专题9.3 公式法（导图+知识梳理+九大题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共52题）-2025-2026学年苏科版数学八年级下册同步培优讲义

专题9.3 公式法 【原卷版】 知识点一 运用公式法分解因式 如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法． 知识点二 运用平方差公式分解因式 1、平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）． 2、语言叙述：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积. 3、运用平方差公式的条件 （1）多项式有两项． （2）这两项的符合相反，并且都是完全平方数． 4、运用平方差公式分解因式的步骤: 一判： 根据平方差公式的特点，判断是否为平方差,若负平方项在前面，利用加法的交换律把负平方项与正平方项交换放在后面． 二定: 确定公式中的“a”和“b”,除“a”和“b”是单独一个数或字母外，,其余不管是单项式还是多项式都必须用括号括起来，表示一个整体． 三套: 套用平方差公式进行分解． 四整理: 将每个因式去括号，合并同类项化成最简形式． 拓展：运用平方差公式分解因式时，首先将式子写成两数平方差的形式，公式中的“a”和“b”可以是常数，也可以是单项式或多项式． 知识点二 运用完全平方公式分解因式 1、字母表示: a2+2ab+b2＝（a+b）2， a2﹣2ab+b2＝ （a﹣b）2 ． 2、语言叙述：两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方、和或差取决于乘积的2倍的符号． 3、完全平方式的特点： ①必须是三项式(或可以看成三项的)； ②有两个数或式的平方和； ③有上面两数之积的 ±2 倍． 4、运用完全平方公式分解因式的步骤: 一写: 把多项式写成a2±2ab+b2的形式． 二定: 观察多项式特点,确定a，b． 三套: 套用完全平方公式进行分解． 四整理: 因式分解的结果能化简的要进行化简． 题型一 判断能否用公式法分解因式 【典例精讲】下列多项式：①；②；③；④；⑤，其中能用公式法分解因式的是（   ） A．①③④⑤ B．②④⑤ C．②③④ D．②③④⑤ 【变式训练1】（23-24七年级下·广西贵港·期中）探究：如何把多项式因式分解？ (1)观察：上式能否可直接利用完全平方公式进行因式分解？答：______．（填“能”或“不能”）； 【阅读与理解】由多项式乘法，我们知道，将该式从右到左地使用，即可对形如的多项式进行因式分解，即： ； 此类多项式的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项系数为这两数之和． (2)猜想并填空：＋（___＋_____）＋___×_____＝（＋_____）（＋_____）； (3)请运用上述方法将下列多项式进行因式分解： ①    ② 【变式训练2】观察下列式子因式分解的方法： ① ②（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） （第五步） ③ (1)在②中，第三步到第四步用到的因式分解的方法是 　 　； (2)模仿以上方法，尝试对进行因式分解； (3)观察以上结果，直接写出因式分解后的结果； (4)根据以上结论，试求的值． 题型二 平方差公式分解因式 【典例精讲】（24-25八年级上·广西北海·月考）因式分解： (1) ． (2)． 【变式训练1】（23-24七年级下·河北唐山·期末）一次课堂练习，小红同学做了如下4道因式分解的题目． ①； ②； ③； ④． (1)小红做错的或过程不完整的题目是______（填序号）． (2)把你选出的（1）中题目的正确答案写在下面． 【变式训练2】（25-26八年级上·贵州铜仁·月考）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如．我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解． 过程如下： ． 这种分解因式的方法叫分组分解法． 利用这种分组的思想方法解决下列问题： (1)分解因式：． (2)已知、、分别是三边的边长且满足，请判断的形状，并说明理由． 题型三 完全平方公式分解因式 【典例精讲】（1）解不等式组： （2）先因式分解再求值：，其中， 【变式训练1】（24-25八年级下·陕西榆林·期末）李雷同学因式分解时，遇到了困难，老师提醒说：“把‘’看作一个整体，就能用公式法分解…”． (1)请用公式法因式分解； (2)若一个多项式为，请用题干中的方法因式分解此多项式． 【变式训练2】（25-26八年级上·江苏苏州·月考）某老师在讲因式分解时，为了提高同学们的思维训练力度，他补充了一道这样的题：对多项式进行因式分解．有个学生解答过程如下，并得到了老师的夸奖： 解：设， 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 根据以上解答过程回答以下问题： (1)该同学第二步到第三步的变形运用了______（填序号）； A．提取公因式法                            B．平方差公式 C．两数和的完全平方公式                    D．两数差的完全平方公式 (2)第四步的结果还______（填“能”或“不能”）继续因式分解，如能，直接写出结果：______； (3)请你模仿以上方法对多项式进行因式分解； (4)借鉴以上方法求方程的解． 题型四 综合运用公式法分解因式 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·单元测试）分解因式： (1)． (2) (3) (4) 【变式训练1】（24-25八年级下·广东深圳·期末）【阅读材料】 我们知道，多项式可以因式分解为．当一个二次三项式（如）不是完全平方式时，我们可以采用下面的方法进行因式分解： ． 【解决问题】请仿照上面的方法，完成下列试题： (1)填空： ① ② ＝ ． ③ ④． (2)将下列各式因式分解： ① ； ②． 【变式训练2】（24-25八年级下·四川达州·期末）阅读材料：我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例1：因式分解：． 例2：求代数式的最小值．由，可知当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)因式分解：_____； (2)若满足，求的值； (3)当为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值． 题型五 综合提公因式和公式法分解因式 【典例精讲】（24-25七年级下·湖北十堰·期末）因式分解． (1) (2) (2) (4) 【变式训练1】（2025·河北沧州·模拟预测）如图，，两张卡片除内容外完全相同，现将两张卡片扣在桌面上，随机抽取一张，将抽中卡片上的整式各项改变符号后与未抽中卡片上的整式相加，并将结果化简得到整式． (1)若抽中的卡片是． ①求整式； ②当时，求整式的值； (2)若无论取何值，整式的值都是非负数，请通过计算，判断抽到的是哪张卡片． 【变式训练2】（24-25八年级上·安徽阜阳·月考）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如，，，因此4，12，20这三个数都是神秘数． (1)直接判断：36_______神秘数；（填“是”或“不是”） (2)设两个连续偶数为和(其中k取非负整数)，由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？请说明理由； (3)①若长方形相邻两边长为两个连续偶数，试说明其周长一定为神秘数； ②在①的条件下，面积是否为神秘数？请说明理由． 题型六 因式分解在有理数简算中的应用 【典例精讲】（24-25八年级下·江西抚州·期中）利用分解因式计算：． 【变式训练1】（24-25七年级下·全国·课后作业）阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： ． (1)上述分解因式的方法是_______； (2)分解因式的结果是_______； (3)利用（2）中结论计算：． 【变式训练2】观察下列各式，解答问题： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； … 第n个等式：______．（n为整数，且） 【尝试】 (1)根据以上规律，写出第4个等式：______； 【发现】 (2)根据这个规律写出你猜想的第n个等式，并说明其正确性； 【应用】 (3)利用以上规律，直接写出的值为______． (4)利用以上规律，求的值． 题型七 十字相乘法 【典例精讲】（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）材料1：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且．则可以把因式分解成，例如： ①； ②． 材料2：因式分解：． 解：将“”看成一个整体，令，则原式，再将“”还原，得：原式． 上述解题用到“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题： (1)根据材料1，把分解因式； (2)结合材料1和材料2，完成下面小题： ①分解因式：； ②分解因式：． 【变式训练1】（24-25八年级下·广东佛山·期末）因式分解： 解：令．(解题过程将“”看成整体的“整体思想”是数学学习中常见的一种思想方法．) 则原式 将代入得： 原式 (1)仿照上述方法因式分解： (2)若为正整数，说明代数式的值为一个整数的平方． 【变式训练2】（24-25七年级下·山东菏泽·期末）【提出问题】某数学活动小组对多项式乘法进行如下探究： ①； ②； ③． 通过以上计算发现： 形如的两个多项式相乘，其结果一定为（p，q为整数）， 即（p，q为整数）． 反之，（p，q为整数）． 由于因式分解与整式乘法是方向相反的变形，所以形如（p、q为整数）的多项式，可因式分解成．例如： 【初步应用】（1）用上面的方法分解因式： ； 【类比应用】（2）规律应用：若可用以上方法进行因式分解，则整数m的所有可能值是 ； 【拓展应用】（3）分解因式：． 题型八 分组分解法 【典例精讲】（24-25七年级上·上海·期中）下面是对整式因式分解的部分过程．解答下列问题： 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） （第五步） (1)在横线上继续完成对本题的因式分解． (2)在上述的因式分解过程中，用到因式分解的方法有 ．（写出两种方法） (3)请你尝试用以上方法对整式进行因式分解． 【变式训练1】（23-24八年级下·陕西咸阳·期末）我们已经学过多项式因式分解的方法有提公因式法和公式法，其实因式分解的方法还有分组分解法、拆项法等． ①分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作分组分解法： 例如：． ②拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作拆项法． 例如：． (1)仿照以上方法，按照要求因式分解： ①分组分解法：； ②拆项法：； (2)已知的三边长满足，判断的形状并说明理由． 【变式训练2】．（24-25七年级下·河北石家庄·月考）七年级兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将因式分解． 【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法： 解法一：原式； 解法二：原式． 【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止） 【类比】（1）请用分组分解法将因式分解； 【挑战】（2）请用分组分解法将因式分解； 【应用】（3）已知的三边长、、都是正整数，满足，求的周长． 题型九 因式分解的应用 【典例精讲】（23-24八年级下·甘肃酒泉·期末）（1）[知识再现]  在研究平方差公式时，我们在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形（），如图1，把余下的阴影部分再剪拼成一个长方形（如图2），根据图1、图2阴影部分的面积关系，可以得到一个关于a，b的等式：_____________． （2）[知识迁移]  在棱长为a的正方体上挖去一个棱长为b（）的小正方体后余下的部分（如图3）再切割拼成一个几何体（如图4）． 图3中的几何体的体积为_____________， 图4中的几何体的体积为_____________， 根据它们的体积关系得到关于a，b的等式_____________（结果写成整式的积的形式）． （3）[知识运用]  因式分解：． 【变式训练1】在一次数学综合与实践活动中，同学们需要制作如图1所示的三种卡片，其中卡片①是边长为a的正方形，卡片②是长为b，宽为a的长方形，卡片③是边长为b的正方形． (1)小明用2张卡片①，3张卡片②，1张卡片③无缝无叠合拼成如图2所示的大长方形，观察图形，通过面积的等量关系，发现代数式可以因式分解为 ； (2)小刚用1张卡片①，4张卡片②，4张卡片③无缝无叠合拼成一个大的正方形M，若，求正方形M的边长．（请用因式分解的方法解答） 【变式训练2】（24-25七年级下·江苏无锡·月考）阅读解答题 阅读材料：若，求a,b的值． 解：由题意得，． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)已知，求的值． (2)已知的三边长都是正整数，且满足，求最大边的值． (3)若已知，则____________． 【演练1】（2025·福建·中考真题）已知整式，其中，． (1)若，求的值； (2)若，且，，，，，是自然数，则满足条件的不同整式中共有几个？请说明理由． 【演练2】（2024·甘肃甘南·中考真题）分解因式： ． 【演练3】（2024·山东东营·中考真题）因式分解： ． 【演练4】2025·山东东营·中考真题）因式分解 ． 【演练5】（2025·四川内江·中考真题）已知实数a，b满足，则 ． 基础夯实 1．（24-25八年级上·山东东营·月考）计算 等于（ ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·浙江衢州·期末）因式分解的结果是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·山东淄博·月考）下列多项式因式分解后的结果为的是（　　） A． B． C． D． 4．（2020·上海静安·一模）下列多项式中，是完全平方式的为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）分式和的最简公分母为 ． 6．（24-25九年级上·广东湛江·月考）分解因式： ． 7．（25-26八年级下·全国·周测）若多项式因式分解的结果为，则的值为 ． 8．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）分解因式： (1)； (2)． 9．（24-25八年级下·陕西汉中·期末）阅读材料： 用配方法因式分解：． 解：原式． 请根据上述材料解决下列问题： (1)在横线上添上一个常数项使这个多项式成为完全平方式：________． (2)用配方法因式分解：． 10．（23-24七年级下·湖南郴州·期中）仔细阅读下面例题： 已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，， 则 所以，，解得：，． 另一个因式为，m的值为6． 依照以上方法解答下列问题： (1)若二次三项式可分解为，则_______ (2)若二次三项式可分解为，则_______． (3)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值． 培优拔高 1．（2023八年级下·全国·专题练习）分解因式的正确结果是（ ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·湖北宜昌·期末）下列各多项式从左到右的变形是因式分解，并分解正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·广东深圳·期中）一个正整数若能表示成两个正整数的平方差，则称这个数为c．例，3和8都是一个．所有的“流星数”从小到大排列后，第13个“流星数”是（  ） A．18 B．19 C．20 D．21 4．因式分解： ． 5．（24-25八年级下·广东揭阳·月考）已知，且，则代数式的值为 ． 6．（24-25七年级下·全国·单元测试）若，且，则代数式的值为 ． 7．（2026八年级下·全国·专题练习）（1）把下列各式因式分解： ①； ②． （2）已知，，求的值． 8．（2026八年级下·全国·专题练习）把下列各式分解因式： (1)． (2)． (3)． 9．（25-26八年级下·全国·周测）分解因式与整式乘法是相反变形，如是整式乘法运算，相反变形是多项式的因式分解． (1)计算并观察下列各式： _____； _____； _____． (2)从上面的算式及计算结果，你发现了什么？请根据你发现的规律直接填空． （_____）． (3)利用你发现的规律计算的结果为_____． (4)请结合上面的方法分解因式． 10．阅读并解答下列问题：我们熟悉两个乘法公式：①；②．现将这两个公式变形，可得到一个新的公式③：，这个公式形似平方差公式，我们不妨称之为广义的平方差公式．灵活、恰当地运用公式③将会使一些数学问题迎刃而解． 例如：因式分解： 解：原式 你能利用公式（或其他方法）解决下列问题吗？ 已知实数，，满足且，求证： 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题9.3 公式法 【解析版】 知识点一 运用公式法分解因式 如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法． 知识点二 运用平方差公式分解因式 1、平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）． 2、语言叙述：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积. 3、运用平方差公式的条件 （1）多项式有两项． （2）这两项的符合相反，并且都是完全平方数． 4、运用平方差公式分解因式的步骤: 一判： 根据平方差公式的特点，判断是否为平方差,若负平方项在前面，利用加法的交换律把负平方项与正平方项交换放在后面． 二定: 确定公式中的“a”和“b”,除“a”和“b”是单独一个数或字母外，,其余不管是单项式还是多项式都必须用括号括起来，表示一个整体． 三套: 套用平方差公式进行分解． 四整理: 将每个因式去括号，合并同类项化成最简形式． 拓展：运用平方差公式分解因式时，首先将式子写成两数平方差的形式，公式中的“a”和“b”可以是常数，也可以是单项式或多项式． 知识点二 运用完全平方公式分解因式 1、字母表示: a2+2ab+b2＝（a+b）2， a2﹣2ab+b2＝ （a﹣b）2 ． 2、语言叙述：两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方、和或差取决于乘积的2倍的符号． 3、完全平方式的特点： ①必须是三项式(或可以看成三项的)； ②有两个数或式的平方和； ③有上面两数之积的 ±2 倍． 4、运用完全平方公式分解因式的步骤: 一写: 把多项式写成a2±2ab+b2的形式． 二定: 观察多项式特点,确定a，b． 三套: 套用完全平方公式进行分解． 四整理: 因式分解的结果能化简的要进行化简． 题型一 判断能否用公式法分解因式 【典例精讲】下列多项式：①；②；③；④；⑤，其中能用公式法分解因式的是（   ） A．①③④⑤ B．②④⑤ C．②③④ D．②③④⑤ 【答案】B 【思路引导】本题考查了公式法分解因式，熟练掌握公式法分解因式是解题的关键．根据公式法的特点，对题目中的每个多项式逐一分析即可． 【完整解答】解：①不能用公式法分解； ②，可以用公式法分解； ③不能用公式法分解； ④，可以用公式法分解； ⑤，可以用公式法分解； 综上所述，能用公式法分解因式的是②④⑤． 故选：B． 【变式训练1】（23-24七年级下·广西贵港·期中）探究：如何把多项式因式分解？ (1)观察：上式能否可直接利用完全平方公式进行因式分解？答：______．（填“能”或“不能”）； 【阅读与理解】由多项式乘法，我们知道，将该式从右到左地使用，即可对形如的多项式进行因式分解，即： ； 此类多项式的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项系数为这两数之和． (2)猜想并填空：＋（___＋_____）＋___×_____＝（＋_____）（＋_____）； (3)请运用上述方法将下列多项式进行因式分解： ①    ② 【答案】(1)不能 (2)3，5，3，5，3，5 (3)①；② 【思路引导】本题考查因式分解，掌握十字相乘法，是解题的关键． （1）根据完全平方式的特点判断即可； （2）将15拆解乘，又，即可得出结果； （3）利用十字相乘法进行因式分解即可． 【完整解答】（1）解：∵不是完全平方式， ∴不能利用完全平方公式进行因式分解； 故答案为：不能； （2）∵， ∴； （3）①； ②． 【变式训练2】观察下列式子因式分解的方法： ① ②（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） （第五步） ③ (1)在②中，第三步到第四步用到的因式分解的方法是 　 　； (2)模仿以上方法，尝试对进行因式分解； (3)观察以上结果，直接写出因式分解后的结果； (4)根据以上结论，试求的值． 【答案】(1)提公因式法 (2) (3) (4)63 【思路引导】（1）依据题意，由因式分解的方法有：提公因式法、公式法、分组分解法等，可以判断得解； （2）仿照例子，即可变形得解； （3）依据题意，根据前面所得结果即可得解； （4）依据上述（3）结论，令，则可以得解． 【完整解答】（1）解：由题意得，第三步到第四步提取了公因式，故采用的提公因式法． 故答案为：提公因式法． （2）解： （3）解：由（1）、（2）可得，． （4）解：由（3）， 当时，． 令， ． ． 【考点再现】本题主要考查了因式分解的应用，解题时要能读懂题意，学会转化． 题型二 平方差公式分解因式 【典例精讲】（24-25八年级上·广西北海·月考）因式分解： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】(1)先提取公因式，再套用公式分解即可． (2)套用平方差公式分解即可． 本题考查了分解因式，熟练掌握先提取公因式，再套用公式分解是解题的关键． 【完整解答】（1）解： ． （2）解： ． ． 【变式训练1】（23-24七年级下·河北唐山·期末）一次课堂练习，小红同学做了如下4道因式分解的题目． ①； ②； ③； ④． (1)小红做错的或过程不完整的题目是______（填序号）． (2)把你选出的（1）中题目的正确答案写在下面． 【答案】(1) (2)见解析 【思路引导】本题考查了因式分解，掌握提取公因式法和公式法是解答本题的关键． （1）根据题意判断即可； （2）根据取公因式和公式法因式分解即可． 【完整解答】（1）解：小红做错的或过程不完整的题目是； （2）解：①， ② ， ③ ， ④ ． 【变式训练2】（25-26八年级上·贵州铜仁·月考）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如．我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解． 过程如下： ． 这种分解因式的方法叫分组分解法． 利用这种分组的思想方法解决下列问题： (1)分解因式：． (2)已知、、分别是三边的边长且满足，请判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)等边三角形，理由见解析 【思路引导】本题考查了等边三角形的判定，因式分解，用分组分解法对超过3项的多项式进行因式分解，平方差公式及完全平方公式，合理分组是解题的关键，综合运用因式分解的几种方法是解题关键． （1）认真阅读题例的思想方法，观察所给多项式的结构特点，合理分组运用完全平方公式后再整体运用平方差公式进行分解； （2）等式左边的多项式拆开分组，构造成两个完全平方式的和等于0的形式，利用非负数的性质求出a、b、c的关系即可． 【完整解答】（1） （2）等边三角形，理由如下： ， ， ， 根据两个非负数互为相反数，只能都同时等于0才成立， ， ． 的形状是等边三角形． 题型三 完全平方公式分解因式 【典例精讲】（1）解不等式组： （2）先因式分解再求值：，其中， 【答案】（1）；（2）； 【思路引导】本题考查了解不等式组，因式分解，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）分别解一元一次不等式，再求解集，即可求解； （2）利用完全平方公式因式分解，然后代数求解即可． 【完整解答】解：（1） 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集为： （2）， 当，时，原式． 【变式训练1】（24-25八年级下·陕西榆林·期末）李雷同学因式分解时，遇到了困难，老师提醒说：“把‘’看作一个整体，就能用公式法分解…”． (1)请用公式法因式分解； (2)若一个多项式为，请用题干中的方法因式分解此多项式． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了因式分解，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）令，利用完全平方公式分解因式即可； （2）令，整理后利用完全平方公式分解即可． 【完整解答】（1）解：令， ， 把代入，得原式． （2）解：令， ， 把代入，得原式． 【变式训练2】（25-26八年级上·江苏苏州·月考）某老师在讲因式分解时，为了提高同学们的思维训练力度，他补充了一道这样的题：对多项式进行因式分解．有个学生解答过程如下，并得到了老师的夸奖： 解：设， 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 根据以上解答过程回答以下问题： (1)该同学第二步到第三步的变形运用了______（填序号）； A．提取公因式法                            B．平方差公式 C．两数和的完全平方公式                    D．两数差的完全平方公式 (2)第四步的结果还______（填“能”或“不能”）继续因式分解，如能，直接写出结果：______； (3)请你模仿以上方法对多项式进行因式分解； (4)借鉴以上方法求方程的解． 【答案】(1)C (2)能， (3) (4)或． 【思路引导】题目主要考查利用完全平方公式进行因式分解，熟练掌握整体思想和乘法公式分解因式是解题关键． （1）由题意可直接得出结果； （2）运用完全平方公式继续进行因式分解即可； （3）仿照例题利用完全平方公式进行因式分解即可． （4）设，利用完全平方公式进行因式分解即可求出y的值，再将代入，再进行因式分解即可得出x的值． 【完整解答】（1）解：第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式， 故选：C； （2）解：能， 故答案为：能；； （3）解：设， ∴ （4）解：设 即， 整理得： ， ∴， ∴， 即 ∴或． 题型四 综合运用公式法分解因式 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·单元测试）分解因式： (1)． (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】本题考查了综合提公因式和公式法因式分解和综合运用公式法分解因式，熟练掌握综合提公因式和公式法因式分解和综合运用公式法分解因式是解题的关键． （1）综合运用提公因式因式分解即可； （2）先提公因式，再运用平方差公式因式分解即可； （3）先用完全平方公式因式分解，再用平方差公式因式分解即可； （4）先用完全平方公式因式分解，再用提公因式法因式分解即可． 【完整解答】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 【变式训练1】（24-25八年级下·广东深圳·期末）【阅读材料】 我们知道，多项式可以因式分解为．当一个二次三项式（如）不是完全平方式时，我们可以采用下面的方法进行因式分解： ． 【解决问题】请仿照上面的方法，完成下列试题： (1)填空： ① ② ＝ ． ③ ④． (2)将下列各式因式分解： ① ； ②． 【答案】(1)①1；②1；③9；④9 (2)①；② 【思路引导】本题考查了因式分解，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键． （1）仿照阅读材料，运用配方法（加上一次项系数一半的平方，再减去该值）将二次三项式转化为完全平方式与常数的差，再利用平方差公式因式分解． （2）①仿照阅读材料，运用配方法给加上4再减去4，将转化为与1的差，再利用平方差公式因式分解． ②仿照阅读材料，运用配方法将转化为与4的差，再利用平方差公式因式分解． 【完整解答】（1）解：：配方法，加再减， 即， 分解得， 所以①，②， ：配方法，加再减， 即， 分解得， 所以③，④． 故答案为：①1；②1；③9；④9； （2）解：①原式=； ②原式． 【变式训练2】（24-25八年级下·四川达州·期末）阅读材料：我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例1：因式分解：． 例2：求代数式的最小值．由，可知当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)因式分解：_____； (2)若满足，求的值； (3)当为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值． 【答案】(1) (2) (3)，最小值为16 【思路引导】本题主要考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键． （1）根据题干提供的方法因式分解即可； （2）先根据，得出，从而得出，，最后再代入求值即可； （3）先变形，然后根据，，求出最小值即可． 【完整解答】（1）解： ； （2）解：∵， ∴， ∴， ，， ． （3）解：∵ ， 又∵，， ∴当，原式有最小值， 即时，有最小值为16． 题型五 综合提公因式和公式法分解因式 【典例精讲】（24-25七年级下·湖北十堰·期末）因式分解． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【思路引导】（1）先利用完全平方公式进行因式分解，再对分解后的式子进一步利用平方差公式分解． （2）先利用完全平方公式进行因式分解，再利用平方差公式继续分解． （3）先利用十字相乘法对式子进行因式分解，然后再对分解后的因式进一步分解． （4）先对式子提取公因式，然后对于剩下括号内的式子，可将其变形为的形式，再利用平方差公式进行因式分解． 【完整解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【考点再现】本题主要考查了因式分解的方法，包括完全平方公式、平方差公式、十字相乘法以及提取公因式法．熟练掌握各种因式分解方法的适用形式和运算规则，能根据式子的特点灵活选择合适的分解方法是解题的关键． 【变式训练1】（2025·河北沧州·模拟预测）如图，，两张卡片除内容外完全相同，现将两张卡片扣在桌面上，随机抽取一张，将抽中卡片上的整式各项改变符号后与未抽中卡片上的整式相加，并将结果化简得到整式． (1)若抽中的卡片是． ①求整式； ②当时，求整式的值； (2)若无论取何值，整式的值都是非负数，请通过计算，判断抽到的是哪张卡片． 【答案】(1)①；②4 (2)抽到的是卡片 【思路引导】此题考查整式的混合运算和因式分解，掌握完全平方公式是解决问题的关键． （1）①根据卡片各项改变符号后得出 ，再与整式相加，合并同类项即可； ②把代入整式C计算即可； （2）分抽中的卡片是B和抽中的卡片是A两种情况进行计算即可得出答案． 【完整解答】（1）解：①； ②当时，； （2）由（1）知，若抽中的卡片是，则． ，， 无论取何值，整式的值都是非负数； 若抽中的卡片是，则． ，， 无论取何值，整式的值都是非正数， 抽到的是卡片． 【变式训练2】（24-25八年级上·安徽阜阳·月考）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如，，，因此4，12，20这三个数都是神秘数． (1)直接判断：36_______神秘数；（填“是”或“不是”） (2)设两个连续偶数为和(其中k取非负整数)，由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？请说明理由； (3)①若长方形相邻两边长为两个连续偶数，试说明其周长一定为神秘数； ②在①的条件下，面积是否为神秘数？请说明理由． 【答案】(1)是 (2)是；理由见解析 (3)①见解析  ②不是；理由见解析 【思路引导】本题主要考查了数字类的规律探索，因式分解的应用． （1）由可得答案； （2）利用平方差公式把因式分解得到，据此可得结论； （3）①设长方形相邻两边的长分别为（m为正整数），根据长方形周长计算公式求出周长，再根据（2）即可证明结论； ②根据长方形面积计算公式求出面积，再根据（2）所求即可得到结论． 【完整解答】（1）解：∵， ∴36是神秘数， 故答案为：是； （2）解：是，理由如下： ， 因为k是非负整数， 所以是正整数， 所以由两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数； （3）解：①设长方形相邻两边的长分别为(m为正整数)， 所以长方形的周长为， 由（2）知，神秘数一定可以用（k为非负整数)表示， 所以是神秘数； ②不是，理由如下： 设长方形相邻两边的长分别为（m为正整数)， 所以长方形的面积为， 因为k是非负整数， 所以是奇数， 因为和是连续的正整数， 是偶数， ∴， 所以长方形的面积不是神秘数． 题型六 因式分解在有理数简算中的应用 【典例精讲】（24-25八年级下·江西抚州·期中）利用分解因式计算：． 【答案】 【思路引导】本题考查分解因式，平方差公式，将原式中24变形为，再利用平方差公式进行计算即可求解． 【完整解答】解： ． 【变式训练1】（24-25七年级下·全国·课后作业）阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： ． (1)上述分解因式的方法是_______； (2)分解因式的结果是_______； (3)利用（2）中结论计算：． 【答案】(1)提公因式法 (2) (3) 【思路引导】本题考查了提公因式法分解因式，找出整式的结构规律是关键，体现了由特殊到一般的数学思想． （1）根据其式子特点直接分析求解，即可解题； （2）按照（1）中的方法再分解几个，找了其中的规律，即可推测出结果； （3）由（2）中得到的规律，变形求解，即可解题． 【完整解答】（1）解：上述分解因式的方法是提公因式法， 故答案为：提公因式法； （2）解： ， ， 同理可得： ， 故答案为：； （3）解：原式 ． 【变式训练2】观察下列各式，解答问题： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； … 第n个等式：______．（n为整数，且） 【尝试】 (1)根据以上规律，写出第4个等式：______； 【发现】 (2)根据这个规律写出你猜想的第n个等式，并说明其正确性； 【应用】 (3)利用以上规律，直接写出的值为______． (4)利用以上规律，求的值． 【答案】(1)； (2)，证明见解析； (3)4045； (4)9800 【思路引导】（1）根据规律即可求解； （2）根据规律可以得到第n个等式为，再根据整式的运算即可证明结论正确性； （3）根据（2）的结论即可得到； （4）逆用规律将原式变形为，再去括号进行计算得到，利用平方差公式进行计算即可求解． 【完整解答】（1）解：根据以上规律，第4个等式为； 故答案为：； （2）解：根据这个规律猜想第n个等式为； 证明：， ∴猜想正确； （3）解：根据以上规律，； 故答案为：4045； （4）解： = ． 【考点再现】本题考查了平方差公式，整式的规律性问题，整式的运算，运用平方差公式进行因式分解简化计算等知识，理解题意，找出规律是解题关键． 题型七 十字相乘法 【典例精讲】（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）材料1：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且．则可以把因式分解成，例如： ①； ②． 材料2：因式分解：． 解：将“”看成一个整体，令，则原式，再将“”还原，得：原式． 上述解题用到“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题： (1)根据材料1，把分解因式； (2)结合材料1和材料2，完成下面小题： ①分解因式：； ②分解因式：． 【答案】(1)； (2)①；② 【思路引导】此题考查因式分解，将某多项式重新设定未知数，分解因式， （1）直接根据材料1，仿照例题即可求解； （2）①令，仿照例题即可求解； ②令，先计算乘法，再因式分解即可． 【完整解答】（1）解：； （2）解：①令， 则原式， 所以； ②令， 则原式 ， 所以原式． 【变式训练1】（24-25八年级下·广东佛山·期末）因式分解： 解：令．(解题过程将“”看成整体的“整体思想”是数学学习中常见的一种思想方法．) 则原式 将代入得： 原式 (1)仿照上述方法因式分解： (2)若为正整数，说明代数式的值为一个整数的平方． 【答案】(1) (2)见解析 【思路引导】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是根据示例的整体思想解决问题． （1）令，代入式子得； （2），令，原式，据此证明． 【完整解答】（1）解：令， ； （2） ， 令， 原式 ， 所以代数式的值为一个整数的平方． 【变式训练2】（24-25七年级下·山东菏泽·期末）【提出问题】某数学活动小组对多项式乘法进行如下探究： ①； ②； ③． 通过以上计算发现： 形如的两个多项式相乘，其结果一定为（p，q为整数）， 即（p，q为整数）． 反之，（p，q为整数）． 由于因式分解与整式乘法是方向相反的变形，所以形如（p、q为整数）的多项式，可因式分解成．例如： 【初步应用】（1）用上面的方法分解因式： ； 【类比应用】（2）规律应用：若可用以上方法进行因式分解，则整数m的所有可能值是 ； 【拓展应用】（3）分解因式：． ． 题型八 分组分解法 【典例精讲】（24-25七年级上·上海·期中）下面是对整式因式分解的部分过程．解答下列问题： 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） （第五步） (1)在横线上继续完成对本题的因式分解． (2)在上述的因式分解过程中，用到因式分解的方法有 ．（写出两种方法） (3)请你尝试用以上方法对整式进行因式分解． 【答案】(1)，； (2)分组分解法，提公因式法，公式法（任选其二即可）； (3)． 【思路引导】本题考查了分解因式． （1）先利用平方差公式把第三步式子分解因式，再利用提公因式法分解因式即可； （2）根据所给因式分解过程即可得到答案； （3）先把原式变形为，再分组得到，据此分解因式即可． 【完整解答】（1）解：原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） （第五步） 故答案为：，； （2）解：第二步用了分组分解法，第三步用了提公因式法，第四步运用公式法； 故答案为：分组分解法，提公因式法，公式法（任选其二即可）； （3）解： ． 【变式训练1】（23-24八年级下·陕西咸阳·期末）我们已经学过多项式因式分解的方法有提公因式法和公式法，其实因式分解的方法还有分组分解法、拆项法等． ①分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作分组分解法： 例如：． ②拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作拆项法． 例如：． (1)仿照以上方法，按照要求因式分解： ①分组分解法：； ②拆项法：； (2)已知的三边长满足，判断的形状并说明理由． 【答案】(1)①；② (2)为等腰三角形，理由见解析 【思路引导】本题考查了分组分解法分解因式及其应用，等腰三角形的定义，正确理解新方法，灵活运用新方法解题是解题的关键． （1）①将变形为，再由平方差公式因式分解；②将变形为，再由完全平方公式和平方差公式分解； （2）将利用分组分解法因式分解为，即可求解． 【完整解答】（1）解：①； ② （2）解：为等腰三角形，理由如下： ， ， ∴或（舍）， ∴， ∴为等腰三角形． 【变式训练2】．（24-25七年级下·河北石家庄·月考）七年级兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将因式分解． 【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法： 解法一：原式； 解法二：原式． 【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止） 【类比】（1）请用分组分解法将因式分解； 【挑战】（2）请用分组分解法将因式分解； 【应用】（3）已知的三边长、、都是正整数，满足，求的周长． 【答案】（1）；（2）；（3）9． 【思路引导】（1）根据题意，得，提取公因式解答即可； （2）根据题意，得，后因式分解解答即可； （3）根据题意，得，根据非负性，确定a，b的值，再利用三角形三边关系定理，结合边长为正整数的属性，解答即可． 本题考查了分组分解法分解因式，实数的非负性，三角形三边关系定理，正整数的属性，熟练掌握因式分解，非负性，三角形三边关系定理是解题的关键． 【完整解答】（1）解：根据题意，得 ； （2）解：根据题意，得 ； （3）解：由得， 故， 解得， 故c的取值范围为即， 由的三边长、、都是正整数， 故， 故的周长为． 题型九 因式分解的应用 【典例精讲】（23-24八年级下·甘肃酒泉·期末）（1）[知识再现]  在研究平方差公式时，我们在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形（），如图1，把余下的阴影部分再剪拼成一个长方形（如图2），根据图1、图2阴影部分的面积关系，可以得到一个关于a，b的等式：_____________． （2）[知识迁移]  在棱长为a的正方体上挖去一个棱长为b（）的小正方体后余下的部分（如图3）再切割拼成一个几何体（如图4）． 图3中的几何体的体积为_____________， 图4中的几何体的体积为_____________， 根据它们的体积关系得到关于a，b的等式_____________（结果写成整式的积的形式）． （3）[知识运用]  因式分解：． 【答案】（1）；（2）；；；（3） 【思路引导】此题主要考查因式分解的应用，解题的关键是根据已知条件找到因式分解的公式进行求解． （1）根据阴影部分面积的不同计算方法即可写出； （2）图3的几何体的体积为一个大正方体挖去一个小的正方体，故剩下的体积为；图4的几何体由 3 个几何体拼接而成，故可得出体积为；再根据体积相等，故可写出等式； （3）根据（2）中公式直接因式分解即可； 【完整解答】解：（1）根据如图1、如图2阴影部分的面积关系，可以得到一个关于的等式， （2）如图3中的几何体的体积为； 图4的几何体体积为； 根据它们的体积关系得到关于的等式为：； （3）根据（2）中结论可得． 【变式训练1】在一次数学综合与实践活动中，同学们需要制作如图1所示的三种卡片，其中卡片①是边长为a的正方形，卡片②是长为b，宽为a的长方形，卡片③是边长为b的正方形． (1)小明用2张卡片①，3张卡片②，1张卡片③无缝无叠合拼成如图2所示的大长方形，观察图形，通过面积的等量关系，发现代数式可以因式分解为 ； (2)小刚用1张卡片①，4张卡片②，4张卡片③无缝无叠合拼成一个大的正方形M，若，求正方形M的边长．（请用因式分解的方法解答） 【答案】(1) (2)正方形的边长为7.2 【思路引导】本题考查了因式分解法，数形结合思想，用不同方式表示矩形面积是解题关键． （1）图2面积可以用表示，即可得到，问题得解； （2）正方形的面积为，即可得到正方形的边长为，把代入即可求解． 【完整解答】（1）解：图2面积可以用表示， ∴． 故答案为：； （2）解：根据题意得，正方形的面积为：， ∴正方形的边长为， 当时，， ∴正方形的边长为7.2． 【变式训练2】（24-25七年级下·江苏无锡·月考）阅读解答题 阅读材料：若，求a,b的值． 解：由题意得，． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)已知，求的值． (2)已知的三边长都是正整数，且满足，求最大边的值． (3)若已知，则____________． 【答案】(1) (2)； (3)7． 【思路引导】本题考查了因式分解的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键． （1）将多项式第三项分项后，结合并利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出a与b的值，即可求出的值； （2）将已知等式25分为，重新结合后，利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出x与y的值，根据边长为正整数且三角形三边关系即可求出z的长； （3）由，得到，代入已知的等式中重新结合后，利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出y与z的值，进而求出x的值，即可求出的值． 【完整解答】（1）解：∵ ∴ ∴ ∴ 解得： ∴； （2）∵ ∴ ∴ ∴ 解得： ∵三角形两边之和＞第三边 ∴ ∴ 又∵z是正整数， ∴的最大边z的值为4，5，6， ∴最大边的值为； （3） ∵，即， 代入得：， 整理得：， ∴，且，即， ∴， 则． 故答案为7． 【演练1】（2025·福建·中考真题）已知整式，其中，． (1)若，求的值； (2)若，且，，，，，是自然数，则满足条件的不同整式中共有几个？请说明理由． 【答案】(1)7 (2)5个，理由见解析 【思路引导】本题考查因式分解的应用． （1）令和，分别得到，，得到，根据可知； （2）由得到，根据可知的最小取值，即，根据，，，，是自然数可知都为自然数，即，求出所有符合要求的的取值，进而判断即可． 【完整解答】（1）解：当时，， 即， 当时，， 即， 得：， ， ∵为常数项， ∴， ； （2）解：∵， ∴． ∴． ∵， ∴的最小取值． ∴， ∵，， ∴都为自然数， ∴， ∴，或，或，或，， ∴，（舍去）或，或，（舍去）或，， 当，时， 则，可能的组合为，或，或，或，，共4种组合；，，可能的组合为，，，共1种组合； ∴满足条件的不同整式有：(个)； 当，时， 则，可能的组合为，，共1种组合；，，可能的组合为，，，共1种组合； ∴满足条件的不同整式有：(个)； 综上，满足条件的不同整式有：(个)． 【演练2】（2024·甘肃甘南·中考真题）分解因式： ． 【答案】 【思路引导】本题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的几种常用方法． 先提取公因式，再利用平方差公式分解． 【完整解答】解：原式 ． 故答案为：． 【演练3】（2024·山东东营·中考真题）因式分解： ． 【答案】 【思路引导】本题考查了因式分解，掌握提公因式法和公式法分解因式是解题的关键．先提取公因式，再利用平方差公式分解即可． 【完整解答】解：原式 ， 故答案为：． 【演练4】2025·山东东营·中考真题）因式分解 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了综合运用提公因式以及公式法分解因式，先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解． 【完整解答】解： 故答案为： 【演练5】（2025·四川内江·中考真题）已知实数a，b满足，则 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了平方差公式因式分解，根据平方差公式因式分解，将已知等式代入，即可求解． 【完整解答】解：∵， ∴ 故答案为：． 基础夯实 1．（24-25八年级上·山东东营·月考）计算 等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】该题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是提取公因式． 直接提取公因式，进而得出答案． 【完整解答】解： ． 故选：A． 2．（24-25七年级下·浙江衢州·期末）因式分解的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键．先提取公因式3，然后对括号内的表达式应用平方差公式进行因式分解． 【完整解答】解： ． 故选：A． 3．（25-26八年级上·山东淄博·月考）下列多项式因式分解后的结果为的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】此题考查了因式分解．根据因式分解判断各项即可． 【完整解答】解：A、，符合题意， B、不能分解，不符合题意； C、不能分解，不符合题意； D、，不符合题意； 故选：A． 4．（2020·上海静安·一模）下列多项式中，是完全平方式的为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键，根据完全平方公式分别转化为完全平方式的形式即可求解． 【完整解答】A选项=，是完全平方式，符合题意 B选项=，不是完全平方式，不合题意误 C选项=，不是完全平方式，不合题意 D选项=，不是完全平方式，不合题意 故选：A 5．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）分式和的最简公分母为 ． 【答案】 【思路引导】此题主要考查了最简公分母，关键是掌握如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂．首先把分母分解因式，然后再确定最简公分母． 【完整解答】解：∵，， ∴分式和的最简公分母是：． 故答案为：． 6．（24-25九年级上·广东湛江·月考）分解因式： ． 【答案】 【思路引导】本题考查了平方差公式分解因式，解题关键是掌握平方差公式分解因式． 利用平方差公式分解因式． 【完整解答】解：， 故答案为：． 7．（25-26八年级下·全国·周测）若多项式因式分解的结果为，则的值为 ． 【答案】4 【思路引导】通过对比多项式因式分解的结果与已知公式，确定的值． 【完整解答】解：多项式 的因式分解结果为 ，而 ， ． 故答案为：4． 【考点再现】本题核心是平方差公式的连续应用，通过逐步展开因式分解的结果，对比原式的次数即可求解． 8．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】此题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法并灵活选择是关键． （1）把原式变形后先提取公因式，再利用平方差公式进行解答即可； （2）先提取公因式，再利用完全平方公式进行解答即可． 【完整解答】（1）解： （2）解： 9．（24-25八年级下·陕西汉中·期末）阅读材料： 用配方法因式分解：． 解：原式． 请根据上述材料解决下列问题： (1)在横线上添上一个常数项使这个多项式成为完全平方式：________． (2)用配方法因式分解：． 【答案】(1)4 (2) 【思路引导】本题考查了完全平方式，配方法，因式分解，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，结合，即添上一个常数项为； （2）理解题意，模仿做题过程，得，即可作答． 【完整解答】（1）解：依题意，， 故是完全平方式， 即添上一个常数项为； （2）解：依题意， ． 10．（23-24七年级下·湖南郴州·期中）仔细阅读下面例题： 已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，， 则 所以，，解得：，． 另一个因式为，m的值为6． 依照以上方法解答下列问题： (1)若二次三项式可分解为，则_______ (2)若二次三项式可分解为，则_______． (3)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值． 【答案】(1)4 (2)1 (3)另一个因式为，k的值为 【思路引导】本题考查因式分解的意义，解题关键是对题中所给解题思路的理解，同时要掌握因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式． （1）将展开，根据所给出的二次三项式即可求出a的值； （2）展开，可得出一次项的系数，继而即可求出b的值； （3）设另一个因式为，得，可知，，继而求出n和k的值及另一个因式． 【完整解答】（1）解：∵， ∴， 解得：． 故答案为：4； （2）解：∵， ∴． 故答案为：1； （3）解：设另一个因式为，得， 则， ∴，， 解得，， ∴另一个因式为，k的值为． 培优拔高 1．（2023八年级下·全国·专题练习）分解因式的正确结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题主要考查因式分解，通过提取公因式后，再对进行因式分解，得到完全分解形式即可． 【完整解答】解： 故选：B． 2．（24-25八年级上·湖北宜昌·期末）下列各多项式从左到右的变形是因式分解，并分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的定义和方法是解题的关键．先根据因式分解的定义，判断各选项是否将多项式分解为整式的乘积形式，然后计算分解是否正确即可． 【完整解答】解：A、右边为乘积加2，不是乘积形式，不符合因式分解定义； B、左边是乘积形式，右边是多项式，是整式乘法，不是因式分解； C、右边是乘积的形式，但，原计算错误，不符合题意； D、右边是乘积的形式，且 ，原计算正确，符合题意． 故选：D． 3．（24-25八年级下·广东深圳·期中）一个正整数若能表示成两个正整数的平方差，则称这个数为c．例，3和8都是一个．所有的“流星数”从小到大排列后，第13个“流星数”是（  ） A．18 B．19 C．20 D．21 【答案】C 【思路引导】此题主要考查了平方差公式，有一定的难度，主要是对题中新定义的理解与把握．如果一个数是“流星数”，就能表示为两个正整数的平方差，设这两个数分别m、n，设，即杨梅数，因为m，n是正整数，因而和就是两个自然数．要判断一个数是否是“流星数”，可以把这个数分解因数，分解成两个整数的积，看这两个数能否写成两个正整数的和与差． 【完整解答】解 ∶1不能表示为两个正整数的平方差，所以1不是“流星数”，对于大于1的奇正整数，有 所以大于1的奇正整数都是“流星数”， 对于被4整除的偶数，有， 即大于4的被4整除的数都是”流星数”，而4不能表示为两个正整数平方差，所以4不是“流星数”， 对于被4除余2的数， 设，其中，为正整数， 当，奇偶性相同时，被4整除，而不被4整除； 当，奇偶性相异时，为奇数，而为偶数，矛盾， 所以不存在自然数，使得．即形如的数均不为“流星数”， 因此，在正整数数列中前四个正整数只有3为“流星数”， 此后，每连续四个数中有三个“流星数”． ∴第4个“流星数”为， 第7个“流星数”为， 第10个“流星数”为， ∴第个流星数为， 故选：C． 4．因式分解： ． 【答案】 【思路引导】本题考查了因式分解，解题的关键是找公因式，注意分解到不能再分解为止． 先将转化为，然后提取公因式，再对应用平方差公式因式分解． 【完整解答】解： 故答案为：． 5．（24-25八年级下·广东揭阳·月考）已知，且，则代数式的值为 ． 【答案】0 【思路引导】本题考查了因式分解、代数式求值、整式的混合运算，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 整理条件式，根据公式法对其因式分解，进而解题． 【完整解答】解：， ， ， ， ， 即， ， ∴， ∴， ． 故答案为：0 ． 6．（24-25七年级下·全国·单元测试）若，且，则代数式的值为 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了整式的化简求值计算，因式分解的应用．由已知条件求得，，，再将原式化成，连接两次代值计算便可得出答案． 【完整解答】解：∵， ， ， ， ， ∵， ，， 原式 ． 故答案为：． 7．（2026八年级下·全国·专题练习）（1）把下列各式因式分解： ①； ②． （2）已知，，求的值． 【答案】（1）①②（2） 【思路引导】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的技巧是解题的关键； （1）①提公因式化简即可；②分别将x和y、a和b的形式两项化为一致，然后提公因式合并即可； （2）根据已知关系式求出的值，然后将题干所求的式子化简求值． 【完整解答】解：（1）①原式． ②原式． （2）， ． ， ， 原式． 8．（2026八年级下·全国·专题练习）把下列各式分解因式： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的技巧是解题的关键； （1）将化为然后提公因式，再利用平方差公式分解； （2）提公因式，然后利用完全平方公式分解，最后用平方差公式分解； （3）利用平方差公式分解后提公因式再合并同类项． 【完整解答】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 9．（25-26八年级下·全国·周测）分解因式与整式乘法是相反变形，如是整式乘法运算，相反变形是多项式的因式分解． (1)计算并观察下列各式： _____； _____； _____． (2)从上面的算式及计算结果，你发现了什么？请根据你发现的规律直接填空． （_____）． (3)利用你发现的规律计算的结果为_____． (4)请结合上面的方法分解因式． 【答案】(1) (2) (3) (4)． 【思路引导】本题考查了多项式乘法与因式分解的规律，掌握多项式乘法与因式分解的规律是解题的关键． （1）直接展开多项式乘法，计算后观察结果与原式次数的对应关系； （2）结合前一问的计算结果，对比与规律形式，确定括号内的多项式； （3）从具体例子推广到一般形式，总结与的降幂多项式相乘的通用规律； （4）将代入已总结的规律，完成因式分解． 【完整解答】（1）解：计算结果如下： ； ； ． （2）解：观察规律可以发现，当 乘以一个从的次幂开始，依次降幂到常数的多项式时，结果是； 要使结果为，则，所以括号中的多项式应为从即开始，一直到常数的多项式． （3）解：根据（1）中发现的规律，与一个最高次项为的降幂多项式相乘，结果为， 本题中多项式的最高次项为，即，所以计算结果为． （4）解：根据规律，； 所以，的因式分解结果为． 10．阅读并解答下列问题：我们熟悉两个乘法公式：①；②．现将这两个公式变形，可得到一个新的公式③：，这个公式形似平方差公式，我们不妨称之为广义的平方差公式．灵活、恰当地运用公式③将会使一些数学问题迎刃而解． 例如：因式分解： 解：原式 你能利用公式（或其他方法）解决下列问题吗？ 已知实数，，满足且，求证： 【答案】见解析 【思路引导】本题考查了完全平方公式，平方差公式，因式分解，根据公式合理变形是求解的关键．先将变形为，再将代入可得，根据非负数的性质即可得证． 【完整解答】解：已知，则， ∵， 即， ， ， ， 则， ∴， ． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $