1.2 等腰三角形 小节复习题 2025-2026学年北师大版数学八年级下册

1.2《等腰三角形》小节复习题 【题型1 根据等腰三角形等边对等角求角的度数】 1.如图，，若，则的度数是 ． 2.如图，在∆ABC中，，点在∆ABC外，连接交于点，，若，，则的度数为 ． 3.如图，在∆ABC中，，点D、E在的延长线上，点G是上一点，且，点F是上一点，且．若，则 ． 4.如图，已知∆ABC是等边三角形，是边上的高，点E在边上，且，则的大小为 度． 【题型2根据等腰三角形腰相等求第三边或周长】 5.在等腰三角形的周长为9，，则的长为 ． 6.已知等腰三角形的两边长分别为和，则此三角形的周长为 ． 7.若，则以a，b为边长的等腰三角形的周长为 ． 8.等腰三角形一腰上的中线将这个三角形的周长分成，两部分，则等腰三角形的腰长为 ． 【题型3 根据等角对等边求边的长度】 9.如图，在∆ABC中，和的平分线交于点，过点作交于，交于，若，，则线段的长为 ． 10.如图，的平分线与∆ABC中的相邻外角的平分线相交于点，过作，交于，交于，若，，求的长为 ． 11.如图，在中，，平分交于点，过点作交于点，若，则的长为 ． 12.如图，在中，和的平分线交于点，过点作的平行线交于点，交于点，则的周长为 ． 【题型4 根据等腰三角形三线合一进行求解与证明】 13.已知在∆ABC中，是边上的高，垂足为点，点在射线上，连接，若，，，则 ． 14.如图，∆ABC中，． (1)求 ∆ABC的面积； (2)点E，D分别为上的点，且满足．判断和的大小关系，并证明你的结论． 15.如图，△ABC是等腰直角三角形，，D为斜边的中点，E，F分别为边上的点，且．若，．求的长． 16.如图，在∆ABC中，，点是的中点，点在的延长线上，点在的延长线上，． (1)求证：； (2)连接，若，求的值． 【题型5与等腰三角形的定义有关的多解题】 17.如图， ∆ABC中，，是射线上的动点，连接，令，将△ACD沿所在射线翻折至处，射线与射线相交于点若是等腰三角形，则的度数为 ． 18.如图，中，，，点D在线段上运动点D和B、C均不重合，DE交于点E，，当∆ADE是等腰三角形时，的长度为 ． 19.如图，在中，，．若为射线上的动点，连接，将△ACD沿翻折后得到△ECD，连接．若∆ADE为等边三角形或等腰直角三角形，则的度数为 ． 20.如图，在∆ABC中，，，已知的顶点P是线段上一点，经过顶点C，与交于点D，，设与的夹角为（）． （1）若，则的度数为 ； （2）当是等腰三角形时，的度数为 ． 【题型6 根据等角对等边证明等腰三角形】 21.如图，在∆ABC中，平分，过线段上一点E作，交于点F，交的延长线于点G． (1)求证：△AFG是等腰三角形． (2)若，，求的度数． 22.如图1，在∆ABC中，和的平分线相交于点，过点作，分别交和于点和． (1)求证：是等腰三角形． (2)若，，求的周长． 23.如图，在∆ABC中，点D为上一点，点E为的中点，连接并延长到点F使得，连接． (1)求证：； (2)若平分，求证：∆ABC为等腰三角形． 3 24.如图，长方形纸片，，，现将该纸片折叠，使点C与点A重合，折痕为， (1)试判断的形状，并说明理由； (2)求线段的长； (3)求折痕的长． 【题型7 与等腰三角形性质和判定的多结论题】 25.如图，在中，，以为边，作，满足，点为上一点，连接，，连接．下列结论中正确的是（   ） ①；②；③若，则；④． A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 26.已知，如图，为∆ABC的角平分线，且，E为延长线上的一点，，过E作，F为垂足，下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 27.如图，在∆ABC中，，，是边上的中点，点，分别是，边上的动点，与相交于点，且．以下个结论：①图中共有对全等三角形；②；③；④．其中不正确的结论有（　　）个 A． B． C． D． 28.如图，等腰中，，D、E分别在线段、上，，和交于点N，交于点F，交于点M，交的延长线于点G．下列说法：①；②；③；④；⑤．其中正确的是 ． 【题型8等腰三角形的性质和判定综合应用】 29.如图，在∆ABC中，，点在边上，且．    (1)如图1，____，____． (2)如图2，若为线段上的点，过点作直线于点，分别交直线、于点、． ①求证：△ANE是等腰三角形． ②试猜想线段、、之间的数量关系，并加以证明． 30.如图，已知等腰∆ABC中，，D为∆ABC外一点，且，．    (1)如图1，当，求； (2)如图2，作于E交于F，当，，，求； (3)若，且是等腰三角形，求的值． 31.在∆ABC中，，，是边的中线，是边上一点，，交于点． (1)如图①，判断的形状并证明； (2)如图②，， ①补全图形； ②用等式表示，，之间的数量关系并证明． 32.在 ∆ABC中，，，的平分线交边于点D． (1)如图1，求证：为等腰三角形； (2)如图2，若的平分线交边于点E，在上截取，连接，求证：； (3)如图3，若 ∆ABC外角的平分线交延长线于点E，求证：． 参考答案 【题型1 根据等腰三角形等边对等角求角的度数】 1. 解：设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 故答案为：． 2. 解：根据题意，设，则． ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 3. 解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵ ∆ABC中，，， ∴， ∴． 故答案为：． 4.15 解： ∆ABC是等边三角形， ， ， ， ， ， ∵AED=∠EDC+∠C， ， ． 故答案为：． 【题型2根据等腰三角形腰相等求第三边或周长】 5.1或2.5 解：∵三角形中，，周长为9， ∴， 情况一：当为腰时，则， ∴． 此时三边长为4、4、1，满足三角形三边关系定理（任意两边之和大于第三边）． 情况二：当为底边时，则， 设， 则， 解得， 故． 此时三边长为4、2.5、2.5，满足三角形三边关系定理． 故的长为1或2.5． 故答案为：1或2.5． 6.20 解：当腰长为时， 三边为、、，，不满足三角形三边关系，故舍去； 当腰长为时， 三边为、、，，，满足三角形三边关系，周长为； 故答案为：20． 7.16或17 解：， ，， ，． 情况1：腰长为6，底边长为5， ∵，符合三边关系， ∴周长为． 情况2：腰长为5，底边长为6， ∵，符合三边关系， ∴周长为． 故答案为：或． 8.或 解：设等腰三角形的腰长为x，底边长为y． 一腰上的中线将周长分为两部分：一部分为腰长加半腰长， 即； 另一部分为底边长加半腰长， 即． 由题意，这两部分分别为和，因此分两种情况： 情况一：且， 解得：，， 情况二：且， 解得：，， 经检验，两种情况均满足三角形三边关系（两边之和大于第三边）． 故答案为：或． 【题型3 根据等角对等边求边的长度】 9. 解：∵， ∴，． ∵平分，平分， ∴，， ∴，， ∴和为等腰三角形， ∴，． ∵，， ∴． 故答案为：． 10.5 解：∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴． 故答案为：5． 11.6 解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 在中， ∵，， ∴． 故答案为：． 12.17 解：∵中，， ， ∵平分平分， ， ， ， ， ， ， 的周长 ． 故答案为：17． 【题型4 根据等腰三角形三线合一进行求解与证明】 13.或 【知识点】三线合一 解：如图所示，当点在的延长线上时， ∵，， ∴， ∴， ∴， 如图所示，当点在线段上时， ∵， ∴． 故答案为：或． 14.（1），， ，即 ，即 （2）结论：， 连接， ， 在和中 ∵ 15.解：如图，连接． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 16.（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴，即， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在∆ADE和∆CDF中， ∵，，， ∴， ∴； （2）解：由（1）得：， ∴， ∵， ∴， 在中，． 【题型5与等腰三角形的定义有关的多解题】 17.或或 解：由折叠的性质知， 当时，如图，， 由三角形的外角性质得，， 即，此情况不存在； 当且点在射线下方时，如图， ∵， ∴， 由三角形的外角性质得，， 即， 解得； 当时，如图，， ， 由三角形的外角性质得，， 即， 解得； 当且点在射线上方时，如图，， ， ； 综上，的度数为或或， 故答案为：或或． 18.1或 分以下三种情况讨论： ①当时，，如图 可知，即． ，，， ， ，； ②当时，如图 ， ． ，， ， ， ． 又，， ， ，． ， ， ； ③当时，点与点重合，不符合题意，舍去． 综上所述，当 ∆ADE是等腰三角形时，的长为或． 故答案为1或． 19.或或 当∆ADE为等腰直角三角形时， ①当点在线段上时：如图，则， ∴， ∵翻折， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当点在线段的延长线上时，如图， 则：， ∵翻折， ∴， ∴； 当∆ADE为等边三角形时，此时点在线段的延长线上，如图， 则， ∴； 综上：或或； 故答案为：或或． 20. 或 解：（1），， ， ， ， ， 故答案为：． （2）分类讨论： 当时，如下图： ，， ， ， ； 当时，如下图： ，， ， ， ； 当时，此时点P与点B重合，点D与点A重合， ，题干要求，故该情况不存在； 故答案为：或． 【题型6 根据等角对等边证明等腰三角形】 21.（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，平分， ∴， ∴， ∴． 22.（1）证明：∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． （2）解：由（1）得：，同理可得， ∴的周长， ∵，， ∴的周长． 23.（1）证明：∵为中点， ， 在∆ADE和中， ， ， ∴； （2）证明：∵， ， ∵平分， ， ， ， ∴∆ABC为等腰三角形． 24.（1）解：为等腰三角形，理由如下： 由折叠的性质可知，， 在长方形中，， ∴， ∴，即为等腰三角形； （2）解：在长方形中，∠B=90°， 由（1）可设，则有， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ∴； （3）解：过点E作于点H，如图所示： 在长方形中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【题型7 与等腰三角形性质和判定的多结论题】 25.B 解：如图所示，延长至点，使得，设交于点， ∵， ∴，且， ∴垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴，，故②正确； ∵， ∴， ∴平分， 当时，，则有， 当时，，则无法说明有，故①错误； 设，则， ∴， 若， ∴， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∵， ∴， ∵， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有②③④， 故选：B ． 26.B 解：①∵为∆ABC的角平分线， ∴， 在和中， ， ∴， 故结论①正确； ②∵为∆ABC的角平分线，且，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故结论②正确； ③∵，，，， ∴， ∴为等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为∆ABC的角平分线，，而不垂直于， ∴， 故结论③错误； ④由③知， 故结论④正确； 综上所述，正确的结论是①②④． 故选：B． 27.D 解：∵在∆ABC中，，，是边上的中点， ∴是等腰直角三角形，，，平分， ∴，， ∴，是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 共对全等三角形，①正确； ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴②正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴③正确； ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴④正确； ∴不正确的结论为个； 故选：D． 28.①③⑤ 解：设于Q，于K，如图1所示， ∵， ∴， ∴， 故①正确； 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴， 若，则为等边三角形， ∴， 但题目中没有条件得到， 故②不一定成立； 如图2所示，连接， 由可得， ∴， ∵，， ∴， 在与中 ， ∴， ∴， 又， ∴垂直平分， ∵， ∴ ∴， 在与∆CAF中 ， ∴， ∴，， 在与中 ， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故③正确； ∵，， ∴的周长为：， ∵， ∴， ∴， ∴的周长， 故④错误； 如图3所示，过点N作于I，过点F作于P， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴即， ∵， ∴； 故⑤正确： 故答案为：①③⑤． 【题型8等腰三角形的性质和判定综合应用】 29.（1）解：， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：36；72； （2）解：①由（1）可知，，， ， ， 在和中， ， ， ， 是等腰三角形． ②，证明如下： 由①可知，， ，， ，， ， 即． 30.（1）解∶ ， ， ， ，， ， 设， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：作于，如图2所示：    ， 由（1）得：， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解∶分情况讨论∶ ①时，如图3所示∶    ， ， 在和中， ， ， ， 即； ②时，如4图所示∶      同①得， ， ， ，即； ③时， 如5图所示∶    点在的垂直平分线上， 或， 即或； 综上所述，若，且是等腰三角形，则为或或或． 31.（1）解：的形状等腰三角形．证明如下： ∵，是边的中线， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴是等腰三角形． （2）①补全图形，如图． ②之间的数量关系是． 证明：过点E作于点H． ∵，是边的中线，， ∴，． ∴． ∵， ∴． ∴， 又∵， ∴． ∴． 在中，， ∴． ∴， ∴． ∵由（1）知：， ∴． 32.（1）证明：∵，， ∴． ∵平分， ∴， ∴， 即， ∴为等腰三角形； （2）证明：∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴； （3）证明：由（1）得：为等腰三角形， ∴， ∴． 如图，在上截取，连接． ， ∴， ∵， ∴ ∵， 又∵． ∵平分， ∴， ∴，，则， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $