精品解析：四川省仁寿第一中学校南校区2026届高三上学期数学周考七试题

仁寿一中南校区数学周考（七） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数是虚部为正数的纯虚数，且满足，则（ ） A. 1 B. 2 C. 1或2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】设，代入，得到，计算求出的值， 利用求出. 【详解】设，代入， 得到，解得， 即，故，即， 解得或－2，因为，所以，故. 故选：A． 2. 设命题，，则：（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题即可求解. 【详解】由题意：命题，，则：，， 故选：D. 3. 已知函数，则“函数的图象的一条对称轴为”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的图象的一条对称轴为，求出或，因此“函数的图象的一条对称轴为”是“”的必要不充分条件. 【详解】由函数的图象的一条对称轴为，得， 解得，又因为，所以或， 因此“函数的图象的一条对称轴为”是“”的必要不充分条件. 故选：B． 4. 有以下6个函数：①；②；③；④；⑤；⑥.记事件为“从中任取的1个函数是奇函数”，事件为“从中任取的1个函数是偶函数”，事件的对立事件分别为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先判断各函数的奇偶性，再由古典概型的概率公式一一判断即可. 【详解】由题可知，对于①：，则，解得， 所以，故为偶函数且为奇函数； 对于②为奇函数；对于③为奇函数；对于④为偶函数； 对于⑤：定义域为，为非奇非偶函数； 对于⑥为非奇非偶函数； 则事件为：①，②，③；事件为：④，⑤，⑥； 事件为：①，④；事件为：②，③，⑤，⑥； 事件为：①，②，③，④；为：⑤，⑥； 所以，，，， ，， 所以，，故A、C错误； 又为：①；所以为：②，③，④，⑤，⑥，所以， 则，故B错误； 因为，所以，D正确. 故选：D. 5. 如图，为圆锥底面直径，点是底面圆上异于的动点，已知，圆锥侧面展开图是圆心角为的扇形，当与所成角为时，与所成角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作与圆交于点，连接，四边形为平行四边形，，连接，则为与所成角，解即可得解. 【详解】 设圆锥母线长为，则，解得， ，与所成角， ， 中， 作与圆交于点， 连接，四边形为平行四边形，， 连接，则为与所成角， 中，可得， ， 故选：C. 6. 已知是椭圆的两个焦点，为上一点，且，，则的离心率的平方为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据椭圆的定义及已知条件得到，，在中利用余弦定理即可求得答案. 【详解】因为，所以， 则，，因为， 在中，由余弦定理可得， 所以，整理可得， 所以， 故选：D． 7. 在边长为2的等边中，点为内切圆上一点，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】设内切圆圆心，将、、分解为从出发的向量；利用等边三角形“重心与内心重合”的性质，简化向量和为；通过三角形面积与内切圆半径的关系求得，进而计算向量和的模长. 【详解】设点为内切圆圆心，则， 则， 因为是等边三角形，故点也是的重心， 故，故， 由等面积得，则， 故. 故选：B 8. 法布里-贝罗研究多光束干涉在薄膜理论中的应用时，用光波依次透过层薄膜，记光波的初始功率为，记为光波经过第层薄膜后的功率，假设在经过第层薄膜时光波的透过率，其中，2，3…，为使得，则的最大值为（ ） A. 31 B. 32 C. 63 D. 64 【答案】C 【解析】 【分析】通过累乘法以及等差数列求和公式得，进一步得 ，结合数列单调性即可得解. 【详解】由题意，所以， 所以，即， 显然关于单调递增，其中， 又，所以的最大值为63. 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差，已知该种植区以往的亩收入服从正态分布，假设推动出口后的亩收入服从正态分布，则（ ）（若随机变量Z服从正态分布，） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据正态分布的原则以及正态分布的对称性即可解出. 【详解】依题可知，，所以， 故，C正确，D错误； 因为，所以， 因为，所以， 而，B正确，A错误， 故选：BC． 10. 已知函数，则下列说法中正确的是（ ） A. 对任意正奇数，为奇函数 B. 对任意正整数，的图象都关于直线对称 C. 当时，在上的最小值为 D. 当时，的单调递增区间是 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，取，由奇偶性的定义判断；对于B，由是否成立判断；对于C， 由，利用导数法判断；对于D， 由，将函数转化为，利用余弦函数的性质求解判断. 【详解】取，则，从而，此时不是奇函数，则A错误； 因为，所以的图象关于直线对称，则B正确； 当时，， 当时，；当时，. 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为，故C正确； 当时， ，则的递增区间为，则D错误. 故选：BC. 11. 如果一个四面体在同一顶点的三条棱两两垂直，则称为直角四面体.直角四面体中，侧棱、、两两垂直，棱长分别为、、，点在底面的射影为点，三条侧棱、、与底面所成的角分别为、、，以下结论正确命题的是（ ） A. 为锐角三角形； B. ; C. 若，则； D. 直角四面体外接球的表面积为. 【答案】ABD 【解析】 【分析】把直角四面体放在长方体中，利用三角形垂心的定义、线面角的定义、球的性质、余弦定理逐一判断即可. 【详解】把直角四面体放在长方体中，如下图所示. 对于A：因为侧棱、、两两垂直， 所以，， ，由余弦定理可知： ， 因此是锐角，同理也是锐角，所以为锐角三角形，所以A正确； 对于B：，，则， 因为，所以到平面的距离满足， 所以，所以， ，， 所以，所以B正确； 对于C：由射影性质可知：， 因为，所以，因为函数在上单调递增， 所以，因此C不正确； 对于D：法一：速解：直角四面体外接球就是该长方体的外接球， 所以该外接球的半径为该长方体对角线长的一半， ， 因此该外接球的半径为：， 所以该外接球的表面积为：，因此D正确， 法二：设BC的中点，球心O，则球心O，，， ，因此D正确. 故选：ABD 二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共5分. 12. 现采用随机模拟的方法估计某运动员射击击中目标的概率.先由计算器给出0到9之间取整数的随机数，规定0，1，2表示没有击中目标，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数： 6011 3661 9597 6947 1417 4698 0371 6233 2616 8045 7424 7610 4281 7527 0293 7140 9857 0347 4373 8360 根据以上数据估计该运动员射击4次至少击中3次目标的概率为__________. 【答案】##0.6 【解析】 【分析】根据给定的随机数，利用列举法，结合对立事件的概率求出古典概率. 【详解】法一：射击4次至少击中3次目标的有：3661,9597,6947,4698,6233,8045,7424,7527,9857,0347,4373,8360，共12种， 所以所求概率为 法二：运动员射击4次至多2次击中目标的有：6011,1417,0371,2616,7610 ,4281,0293 ,7140，共8种， 所以所求概率为 故答案为： 13. 已知数列的前项和为，则当最小时，的值为__________. 【答案】6 【解析】 【分析】利用通项的正负性可求. 【详解】根据题意，数列中，， 当时，有，当时，有， 则当时，最小. 所以当最小时，. 故答案为：6 14. 若，且关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】先化简不等式得到在 时，恒成立，构造函数，得到时，，构造函数，得到，所以，即． 【详解】因为，所以， 所以不等式等价于， 设，则， 令，解得， 令，解得， 故在区间 上单调递增，在区间上单调递减， 故； 设，则， 令，解得， 令，解得， 故在区间上单调递减，在区间上单调递增， 故， 因为恒成立， 所以，即． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知的面积记为.内角，，的对边分别为，，，. （1）若，，求； （2）若为锐角三角形，，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据条件得出角，结合余弦定理计算得到边长； （2）由正弦定理结合角得到，由边角关系计算得到答案. 【小问1详解】 由，得， 因为为三角形边长，所以，所以， 若，则，代入得，矛盾， 所以，方程两边同除以得，又，所以. 根据余弦定理， 得.即，整理得. 解得或（舍去）.所以. 【小问2详解】 由，得，， 因为，则，， 所以， ， 因为为锐角三角形，所以则， 所以，即取值范围为. 16. 已知数列满足． （1）求证：数列为等比数列，并求出数列的通项公式； （2）设数列的前项和为表示不大于的最大整数，求． 【答案】（1） 由数列满足， 可得， 又由，所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列， 所以，即，所以数列的通项公式为. （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，化简得到，得到数列为等比数列，结合等比数列的通项公式，即可求解； （2）由（1）得，结合放缩法和裂项求和，求得，再由，证得，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知：， 所以，故， 因为，故，因此． 17. 如图1，分别是边长为4的正方形三边的中点，将四边形沿着线段折起，连接就得到了一个三棱柱（如图2）. （1）若是四边形对角线的交点，求证：平面； （2）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 证明：取中点，连接， 由题意知，，且， 因为是矩形对角线的交点，所以，且， 所以，且，所以四边形AOMG为平行四边形， 所以， 又平面平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，由中位线关系证明四边形AOMG为平行四边形，再由线面平行的判定定理可得； （2）先确定就是二面角的平面角，再建立如图所示空间直角坐标系，利用二面角确定点，再求出平面的法向量，代入空间线面角公式可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在图1中，，且，在图2中，上述关系依然成立， 所以就是二面角的平面角，即， 故以为坐标原点，分别为轴，轴正方向，垂直平面向上的方向为轴，建立如图所示的空间直角坐标系Exyz， 则， 因为，， 所以， 即， 又，所以， 所以， 设平面的法向量为， 则 取， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 18. 已知抛物线的焦点到其准线的距离为2. （1）求C的方程； （2）过点的直线l与C交于M，N两点，且，求l的方程； （3）设C的焦点为是C上不同的三点，若，，求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）确定焦点和准线方程即可求解； （2）设，通过点差法即可求解； （3）设，由，得到，①，②，通过①②得到，即可求解. 【小问1详解】 抛物线的焦点坐标为，准线方程为， 所以焦点到其准线的距离为， 所以抛物线方程为； 【小问2详解】 设，因为M，N两点在抛物线上， 所以，两式相减可得：， 即， 因为，所以点为M，N的中点， 所以，又， 所以， 所以直线得方程为， 即； 【小问3详解】 因为， 所以， 设，其中互不相等， 则， 由， 得：，又，所以，① ，又，所以，② ①②得： ， 即， 又，所以， 所以. 19. 已知函数() （1）讨论函数的单调性 （2）若函数存在两个零点，求证:； （3）已知数列的前项和为，数列是首项为2的等比数列，若存在正整数，使得对任意正整数，均有，求的最大值. 【答案】（1） 当时，故在单调递减； 当时，在单调递减，在单调递增. （2） ，令，则有， 由；由. 所以在上单调递增，在单调递减． 若函数存在两个零点，则不妨有，且有， 要证，即证，即证，即证， 即证，等价于， 令（）， 则有， 令，则有，则， 所以在上单调递增，所以，得证. （3）5 【解析】 【分析】（1）求导，分，讨论函数的单调性. （2）极值点偏移问题，先把问题转化成，，设函数（），分析函数的单调性，即可证明. （3）先根据求数列的通项公式，再借助等比数列的通项公式，可把问题转化成，再设，，利用导数分析它们的单调性，再求的最大值. 【小问1详解】 对求导有（）， ①当时，，故在单调递减； ②当时，由；由. 所以在单调递减，在单调递增. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ，当时，符合，所以. 设公比为，则有，即恒成立，则， 对任意，均有，即（时）恒成立． 分别令，， 则，所以在上单调递增，在单调递减， ， 令，则， 当时，，所以在上单调递减. 所以，故，所以在上单调递减. ①当时：，解得， ②当时：，解得（不成立）， 所以的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 仁寿一中南校区数学周考（七） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数是虚部为正数的纯虚数，且满足，则（ ） A. 1 B. 2 C. 1或2 D. 3 2. 设命题，，则：（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知函数，则“函数的图象的一条对称轴为”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 4. 有以下6个函数：①；②；③；④；⑤；⑥.记事件为“从中任取的1个函数是奇函数”，事件为“从中任取的1个函数是偶函数”，事件的对立事件分别为，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，为圆锥底面直径，点是底面圆上异于的动点，已知，圆锥侧面展开图是圆心角为的扇形，当与所成角为时，与所成角为（ ） A. B. C. D. 6. 已知是椭圆的两个焦点，为上一点，且，，则的离心率的平方为（ ） A. B. C. D. 7. 在边长为2的等边中，点为内切圆上一点，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 8. 法布里-贝罗研究多光束干涉在薄膜理论中的应用时，用光波依次透过层薄膜，记光波的初始功率为，记为光波经过第层薄膜后的功率，假设在经过第层薄膜时光波的透过率，其中，2，3…，为使得，则的最大值为（ ） A. 31 B. 32 C. 63 D. 64 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差，已知该种植区以往的亩收入服从正态分布，假设推动出口后的亩收入服从正态分布，则（ ）（若随机变量Z服从正态分布，） A. B. C. D. 10. 已知函数，则下列说法中正确的是（ ） A. 对任意正奇数，为奇函数 B. 对任意正整数，的图象都关于直线对称 C. 当时，在上的最小值为 D. 当时，的单调递增区间是 11. 如果一个四面体在同一顶点的三条棱两两垂直，则称为直角四面体.直角四面体中，侧棱、、两两垂直，棱长分别为、、，点在底面的射影为点，三条侧棱、、与底面所成的角分别为、、，以下结论正确命题的是（ ） A. 为锐角三角形； B. ; C. 若，则； D. 直角四面体外接球的表面积为. 二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共5分. 12. 现采用随机模拟的方法估计某运动员射击击中目标的概率.先由计算器给出0到9之间取整数的随机数，规定0，1，2表示没有击中目标，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数： 6011 3661 9597 6947 1417 4698 0371 6233 2616 8045 7424 7610 4281 7527 0293 7140 9857 0347 4373 8360 根据以上数据估计该运动员射击4次至少击中3次目标的概率为__________. 13. 已知数列的前项和为，则当最小时，的值为__________. 14. 若，且关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知的面积记为.内角，，的对边分别为，，，. （1）若，，求； （2）若为锐角三角形，，求的取值范围. 16. 已知数列满足． （1）求证：数列为等比数列，并求出数列的通项公式； （2）设数列的前项和为表示不大于的最大整数，求． 17. 如图1，分别是边长为4的正方形三边的中点，将四边形沿着线段折起，连接就得到了一个三棱柱（如图2）. （1）若是四边形对角线的交点，求证：平面； （2）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值. 18. 已知抛物线的焦点到其准线的距离为2. （1）求C的方程； （2）过点的直线l与C交于M，N两点，且，求l的方程； （3）设C的焦点为是C上不同的三点，若，，求的值. 19. 已知函数() （1）讨论函数的单调性 （2）若函数存在两个零点，求证:； （3）已知数列的前项和为，数列是首项为2的等比数列，若存在正整数，使得对任意正整数，均有，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $