精品解析：宁夏泾源高级中学2025-2026学年上学期期末考试高二数学试卷

泾源高级中学2025-2026（上）期末考试高二数学试卷 一、单选题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知集合，则（ ）. A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则（ ）. A. B. C. D. 3. 直线的倾斜角是（ ）. A. B. C. D. 4. 已知是等比数列，，则（ ）. A. B. C. D. 5. 椭圆的右焦点到直线的距离为（ ）. A. B. C. D. 6. “关于的方程：表示圆”是“”的（ ）条件 A. 必要不充分 B. 充要 C. 充分不必要 D. 既不充分也不必要 7. 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ）. A. B. C. D. 8. 普林斯顿大学的康威教授于1986年发现了一类有趣的数列并命名为“外观数列”（Look-and-say sequence），该数列由正整数构成，后一项是前一项的“外观描述”.例如：取第一项为1，将其外观描述为“1个1”，则第二项为11；将11描述为“2个1”，则第三项为21；将21描述为“1个2，1个1”，则第四项为1211；将1211描述为“1个1，1个2，2个1”，则第五项为111221.……这样每次从左到右将连续的相同数字合并起来描述，给定首项即可依次推出数列后面的项.则对于外观数列，下列说法正确的是（ ）. A. 若，则从开始出现数字2； B. 若，则的最后一个数字均为； C. 和均是外观数列； D. 若，则有可能包含数字4. 二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全选对得6分，部分选对得2分，有选错得0分） 9. 已知直线，则下列说法正确的是（ ）. A. 直线在上的截距为1 B. 直线与直线垂直 C. 直线与直线平行 D. 直线与直线的距离为 10. 对于抛物线，下列说法正确的是（ ）. A. 开口向上，焦点为 B. 开口向上，焦点为 C. 焦点到准线的距离为4 D. 准线方程是 11. 已知数列的前项和，则（ ）. A. B. 数列是等差数列 C. 为中的最小项 D. 三.填空题：（本题共3小题，每小题 5 分，共15分） 12. 已知向量，则________. 13. 双曲线的左右焦点分别为，为双曲线上的一点，若，则__________. 14. 已知等比数列的前项和，，则__________. 四、解答题（本大题共 5 个小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知点，； （1）求线段的垂直平分线的方程； （2）若圆经过两点，且圆心在直线上，求圆的一般式方程. 16. 经过点作直线交双曲线于两点，且为的中点. （1）求直线的方程； （2）求线段的长. 17. 已知数列的前项和满足. （1）求数列的通项公式； （2）设数列，求数列前项和. 18. 如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，平面，且，点是的中点， （1）求证：直线平面; （2）求直线到平面的距离； （3）求平面与平面夹角的正弦值. 19. 已知椭圆的离心率为，长轴长为4． （1）求C的方程； （2）过点的直线l交C于两点，为坐标原点.若的面积为，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泾源高级中学2025-2026（上）期末考试高二数学试卷 一、单选题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知集合，则（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用交集定义与运算，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，集合， 根据集合的交集的运算，可得． 故选：D． 2. 已知复数满足，则（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的除法运算即可得到答案. 【详解】. 故选：C. 3. 直线的倾斜角是（ ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据斜率和倾斜角的关系求出. 【详解】设倾斜角为， 直线的斜率为，则，则， 故直线的倾斜角为. 故选：A 4. 已知是等比数列，，则（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据等比数列的下标性质求解即可. 【详解】由等比数列性质可得，又，所以，所以. 故选：D 5. 椭圆的右焦点到直线的距离为（ ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出焦点的坐标，再利用点到直线的距离公式求解. 【详解】由题意可知，，则，即， 则点到直线的距离为. 故选：A 6. “关于的方程：表示圆”是“”的（ ）条件 A. 必要不充分 B. 充要 C. 充分不必要 D. 既不充分也不必要 【答案】A 【解析】 【分析】先得的表示圆时的的取值范围，从而得到结论. 【详解】由题意有， 所以或， 由于为或的真子集， 故方程表示圆是的必要不充分条件， 故选：A. 7. 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将题目所给方程转化为椭圆的标准方程的形式，结合题设条件，列出方程组，即可求解. 【详解】由椭圆方程为，可得 上式表示焦点在y轴上的椭圆， 则，解得， 故选：C 8. 普林斯顿大学的康威教授于1986年发现了一类有趣的数列并命名为“外观数列”（Look-and-say sequence），该数列由正整数构成，后一项是前一项的“外观描述”.例如：取第一项为1，将其外观描述为“1个1”，则第二项为11；将11描述为“2个1”，则第三项为21；将21描述为“1个2，1个1”，则第四项为1211；将1211描述为“1个1，1个2，2个1”，则第五项为111221.……这样每次从左到右将连续的相同数字合并起来描述，给定首项即可依次推出数列后面的项.则对于外观数列，下列说法正确的是（ ）. A. 若，则从开始出现数字2； B. 若，则的最后一个数字均为； C. 和均是外观数列； D. 若，则有可能包含数字4. 【答案】B 【解析】 【分析】由外观数列的定义可判断A和B；举例子可判断C；由反证法，结合外观数列的定义可判断D. 【详解】对于A，当时，由外观数列的定义可得：，，，故A错； 对于B，若 （），， 是对“”的描述，最后一个数字是， 依此类推，每一项的最后一个数字始终是，故B正确； 对于C，取，则，则 是外观数列， 若取，则，而不是33，不符合外观数列的定义，故C错误； 对于D，当时，数列中的数字只能来源于初始项的数字（1， 2， 3）或对连续相同数字的计数； 若要在中出现数字4，则其前一项中必须出现4个连续的相同数字， 只要首项不包含数字4或更大的数字，且不包含4个或以上连续的相同数字， 则后续项中永远不会出现数字4，本题符合该条件，故不包含数字4，故D错误， 故选：B 二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全选对得6分，部分选对得2分，有选错得0分） 9. 已知直线，则下列说法正确的是（ ）. A. 直线在上的截距为1 B. 直线与直线垂直 C. 直线与直线平行 D. 直线与直线的距离为 【答案】CD 【解析】 【分析】令可判断A；由方程判断两直线的位置关系可判断B；利用两直线斜率相等纵截距不等可判断C；利用平行线之间的距离公式可判断D 【详解】直线，令得，故直线在上的截距为，A错误； 直线斜率为，直线斜率为，两直线的斜率乘积为1不是，故两直线不垂直，B错误； 直线即，直线斜率为，纵截距为， 直线即，直线斜率为，纵截距为， 两直线的斜率相等，纵截距不等，所以直线与直线平行，C正确； 直线与直线即之间的距离，D正确. 故选：CD. 10. 对于抛物线，下列说法正确的是（ ）. A. 开口向上，焦点为 B. 开口向上，焦点为 C. 焦点到准线的距离为4 D. 准线方程是 【答案】AC 【解析】 【分析】根据抛物线的方程，求出的值，得出开口方向，即可得出答案. 【详解】A、B，由已知得，，且抛物线开口向上，所以焦点坐标为，故A正确、B错误； C，根据抛物线的定义可知，焦点到准线的距离为，故C正确； D，根据抛物线的方程可知，准线方程为，故D错误. 故选：AC. 11. 已知数列的前项和，则（ ）. A. B. 数列是等差数列 C. 为中的最小项 D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据，即可求出数列的通项，再根据等差数列的定义和前项和公式即可逐项判断. 【详解】选项A，，当时， ， 当时，， 当时，上式也成立，所以，故A正确； 选项B，由题意得， 因为，所以数列是等差数列，故B正确； 选项C，已知，这是一个二次函数，开口向上，对称轴为， 由于是正整数，计算前几项： 当时，； 当时，； 当​时，； 当时，； 可见，当时，取得最小值，即是数列中的最小项，故C正确； 选项D，，D错误. 故选：ABC 三.填空题：（本题共3小题，每小题 5 分，共15分） 12. 已知向量，则________. 【答案】 【解析】 【分析】用向量的数量积坐标公式直接计算即可得出结果. 【详解】∵， ∴. 故答案为： 13. 双曲线的左右焦点分别为，为双曲线上的一点，若，则__________. 【答案】9 【解析】 【分析】由焦半径取值范围确定P点位置，从而由双曲线定义即可求解. 【详解】由双曲线，可知：， 所以当在左支上时，当在右支上时， 因为，所以在左支上，所以. 故答案为：9. 14. 已知等比数列的前项和，，则__________. 【答案】75 【解析】 【分析】由等比数列的前项和，得，，，成等比数列，即可得到，进而得到. 【详解】∵等比数列的前项和， ∴，，，仍成等比数列. ∵，， ∴. ∴，则. ∴，则. 故答案为： 四、解答题（本大题共 5 个小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知点，； （1）求线段的垂直平分线的方程； （2）若圆经过两点，且圆心在直线上，求圆的一般式方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出两点的中点及斜率，然后结合垂直的斜率关系，利用点斜式方程即可求得； （2）根据圆的几何性质求出圆心坐标，利用两点距离公式求解半径，进而求出标准方程，再化为一般方程即可. 【小问1详解】 因为，， 所以AB中点坐标为，又直线的斜率， 所以线段的垂直平分线的斜率为， 即的直线方程为，化简得. 【小问2详解】 由垂径定理得，圆心在的垂直平分线上， 联立方程得：，解得，所以圆心坐标为， 所以半径，所以圆的标准方程为， 所以圆的一般式方程. 16. 经过点作直线交双曲线于两点，且为的中点. （1）求直线的方程； （2）求线段的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用点差法，设代入双曲线方程，两式相减化简可求出直线的斜率，从而可求出直线方程， （2）将直线方程代入双曲线方程化简，再利用根与系数的关系，结合弦长公式可求得结果 【小问1详解】 设直线斜率为；直线与双曲线交点分别为. 所以，即=2，=8； 将两点代入双曲线方程得，两式相减得， 即，即， 所以，所以直线的方程为，即， 经验证符合题意，所以直线的方程为； 【小问2详解】 联立，消去得， 所以，， 所以. 即线段的长为. 17. 已知数列的前项和满足. （1）求数列的通项公式； （2）设数列，求数列前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1) 根据和项与通项的关系，再根据等比数列定义以及通项公式得结果. (2) 求出的通项公式，利用错位相减法，即可求数列前项和． 【小问1详解】 ，解得： 当时， 即；所以数列是首项为2，公比为2的等比数列； 所以 【小问2详解】 所以 ① 则 ② ①②得： 所以 18. 如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，平面，且，点是的中点， （1）求证：直线平面; （2）求直线到平面的距离； （3）求平面与平面夹角的正弦值. 【答案】（1）证明： 因平面，即两两垂直，故可建立如图所示的空间直角坐标系，设 因为 则， 又因为是的中点，所以， 所以 设平面的法向量为，则有， 所以是平面的一个法向量， 又因为，所以，所以直线平面. （2） （3） 【解析】 【分析】1）建系后，设，写出相关点的坐标，求出平面的法向量，利用即可证明； （2）利用点到平面的距离的向量公式计算即得； （3）利用空间向量的夹角公式计算即得. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 由（1）得直线平面且平面的一个法向量为， 又因为，所以直线到平面的距离为. 【小问3详解】 由题意得平面， 所以平面的一个法向量 设平面与平面夹角为，则 则，所以平面与平面夹角的正弦值为. 19. 已知椭圆的离心率为，长轴长为4． （1）求C的方程； （2）过点的直线l交C于两点，为坐标原点.若的面积为，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据长轴长和离心率求出基本量后可得椭圆方程； （2）设出直线方程并联立椭圆方程后结合韦达定理用参数表示面积后可求的值，从而可求弦长. 【小问1详解】 因为长轴长为4，故，而离心率为，故， 故，故椭圆方程为：. 【小问2详解】 由题设直线的斜率不为0，故设直线，， 由可得， 故即， 且， 故， 解得， 故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $