.如图，小明从点A出发，沿直线前进后向左转，再沿直线前进，又向左转……照这样走下去，小明第一次回到出发点A，一共走了 米． 39.如图，小明从A地出发，沿直线前进15米后向左转，再沿直线前进15米，又向左转⋯⋯，照这样走下去，他第一次回到出发地A地时，一共走的路程是 米． 40.如图是某品牌的一款木工六角尺，它是一种多角度的测量工具，通常用于木工和其他精细工艺中．此款六角尺各角上标的度数实际是这个角对应的外角大小，已经标出的五个度数有，则未标度数的角处应填 ． 【题型11 多边形内角和与外角和综合】 41.一个正多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个正多边形的边数是 ． 42.如图，正八边形和正五边形按如图方式拼接在一起，则的度数为 ． 43.如图1所示的冰裂纹窗棂在古建筑中被广泛应用，图2是这种窗棂中的部分图案．若，则的度数为 ． 44.[传统文化]窗棂是中国传统木结构建筑的框架结构设计，窗棂上雕刻有线槽和各种花纹，构成种类繁多的优美图案．现有一造型独特的窗体设计如下图，已知，，则 ． 参考答案 【题型1 三角形内角和定理的证明】 1.C 解：如图①所示，过点作EF//AB， ，， ， 故图①能证明“三角形内角和是”， 故A选项不符合题意； 如图②所示，过点作BG//AC， ，， ， 故图②能证明“三角形内角和是”， 故B选项不符合题意； 如图③所示，过点作、垂足为点， 只能证明， 故图③无法证明“三角形内角和是”， 故C选项符合题意； 如图④所示，过边上点作，， 四边形是平行四边形，，， ， ， 故图④能证明“三角形内角和是”， 故D选项不符合题意． 故选：C． 2.（1）解：过顶点A作， ，（所作） ，．（两直线平行，内错角相等．） 点E，A，F在同一条直线上（所作）， ．（平角的定义） ．（等量代换） （2）解：如图，延长，过作，    ，， 、、在同一条直线上， ， ． 3.解：由操作可知，所以（内错角相等，两直线平行）． 同理，， 所以． 因为经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，所以点，，在同一直线上， 所以， 即． 故答案为：内错角相等，两直线平行；，；180；，，． 4.（1）证明“三角形的内角和是”的方法均是将三角形的三个内角的和转化为平角，应用的数学思想是转化思想． 故选：A． （2）选用④证明三角形的内角和为，理由如下： 如图所示，延长，在延长线上取一点．    ∵， ∴，． 又， ∴， 即三角形的内角和为． 【题型2利用三角形内角和定理求角的度数】 5. 70° 40°或80° （1）∵，， ∴， ∴，； 故答案为：； （2）∵，， ∴ 当在右边时，    ∵， ∴， ∵， ∴， 当在左边时，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：40°或80°． 6. 解：∵， ∴， ∵分别是的角平分线， ∴， ∴， 由三角形的外角性质得，． 故答案为：． 7. 解：∵在中，， ∴， ∵、分别平分，， ∴， ∴． 故答案为：． 8.， 解：如图所示，，    ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∵∠ABC+∠CBG=180°，∠ACB+∠ECH=180°， ∴， ∴，则， 同理，， 在四边形中，， ∵平分，平分，且， ∴， ∴在中，， 故答案为：，． 【题型3 三角形折叠中的角度问题】 9.D 解：∵， ∴， 由折叠的性质可知，， ∴， ∴， 故选：D.    10. 解：设，由折叠知 ∵， ∴. ∵ ∴,得． ∴． 故答案为： 11. 解：由折叠可知：，    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为： 12.或 分两种情况讨论： ①点位于直线的下方，延长，交于点H．如图．    由得， 由∆ADE沿翻折为， ∴ ∴， 由得， ∴． ∴． ②点位于直线的上方，连接，交于点M．如图．      由得， ∴． 由得． ∴． 综合①②可知，或 故答案为：或． 【题型4 三角形的外角的定义与性质】 13. 解：的补角等于， ， ， ． 故答案为：． 14. 解：延长交于点． ∵是∆BDE的外角， ∴． ∵，， ∴， ∴． ∵是的外角， ∴． ∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 解：∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 16.135 解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【题型5 三角形的内角和与外角的综合问题】 17. （1）解：∵分别是∆ABC的两个外角， ∴， ∴， ∵，， ∴； （2）∵分别是∆ABC的两个外角， ∴， ∴， ∵，， ∴． 18.（1）解：在∆ABC中， ， ∵、分别平分、， ∴ ， 在中， ； （2）解：由图可得，，， ∵、分别平分和， ∴， ， ∴ ， ∴在中， ； （3）解：设， 在∆ABC中，， ∵、分别平分、， ∴ ， 在中， ， ∵，， 又∵、分别平分这两个外角， ∴ ， 在中， ， ∴． 故答案为：． 19.（1）解：，， ， 平分， ， ， ，， 平分， ， ， ， 平分，平分， ，， ， ，即， ． 答：，． （2）证明：设，则． ， ，， 平分，平分， ，， ， ， ， ，即， ， ． （3）解：设，则，． , 可分类讨论： ①当时， ， 解得， ； ②当时， ， 解得， ③当时， ， 解得， ; ④当时， ， 解得， 综上可知或或或． 答：的度数为或或或． 20.（1）解：是的一个外角， ， 是∆BPQ的一个外角， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：是的一个外角， ， ， 是∆BPQ的一个外角， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：，理由如下： 由题意，设， 是的一个外角， ， ， 是∆BPQ的一个外角， ， ， ， ， ， ， ， ，即． 【题型6 多边形内角和问题】 21.720 解：六边形的内角和为， 故答案为：720． 22.8 解：设多边形边数有条，由题意得： 解得：， 故答案为：8． 23./度 解：依题意，六边形的内角和：， 则其余五个内角之和， 故答案为：． 24. 解：八边形的内角和为：， 故选：． 【题型7 多边形对角线的条数问题】 25. /1080度 八边形的内角和是，它共有条对角线． 故答案为：，20 26.9 解： （条）． 故答案为：9． 27. 解：∵从一个边形的一个顶点出发，最多能引出7条对角线， ∴， ∴， ∴这个边形的内角和是， 故答案为：． 28. 解：对于九边形，共有9个顶点，由对角线定义可知，从九边形的一个顶点出发，除去这个点本身及这个点左右相邻的两个顶点（共计3个顶点）不能构成对角线以外，剩余的6个顶点均可以与选中的顶点连线构成对角线，则从九边形的一个顶点出发，可以引6条对角线； 从九边形的一个顶点出发，可以引出6条对角线，当不考虑重复情况时，9个顶点可以引出条对角线，若是九边形的两个顶点，则从顶点引出的一条对角线必定与从顶点引出的一条对角线重合，从而确定九边形共有条对角线； 由多边形内角和定理可知，九边形的内角和为， 故答案为：． 【题型8 多边形截角后的边数问题】 29.D 解：设多边形截去一个角的边数为， 则， 解得， 多边形截去一个角后边数有增加，不变，减少， 原来多边形的边数是或或． 故选：． 30.D 解：设多边形截去一个角的边数为，根据题意得： 又截去一个角后的多边形的边可以增加1、不变、减少1， 原多边形的边数为11或12或13． 故选：D． 31.、、 设内角和为的多边形的边数是， 于是有， 解得， ∵截去一个角后边数可能增加1，不变或减少1， 即原多边形的边数为或或； 故答案为：、、 32.15，16或17 【详解】解：设新多边形的边数为n， 则， 解得， ①若截去一个角后边数增加1，则原多边形边数为15， ②若截去一个角后边数不变，则原多边形边数为16， ③若截去一个角后边数减少1，则原多边形边数为17， 所以多边形的边数可以为15，16或17． 故答案为：15，16或17． 【题型9 多边形截角后的内角和问题】 33.D 解：如图，将一个五边形沿虚线裁去一个角后得到的多边形的边数是或或， 其中四边形内角和为，五边形内角和为，六边形内角和为， 得到的多边形的内角和是或或， 故选：D． 34.D 如图所示： 多边形截去一个角有三种情况．一种是从两个角的顶点截取，这样就少了一条边，即原四边形变为三角形； 另一种就是从一个边的任意位置和一个角顶点截，那样原多边形边数不变，还是四边形；还有一种是从两个边的任意位置截，那样就多了一条边，即原四边形为五边形； 新的多边形的内角和可能是，或，或． 故选：D． 35.或或 解：由题意知，把一个六边形纸片沿一条直线截下一个角后，可得七边形、六边形、五边形， ∵边形的内角和为， ∴，，， 故答案为：或或． 36.或或 解：∵六边形截去一个角后的边数有增加1、减少1、不变三种情况， ∴新多边形的边数为7、5、6三种情况， ∴新多边形的内角和为， ， ， 故答案为：或或． 【题型10 多边形外角和的实际应用】 37./360度 解：八边形的外角和为． 故答案为： 38.60 解：， ， ∴一共走了60米， 故答案为：60． 39.300 解：由题意得：小明从A地出发，他第一次回到出发地A地时，走的路程形成正多边形，外角和为，每个外角的度数是， ∴多边形的边数为：， ∴一共走的路程为：（米）， 故答案为：300． 40. 解：∵多边形的外角和为， ∴未标度数的角处应填：； 故答案为： 【题型11 多边形内角和与外角和综合】 41.6 解：设这个正多边形的边数为n， 由题意得，， 解得， ∴这个正多边形的边数是6， 故答案为：6． 42. 解：由题意得：正八边形的每个内角都等于，正五边形的每个内角都等于， 故， ， ． 故答案为：． 43. 解：由图2可知，， 整理得：， ∴， 故答案为：． 44./80度 解：∵，， ∴， 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $