专题9.2 提公因式法（导图+知识梳理+二大题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共33题）-2025-2026学年苏科版数学八年级下册同步培优讲义

专题9.2 提公因式法 【解析版】 知识点一 公因式 1、公因式：若多项式中各项都有一个公共的因式，我们就把这个公共因式叫做这个多项式各项的公因式． 2、找出多项式的公因式的一般步骤： （1）定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数； （2）定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母； （3）定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母的最低次数. 知识点二 提公因式法 1、提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法． 2、提公因式法：提公因式法的步骤 (分两步)： 第一步：找出公因式； 第二步：提取公因式，即将多项式化为两个因式的乘积． 【易错点拨】 （1）多项式第一项系数为负时，一般提出负号，并将各项都变号． （2）公因式的提取要彻底,分解因式的最后结果中，每个因式中不能有同类项和公因式． （3）提取公因式后括号内的项数应与原多项式的项数一样，当多项式的某一项和公因式相同时，提取公因式后该项变为1，不要漏掉这一项． 题型一 公因式 【典例精讲】（23-24八年级下·陕西汉中·期末）把多项式分解因式，应提的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了分解因式，观察可知两个单项式的公因式为，据此可得答案，解答本题的关键要明确：确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式(或相同多项式因式)；③定指数，即各项相同字母因式(或相同多项式因式)的指数的最低次幂． 【完整解答】解：， ∴多项式分解因式，应提的公因式是， 故选：C． 【变式训练1】（23-24八年级上·全国·课堂例题）（1）多项式的公因式是 ； （2）多项式的公因式是 ； （3）多项式的公因式是 ； （4）多项式的公因式是 ． 【答案】 ； ； ； ． 【思路引导】本题主要考查了公因式，根据当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公因数；字母取各项的相同的字母，各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的，进而得出答案，掌握公因式的定义是解题的关键． 【完整解答】（）根据公因式的概念可得：公因式是； （）根据公因式的概念可得：公因式是； （）根据公因式的概念可得：公因式是； （）根据公因式的概念可得：公因式是； 故答案为：（）；（）；（）；（）． 【变式训练2】把下列各式因式分解： （1）；（2）；（3）； （4）；（5）；（6）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）． 【思路引导】前3个小题直接提取公因式即可； 后3个小题，先分别变形，变形后可直接提取公因式． 【完整解答】（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【考点再现】本题考查了用提公因式法分解因式，当多项式中有互为相反数的因式时，可通过变形，使多项式有公因式．一般常见的两种变形为：及． 【变式训练3】单项式与的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】根据公因式的定义，分别找出系数的最大公约数和相同字母的最低指数次幂，乘积就是公因式； 【完整解答】与的公因式是， 故选：D． 【考点再现】本题考查了公因式：多项式ma+mb+mc中，各项都含有一个公共的因式m，因式m叫做这个多项式各项的公因式． 题型二 提公因式法分解因式 【典例精讲】（25-26八年级下·全国·周测）已知，，则的值为 ． 【答案】 【思路引导】先提取公因式 ，再化简代数式，最后代入已知条件求值． 【完整解答】解：原式 = = = 代入 ，，得 ， 故答案为： -60． 【考点再现】本题的核心是整体代换思想：当已知 和 的值时，无需单独求解、，只需将代数式因式分解为含 和 的形式，即可快速求值． 【变式训练1】（25-26八年级上·全国·课后作业）把下列多项式分解因式： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】主要运用提取公因式法，需要先确定各项的公因式，然后提取公因式进行分解． 【完整解答】（1）解：原式． （2）解：原式． ． ． （3）解：原式 ． 【考点再现】本题考查了因式分解，主要运用提取公因式法，解题关键是准确找出各项的公因式，对于需要变形的式子，要通过适当的变形转化为可以提取公因式的形式． 【变式训练2】（24-25七年级下·四川成都·期中）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部数学巨著，他在第二卷“几何与代数”中，阐述了数与形是一家，即通过“以数解形”和“以形助数”可以把代数公式与几何图形相互转化．请结合乘法公式和几何图形，解答下列问题： 如图，将长方形分割为四块长方形，设长方形，，，，面积分别为，，，，，，，，． 【理解】（1）______，______；（用含，，，的代数式表示）则______（填“”，“”或“”） 【应用】（2）若，，，，求的长度； 【迁移】（3）若，，求的值． 【答案】（1）；；；（2）；（3） 【思路引导】本题主要考查了列代数式，因式分解的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据长方形面积计算公式分别表示出，，，即可得到答案； （2）根据（1）所求求出，进而可求出S的值，再由长方形面积计算公式可得答案； （3）根据题意可得，则；再证明，据此代值计算即可． 【完整解答】解：（1）由题意得，， ∴，， ∴； （2）∵，，，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； （3）∵，， ∴， ∴； ∵ ， ∴． 【变式训练3】（24-25七年级下·全国·课后作业）（1）已知，，求的值； 变式题本质相同：逆向思维 若实数，满足，，则的值为_______． （2）已知方程组，求代数式的值． 【答案】（1）；变式题：；（2） 【思路引导】本题考查因式分解，以及代数式求值，解题的关键在于熟练掌握提公因式法分解因式． （1）利用提公因式先将变形为，再将，代入求解，即可解题； 变式题：根据将代入求解，即可解题； （2）利用提公因式先将变形为，再将，代入求解，即可解题． 【完整解答】解：（1）． 把，代入上式， 原式． 变式题： ，， ，即， 故答案为：． （2）原式． 把，代入上式， 原式． 【演练1】（2025·江苏南通·中考真题）分解因式 ． 【答案】 【思路引导】可利用提取公因式的方法对式子进行因式分解．本题主要考查了提取公因式法分解因式，熟练掌握如何准确找出多项式各项的公因式是解题的关键． 【完整解答】解： 故答案为： ． 【演练2】（2024·广东·中考真题）分解因式： ． 【答案】 【思路引导】本题考查了因式分解，提公因式，即可求解． 【完整解答】解： ， 故答案为：． 【演练3】（2025·江西·中考真题）因式分解： 【答案】 【思路引导】本题主要考查了因式分解，灵活运用提取公因式法进行因式分解是解题的关键． 直接运用提取公因式法解答即可． 【完整解答】解：． 故答案为：． 【演练4】（2024·江苏徐州·中考真题）若，，则代数式的值是 ． 【答案】2 【思路引导】本题考查代数式求值．先将代数式进行因式分解，然后将条件代入即可求值． 【完整解答】解：∵，， ， 故答案为：2． 【演练5】（2023·广东深圳·中考真题）已知实数a，b，满足，，则的值为 ． 【答案】42 【思路引导】首先提取公因式，将已知整体代入求出即可． 【完整解答】 ． 故答案为：42． 【考点再现】此题考查了求代数式的值，提公因式法因式分解，整体思想的应用，解题的关键是掌握以上知识点． 基础夯实 1．（24-25八年级下·陕西汉中·期末）多项式的公因式是（   ） A．m B． C．n D．9 【答案】C 【思路引导】本题主要考查公因式的确定，能熟记多项式的公因式的定义是解此题的关键．根据公因式的定义，找出系数的最大公约数，相同字母的最低次幂，然后即可确定公因式． 【完整解答】解：多项式的公因式是n， 故选：C． 2．（25-26七年级上·陕西西安·月考）因式分解的最终结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止． 【完整解答】解：∵ ． 故选：D． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列各式从左到右的变形是因式分解且正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了因式分解的意义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，结合选项进行判断即可． 【完整解答】解：A、是整式的乘法，不符合题意； B、没把一个多项式化为几个整式的积的形式，不符合题意； C、,符合题意； D、，不符合题意． 故选：C ． 4．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）已知实数满足，则代数式的值为（   ） A． B．0 C．5 D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了代数式求值，将已知数值代入并进行正确的计算是解题的关键．根据得出，将原式变形后整体代入即可求解． 【完整解答】解：已知， 则， 那么 ． 故选：C． 5．（25-26八年级上·吉林长春·月考）已知，，则多项式的值为 【答案】 【思路引导】本题考查因式分解和代数式求值．将多项式分解为含有，的式子，再将，代入整理后的式子求解，即可解题． 【完整解答】解： ， ，， 原式， 故答案为：． 6．（25-26八年级上·山东淄博·月考）多项式分解因式的结果是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了提公因式法进行因式分解，关键是找到公因式．先把变形为，然后提取公因式进行因式分解． 【完整解答】解：， ， ． 故答案为：． 7．（25-26八年级下·全国·周测）把多项式提取公因式后，另一个因式为 ． 【答案】 【思路引导】先将多项式中的变形为，使两项都含有公因式，再提取公因式，即可得到另一个因式． 【完整解答】解： 提取公因式后，另一个因式为． 故答案为：． 【考点再现】本题考查了因式分解中的提取公因式法，解题关键是通过符号变形统一公因式，再完成提取，从而确定另一个因式． 8．（25-26八年级下·全国·周测）先因式分解，再求值． (1)，其中，． (2)，其中． 【答案】(1)， (2)， 【思路引导】（1）提取公因式，将多项式因式分解后，代入和的值计算； （2）先将变形为，再提取公因式，因式分解后代入的值计算． 【完整解答】（1）解： 代入，： ． （2）解： 代入： ． 【考点再现】本题考查了因式分解的提取公因式法及代数式求值，解题关键是通过提取公因式简化代数式，再代入已知值计算，避免复杂的直接运算． 9．（25-26七年级下·全国·课后作业）把下列各式分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了提公因式法分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解决本题的关键． （1）是这两个式子的公因式，可以直接提出，由此可得结果． （2）是这两个式子的公因式，提出后注意符号的变化，由此可得结果． 【完整解答】（1）解： （2） 10．（2026七年级下·全国·专题练习）把下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】本题考查了提取公因式进行因式分解，解题的关键是正确找出公因式． （1）提取公因式进行分解即可； （2）提取公因式进行分解即可； （3）提取公因式进行分解即可； （4）提取公因式进行分解即可． 【完整解答】（1）解： ； （2）解： （3）解： （4）解： 培优拔高 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）把多项式因式分解得（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题主要考查对因式分解-提公因式的理解和掌握，能正确变形并能找出公因式是解此题的关键． 通过提取公因式进行因式分解，注意符号变换. 【完整解答】原式为. 1. 处理符号：观察到， 原式可改写为： 2.提取公因式：两项均含公因式，提取后得： 3.验证选项： 选项B为，与上述结果一致. 其他选项符号或分解形式不符. 故选：B 2．（24-25九年级下·福建龙岩·月考）已知，则代数式的值为（   ） A．6 B． C．4 D． 【答案】C 【思路引导】本题考查因式分解，代数式求值，根据，得到，进而得到，整体代入法求出代数式的值即可． 【完整解答】解：∵， ∴， ∴， ∴； 故选C． 3．（24-25七年级下·河北保定·期末）已知，求的值．（   ） A． B．0 C．1 D． 【答案】D 【思路引导】此题考查的是因式分解，掌握利用提公因式法因式分解是解决此题的关键．先因式分解，然后利用整体代入法求值即可． 【完整解答】解： ， 当，时， 原式 故选：D． 4．（2022·重庆·一模）下列四种说法中正确的有（　　） ①关于x、y的方程存在整数解． ②若两个不等实数a、b满足，则a、b互为相反数． ③若，则． ④若，则． A．①④ B．②③ C．①②④ D．②③④ 【答案】B 【思路引导】将提公因式2得，由x、y为整数，则为偶数，因为199为奇数，即原等式不成立，即可判断①；将，整理得，即得出，由于实数a、b不相等，即得出a、b互为相反数，故可判断②；整理得，即得，即，故可判断③；由，得出，即可变形为，可以得出或，故可判断④． 【完整解答】∵， ∴如果x、y为整数，那么为偶数， ∵199为奇数， ∴不存在整数解，故①错误； ∴， ∵实数a、b不相等， ∴a、b互为相反数，故②正确； ∴，即，故③正确； ∵ ∴， ∴，即， ∴， ∴或，故④不一定正确． 综上可知正确的有②③． 故选B． 【考点再现】本题考查因式分解，整式的混合运算．熟练掌握完全平方公式是解题关键． 5．已知一个长方形的长、宽分别为、，若它的周长为18，面积为20，则代数式的值为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了因式分解的应用．根据长方形的周长和面积公式，得出和的值，然后将代数式因式分解后代入求值． 【完整解答】解：长方形的周长为，面积为， ，即，． 则． 故答案为：． 6．（24-25七年级下·安徽阜阳·月考）若，，则 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了因式分解的应用，代数式求值，先提公因式，进而将已知代数式的值代入即可求解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 【完整解答】解：由， ∵，， ∴原式， 故答案为：． 7．（2025·河南新乡·三模）一个正两位数M，它的个位数字是a，十位数字是，把M十位上的数字与个位上的数字交换位置得到新两位数N，若的值能被13整除，则a的值是 ． 【答案】6 【思路引导】本题考查了整式加减的应用、一元一次方程的应用、因式分解，理解题意是解题的关键．根据题意用表示出和，计算可得，根据的值能被13整除，得出是13的倍数，列出方程求出的值即可． 【完整解答】解：，， 则 ． 因为的值能被13整除，且11与13互质， 所以是13的倍数， 所以， 解得：， 故答案为：6． 8．（25-26七年级下·全国·课后作业）把下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【思路引导】此题考查因式分解，主要使用提公因式法； （1）提取公因式，即可求解； （2）提取公因式，即可求解； （3）提取公因式，即可求解； （4）提取公因式，即可求解； （5）提取公因式，即可求解； （6）提取公因式，即可求解． 【完整解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 9．一个四位数，记千位和百位的数字之和为a，十位和个位的数字之和为b，如果，那么称这个四位数为“心平气和数”．例如：1625，，，因为，所以1625是“心平气和数”． (1)直接写出：最小的“心平气和数”是 ，最大的“心平气和数”是 ； (2)将一个“心平气和数”的个位与十位的数字交换位置，同时将百位与千位的数字交换位置，称交换前后的这两个“心平气和数”为一组“相关心平气和数”，例如：1625与6152为一组“相关心平气和数”．求证：任意的一组“相关心平气和数”之和都是11的倍数． 【答案】(1)1001，9999 (2)证明见解析 【思路引导】本题主要考查了因式分解的应用，利用提取公因式的方法提出11是本题的一个关键，此外，关于数字取值范围的判断也是一个关键之处． （1）因为是求最小的“心平气和数”和最大的“心平气和数”，所以一个必须以1开头的四位数，不难得到1001和9999这两答案； （2）可以设千位和百位数字之和为，十位和个位的数字之和为，千位数字为，十位数字为，根据题意列出一组“相关心平气和数”之和，利用提取公因式进行因式分解就可以了． 【完整解答】（1）最小的“心平气和数”必须以1开头，而1000显然不符合题意，所以最小的只能是1001，最大的“心平气和数”必须以9开头，后面的数字尽可能在0-9这10个数字中选最大的，所以最大的“心平气和数”一定是9999． （2）证明：设千位和百位数字之和为，十位和个位的数字之和为，千位数字为，十位数字为， 个位数字为，百位数字为， 依题意可得，这组“相关心平气和数”之和为： ， 为整数， 是11的倍数， 任意的一组“相关心平气和数”之和都是11的倍数． 10．（25-26八年级下·全国·周测）（1）多项式可以因式分解成，，为整数．求的值． （2）已知可因式分解成，其中，，均为整数，求的值． 【答案】（1）；（2） 【思路引导】（1）先提取公因式，将多项式整理成的形式，对比系数求出、，再计算； （2）先变形多项式，提取公因式，再合并同类项整理成的形式，对比系数求出、、，最后计算． 【完整解答】解：（1）原式 对比，得：，． ∴． （2）原式 对比，得：，， ∴． 【考点再现】本题考查了因式分解中的提取公因式法，解题关键是通过观察多项式结构，准确提取公因式，再通过系数对比求出未知参数． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题9.2 提公因式法 【原卷版】 知识点一 公因式 1、公因式：若多项式中各项都有一个公共的因式，我们就把这个公共因式叫做这个多项式各项的公因式． 2、找出多项式的公因式的一般步骤： （1）定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数； （2）定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母； （3）定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母的最低次数. 知识点二 提公因式法 1、提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法． 2、提公因式法：提公因式法的步骤 (分两步)： 第一步：找出公因式； 第二步：提取公因式，即将多项式化为两个因式的乘积． 【易错点拨】 （1）多项式第一项系数为负时，一般提出负号，并将各项都变号． （2）公因式的提取要彻底,分解因式的最后结果中，每个因式中不能有同类项和公因式． （3）提取公因式后括号内的项数应与原多项式的项数一样，当多项式的某一项和公因式相同时，提取公因式后该项变为1，不要漏掉这一项． 题型一 公因式 【典例精讲】（23-24八年级下·陕西汉中·期末）把多项式分解因式，应提的公因式是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】（23-24八年级上·全国·课堂例题）（1）多项式的公因式是 ； （2）多项式的公因式是 ； （3）多项式的公因式是 ； （4）多项式的公因式是 ． 【变式训练2】把下列各式因式分解： （1） ；（2）；（3）； （4） ；（5）；（6）． 【变式训练3】单项式与的公因式是（    ） A． B． C． D． 题型二 提公因式法分解因式 【典例精讲】（25-26八年级下·全国·周测）已知，，则的值为 ． 【变式训练1】（25-26八年级上·全国·课后作业）把下列多项式分解因式： (1) ． (2)． (3)． 【变式训练2】（24-25七年级下·四川成都·期中）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部数学巨著，他在第二卷“几何与代数”中，阐述了数与形是一家，即通过“以数解形”和“以形助数”可以把代数公式与几何图形相互转化．请结合乘法公式和几何图形，解答下列问题： 如图，将长方形分割为四块长方形，设长方形，，，，面积分别为，，，，，，，，． 【理解】（1）______，______；（用含，，，的代数式表示）则______（填“”，“”或“”） 【应用】（2）若，，，，求的长度； 【迁移】（3）若，，求的值． 【变式训练3】（24-25七年级下·全国·课后作业）（1）已知，，求的值； 变式题本质相同：逆向思维 若实数，满足，，则的值为_______． （2）已知方程组，求代数式的值． 【演练1】（2025·江苏南通·中考真题）分解因式 ． 【演练2】（2024·广东·中考真题）分解因式： ． 【演练3】（2025·江西·中考真题）因式分解： 【演练4】（2024·江苏徐州·中考真题）若，，则代数式的值是 ． 【演练5】（2023·广东深圳·中考真题）已知实数a，b，满足，，则的值为 ． 基础夯实 1．（24-25八年级下·陕西汉中·期末）多项式的公因式是（   ） A．m B． C．n D．9 2．（25-26七年级上·陕西西安·月考）因式分解的最终结果是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列各式从左到右的变形是因式分解且正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）已知实数满足，则代数式的值为（   ） A． B．0 C．5 D． 5．（25-26八年级上·吉林长春·月考）已知，，则多项式的值为 6．（25-26八年级上·山东淄博·月考）多项式分解因式的结果是 ． 7．（25-26八年级下·全国·周测）把多项式提取公因式后，另一个因式为 ． 8．（25-26八年级下·全国·周测）先因式分解，再求值． (1)，其中，． (2)，其中． 9．（25-26七年级下·全国·课后作业）把下列各式分解因式： (1)； (2)． 10．（2026七年级下·全国·专题练习）把下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 培优拔高 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）把多项式因式分解得（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级下·福建龙岩·月考）已知，则代数式的值为（   ） A．6 B． C．4 D． 3．（24-25七年级下·河北保定·期末）已知，求的值．（   ） A． B．0 C．1 D． 4．（2022·重庆·一模）下列四种说法中正确的有（　　） ①关于x、y的方程存在整数解． ②若两个不等实数a、b满足，则a、b互为相反数． ③若，则． ④若，则． A．①④ B．②③ C．①②④ D．②③④ 5．已知一个长方形的长、宽分别为、，若它的周长为18，面积为20，则代数式的值为 ． 6．（24-25七年级下·安徽阜阳·月考）若，，则 ． 7．（2025·河南新乡·三模）一个正两位数M，它的个位数字是a，十位数字是，把M十位上的数字与个位上的数字交换位置得到新两位数N，若的值能被13整除，则a的值是 ． 8．（25-26七年级下·全国·课后作业）把下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)； (4) ； (5)； (6)． 9．一个四位数，记千位和百位的数字之和为a，十位和个位的数字之和为b，如果，那么称这个四位数为“心平气和数”．例如：1625，，，因为，所以1625是“心平气和数”． (1)直接写出：最小的“心平气和数”是 ，最大的“心平气和数”是 ； (2)将一个“心平气和数”的个位与十位的数字交换位置，同时将百位与千位的数字交换位置，称交换前后的这两个“心平气和数”为一组“相关心平气和数”，例如：1625与6152为一组“相关心平气和数”．求证：任意的一组“相关心平气和数”之和都是11的倍数． 10．（25-26八年级下·全国·周测）（1）多项式可以因式分解成，，为整数．求的值． （2）已知可因式分解成，其中，，均为整数，求的值． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $