19.3二次根式的加法与减法同步练习2025-2026学年人教版数学八年级下册

19.3二次根式的加法与减法 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．若最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，则a的值是（    ） A．a＝1 B．a＝－1 C．a＝2 D．a＝－2 2．老师设计了一个“接力游戏”，用合作的方式完成二次根式的混合运算，如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一人传过来的式子．接力中，自己负责的式子出现错误的是（   ） A．小明和小丽 B．小丽和小红 C．小红和小亮 D．小丽和小亮 3．下列计算正确的是（    ）． A． B． C． D． 4．比较大小错误的是（    ） A．＜ B．＋2＜﹣1 C．＞﹣6 D．|1－|＞－1 5．若，则代数式的值为（   ） A．7 B．4 C．3 D．3-2 6．若是最简二次根式且能与合并，则a的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 7．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 8．方程的解为（    ） A． B． C． D． 9．下列计算错误的是（    ） A． B． C． D． 10．如图，在中，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于，两点，作直线，分别交，于点，，连接，若，，，则的长为（    ） A．3 B． C． D． 11．设的整数部分为，小整数部分为，则的值为（    ） A． B． C． D． 12．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 13．已知，则 ． 14．计算： ． 15．估计的运算结果应在 之间（填两个连续自然数）． 16．若两个最简二次根式与可以合并，则 ． 17．《千里江山图》是中国十大传世名画之一，如图所示是其局部．若该画纸长为，宽为．现要装裱该画，装裱后的画的长增加，宽增加，则装裱后整个画卷的面积为 ． 三、解答题 18．化简： （1）； （2）． 19．计算：． 20．先化简，再求值：，其中． 21．计算： (1)． (2)． 22．在八年级“趣味数学”社团活动上，小星设计了一个“猜猜哪个数最大”的游戏，他准备了10张同样的卡片，正面分别写有数字，，，，，．游戏规则是：先将卡片顺序打乱，参与者至少从中随机抽取三张，并将它们正面向下放置在桌面上．小星依次将相邻两张卡片上的数的和告诉参与者，请参与者猜出其中哪张卡片上的数字最大． 【初步尝试】 （1）小芳同学参与了该游戏，她随机抽取了三张卡片，并将它们正面向下放置在桌面上（如图1）．这三张卡片分别记为，，．小芳将小星告诉她的相邻两张卡片上的数的和简记如下：，，．然后进行如下推导： 设，，卡片上对应的数分别为，，． 则①，②，③ 由②-①，得，. 由②-③，得， 小芳经过以上的推导后，最终判断______卡片上的数最大． 【类比解答】 （2）小华同学随机抽取了五张卡片，并将它们正面向下放置在桌面上（图2）．这五张卡片分别记为，，，，．小华也将小星告诉他的相邻两张卡片上的数的和简记如下：，，，，．请你帮小华判断，这五张卡片中，哪张卡片上的数字最大？并说明理由． 【迁移运用】 （3）在（2）的条件下，小华进一步思考，求出了卡片，，，，上写的数字．它们分别是：_____，_____，_____，_____，_____．（直接写结果） 23．计算 (1) (2) 24．计算： 《19.3二次根式的加法与减法》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B C D A B A C D D 题号 11 12 答案 A D 1．A 【分析】两个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，则称它们是同类二次根式，根据此定义即可得到关于a的方程，从而可求得a的值． 【详解】∵最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式 ∴a+1=2a 解得：a=1 故选：A 【点睛】本题考查了同类二次根式，掌握同类二次根式的概念是关键． 2．B 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握相关运算法则是解题关键； 【详解】解：，， ∴小丽和小红负责的式子出现了错误； 故选：B 3．C 【分析】根据二次根式的运算法则即可依次判断． 【详解】A.不能计算，故错误；     B.，故错误； C. ，正确；     D.不能计算，故错误； 故选C． 【点睛】此题主要考查二次根式的运算，解题的关键是熟知其运算法则． 4．D 【分析】利用比较实数大小的方法逐项判断正误即可． 【详解】A、由于5<7，则＜，故正确； B、由于＋2<6+2=8，而8=9-1<－1，则＋2＜﹣1，故正确； C、由于，则，故正确； D、由于，故错误． 故选：D 【点睛】本题考查了实数大小的比较，涉及二次根式的比较，不等式的性质等知识，其中掌握二次根式大小的比较是关键． 5．A 【分析】将代数式化简为，然后再代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查二次根式的化简求值，能够灵活运用完全平方公式是解答本题的关键． 6．B 【分析】本题考查了同类二次根式．根据最简二次根式可合并，可得同类二次根式，根据同类二次根式，可得关于的方程，即可得答案． 【详解】解：由最简二次根式与可以合并，得 ． 故选：B． 7．A 【分析】根据同类二次根式的定义：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．求解即可． 【详解】解：A.原式=，符合题意； B.不是同类二次根式，不符合题意； C.不是同类二次根式，不符合题意； D.原式=，不符合题意， 故选：A． 【点睛】本题考查了同类二次根式，以及二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练掌握同类二次根式的概念． 8．C 【分析】两边同时除以，然后分母有理化即可求解． 【详解】解：， ， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了分母有理化，正确计算是解题的关键． 9．D 【分析】根据同底数幂相乘法则，积的乘方法则，合并同类二次根式法则，完全平方公式逐一判断即可． 【详解】解：A．，计算正确，但不符合题意； B．，计算正确，但不符合题意； C．，计算正确，但不符合题意； D．，计算错误，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了同底数幂相乘法则，积的乘方法则，合并同类二次根式法则，完全平方公式等知识，掌握相关运算法则是解题的关键． 10．D 【分析】先根据垂直平分的性质，得出，再根据等边对等角，得出，然后利用三角函数求出，再利用直角三角形两个锐角互余求出，从而可利用含有30度角的直角三角形的性质求出，再利用勾股定理求得． 【详解】解：∵垂直平分线段， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线的性质，勾股定理，等边对等角，直角三角形两个锐角互余，含有30度角的直角三角形的性质等知识，解题关键是熟练掌握线段的垂直平分线的性质． 11．A 【分析】先根据题意求出和的值，将值代入即可求出答案. 本题考查了无理数整数部分的有关计算、代数式求值，二次根式的运算以及平方差公式，解题的关键在于熟练掌握无理数的估算方法和平方差公式. 【详解】解：， . 的整数部分为，小整数部分为 ，. . 故答案为：A . 12．D 【分析】本题考查了合并同类二次根式，同类二次根式的定义，理解定义“几个二次根式，化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式．”是解题的关键．将各项二次根式化简作答即可． 【详解】解：A.与不是同类二次根式，故不符合题意； B.，与不是同类二次根式，故不符合题意； C.，与不是同类二次根式，故不符合题意； D.，与符合同类二次根式的定义，故符合题意； 故选：D． 13． 【分析】本题主要考查了代数式求值、二次根式的混合运算、分母有理化等知识点，掌握二次根式的混合运算法则成为解题的关键． 将代入运用二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 14．/ 【分析】本题考查了平方差公式、积的乘方的逆运算以及二次根式的混合运算，通过利用积的乘方的逆运算和平方差公式化简即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 15．8～9 【分析】先将二次根式的运算法则进行化简，然后计算即可． 【详解】解：原式 ， ∵， ∴， ∴运算结果应在8～9之间 故答案为8～9 【点睛】此题考查了二次根式的运算法则以及估算，熟练掌握二次根式的有关性质是解题的关键． 16．3 【分析】本题考查的是最简二次根式的含义，同类二次根式的定义，根据两个二次根式可以合并，可得，再解方程即可． 【详解】解：由题意，得， 解得． 故答案为： 17． 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算及长方形面积公式的应用，熟练掌握二次根式的化简与乘法运算法则是解题的关键． 先分别求出装裱后画卷的长和宽，再根据长方形面积公式（面积 = 长×宽）计算装裱后的面积，需要先化简二次根式，再进行乘法运算． 【详解】解：原来长为，长增加， 装裱后长为 原来宽为，宽增加， 装裱后宽为 ∴面积 故答案为：． 18．（1）；（2） 【分析】（1）将二次根式化为最简，然后合并同类项即可； （2）将二次根式化为最简，然后去括号，合并同类项即可； 【详解】解：（1）原式； （2）原式 ， ． 【点睛】此题考查了二次根式的加减运算，属于基础题，解答本题的关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并． 19． 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质和运算法则．先计算乘法和除法，再合并即可得． 【详解】解：， ， ． 20．， 【分析】本题考查了分式的化简求值. 先通分，再去括号，约分，最后将代入即可. 【详解】 ， 当时，原式 21．(1) (2) 【分析】（1）利用乘法法则展开合并，即可得到求值； （2）先计算算术平方根和负整数指数幂，再进行加减运算即可求值． 【详解】（1）解：原式， ； （2）解：原式， ． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，负整数指数幂，熟练掌握相关运算法则是解题关键． 22．（1）C；（2）E卡片上的数字最大，理由见解析；（3） 【分析】本题主要考查二次根式的加减运算，消元法解方程组，理解题意，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）根据题中步骤即可得出结果； （2）根据例题的步骤求解计算即可； （3）根据（2）中过程建立方程组得出，即可求解． 【详解】解：（1）根据题意得.， ， ∴C卡片上的数最大， 故答案为：C； （2）设，，，，卡片上对应的数分别为，，，d，e， ∵，，，， ∴①，②，③，④，⑤， 由②-①，得， . 由②-③，得， ， 由④-③，得， . 由⑤-④，得， ， 由⑤-①，得， . 综上可得：且， ∴e最大，即E卡片上的数字最大； （3）由（2）得①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨，⑩， ∴⑥+⑧得， 联立得，解得：， 代入到①，得； 代入到②，得； 代入到③，得； 故答案为：． 23．(1) (2) 【分析】（1）先根据绝对值的性质，零指数次幂，负整数指数幂，进行化简，再根据二次根式加减法依次进行计算即可． （2）根据二次根式混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：原式=． （2）解：原式=． 【点睛】本题考查了绝对值的化简，零指数次幂，负整数指数幂，以及二次根式混合运算，准确理解相关概念并进行正确的运算是解题的关键． 24． 【分析】本题考查的知识点是二次根式的乘法运算、二次根式的性质与化简，解题关键是熟练掌握二次根式的乘法运算法则． 根据二次根式的乘法运算法则、二次根式的性质与化简即可求解． 【详解】解：原式， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $