培优09 同构问题7种重难题型（专项训练）数学人教A版2019选择性必修第二册

培优09 同构问题7种重难题型 1、同构法： 把一个等式或不等式通过变形，使左右两边结构、形式完全相同，构造函数，利用函数的单调性进行处理，找到这个函数模型的方法就是同构法.同构法主要解决含有指数、对数混合的等式或不等式问题. 2、指对同构的常用形式 (1)积型：，一般有三种同构方式： ①同左构造形式：，构造函数； ②同右构造形式：，构造函数； ③取对构造形式：，构造函数 (2)商型：一般有三种同构方式： ①同左构造形式：构造函数； ②同右构造形式：构造函数； ③取对构造形式：，构造函数. (3)和、差型：，一般有两种同构方式： ①同左构造形式：，构造函数； ②同右构造形式：，构造函数. 题型1 指对同构训练 1．对下列不等式进行同构变形，并写出相应的同构函数. (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6). 题型2 同构问题——积型、商型 2．若对任意，满足恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（    ）. A． B． C． D． 4．对，恒有，则实数a的最小值为 . 5．已知函数的图象在处的切线经过点. (1)求的值及函数的单调区间； (2)设，若关于的不等式在区间上恒成立，求正实数的取值范围. 题型3 同构问题——和差型 6．已知，若对任意的恒成立，则实数a的最小值为（    ） A．e B． C． D． 7．已知函数，若对于任意的使得不等式成立，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 8．若函数存在零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 9．已知函数. （1）若曲线在处的切线方程为，求实数，的值； （2）若，求实数的取值范围. 题型4 利用同构比较大小 10．已知，，，则a，b的大小关系是（    ） A． B． C． D． 11．已知a，b，，且，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 12．已知，则a，b，c的大小顺序为（   ） A． B． C． D． 13．若，，，则，，的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 14．设，则的大小关系是（     ） A． B． C． D． 题型5 利用同构证明不等式 15．设函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程： (2)若有两个极值点，求的取值范围： (3)当时，求证：． 16．已知函数，． (1)讨论的单调性； (2)若方程有两根，求a的取值范围； (3)证明：当时，． 17．已知函数． （1）设是的极值点．求，并求的单调区间； （2）证明：当时，． 18．已知函数. (1)当时，讨论的单调性； (2)当时，证明：. 题型6 利用同构解决恒成立问题 19．已知函数，（其中e是自然对数的底数），若在上恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 20．已知函数，若恒成立，则实数a的取值范围为 ． 21．若关于的不等式对恒成立，则实数的取值范围为 . 22．若不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是 ． 23．已知函数，，若，对于任意都成立，则a的最大值为 . 24．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程. (2)当时，求的极值点与极值. (3)若不等式恒成立，求a的取值范围. 题型7 利用同构解决零点问题 25．已知函数恰有4个零点，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 26．已知，若有两个零点，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 27．已知函数. (1)若，求的极值； (2)，若函数有两个零点，且，求证：. 28．已知函数 (1)若是的极小值点，且，求的取值范围； (2)若有且仅有两个零点，求的取值范围 29．已知函数的单调递增区间为． (1)求函数的图象在点处的切线方程； (2)若函数有两个零点，求实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优09 同构问题7种重难题型 1、同构法： 把一个等式或不等式通过变形，使左右两边结构、形式完全相同，构造函数，利用函数的单调性进行处理，找到这个函数模型的方法就是同构法.同构法主要解决含有指数、对数混合的等式或不等式问题. 2、指对同构的常用形式 (1)积型：，一般有三种同构方式： ①同左构造形式：，构造函数； ②同右构造形式：，构造函数； ③取对构造形式：，构造函数 (2)商型：一般有三种同构方式： ①同左构造形式：构造函数； ②同右构造形式：构造函数； ③取对构造形式：，构造函数. (3)和、差型：，一般有两种同构方式： ①同左构造形式：，构造函数； ②同右构造形式：，构造函数. 题型1 指对同构训练 1．对下列不等式进行同构变形，并写出相应的同构函数. (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6). 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 (4)答案见解析 (5)答案见解析 (6)答案见解析 【详解】（1）显然，则， 同构函数为； （2）显然，则 ，同构函数为； （3）显然，则， 同构函数为； （4）显然，则， 同构函数为； （5）， 同构函数为； （6）， 同构函数为. 题型2 同构问题——积型、商型 2．若对任意，满足恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】若，则对任意，，，， 所以对任意，不等式恒成立， 若，则， 不等式可化为， 故，即， 由已知在恒成立， 令，，则，恒成立， 因为时，， 所以函数在上单调递增，又，， 所以恒成立，其中，， 即恒成立． 令，， 所以在上单调递增，则， 所以． 综上可得， 故选：B． 3．若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题设有， 当即时，不等式恒成立； 当即时，设，则， 故在上为增函数，而即 因为，故即在上恒成立， 而时，恒成立即恒成立， 故在上恒成立， 设，则， 当时，；当时，， 故在上为减函数，在上为增函数， 故，故，故， 故， 故选：B. 4．对，恒有，则实数a的最小值为 . 【答案】 【详解】令，则， 令，有 当时,，当时,，即在上单调递减，在上单调递增， ，因此，在单调递增， 则 令，则， 当时,，当时, 于是得函数在上单调递增，在上单调递减，则当时,，即得 所以实数a的最小值为 故答案为： 5．已知函数的图象在处的切线经过点. (1)求的值及函数的单调区间； (2)设，若关于的不等式在区间上恒成立，求正实数的取值范围. 【答案】(1)；函数的单调增区间为，无单调减区间. (2) 【详解】（1）函数的定义域是， . 所以在点处的切线方程为， 切线经过点，则. ，设， 是的极小值点，且， 因此在恒成立， 所以函数的单调增区间为，无单调减区间. （2）在区间上恒成立，即， 令，则，即. 由（1），只需要，也就是在区间上恒成立. 设，. ， 故是的最大值， 所求的取值范围是. 【点睛】第二问，通过换元令是构造同构式的关键，也是此题的突破口 ，有了这个突破，即可将函数值的关系转化为自变量的关系，将问题降低一层难度，也打开了后续的解思路. 题型3 同构问题——和差型 6．已知，若对任意的恒成立，则实数a的最小值为（    ） A．e B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意，，而，则， 设，则原不等式等价于，又， 即在上单调递增，于是得对任意的恒成立，即对任意的恒成立， 设，求导得，当时，，当时，， 因此在上单调递增，在上单调递减，则， 所以实数a的最小值为. 故选：B 7．已知函数，若对于任意的使得不等式成立，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，由可得，即函数的定义域为， 可得， 即， 构造函数，其中，则，故函数在上单调递增， 所以，可得，则， 即，其中，令，其中， 则，当时，，此时函数单调递减， 当时，，此时函数单调递增， 所以，，解得. 综上， 故选：A. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于将不等式变形为，结合不等式的结果构造函数，转化为函数的单调性以及参变量分离法求解. 8．若函数存在零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得，令，则， 令， 因为函数，均在上单调递增，所以在上单调递增， 所以由，得，即， 令，，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以，当时，， 所以，解得，即的取值范围为, 故选：A. 9．已知函数. （1）若曲线在处的切线方程为，求实数，的值； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1），；（2），. 【分析】 【详解】（1）由题意，，，， 则曲线在处的切线斜率，， 故曲线在处的切线方程为：， 结合题意从而有，，，所以. 所以，． （2）因为，即， 即， 构造函数，问题转化为 注意到函数在其定义域内为增函数， 故，即，所以. 设，则， 当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以当时，取极大值，即为最大值，所以的最大值为， 所以，则，故实数的取值范围为，. 题型4 利用同构比较大小 10．已知，，，则a，b的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以， 所以要比较与0的大小关系，只需比较的大小关系， 同理要比较的大小关系只需比较的大小关系， 我们构造函数， 则， 这意味着在是减函数， 从而， 所以，即. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：关键是通过适当分析，构造出恰当的函数，利用该函数单调性即可顺利比较大小. 11．已知a，b，，且，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】构造函数， 当时，单调递减， 当时，单调递增， ， ， ， 因为，所以，即， 而a，b，，所以， 故选：C 【点睛】关键点睛：根据等式特征构造函数是解题的关键. 12．已知，则a，b，c的大小顺序为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， 令，则， 当时，，函数在上单调递减， 又，所以，所以，所以. 故选：B. 13．若，，，则，，的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】构造函数，则，，， 由，令得，令得， 则在上单调递增，在上单调递减． 因为，所以，所以； 因为，所以，所以； 令，且，则， 令，， 则， 所以在上单调递增， 又，所以，所以， 因为，且，所以，所以. 故选：B 14．设，则的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令， 当时，，单调递减；当时，，单调递增； ，， ， 因为，所以， 故选：A 题型5 利用同构证明不等式 15．设函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程： (2)若有两个极值点，求的取值范围： (3)当时，求证：． 