6.1 菱形的性质与判定-菱形的性质 专题训练 2025-2026学年鲁教版（五四制）八年级数学下册

6.1菱形的性质与判定-----菱形的性质专题训练 一、单选题（共48分） 1．（本题4分）如图所示，在菱形中，对角线，相交于点，若，，则菱形的面积为（   ） A．12 B．15 C．20 D．24 2．（本题4分）在菱形中，对角线相交于点，下列结论中不一定正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（本题4分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列结论中错误的是(   ) A．AB＝AD B．AC⊥BD C．AC＝BD D．∠DAC＝∠BAC 4．（本题4分）如图，四边形是菱形，，，于点，则的长是（    ） A． B． C． D． 5．（本题4分）如图，在菱形中，E、F分别是的中点，连接，若，则菱形的周长为（   ） A．6 B．8 C．12 D．16 6．（本题4分）如图，在菱形中，对角线，相交于点．若菱形的周长为，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．8 7．（本题4分）如图，在菱形中，点为对角线上一点，且，若，则（    ） A． B． C． D． 8．（本题4分）如图，在菱形中，，对角线，交于点O，则的度数为（   ） A． B． C． D． 9．（本题4分）如图，菱形ABCD的对角线长分别为6和8，点P是对角线AC上任意一点（不与点A，C重合），PE//BC交AB于点E，PF//CD交AD于点F，则阴影部分的面积是（　　） A．12 B．11 C．10 D．24 10．（本题4分）如图，在菱形中，对角线与相交于点，若，，则菱形的周长为（   ） A．8 B． C． D．16 11．（本题4分）如图，菱形的边长为2，，对角线、相交于点O，点E为中点，点F为中点，连接，则的长为（   ） A． B． C． D． 12．（本题4分）如图，在菱形纸片中，，点在边上，将菱形纸片沿折叠，点落在边的垂直平分线上的点处，则的大小为（  ） A． B． C． D． 二、填空题（共24分） 13．（本题4分）如图，菱形的对角线交于点O，点M为的中点，连接．若，则的长为 ． 14．（本题4分）如图，为菱形的一条对角线，过点C作于点E，若，则的度数为 ． 15．（本题4分）四边形是菱形，对角线，相交于点O，且，，则菱形的面积为 ． 16．（本题4分）如图，菱形的周长为，面积为，是对角线上一点，分别作点到直线，的垂线段，，则等于 ． 17．（本题4分）如图，在菱形纸片中，点E在边上，将菱形沿折叠，点A、B分别落在，处，，垂足为F．若，，则 ， ． 18．（本题4分）如图，在菱形中，，，E，F分别是和的中点，连接并延长与的延长线相交于点G，则的长度为 cm． 三、解答题（共78分） 19．（本题11分）如图，四边形是菱形，于点，于点． (1)求证：； (2)若菱形的边长为，，求的长． 20．（本题12分）如图，在菱形 中，对角线，，求菱形的边长和面积．    21．（本题13分）如图，平行四边形中，平分交于点E，F为边上的点，且，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，若，，，求的长． 22．（本题13分）已知：如图，点、分别是菱形的边、上的点，且，，求：的大小． 23．（本题14分）如图，菱形中的两条对角线相交于点O，其中，延长至点E，使，连接． (1)求的长度； (2)求的度数． 24．（本题15分）如图①，E，G分别是边长为6的菱形边上的点，且，以为邻边作菱形，将菱形绕点A逆时针旋转一定角度得到图②，连接． (1)求证：； (2)若，求的面积． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．D 【分析】本题主要考查了求菱形的面积，菱形的面积等于其对角线乘积的一半，据此求解即可． 【详解】解：∵在菱形中，对角线，相交于点，若，， ∴， 故选：D． 2．D 【分析】本题考查了菱形的性质，理解其性质是解题的关键． 根据菱形的性质解题即可． 【详解】解：∵ 四边形是菱形， ∴ ，，， ∴选项、、不合题意； 不一定成立（仅当菱形为正方形时对角线相等） ∴选项符合题意． 故选：D． 3．C 【分析】根据菱形的性质逐项分析判断即可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD，AC⊥BD，∠DAC＝∠BAC，故A、B、D选项正确， 不能得出，故C选项不正确， 故选：C. 【点睛】本题考查了菱形的性质，掌握菱形的性质是解题的关键． 4．A 【分析】本题考查了勾股定理，菱形的性质，根据勾股定理求得，进而得出，进而根据等面积法，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴，，， 在中，， ∴， ∵菱形的面积为， ∴， 故选：A． 5．D 【分析】本题考查菱形的性质，三角形的中位线定理．由三角形的中位线定理可得，由菱形的性质可求菱形的周长． 【详解】解：∵点E、F分别是的中点，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴菱形的周长， 故选：D． 6．D 【分析】本题考查了菱形的性质和勾股定理．熟练掌握菱形的性质和勾股定理是解题的关键． 根据菱形的性质求出边长，再结合勾股定理求出对角线的一半，进而得出对角线的长． 【详解】解：四边形是菱形， ，，，， 菱形的周长为， ， ， ， 在中，根据勾股定理可得： ， ． 故答案为：D． 7．B 【分析】本题考查求角度，涉及菱形性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，先由菱形对边平行得到同旁内角互补求出，再由菱形对角线平分对角得到，最后由等腰三角形性质求解即可得到答案． 【详解】解：在菱形中，， ， 在菱形中，为对角线，，则， 在中，，，则， 故选：B． 8．B 【分析】本题考查了菱形的性质，解题的关键是掌握“菱形的对角线平分一组对角”这一核心性质，利用该性质将已知角转化为所求角． 先明确菱形中，对角线是的角平分线；再根据已知，可得为的一半；计算得出的度数后，匹配选项即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，   ∴菱形的对角线平分一组对角，即平分；   又∵，   ∴；   该结果与选项B一致，   故选：B． 9．A 【分析】先证四边形AEPF是平行四边形，设AP与EF相交于O点，则△POF的面积等于△AOE的面积．所以阴影部分的面积等于菱形面积的一半． 【详解】解：设AP与EF相交于O点． ∵四边形ABCD为菱形， ∴BC//AD，AB//CD． ∵PE//BC，PF//CD， ∴PE//AF，PF//AE． ∴四边形AEPF是平行四边形． ∴S△POF＝S△AOE． ∴阴影部分的面积就是△ABC的面积， ∴△ABC的面积＝菱形的面积＝×（×6×8）＝12， 则阴影部分的面积是12． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，解决本题的关键是得出阴影部分的面积就是△ABC的面积． 10．A 【分析】本题考查了菱形的性质以及勾股定理，根据菱形的性质可得、互相垂直平分，，根据中位线性质可得，继而即可求解． 【详解】解：∵是菱形， ∴，， ∴， ∴菱形的周长为， 故选：A． 11．A 【分析】本题主要考查了菱形的性质，三角形中位线的判定和性质，含30度直角三角形的性质等知识，取点的中点H，连接，即可得出为的中位线，再由菱形的性质得出，再由勾股定理得出，再进一步利用勾股定理即可求出． 【详解】解：取点的中点H，连接， ∵点F为中点， ∴为的中位线， ∴，， ∵是菱形，， ∴，，， ∴， ∴，， ∴， ∵点E为中点， ∴， ∴在中，， 故选A 12．D 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），菱形的性质，等边三角形的性质，以及内角和定理，连接，由菱形的性质及，得到三角形为等边三角形，P为的中点，利用三线合一得到为角平分线，得到，进而求出，由折叠的性质得到，利用三角形的内角和定理即可求出所求角的度数． 【详解】解：连接，如图所示： ∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴为等边三角形，， ∵是的垂直平分线， ∴P为的中点， ∴为的平分线，即， ∴， ∴由折叠的性质得到， 在中，． 故选：D． 13．4 【分析】此题重点考查菱形的性质、三角形的中位线定理等知识，证明是的中位线是解题的关键．由菱形的性质得，而点M为的中点，则是的中位线，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵四边形是菱形，对角线、交于点O， ． 点O为的中点． 点M为的中点， 是的中位线． ， ． 故答案为：4． 14．/56度 【分析】本题考查了菱形的性质、三角形内角和定理、等边对等角，先求出，再由菱形的性质可得，由等边对等角可得，最后由三角形内角和定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15． 【分析】本题主要考查菱形的性质，勾股定理及含直角三角形的性质，熟练掌握菱形的性质，勾股定理及含直角三角形的性质是解题的关键；由题意易得，然后可得，则有，进而根据菱形的性质可进行求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为． 16．6 【分析】此题主要考查了菱形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．利用菱形的性质得出，，进而利用三角形等面积法列方程求出答案． 【详解】解：菱形的周长为20，面积为， ，， ∴， 分别作点到直线、的垂线段、， ， ， ． 故答案为：6． 17． /30度 【分析】根据菱形的性质得到，结合折叠得到，，，根据三角函数得到，，结合角度关系得到，进而可求出的度数，证明．在中，求出，得出，在中，求出，进而得出即可求解． 【详解】解：如图，∵四边形是菱形，，， ∴，， ， ∵菱形沿折叠，点A、B分别落在、处， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴ ∴． 在中，， ∴， ∴， 在中，， ， ∴， ∴． 故答案为：，． 【点睛】本题考查菱形性质，折叠的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等角对等边，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 18．10 【分析】本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的判定与性质，中位线，勾股定理等知识；连接，交于点O，证四边形是平行四边形，得，利用勾股定理求出的长，，即可求出． 【详解】解：连接，交于点O，如图： ∵菱形的边长为， ∴，， ∵ 点E、F分别是边的中点， ∴， ∵是菱形的对角线，， ∴，，， 又∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 在中，∵，，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：10． 19．(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质和勾股定理，利用菱形的边、角特征结合全等三角形的判定定理证明三角形全等是解题的关键． （1）由菱形得，，由垂直得，即可用证全等； （2）勾股定理求，由全等得，结合菱形边长得． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∵，， ∴， ∴； （2）解：在中， ， ∵， ∴， ∵菱形的边长为，即， ∴． 20．菱形的边长为；面积为 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，根据菱形的性质，勾股定理求得边长，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，即可求得面积． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴菱形边长； 面积． 21．(1)见详解 (2) 【分析】（1）由平行四边形的性质得，由，推导出，则，而，所以，因为，所以四边形是平行四边形，再根据菱形的定义证明四边形是菱形即可； （2）连接，由菱形的性质得，因为，所以，则，求得． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵平分交于点为边上的点，， ， ， ， ∵， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是菱形． （2）解：连接，如图所示： ∵四边形是菱形， ， ， ， ∴是直角三角形，且， ∴， ∴的长是． 【点睛】此题重点考查平行四边形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定、菱形的判定与性质、勾股定理及其逆定理等知识，推导出及是解题的关键． 22． 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等，连接，可证是等边三角形，得到，进而可得，即可证明，得到，即得是等边三角形，得到，由利用三角形内角和定理可得，再根据平角的定义即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是菱形，， ，， 是等边三角形， ， ， ， 即， 是菱形的一条对角线， ， ∴， ， ， ∵ 是等边三角形， 又 ， ． 23．(1)8 (2) 【分析】本题考查了利用平行四边形的判定与性质求解，利用菱形的性质求线段长，根据平行线的性质求角的度数，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）先根据菱形的性质得出，再证明四边形是平行四边形，然后根据平行四边形的性质即可求解； （2）先根据菱形的性质得出，即，从而可求得，再根据平行四边形的性质得出，从而可求得． 【详解】（1）解：由菱形性质可知：． ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． ∴， ∴的长度为8； （2）解：由菱形性质可知：，即． ∵， ∴． ∵， ∴． 24．(1)证明见解析 (2) 【分析】此题考查了菱形的性质、旋转的性质、勾股定理等知识． （1）证明即可得到结论； （2）过E作于点H，求出，再利用勾股定理即可求出答案． 【详解】（1）证明：∵四边形与四边形是共顶点的菱形， ， ， ； （2）过E作于点H，如图： 由（1）知， ， ． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $