6.3.1平面向量基本定理 导学案-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.3.1平面向量基本定理 导学案（教师版） 教材知识提炼： 【1】平面向量的基本定理 平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线的向量，那么对该平面内的任意一个向量，存在唯一的一对实数，，使. 【2】基底：把不共线的向量，叫作表示这一平面内所有向量的一组基底，记作. 注意：(1)基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为基底．同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的． (2)基底给定时，分解形式唯一．λ1，λ2是被唯一确定的数值． (3)是同一平面内所有向量的一个基底，则当与共线时，λ2＝0；当与共线时，λ1＝0；当时，λ1＝λ2＝0. (4)由于零向量与任何向量都是共线的，因此零向量不能作为基底中的向量． 【3】题目中是主要应用： （1）考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否非零且不共线．此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来．　 （2）用基底表示向量的依据和模型 (1)依据： ①向量加法的三角形法则和向量加法的平行四边形法则； ②向量减法的几何意义，数乘向量的几何意义． (2)模型： 　 （3）用向量解决平面几何问题的一般步骤 ①选取不共线的两个平面向量为基底． ②将相关的向量用基向量表示，将几何问题转化为向量问题． ③利用向量知识进行向量运算，得向量问题的解． ④再将向量问题的解转化为平面几何问题的解．　　 基于教材的训练： 一、单选题 1．设为平面内的一个基底，则下面四组向量中不能作为基底的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【知识点】已知向量共线（平行）求参数、基底的概念及辨析 【分析】根据基底的定义，结合共线向量的性质判断即可. 【详解】平面向量的基底由两个不共线的非零向量组成， C选项中，，即和为共线向量， 所以它们不能作为基底． 其他选项中的两个向量都不共线，所以可以作为基底． 故选：C 2．若是平面内一组不共线的非零向量，则下列也可以作为一组基底向量的为（   ） ①和                ②和 ③和                    ④和 A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】B 【知识点】平面向量共线定理的推论、基底的概念及辨析 【分析】根据题意，利用向量的共线定理，以及基底向量的定义，逐个判定，即可求解. 【详解】对于①中，由和，可得， 所以和是共线向量，不能作为一组基底向量； 对于②中，设，可得，方程组无解， 所以和不共线，可以作为一组基底向量； 对于③中，设，可得，方程组无解， 所以和不共线，可以作为一组基底向量； 对于④中，设，可得，解得 所以和是共线向量，不能作为一组基底向量. 故选：B. 3．已知，则下列等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用基底表示向量 【分析】利用平面向量的线性运算求解. 【详解】因为 ， 所以， 即 ， 所以， 故选：C 4．已知点G为的重心，若，则（   ） A．0 B．1 C． D．3 【答案】B 【知识点】利用平面向量基本定理求参数、平面向量基本定理的应用 【分析】根据重心性质以及平面向量不共线，解出参数即可求得结果. 【详解】如下图所示，延长交于点， 易知为的中点，且 又， 因为，且不共线，所以可知； 因此. 故选：B 5．如图，在中，，，则下列说法正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用基底表示向量、向量的线性运算的几何应用、平面向量基本定理的应用 【分析】根据题意，通过向量的基本定理，用已知向量表示未知向量，即可求解. 【详解】由题意可得，，，所以，， 所以，因为， 所以, 所以 故选： 6．在平行四边形中，点是边上的点，，点是线段的中点，若，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【知识点】用基底表示向量、向量的线性运算的几何应用、利用平面向量基本定理求参数、向量加法法则的几何应用 【分析】以向量为一组基底，利用向量的加法和数乘运算表示出即可. 【详解】由题可得，向量不共线，则以向量为一组基底， 所以，则. 故选：D. 7．如图，在△ABC中，，，P为CD上一点，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用基底表示向量、利用平面向量基本定理求参数 【分析】利用，可得，结合已知和三点共线，即可求出的值. 【详解】因为，所以，所以， 因为，所以， 因为三点共线，所以，解得. 故选：C. 8．在中，为边上一点，且满足，设，，若存在实数，使，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】平面向量基本定理的应用 【分析】把用得到，， ，再根据的范围即可求解. 【详解】以为基底， ， 又，所以由平面向量基本定理可知，， 则，又，所以． 故选：C 二、多选题 9．（多选）如图，点、、分别为的边、、的中点，且，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【知识点】用基底表示向量 【分析】利用平面向量的线性运算逐项判断即可. 【详解】在中，，故A正确； ，故B正确； ，故C正确； ，故D不正确． 故选：ABC． 10．如图，在梯形中，，．且 为的中点．若 ，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】ACD 【知识点】用基底表示向量、向量的线性运算的几何应用、向量减法的法则、向量加法的法则 【分析】由平面向量运算法则逐项计算即可. 【详解】对于A：，故选项 A 正确； 对于B：由 知 在 上，且 ，则 ， 计算得：，故选项B错误； 对于C： 为 中点，则 ，于是： ，故选项C正确； 对于D： ，其中 ， 则：，故选项 D 正确. 故选：ACD 11．在 中，点 在边 所在的直线上，且 ，若 ，则 的值可能为（ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【知识点】用基底表示向量、利用平面向量基本定理求参数 【分析】分两种情况，分别画出图形，利用平面向量基本定理求解即可. 【详解】由题意，当点位于如图所示的位置时，， 此时，那么. 由题意，当点位于如图所示的位置时，， 此时，那么. 故选：BC. 三、填空题 12．在中，，，，D为BC中点，则 ． 【答案】 【知识点】用基底表示向量、用定义求向量的数量积 【分析】利用基底向量表示向量，然后由向量的数量积公式求得结果. 【详解】∵D为BC中点，∴， ∵，∴，即，∴， ∴. 故答案为：. 13．如图：在平行四边形中，、分别为边、上的点，且，，连接，交于点，若，则 .    【答案】 【知识点】利用平面向量基本定理求参数 【分析】设，利用基底表示，利用算两次思想以及平面向量基本定理可得. 【详解】由题意可得，， 因为三点共线，所以设， 则， 则， 由平面向量基本定理可得，，得. 故答案为： 14．在中，，P是BN上的一点，若，则实数m的值为 .    【答案】 【知识点】用基底表示向量、平面向量共线定理的推论 【分析】先根据得到，从而可得，再根据共线定理的推论，即可得到的值. 【详解】因为，所以，又， 所以， 因为点三点共线，所以，解得. 故答案为： 四、解答题 15．如图，在中，为边上的点，且，是的中点， 设，. (1)试用、表示； (2)若|，，且与的夹角为，求. 【答案】(1) (2) 【知识点】已知数量积求模、用基底表示向量 【分析】（1）由题意得出，结合平面向量的减法可得出关于、的表达式； （2）利用平面向量的基本定理得出关于、的表达式，利用平面向量数量积的运算性质可求得的值. 【详解】（1）在中，为边上的点，且，则， 所以，解得. （2）因为为的中点，所以， 所以 . 16．如图，在中，点满足，是线段的中点，过点的直线与线段分别交于点．    (1)若，请用向量来表示向量； (2)若，求的最小值． 【答案】(1); (2) 【知识点】用基底表示向量、基本不等式“1”的妙用求最值、利用平面向量基本定理求参数 【分析】（1）根据图形，利用向量的加减数乘运算即可得到向量关于的表达式； （2）由推得，结合题设条件和基本不等式即可求得答案. 【详解】（1）由图和题设条件可得： ； . （2）由图和可得：，即（*）， 因， 当时，点与点重合，显然不合题意，同理时，也不合题意.则， 由（*）可得：，即， 因三点共线，故， 又因， 当且仅当时，即时，等号成立， 即时，的最小值为. 17．如图，已知一个扇形，半径，，点在圆弧上运动，若，求的最大值．    【答案】2 【知识点】平面向量基本定理的应用、由向量线性运算解决最值和范围问题、已知向量共线（平行）求参数 【分析】利用三点共线的判定条件和同向向量转化公式可得，把的最大值转化为的最小值即可． 【详解】设与相交于点，可得． 因为三点共线，所以． 因为的最小值为点到直线的距离，因为半径，, 所以,此时， 所以的最大值为2． 18．如图，在直角梯形中，，，，，，为的中点，点满足，.   (1)用与表示； (2)求的取值范围； 【答案】(1) (2) 【知识点】用基底表示向量、数量积的运算律 【分析】（1）根据给定条件，利用向量的线性运算求解即得. （2）利用向量的线性运算、数量积的运算即可求出范围. 【详解】（1）在直角梯形中，，，为的中点， 所以. （2）由，得，由，得， 因此，而， 所以. 19．如图，平行四边形中，点是的中点，，，设，． (1)用，表示，； (2)若，，求的余弦值． 【答案】(1)， (2) 【知识点】已知数量积求模、数量积的运算律、向量夹角的计算、用基底表示向量 【分析】（1）结合图形，利用平面向量的线性运算即可求解； （2）先根据平面向量模的求法及向量数量积的运算法则求出 ，；再根据向量夹角的求法即可求解. 【详解】（1）由平行四边形性质可得：. 因为点是的中点， 所以. 又因为，， 所以， . （2）因为，， 所以， . 又因为， ， 所以 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.3.1平面向量基本定理 导学案（学生版） 教材知识提炼： 【1】平面向量的基本定理 平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个 的向量，那么对该平面内的 向量， 的一对实数，，使. 【2】基底：把 的向量，叫作表示这一平面内 向量的一组基底，记作. 注意：(1)基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为基底．同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的． (2)基底给定时，分解形式唯一．λ1，λ2是被唯一确定的数值． (3)是同一平面内所有向量的一个基底，则当与共线时，λ2＝0；当与共线时，λ1＝0；当时，λ1＝λ2＝0. (4)由于零向量与任何向量都是共线的，因此零向量不能作为基底中的向量． 【3】题目中是主要应用： （1）考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否非零且不共线．此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来．　 （2）用基底表示向量的依据和模型 (1)依据： ①向量加法的三角形法则和向量加法的平行四边形法则； ②向量减法的几何意义，数乘向量的几何意义． (2)模型： 　 （3）用向量解决平面几何问题的一般步骤 ①选取不共线的两个平面向量为基底． ②将相关的向量用基向量表示，将几何问题转化为向量问题． ③利用向量知识进行向量运算，得向量问题的解． ④再将向量问题的解转化为平面几何问题的解．　　 基于教材的训练： 一、单选题 1．设为平面内的一个基底，则下面四组向量中不能作为基底的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 2．若是平面内一组不共线的非零向量，则下列也可以作为一组基底向量的为（   ） ①和                ②和 ③和                    ④和 A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 3．已知，则下列等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 4．已知点G为的重心，若，则（   ） A．0 B．1 C． D．3 5．如图，在中，，，则下列说法正确的是（    ）    A． B． C． D． 6．在平行四边形中，点是边上的点，，点是线段的中点，若，则（    ） A． B．1 C． D． 7．如图，在△ABC中，，，P为CD上一点，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 8．在中，为边上一点，且满足，设，，若存在实数，使，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（多选）如图，点、、分别为的边、、的中点，且，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 10．如图，在梯形中，，．且 为的中点．若 ，，则（    ）    A． B． C． D． 11．在 中，点 在边 所在的直线上，且 ，若 ，则 的值可能为（ ） A． B． C． D． 三、填空题 12．在中，，，，D为BC中点，则 ． 13．如图：在平行四边形中，、分别为边、上的点，且，，连接，交于点，若，则 .    14．在中，，P是BN上的一点，若，则实数m的值为 .    四、解答题 15．如图，在中，为边上的点，且，是的中点， 设，. (1)试用、表示； (2)若|，，且与的夹角为，求. 16．如图，在中，点满足，是线段的中点，过点的直线与线段分别交于点．    (1)若，请用向量来表示向量； (2)若，求的最小值． 17．如图，已知一个扇形，半径，，点在圆弧上运动，若，求的最大值．    18．如图，在直角梯形中，，，，，，为的中点，点满足，.   (1)用与表示； (2)求的取值范围； 19．如图，平行四边形中，点是的中点，，，设，． (1)用，表示，； (2)若，，求的余弦值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $