10.2分式的加减法寒假预习讲义-2025-2026学年苏科版八年级下学期数学.(知识点归纳+题型精讲+巩固测试)

10.2分式的加减法寒假预习讲义（苏科版） ☟预习内容速览 1课前预习✱目标 2重点知识✱梳理归纳 3聚焦题型✱举一反三 4强化巩固✱单元训练 💧课前预习✱目标 ★理解分式加减运算的意义，掌握同分母分式加减法则和异分母分式加减法则的推导逻辑; ★能准确区分同分母、异分母分式加减的题型，牢记法则核心要点，明确运算步骤; ★了解最简公分母的定义，学会找最简公分母的方法，能将异分母分式转化为同分母分式; ★通过类比分数加减法则推导分式加减法则，建立“类比迁移”的数学思维，培养逻辑推理能力. 💦重点知识✱梳理归纳 【知识点1同分母分式的加减】 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；可用式子表为：± = . 【重点提醒】 （1）“把分子相加减”是把各分式的分子的整体相加减，即各个分子都应用括号，当分子是单项式 时，括号可以省略；当分子是多项式时，特别是分子相减时，括号不能省，不然，容易导致符号上的错误． （2）分式的加减法运算的结果必须化成最简分式或整式． 【知识点2异分母分式的加减】 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减．可用式子表为： ± = ± = . 【重点提醒】 （1）异分母的分式相加减，先通分是关键．通分后，异分母的分式加减法变成同分母分式的加减法; （2）异分母分式加减法的一般步骤：①通分，②进行同分母分式的加减运算，③把结果化成最简分式． 【知识点3分式加减的混合运算】 运算顺序：与分数的混合运算顺序相同，先乘方，再乘除，最后算加减，如果有括号，先算括号里面的． 【重点提醒】在运算过程中，要注意符号的变化，特别是在去括号和通分的时候．运算结果必须化为最简分式或整式． 【知识点4】分式加减的应用 分式的加减在解决实际问题中有着广泛的应用，如在工程问题、行程问题、销售问题等中，常常会用到分式的加减来表示数量关系和解决问题． ✏聚焦题型✱举一反三 【题型1同分母分式加减法】 【例1】.化简的结果是（ ） A． B． C． D． 【变式1】．计算： ． 【变式2】．观察下列式子： ，， ， (1)根据上述规律，写出第个式子______； (2)请猜想，若为正整数，则______，并证明你猜想的结论． 【题型2异分母分式加减法】 【例2】．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．计算： ． 【变式2】．以下是某同学计算的过程： 计算： 解：原式① ② ③ 老师在批改这道题时，发现了其中的解题错误． (1)请你指出：上述解题过程，从第_______步开始出现错误（填入表示解题步骤的序号①②③即可） (2)请写出你认为正确的解题过程． 【题型3整式与分式相加减】 【例3】．化简的结果为（   ） A． B． C． D． 【变式1】．阅读下列材料： 我们定义：在分式中对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”：当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：，这样的分式就是“假分式”；再如，这样的分式就是“真分式”．“假分式”也可以化为“带分式”．如：． 解决问题：分式是 （填“真分式”“假分式”），“假分式”化为“带分式”为 ． 【变式2】．在分式的分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式是假分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和．例如， (1)将分式化为一个整式与一个真分式的和． (2)若是整数，且假分式的值为正整数，求的值． (3)若假分式，求的值（用含的代数式表示）． 【题型4已知分式恒等式，确定分子或分母】 【例4】．已知，则分式的值为（  ） A．1 B．-1 C． D．- 【变式1】．若，且A，B均为常数，则 ． 【变式2】．已知，试确定A，B的值 【题型5分式加减混合运算】 【例5】．已知为整式，若计算的结果为，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】．某中学组织学生乘车前往实践基地参加活动，计划租m辆车（），如果每辆车13人，则有4人上不了车；如果有一辆车不坐人，那么正好平分到其他车上，则计划组织 名学生参加此次活动． 【变式2】．列式计算： (1)当把甲、乙两种饮料按质量比混合在一起，可以调制成一种混合饮料．调制这种混合饮料需___________甲种饮料？ (2)小敏用电脑打字的速度相当于手写速度的4倍，设她手写速度为字，那么她用电脑打3000字比手抄少花多长时间？ (3)甲、乙两个工程队合修一条公路，已知甲工程队每天修米，乙工程队每天修米（其中），则甲工程队修900米所用时间是乙工程队修600米所用时间的多少倍？ 【题型6分式加减的实际应用】 【例6】．一项工程，甲单独干，完成需要天，乙单独干，完成需要天，若甲、乙合作，完成这项工程所需的天数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【变式1】．小芳周日从家到图书馆看书，去时速度为，回来时速度为，则她往返家里和图书馆的平均速度是 ． 【变式2】．小军爸爸和小慧爸爸每天的白天、夜间都要到同一加油站各加一次油．白天和夜间的油价不同，有时白天高，有时夜间高，但不管价格如何变化，他们两人采用固定的加油方式：小军爸爸不论是白天还是夜间每次总是加60升油，小慧爸爸则不论是白天还是夜间每次总是花300元钱加油．假设某天白天油的价格为每升a元，夜间油的价格为每升b元． (1)用含a、b的代数式表示（请填化简后的结果）： 小军爸爸一天加2次油共花费 元，小慧爸爸一天加2次油共花费 元；小军爸爸这天加油的平均单价为 元/升，小慧爸爸这天加油的平均单价为 元/升． (2)判断谁的加油方式更合算，并通过数学运算说明理由． ✍强化巩固✱单元训练 一、单选题 1．计算的结果等于（   ） A． B． C． D． 2．若，则（   ） A．， B．， C．， D．， 3．计算的结果是（    ） A． B． C．1 D． 4．已知，，用含的代数式表示为（    ） A． B． C． D． 5．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 6．甲、乙两人同时从A地出发沿同一条路线去B地，若甲用一半的时间以的速度行走，另一半时间以的速度行走；而乙用的速度走了一半的路程，另一半的路程以的速度行走（a，b均大于0，且），则（    ） A．甲先到达 B．乙先到达 B地 C．甲、乙同时到达B地 D．甲、乙谁先到达B地不确定 二、填空题 7．已知，则 ． 8．对于，有以下两个结论：①若，则；②若，则．对于这两个结论，说法正确的是 ．（填序号） 9．已知，则 ， ． 10．小蕊在作业本上写完一个代数式的正确计算过程，不小心墨水洒了，遮住了原代数式的一部分（被墨水遮住的部分用代替）．该式为．则被墨水遮住部分△的代数式是 ． 11．对于代数式m和n，定义运算“”：，例如：，若，则 ． 12．已知某船从甲港口到乙港口的距离为千米， 船速为千米/时， 返回时的速度是去时的2倍，则船往返的总时间为 小时． 三、解答题 13．计算下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 14．下面是某同学计算的解题过程： 解：     第一步     第二步     第三步 ．    第四步 上述解题过程从第几步开始出现错误？请写出正确的解题过程． 15．计算 (1)； (2)． 16．已知，，为常数，求的值． 17．阅读下列材料： 【材料1】在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数，我们称之为假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为真分式，对于一个假分式可以转化为一个整式和一个真分式的形式，例如：． 【材料2】配方法是初中数学思想方法中的一种重要解题方法，它的应用不止适用于有理数，在无理数范围内仍然适用，例如：，    由于，所以，即，所以的最小值为2． 解决下列问题： (1)分式是______分式（填“真”或“假”）； (2)如果分式可以变形为（a，b为实数），则 ______；______； (3)求分式的最大值． 18．某地产公司推出“主房+多变入户花园”的两种户型．即在图1中边长为米的正方形主房进行改造． 户型一是在主房两侧均加长米．阴影部分作为入户花园，如图所示． 户型二是在主房一边减少米后，另一边再增加米，阴影部分作为入户花园，如图所示． 解答下列问题： (1)设户型一与户型二的主房面积差为，入户花园的面积差为，试比较和的大小，并说明理由； (2)若户型一的总价为万元，户型二的总价为万元，试判断哪种户型（包括入户花园）的单价较低，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 10.2分式的加减法寒假预习讲义（苏科版） ☟预习内容速览 1课前预习✱目标 2重点知识✱梳理归纳 3聚焦题型✱举一反三 4强化巩固✱单元训练 💧课前预习✱目标 ★理解分式加减运算的意义，掌握同分母分式加减法则和异分母分式加减法则的推导逻辑; ★能准确区分同分母、异分母分式加减的题型，牢记法则核心要点，明确运算步骤; ★了解最简公分母的定义，学会找最简公分母的方法，能将异分母分式转化为同分母分式; ★通过类比分数加减法则推导分式加减法则，建立“类比迁移”的数学思维，培养逻辑推理能力. 💦重点知识✱梳理归纳 【知识点1同分母分式的加减】 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；可用式子表为：± = . 【重点提醒】 （1）“把分子相加减”是把各分式的分子的整体相加减，即各个分子都应用括号，当分子是单项式 时，括号可以省略；当分子是多项式时，特别是分子相减时，括号不能省，不然，容易导致符号上的错误． （2）分式的加减法运算的结果必须化成最简分式或整式． 【知识点2异分母分式的加减】 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减．可用式子表为： ± = ± = . 【重点提醒】 （1）异分母的分式相加减，先通分是关键．通分后，异分母的分式加减法变成同分母分式的加减法; （2）异分母分式加减法的一般步骤：①通分，②进行同分母分式的加减运算，③把结果化成最简分式． 【知识点3分式加减的混合运算】 运算顺序：与分数的混合运算顺序相同，先乘方，再乘除，最后算加减，如果有括号，先算括号里面的． 【重点提醒】在运算过程中，要注意符号的变化，特别是在去括号和通分的时候．运算结果必须化为最简分式或整式． 【知识点4】分式加减的应用 分式的加减在解决实际问题中有着广泛的应用，如在工程问题、行程问题、销售问题等中，常常会用到分式的加减来表示数量关系和解决问题． ✏聚焦题型✱举一反三 【题型1同分母分式加减法】 【例1】.化简的结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的加减计算，先把分式变形为，再根据同分母分式的加减法法则计算即可． 【详解】解：原式． 故选A． 【变式1】．计算： ． 【答案】1 【分析】本题考查同分母分式的加法运算．先根据同分母分式加法法则将分子相加，再合并同类项化简分子，最后约分得到结果． 【详解】解：． 故答案为：1． 【变式2】．观察下列式子： ，， ， (1)根据上述规律，写出第个式子______； (2)请猜想，若为正整数，则______，并证明你猜想的结论． 【答案】(1)； (2)，证明见解析． 【分析】本题主要考查了数字的规律变化，分式的加减运算，解题时要能读懂题意列出关系式是关键． （1）依据题意，由，，，即可判断得解； （2）依据题意，，进而可以判断得解． 【详解】（1）解：由题意，，， ， 根据上述规律，第个式子为：． 故答案为：． （2）解：若为正整数，则．证明如下： 由题意，， 等式成立． 故答案为：． 【题型2异分母分式加减法】 【例2】．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式的加减， 通过因式分解分母，并通分，合并分式后化简即可． 【详解】解： ． 故选：A． 【变式1】．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了异分母减法．根据分式减法的运算法则，先通分再计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式2】．以下是某同学计算的过程： 计算： 解：原式① ② ③ 老师在批改这道题时，发现了其中的解题错误． (1)请你指出：上述解题过程，从第_______步开始出现错误（填入表示解题步骤的序号①②③即可） (2)请写出你认为正确的解题过程． 【答案】(1)② (2)见解析 【分析】本题考查的是分式的化简，熟练掌握分式的加减计算法则是解题的关键． （1）计算过程是从第②步开始出现错误的； （2）根据异分母分式的加减运算法则写出正确的化简过程即可． 【详解】（1）解：计算过程是从第②步开始出现错误的． 故答案为：②． （2）解： ． 【题型3整式与分式相加减】 【例3】．化简的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式化简．先由平方差公式因式分解，再约分，最后由整式减法运算求解即可得到答案． 【详解】解： ， 故选：B． 【变式1】．阅读下列材料： 我们定义：在分式中对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”：当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：，这样的分式就是“假分式”；再如，这样的分式就是“真分式”．“假分式”也可以化为“带分式”．如：． 解决问题：分式是 （填“真分式”“假分式”），“假分式”化为“带分式”为 ． 【答案】 真分式 【分析】本题考查分式的加减运算，掌握计算法则是正确计算的前提，理解“假分式”“带分式”的意义和转化方法是解决问题的关键．根据“真分式”的意义判断即可，根据“假分式”化成“带分式”的方法转化即可 【详解】解：分式的分子的次数是0，分母的次数是1，故是真分式； ． 故答案为：真分式；． 【变式2】．在分式的分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式是假分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和．例如， (1)将分式化为一个整式与一个真分式的和． (2)若是整数，且假分式的值为正整数，求的值． (3)若假分式，求的值（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了分式的运算，熟练掌握分式的化简是解题的关键． （1）根据题意，仿照示例，可得到结果； （2）仿照示例，可得到结果； （3）根据题意，仿照示例，可得到，再代入化简即可． 【详解】（1）解： ． （2） ． 因为是正整数， 所以的值为， 所以的值为，4，则的值为． 因为是整数， 所以的值为1． （3）因为 ． 所以， 即， 所以． 【题型4已知分式恒等式，确定分子或分母】 【例4】．已知，则分式的值为（  ） A．1 B．-1 C． D．- 【答案】B 【分析】根据，可得，再代入，然后化简，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴ 故选：B 【点睛】本题主要考查了分式的加减，分式的化简，根据题意得到是解题的关键． 【变式1】．若，且A，B均为常数，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的加法运算，解二元一次方程组，根据分式的加减运算法则求出，则可得到，解方程组即可得到答案． 【详解】解： ， ∵，且A，B均为常数， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2】．已知，试确定A，B的值 【答案】 【分析】本题考查了分式的加法、二元一次方程组的应用，熟练掌握分式的运算法则是解题关键． 先把等式的右边通分，计算分式的加法，再利用等式两边的分母相同，则分子相同可得一个关于的二元一次方程组，解方程组即可得． 【详解】解： ∵， ∴ ∴， 解得． 【题型5分式加减混合运算】 【例5】．已知为整式，若计算的结果为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式加减混合运算，解题的关键是掌握分式的基本性质和等式的性质．由可得，故，从而． 【详解】解：， ， ， ， ， ； 故选D． 【变式1】．某中学组织学生乘车前往实践基地参加活动，计划租m辆车（），如果每辆车13人，则有4人上不了车；如果有一辆车不坐人，那么正好平分到其他车上，则计划组织 名学生参加此次活动． 【答案】 【分析】本题考查了分式的运算，根据题意求出每辆车乘坐人数为（人），故是整数，所以只有或，求出，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，有一辆车不坐人正好平分到其他车上时，每辆车乘坐人数为： （人）， 故是整数， ∴或， 解得：（不合题意，舍去）或， 当时， ， 故答案应为：． 【变式2】．列式计算： (1)当把甲、乙两种饮料按质量比混合在一起，可以调制成一种混合饮料．调制这种混合饮料需___________甲种饮料？ (2)小敏用电脑打字的速度相当于手写速度的4倍，设她手写速度为字，那么她用电脑打3000字比手抄少花多长时间？ (3)甲、乙两个工程队合修一条公路，已知甲工程队每天修米，乙工程队每天修米（其中），则甲工程队修900米所用时间是乙工程队修600米所用时间的多少倍？ 【答案】(1) (2) (3)甲工程队修900米所用时间是乙工程队修600米所用时间的倍 【分析】本题考查了列代数式（分式），分式的混合运算的应用，把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式． （1）设调制这种混合饮料需甲种饮料，根据甲种饮料千克数：溶液总质量甲种饮料质量：甲乙两种饮料质量和，列出方程计算即可求解； （2）先利用速度公式分别表示出电脑打字和手写的时间，然后求它们的差即可； （3）首先表示出甲乙所用时间为：、，计算其比值，化简即可得出结果． 【详解】（1）解：设调制这种混合饮料需甲种饮料，依题意有 ， 解得， 故调制这种混合饮料需甲种饮料； （2）解：设他手写的速度为字，则用电脑打字的速度为字， 则他电脑打3000字比手抄少花的时间为，即． （3）解：由题意可知甲工程队修900米所用时间为：， 乙工程队修600米所用时间为：， 则其比值为：， ∴甲工程队修900米所用时间是乙工程队修600米所用时间的倍． 【题型6分式加减的实际应用】 【例6】．一项工程，甲单独干，完成需要天，乙单独干，完成需要天，若甲、乙合作，完成这项工程所需的天数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查列代数式以及分式的基本运算，能够读懂题意列出分式是解题关键； 设工作总量为1，根据甲、乙单独完成的天数表示各自的工作效率，合作效率为两者之和，再求合作所需天数． 【详解】解：设工作总量为1， ∵ 甲单独完成需天， ∴ 甲的工作效率为， ∵ 乙单独完成需天， ∴ 乙的工作效率为， ∴ 甲、乙合作的工作效率为， ∴ 合作所需天数为． 故选：A． 【变式1】．小芳周日从家到图书馆看书，去时速度为，回来时速度为，则她往返家里和图书馆的平均速度是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的应用；本题需先根据题意设出未知数，再列出式子化简整理即可求出平均速度． 【详解】解：设从家到图书馆的路程为千米， 则从家到图书馆的时间为小时，返回的时间为小时， 则她往返家里和图书馆的平均速度为， 故答案为：． 【变式2】．小军爸爸和小慧爸爸每天的白天、夜间都要到同一加油站各加一次油．白天和夜间的油价不同，有时白天高，有时夜间高，但不管价格如何变化，他们两人采用固定的加油方式：小军爸爸不论是白天还是夜间每次总是加60升油，小慧爸爸则不论是白天还是夜间每次总是花300元钱加油．假设某天白天油的价格为每升a元，夜间油的价格为每升b元． (1)用含a、b的代数式表示（请填化简后的结果）： 小军爸爸一天加2次油共花费 元，小慧爸爸一天加2次油共花费 元；小军爸爸这天加油的平均单价为 元/升，小慧爸爸这天加油的平均单价为 元/升． (2)判断谁的加油方式更合算，并通过数学运算说明理由． 【答案】(1) ，，， (2) 小慧的爸爸的加油方式比较合算． 【分析】本题考查分式的实际应用，熟练掌握并利用题意列出代数式以及利用作差法进行分析比较是解题的关键； （1）由题意根据条件用代数式分别表示出小军的爸爸和小慧的爸爸在这天加油的平均单价即可； （2）根据题意利用作差法进行分析比较即可． 【详解】（1）解：小军爸爸白天加油花费元，夜间加油花费， ∴小军爸爸一天加2次油共花费元， 小慧爸爸一天加2次油共花费元， 小军的爸爸在这天加油的平均单价是：（元/升）， 小慧的爸爸在这天加油的平均单价是：（元/升）． 故答案为：，，，． （2）解：， 而，，，所以 从而，即． 因此，小慧的爸爸的加油方式比较合算． ✍强化巩固✱单元训练 一、单选题 1．计算的结果等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同分母的分式的加减运算﹒先根据同分母分式的加减运算法则计算得，再约分即可求解﹒ 【详解】解：﹒ 故选：C﹒ 2．若，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是分式的通分、解二元一次方程组，解题关键是熟练掌握分式的运算法则． 先根据分式的通分求出，再求解即可． 【详解】解：， ， ， 解得． 故选：． 3．计算的结果是（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的加减，根据分式的减法运算法则，先通分，再加减求解即可． 【详解】解： ， 故选：B． 4．已知，，用含的代数式表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查代数式运算，根据题意，将代入，化简即可得到答案，熟练掌握代数式运算是解决问题的关键． 【详解】解：，， ， 故选：A． 5．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式加减运算，熟练掌握分式加减运算法则是解题的关键．先通分，然后根据同分母分式加减运算法则，进行计算即可． 【详解】解： ． 故选：D． 6．甲、乙两人同时从A地出发沿同一条路线去B地，若甲用一半的时间以的速度行走，另一半时间以的速度行走；而乙用的速度走了一半的路程，另一半的路程以的速度行走（a，b均大于0，且），则（    ） A．甲先到达 B．乙先到达 B地 C．甲、乙同时到达B地 D．甲、乙谁先到达B地不确定 【答案】A 【分析】本题考查分式的应用．设从A地到B地的路程为s，甲走完全程所用时间为，乙走完全程所用时间为，根据题意，分别表示出甲、乙所用时间的代数式，然后再作比较即可． 【详解】解：设从A地到B地的路程为s，甲走完全程所用时间为，乙走完全程所用时间为， 由题意得，， 解得，， a，b均大于0，且， ， ， 甲先到达， 故选A． 二、填空题 7．已知，则 ． 【答案】/0.2 【分析】本题主要考查了分式的拆分与代数式的求值，熟练掌握分式的拆分变形并结合已知比例代入计算是解题的关键．将所求分式拆分为含的形式，再代入已知的值计算． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为． 8．对于，有以下两个结论：①若，则；②若，则．对于这两个结论，说法正确的是 ．（填序号） 【答案】①②/②① 【分析】本题考查了分式的加减运算，根据分式的加减计算，进而判断①②，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ①若，则， ∴，故①正确； ②若，即，则，则，故②正确， 故答案为：①②． 9．已知，则 ， ． 【答案】 2 【分析】本题考查了分式的加减运算；先对等式右边进行通分化简，然后根据题意列方程，进行计算即可求解； 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2，． 10．小蕊在作业本上写完一个代数式的正确计算过程，不小心墨水洒了，遮住了原代数式的一部分（被墨水遮住的部分用代替）．该式为．则被墨水遮住部分△的代数式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的加减运算，通过移项和分式运算求解Δ，注意分母的变换和通分． 【详解】解：由原等式， 移项得． 由于， 代入得． 通分后公分母为， 计算分子：， 因此， 故答案为：． 11．对于代数式m和n，定义运算“”：，例如：，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，分式的加减运算，正确理解新定义运算的方法是解题的关键．根据新定义运算，求得，再计算得，即得方程组，即得答案． 【详解】， ， ， ． 故答案为：． 12．已知某船从甲港口到乙港口的距离为千米， 船速为千米/时， 返回时的速度是去时的2倍，则船往返的总时间为 小时． 【答案】 【分析】本题主要考查了列代数式、分式的加减运算等知识点，理解题意正确的列出代数式成为解题的关键． 先根据时间、路程、速度的关系分别求出去时和返回所用的时间，然后把往返的时间分别相加，再化简即可解答． 【详解】解：∵船去时所用时间为：（小时）， ∵船返回时所用时间为：（小时​​​​）， 则船往返的总时间为（小时）． 故答案为：． 三、解答题 13．计算下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了分式加法或减法运算，熟练掌握分式加法或减法运算法则，是解题的关键． （1）根据同分母减法运算法则，进行计算即可； （2）根据同分母加法运算法则，进行计算即可； （3）根据同分母加法运算法则，进行计算即可； （4）根据同分母减法运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 14．下面是某同学计算的解题过程： 解：     第一步     第二步     第三步 ．    第四步 上述解题过程从第几步开始出现错误？请写出正确的解题过程． 【答案】从第一步开始出现错误．正确的解题过程见解析 【分析】本题考查分式的加减，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 先判断解题过程中每一步的正确性，找出错误步骤，第一步计算时应该先变形为：，再通分，第一步开始出现错误。然后再按照分式运算规则进行正确计算即可． 【详解】解：从第一步开始出现错误．正确的解题过程如下： 原式 ． 15．计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了含有开方运算的实数混合运算，零指数幂，负整数指数幂，分式的加减混合运算，解题关键是注意运算的顺序． （1）先计算立方根，零指数幂，绝对值，负整数指数幂，再计算加减； （2）先将括号里面的通分计算，同时将后面的分式约分，再与后面的分式相加即可． 【详解】（1）解：原式= ； （2）原式= = =． 16．已知，，为常数，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减法，解二元一次方程组，熟练掌握相关运算法则是解答本题的关键．先将通分变形为，从而得到，解方程求得、的值，再代入代数式中计算即可． 【详解】解： ， ， ，解得， ． 17．阅读下列材料： 【材料1】在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数，我们称之为假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为真分式，对于一个假分式可以转化为一个整式和一个真分式的形式，例如：． 【材料2】配方法是初中数学思想方法中的一种重要解题方法，它的应用不止适用于有理数，在无理数范围内仍然适用，例如：，    由于，所以，即，所以的最小值为2． 解决下列问题： (1)分式是______分式（填“真”或“假”）； (2)如果分式可以变形为（a，b为实数），则 ______；______； (3)求分式的最大值． 【答案】(1)真 (2) (3) 【分析】本题考查了分式的运算、利用完全平方公式变形求值，熟练掌握分式的运算法则是解题关键． （1）根据真分式的定义求解即可得； （2）将原分式变形为，由此即可得； （3）先将分式变形为，根据求出最大值即可得． 【详解】（1）解：∵分式的分母的次数是2，分子的次数是1， ∴分式是真分式， 故答案为：真． （2）解： ， ∵分式可以变形为（为实数）， ∴， 故答案为：． （3）解： ， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴分式的最大值为． 18．某地产公司推出“主房+多变入户花园”的两种户型．即在图1中边长为米的正方形主房进行改造． 户型一是在主房两侧均加长米．阴影部分作为入户花园，如图所示． 户型二是在主房一边减少米后，另一边再增加米，阴影部分作为入户花园，如图所示． 解答下列问题： (1)设户型一与户型二的主房面积差为，入户花园的面积差为，试比较和的大小，并说明理由； (2)若户型一的总价为万元，户型二的总价为万元，试判断哪种户型（包括入户花园）的单价较低，并说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)户型二的单价较低，理由见解析 【分析】（）根据图形分别表示出户型一的主房面积和户型二的主房面积，进而求出，再分别求出户型一的入户花园的面积和户型二的入户花园的面积，求出，最后利用作差法比较即可； （）分别求出户型一和户型二的单价，再利用作差法比较即可； 本题考查了列代数式，整式的加减和分式加减的应用，掌握整式和分式的运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：，理由如下： 由题意得，户型一的主房面积为平方米，户型二的主房面积为平方米， ∴平方米， 户型一的入户花园的面积为平方米， 户型二的入户花园的面积为平方米， ∴平方米， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：户型二的单价较低，理由如下： 户型一的单价为：万元平方米， 户型二的单价为：万元平方米， ∵ ， ∵， ∴，，， ∴， 即， ∴户型二的单价较低． 学科网（北京）股份有限公司 $