9.1　因式分解的概念 课件 2025-2026学年苏科版数学八年级下册

第9章　因式分解 9.1　因式分解的概念 初中数学苏科版（2024）八年级下册 学习目标 1.掌握因式分解的意义，会判断一个变形是否为因式分解.(重点) 2.理解因式分解与整式乘法之间的联系与区别.(难点) 课堂引入 我们曾经学习过数的整除问题，一个多项式能化成几个整式的乘积吗？ 一、 因式分解的概念 问题1　7＋72能被8整除吗？99＋992能被100整除吗？若a是正整数，a＋a2能被a＋1整除吗？ 提示　7＋72＝7×(1＋7)＝7×8，所以7＋72能被8整除. 99＋992＝99×(1＋99)＝99×100，所以99＋992能被100整除. 根据a(a＋1)＝a＋a2，可得a＋a2＝a(a＋1)，所以a＋a2能被a＋1整除. 问题2　填空：m(a＋b)＝　　　　　　，(x＋1)(x＋2)＝　　　　　　；  根据上空，填空：ma＋mb＝　　　　　　，x2＋3x＋2＝　　　　　　.  ma＋mb x2＋3x＋2 m(a＋b) (x＋1)(x＋2) 问题3　由m(a＋b)得到ma＋mb的变形是什么运算？由ma＋mb得到m(a＋b)的变形与它有什么不同？ 提示　由m(a＋b)得到ma＋mb的变形是整式乘法.由ma＋mb得到m(a＋b)的变形与上面的变形互为逆过程，是把一个多项式表示成两个整式的乘积形式. 知识梳理 把一个多项式化成几个_________的形式，这样的变形叫作_________，因式分解也可称为_________. 整式的积 因式分解 分解因式 例1　下列从左到右的变形中，哪些是因式分解？哪些不是？ (1)24x2y＝4x·6xy； (2)(x＋5)(x－5)＝x2－25； (3)x2＋2x－3＝(x＋3)(x－1)； (4)9x2－6x＋1＝3x(3x－2)＋1； (5)x2＋1＝x. 解　(1)等号的左边不是多项式，故不是因式分解. (2)是整式的乘法，不是因式分解. (3)符合因式分解的定义，是因式分解. (4)等号右边不是整式的积的形式，不是因式分解. (5)不是整式，不是因式分解. 反思感悟 因式分解是把一个多项式化成几个整式乘积的形式.在判断一个多项式的变形是否是因式分解时，需要看变形的结果是否是整式乘积的形式，易出现的错误是只看乘积形式，而忽略了结果中各因式必须是整式这个条件，从而导致判断错误. 跟踪训练1　下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是 A.(a＋b)(m＋n)＝am＋an＋bm＋bn B.x2＋4x＋5＝(x＋2)2＋1 C.x2－x－6＝(x＋2)(x－3) D.3x2＋6x－9＝3x √ 二、 因式分解与整式乘法的关系 问题4　观察下面拼图过程，写出相应的关系式： 提示　从左到右：(x＋3)(x＋2)＝x2＋5x＋6. 从右到左：x2＋5x＋6＝(x＋3)(x＋2). 问题5　由(x＋3)(x＋2)得到x2＋5x＋6的变形是什么运算？由x2＋5x＋6得到(x＋3)(x＋2)的变形与它有什么不同？ 提示　由(x＋3)(x＋2)得到x2＋5x＋6的变形是整式乘法.由x2＋5x＋6得到(x＋3)(x＋2)的变形与上面的变形互为逆过程，是把一个多项式表示成两个整式的乘积形式，也就是因式分解. 知识梳理 整式乘法与因式分解的关系： 整式乘法与因式分解一个是积化和差，另一个是和差化积，是两种互逆的变形. 即：多项式　　　　　整式乘积. x2＋5x＋6　　　　　(x＋3)(x＋2). 例2　如图，用一个边长为a的小正方形和两个长、宽分别为a，b的小长方形拼成一个大长方形.利用大长方形ABCD面积的不同求法，请你写出一个有关多项式的因式分解的等式：　　　　　　　　　　.  a2＋2ab＝a(a＋2b) 解析　因为大长方形ABCD由一个边长为a的小正方形和两个长、宽分别为a，b的小长方形拼成，所以大长方形ABCD的面积可表示为a2＋2ab.又因为大长方形ABCD的长为a＋2b，宽为a，所以大长方形ABCD的面积又可表示为a(a＋2b).所以a2＋2ab＝a(a＋2b). 反思感悟 表示图形面积的两种方法： (1)直接表示，即直接运用所求图形的面积公式； (2)间接表示，即通过图形面积的加减表示所求图形的面积.利用同一图形面积的不同表达形式，可推导出有关多项式的因式分解的恒等式，这是因式分解的几何意义. 跟踪训练2　如图1所示的四个图形可拼成如图2所示的一个大长方形，据此写出一个多项式的因式分解：　　　　　　　　　　　.  x2＋3x＋2＝(x＋1)(x＋2) 三、 探究 例3　仔细阅读下面例题，解答问题. 【例题】已知关于x的多项式x2－4x＋m有一个因式是(x＋3)，求另一个因式及m的值. 解：设另一个因式为(x＋n)， 则x2－4x＋m＝(x＋3)(x＋n)，即x2－4x＋m＝x2＋(n＋3)x＋3n. ∴解得 ∴另一个因式为(x－7)，m的值为－21. 【问题】仿照以上方法解答下面问题： (1)已知关于x的多项式x2＋6x＋a有一个因式是(x－2)，求另一个因式及a的值； 解　设另一个因式为(x＋n)， 则x2＋6x＋a＝(x－2)(x＋n)，即x2＋6x＋a＝x2＋(n－2)x－2n， ∴ 解得 ∴另一个因式为(x＋8)，a的值为－16. 例3　仔细阅读下面例题，解答问题. 【例题】已知关于x的多项式x2－4x＋m有一个因式是(x＋3)，求另一个因式及m的值. 解：设另一个因式为(x＋n)， 则x2－4x＋m＝(x＋3)(x＋n)，即x2－4x＋m＝x2＋(n＋3)x＋3n. ∴解得 ∴另一个因式为(x－7)，m的值为－21. 【问题】仿照以上方法解答下面问题： (2)已知关于x的多项式2x2＋5x－k有一个因式是(x＋4)，求k的值. 解　设另一个因式为(2x＋b)， 则2x2＋5x－k＝(x＋4)(2x＋b)，即2x2＋5x－k＝2x2＋(b＋8)x＋4b， ∴ 解得 ∴k的值为12. 反思感悟 设某一多项式的全部或部分系数为未知数，利用当两个多项式为恒等式时，同类项系数相等的原理确定这些系数，从而得到待求的值，这种方法叫待定系数法. 跟踪训练3　若多项式x2－mx＋n(m，n是常数)分解因式后，有一个因式是x－2，则2m－n的值为　　　　　. 4 解析　设另一个因式为x－a， 则x2－mx＋n＝(x－2)(x－a)＝x2－ax－2x＋2a＝x2－(a＋2)x＋2a，得 ∴2m－n＝2(a＋2)－2a＝4. 课堂小结 1.因式分解的定义. 2.因式分解与整式乘法是一个互逆过程， 即：多项式　　　　　整式乘积. 1.下列等式从左到右是因式分解，且结果正确的是 A.a2＋8a＋16＝(a＋4)2 B.(a＋4)2＝a2＋8a＋16 C.a2＋8a＋16＝a(a＋8)＋16 D.a2＋8(a＋2)＝a2＋8a＋16 课堂练习 √ 解析　A项，把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，是因式分解且结果正确，故此选项符合题意； B项，是整式乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意； C项，结果不是整式的乘积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意； D项，是整式乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意. 课堂练习 2.因式分解x2＋mx－12＝(x＋2)(x＋n)，其中m，n都为整数，则m的值是 A.－6 B.－5 C.－4 D.4 √ 解析　∵x2＋mx－12＝(x＋2)(x＋n)， ∴x2＋mx－12＝x2＋2x＋nx＋2n， ∴x2＋mx－12＝x2＋(n＋2)x＋2n， ∴m＝n＋2，2n＝－12， ∴m＝－4，n＝－6. 课堂练习 3.如图，利用图形面积公式因式分解：a2＋3ab＋2b2＝　　　　　　　　. 解析　多项式a2＋3ab＋2b2可以看作是1个边长为a的正方形，3个长为b、宽为a的小长方形和2个边长为b的正方形的面积之和， 又∵这5个图形可拼成一个长为(a＋2b)，宽为(a＋b)的长方形， ∴a2＋3ab＋2b2＝(a＋2b)(a＋b). (a＋2b)(a＋b) 课堂练习 4.若关于x的二次三项式x2－3x＋k的因式是(x－2)和(x－1)，则k的值是　　　　　　 .  解析　由题意得x2－3x＋k＝(x－2)(x－1)＝x2－3x＋2，∴k＝2. 2 课堂练习 5.分解因式x2＋ax＋b，甲看错了a的值，分解的结果是(x－3)(x＋2)，乙看错了b的值，分解的结果是(x－2)(x－3)，则a＋b＝　　　　　.  解析　∵(x－3)(x＋2)＝x2－3x＋2x－6＝x2－x－6， ∴b＝－6， ∵(x－2)(x－3)＝x2－3x－2x＋6＝x2－5x＋6， ∴a＝－5， ∴a＋b＝(－5)＋(－6)＝－11. －11 课堂练习 6.下列由左边到右边的式子变形，哪些是因式分解？哪些不是？为什么？ (1)4a(a＋2b)＝4a2＋8ab； 解　4a(a＋2b)＝4a2＋8ab，左边是整式的乘积形式，右边是多项式，是整式的乘法，故不是因式分解. (2)a2－4＝(a＋2)(a－2)； 解　a2－4＝(a＋2)(a－2)，左边是多项式，右边是两个多项式的乘积形式，故是因式分解. (3)x2－3x＋2＝x(x－3)＋2. 解　x2－3x＋2＝x(x－3)＋2，右边不是整式乘积的形式，故不是因式分解. 课堂练习 谢谢观看 $