【答案】(1) (2) (3)证明见详解 【分析】 【详解】（1）当时，，则， 可得，， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）由，得，整理得， 令，则， 所以有两个极值点等价于有两个变号零点， 当时，，在上单调递增， 所以至多有一个零点，从而没有两个极值点. 当时，令，得，即在上单调递增， 令，得，即在上单调递减， 所以，由，得， 又，，在上单调递增， 所以在上有一个零点； 取，，因为在上单调递减， 所以在上有一个零点， 综上，当时，有两个零点，即有两个极值点. （3）令，当时，， 所以在上单调递增， 所以，即， 令，则当时，， 易得在上单调递减，在上单调递增， 所以，即， 所以，所以，即. 16．已知函数，． (1)讨论的单调性； (2)若方程有两根，求a的取值范围； (3)证明：当时，． 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】 【详解】（1）由题意有． 当时，，在单调递减； 当时，令，得，单调递增； 令，得，单调递减． 综上所述，当时，在单调递减； 当时，在单调递减，在单调递增． （2）由（1）知，当时，在单调递减，所以方程最多一根，故． 因为当时，在单调递减，在单调递增， 又因为，，且，， 故要使方程有两根，则， 即，得，故a的取值范围为． （3）法一：要证，即， 令，则只需证，当时，，上式显然成立； 现证当时上式成立： 由（1）知，，取，即得， 取，即可得，即得证． 法二：要证，即， 令，则只需证，令，， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 由（1）知，，则， 故，即，得证， 17．已知函数． （1）设是的极值点．求，并求的单调区间； （2）证明：当时，． 【答案】(1)a=；增区间为，减区间为．(2)证明见解析. 【分析】 【详解】（1）的定义域为，，则，解得：，故．易知在区间内单调递增，且， 由解得：；由解得：， 所以的增区间为，减区间为． （2）［方法一］：【最优解】放缩法 当时，. 设，则. 当时，； 当时，.所以是的最小值点. 故当时，.因此，当时，. ［方法二］：【通性通法】隐零点讨论 因为，所以在区间内单调递增．设，当时，，当时，，所以在区间内单调递减，在区间内单调递增，且，所以． 设，则． 所以在区间内单调递减，故，即成立． ［方法三］：分离参数求最值 要证时，即，则证成立． 令，则． 令，则，由知在区间内单调递减，从而在内单调递增，在区间内单调递减． 所以，而，所以恒成立，原命题得证． ［方法四］：隐零点讨论＋基本不等式 ，结合与的图像，可知有唯一实数解，不妨设，则．易知在区间内是减函数，在区间内是增函数．所以． 由，得． ． 当且仅当，即时，，所以． ［方法五］：异构 要证明，即证， 即证明，再证明即可． 令，． 设，则． 若时，在上恒成立，所以； 若时，当时；当时，． 所以为的极小值点，则． 因为，所以，所以． 令． 当时，；当时，，所以为的极小值点． 则，所以，即． 所以． ［方法六］： 高阶函数借位构建有界函数 ． 令，则． 令．显然为定义域上的增函数．又，故当时，，得；当时，，得．即在区间上为减函数，在区间上为增函数，故．即恒成立，而恒成立． 【整体点评】（2）方法一：利用的范围放缩，转化为求具体函数的最值，是该题的最优解； 方法二：根据函数的单调性讨论，求最值，是该类型题的通性通法； 方法三：原不等式可以通过分参转化为求具体函数的最值，也是不错的解法； 方法四：同方法二，根据函数的单调性讨论，利用基本不等式求最值，区别在于最后求最值使用的方式不一样； 方法五：利用常见的对数切线不等式异构证明，也是很好的解决方法，不过在本题中使用过程稍显繁琐； 方法六：基本类似于方法三． 18．已知函数. (1)当时，讨论的单调性； (2)当时，证明：. 【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增 (2)证明见解析. 【分析】 【详解】（1）当时，函数的定义域为，， 令，，所以在上单调递增，且， 故，在上单调递减，，在上单调递增； （2）法一（同构保值性）：要证，只需证，即 . 令，，当时，；当时，. 所以在上单调递增，在上单调递减，故， 所以时等号成立； 再令，，当时，；当时，. 所以在上单调递减，在上单调递增，故. 所以. 所以当时，，当且仅当取等，不等式得证. 法二（分而治之）：要证，只需证，即证. 由解法一可知等号成立，即，当且仅当时取等. 所以不等式左边，当且仅当时取等， 再由解法一可知，即，当且仅当时取等. 所以不等式右边，当且仅当时取等. 故当时取等，不等式得证. 题型6 利用同构解决恒成立问题 19．已知函数，（其中e是自然对数的底数），若在上恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】要使在上恒成立， 等价于在上恒成立， 令，则只需即可. 因为， 令，则， 所以在上单调递增， 又，， 所以有唯一零点，且， 所以在上单调递减，在上单调递增. 因为， 所以， 两边同时取自然对数，则有， 即， 构造函数，则， 所以函数在上单调递增， 又， 即，即， 即. 于是实数的取值范围是. 故选：D. 20．已知函数，若恒成立，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【详解】， 因为，所以，所以， 即恒成立， 令，因为在上单调递增，所以，故， 即在时恒成立即可， 设，，则，， 由得；得； 则在上单调递减，在上单调递增，则，所以， 又，所以a的取值范围为． 故答案为： 21．若关于的不等式对恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】由题意有：，又， 所以， 令，即， 又，由， 所以在上单调递增， 所以在上单调递增， 由，所以，令，即， 所以， 所以当时，，所以在单调递减， 所以，所以，又， 所以， 故答案为：. 22．若不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】，等价于， 即， 令，则原不等式等价于， ，在上单调递增，， 又，对任意的恒成立， 令，则， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减， ，，解得：， 即实数的取值范围为. 故答案为：. 23．已知函数，，若，对于任意都成立，则a的最大值为 . 【答案】 【详解】等价于，即，变形为. 设，，所以在上单调递增， 当时， ，由可得，即对任意都成立， 设，， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以的最小值为，所以，即a的最大值为. 故答案为： 24．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程. (2)当时，求的极值点与极值. (3)若不等式恒成立，求a的取值范围. 【答案】(1) (2)极小值点为，极小值为1，无极大值点 (3) 【分析】 【详解】（1）当时，，定义域为. ，，， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）令，定义域为. 当时，. . 令，即，解得. 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以在处取得极小值，此时. 所以的极小值点为，极小值为1，无极大值点. （3），定义域为，， 等价于. 令，则上述不等式等价于. 因为，所以单调递增， 所以上述不等式又等价于，即. 令，定义域为，则. 又在上，，单调递增；在上，，单调递减； 所以，所以，即. 故a的取值范围为. 题型7 利用同构解决零点问题 25．已知函数恰有4个零点，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， 令，则， ，令，得，且， 当时，，即单调递减， 当时，，即单调递增， 又，，所以函数仅有两个零点， 所以恰有4个零点，即方程和共有4个根， 令，则， 当时，，即在上单调递增， 故和至多各一个根，不合题意； 当时，，令，得， 当时，，即单调递增， 当时，，即单调递减， ，且时，，时，， 要使方程和共有4个根，则， 即，解得， 综上，实数的取值范围为. 故选：C. 26．已知，若有两个零点，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】若有两个零点，则有两个解， 等价于有两个解，因为，，所以， 令，原式等价于有两个解， 因为，则当时，所以在上单调递增， 所以有两个大于零的解. 解，可得，令， 则，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，且，的图象如图： 所以当时，有两个交点，即有两个零点. 故选：A 【点睛】方法点睛：当两个函数可以构造成相同的形式时，常用同构的思想，构造函数，将两个函数看成自变量不同时的同一函数，若函数有交点，转化为自变量有交点求解. 27．已知函数. (1)若，求的极值； (2)，若函数有两个零点，且，求证：. 【答案】(1)极大值为，无极小值； (2)证明见解析. 【分析】 【详解】（1）当时，定义域为， 求导得， 令， 求导得，当时，，当时，， 即函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，取得极大值，无极小值， 所以的极大值为，无极小值. （2）依题意，，，因为函数有两个零点，且， 而，则， 因此函数的两个零点分别是直线与函数图象的两个交点横坐标， ，当时，，当时，， 则函数在上单调递增，在上单调递减，， 而，时，恒有，时，，于是，即， 令，显然有， 则有，令， 求导得，即函数在上单调递增，， 即有，从而，又，所以. 【点睛】思路点睛：涉及双变量的不等式证明问题，将所证不等式等价转化，构造新函数，再借助导数探讨函数的单调性、极(最)值问题处理. 28．已知函数 (1)若是的极小值点，且，求的取值范围； (2)若有且仅有两个零点，求的取值范围 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）的定义域为，由，可得， ，， 则在上单调递增， 函数在上单调递减，在上单调递增，满足是的极小值点，因为，所以， 可得，则，即的取值范围是 （2）令，有且仅有两个零点，故有且仅有两个零点 ，设， 则，则为增函数 当趋近时，趋近，又， 所以在内存在唯一的零点，且， 则，即，则 函数为增函数，所以，则， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增. 当趋近时，趋近，当趋近时，趋近 ，只需满足，得， 故的取值范围为 【点睛】关键点睛：本题考查了极值问题和零点问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中利用函数的单调性和同构的思想构造得到是解题的关键. 29．已知函数的单调递增区间为． (1)求函数的图象在点处的切线方程； (2)若函数有两个零点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由题，的定义域为，， 由于函数的单调递增区间为， 因此函数在处取得极值， 故，解得． 因此，令，解得， 当时，，在单调递增， 当时，，在单调递减，符合题意， 故， 所以函数的图象在点处的切线方程为，即． （2）由（1）知， 则， 令，得． 令， 则，整理得． 因为在上单调递增，在上单调递减，且当时，，当时，， 所以函数的最大值为，即． 若有两个零点，则直线与函数的图象有两个交点，此时, 令，则， 所以函数在上单调递增，且当时，， 易知若有两个零点，则直线与函数的图象有一个交点， 因此，所以实数的取值范围是． 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $