第十九章二次根式本章综合 课件 -2025-2026学年人教版数学八年级下册

第19章 二次根式 计算: 解： 课前练习 （1） ; （2） . （1） （2） 计算时，有括号，一定要先去括号！ 计算： 解： （1） ; （2） . （1） （2） 计算： 解： （1）原式 （1） 计算： 解： （1） ; （2） . （1） （2） ; 如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记 p= ，那么三角形的面积为 a+b+c 2 a b c 一、海伦公式 注：p也叫半周长 例1，在△ABC，BC=4，AC=5，AB=6，用海伦公式求△ABC的面积. A B C 如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，那么三角形的面积为 a b c 一、秦九韶公式 A B C 例2，在△ABC，BC= ，AC= ，AB= ，用秦九韶公式求△ABC的面积. 问：可否用海伦公式计算本题？你能够总结出秦九韶公式和海伦公式的应用时如何选择？ 2．阅读下面的材料[1] △ABC的三边长BC＝a，CA＝b，AB＝c，记 p＝ ，那么△ABC的面积为S△ABC＝ ．① 古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年），在数学史上以解决几何测量问题而闻名．在他的著作《度量》一书中，给出了公式①和它的证明，这一公式称为海伦公式． 我国南宋时期数学家秦九韶（约1202～约1261），曾提出利用三角形的三 [1]：《数学》八年级下册，人民教育出版社，2013年10第1版． a+b+c 2 边求面积的秦九韶公式S△ABC＝ ．② 根据材料或其他知识解决下列问题． （1）若a＝ ，b＝ ，c＝ ，则S△ABC＝　 　． （2）用长度为2，3，4，5，6的五根木棒围成一个三角形（允许连接，不允许折断），其最大面积是 　 　． （3）证明：公式①和公式②实质上是同一个公式． a b c 三、海伦-秦九韶公式拓展 如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，如果 ，那么三角形的面积为 秦九韶公式 ：已知一个三角形的三边长a，b，c，那么这个三角形的面积为 S＝ 已知一个三角形的三边长a，b，c，设 p＝ ，那么这个三角形的面积为S＝ ． a+b+c 2 【阅读】在小学我们就学习了求三角形面积的公式， 三角形的面积＝ × 底×高，学习了勾股定理和二次根式运算后，我们 还有其他方法求三角形面积，这里介绍著名的海伦﹣秦九韶公式．分别是由古希腊的几何家海伦和我国南宋时期数学家秦九韶提出的．这两个公式都可以已知三边求出三角形面积，两个公式分别为： 海伦公式: 【尝试公式应用】 （1）问题：已知一个三角形的三边长分别4，5，6．请选择一个公式求这个三角形的面积． 【尝试新方法】 尝试用已学过的运算解决下面的问题：（用上面的公式不给分） （2）问题：已知一个△ABC中，AB= ，BC= ，AC= ．求△ABC面积．（温馨提示，解决后在草纸上可以代入一个公式验证你的结论是否正确） C A B 考点回顾 1.什么是二次根式 一般地，我们把形如 的式子叫做二次根式. “ ”称为二次根号. 2.二次根式的特征 两个必备特征 ①外貌特征：含有“ ” ②内在特征：被开方数 3.二次根式的双重非负性 二次根式的双重非负性 二次根式的被开方数______ 二次根式的值______ 非负 非负 考点回顾 4.二次根式的性质 ＝a (a ≥0). 即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身. a (a≥0) -a (a＜0) 即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值. 5.二次根式的乘除法法则 二次根式相乘，________不变，________相乘. 根指数 被开方数 算术平方根的____等于被开方数______________ 商 商的算术平方根 考点回顾 6.二次根式的加减法 一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并. 7.二次根式的加减乘除混合运算 二次根式的加、减、乘、除混合运算与整式运算一样，体现在：运算律、运算顺序、乘法法则仍然适用. 考点1 识别二次根式 2. 1、4、6 考点2 利用二次根式有意义的条件求字母的取值范围 1.当x是怎样的实数时, 在实数范围内有意义? 解：由x-2≥0，得 x≥2. 当x≥2时， 在实数范围内有意义. 2. 解：由题意得x-1＞0， ∴x＞1. （2） . 解：∵被开方数需大于或等于零， ∴x+3≥0，∴x≥-3. ∵分母不能等于零， ∴x-1≠0，∴x≠1. ∴x≥-3 且x≠1. 考点3 利用二次根式的双重非负性求字母的值 若 ，求2a -b+3c的值. 解： 由题意可知a+3=0,b-2=0,c-1=0, 解得a=-3,b=2,c=1. 所以2a-b+3c= -3×2-2+3×1= -5. 已知|3x-y-1|和 互为相反数，求x+4y的平方根． 解：由题意得3x-y-1=0且2x+y-4=0． 解得x=1，y=2． ∴x+4y=1+2×4=9， ∴x+4y的平方根为±3. 已知实数x、y满足等式 ， 求x2-2xy+y2的值. 解： 由题意得 解得：x=3. 把x=3,代入得y=-5. 所以x2-2xy+y2=(x-y)2=(3+5)2=64. 计算： 解： 考点4 利用 的性质进行计算 （1） ； （2） . （1） ; （2） 解： 考点5 利用 的性质分解因式 在实数范围内分解因式： （1）4x2-5 ; (2)m4-6m2+9. （1） ; （2） . 解： 考点6 利用 的性质进行计算 化简： （1） ; （2） ; （3） ; （4） . (1) ; (2) ; (3) ; (4) . 解：由数轴可知a＜0，b＞0，a-b＜0， ∴原式=|a|-|b|+|a-b| =-a-b-（a-b） =-2a. 实数a、b在数轴上的对应点如图所示，请你化简: a b 考点7几何图形与 的性质相结合的题目 计算: 解: 考点8 简单的二次根式的乘法运算 （1） ; （2） . (1) ; (2) . 计算: 解: 考点9因数不是1二次根式的乘法运算 （1） ; （2） . (1) (2) 解：方法一： ∵ ， ， 方法二： ∵ ， ， 考点10二次根式的大小比较 比较大小: 与 ; ∴ ， ∴ ， 即 . 又∵20＜27， 又∵20＜27， 即 . 计算： （1） 　 ；（2） ；（3） ．　　 考点11 利用二次根式的乘法法则及逆用计算 　解：（1） （2） （3） ; ; . 计算： 解: 考点12利用二次根式的除法法则计算根号外因数是1的二次根式 提示：像（2）中除式是分数或分式时，先要转化为乘法 再进行运算. （1） ; （2） . （1） （2） 解: 提示：类似(2)中被开方数中含有带分数，应先将带分数化成 假分数，再运用二次根式除法法则进行运算. 考点13利用二次根式的除法法则计算根号外因数不是1的二次根式 计算: （1） ; （2） . （1） ; （2） 解: 考点14 商的算术平方根的性质的应用 化简: （1） ; （2） ; （1） （2） 解: 考点15分母有理化 总结：分母形如 的式子，分子、分母同乘以 可使 分母不含根号. 计算: (1) ; (2) ; (3) . （2） （3） （1） 若最简二次根式 与 可以合并，求 的值. 解：由题意得 即 考点16 利用二次根式可以合并的条件求字母的值 解得 解： 计算: 考点17 二次根式的加减计算 （1） ; （3） ; （4） . （1） （2） ; （2） （3） （4） 小结梳理 1. 本节课的学习，你有哪些收获？ 2. 你还可以利用二次根式解决什么问题？ 一、教材复习题； 作业布置 二、拓展题 一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2 ＝（1+ ）2． 设 a+b =（m+n ）2（其中a、b、m、n均为正整数），则有 a+b ＝m2+2n2+2mn ，∴ a＝m2+2n2，b＝2mn．这样可以把部分 a+b 的式子化为平方式的方法． 请你仿照上述的方法探索并解决下列问题： （1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b ＝（m+n ）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝　 　，b＝　 　． （2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空： 　 　+　 　 ＝（　 　+　 ）2； （3）化简 $