精品解析：上海市莘庄中学2025-2026学年第一学期期末高二数学试卷

莘庄中学2025-2026学年第一学期高二年级数学期末 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 已知向量，若，则实数__________. 2. 已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，则其侧面积为______________. 3. 直线与圆相交所得的弦长为______． 4. 已知是正方形，点是的中点，点在对角线上，且则的大小为__________. 5. 函数的驻点为_________. 6. 双曲线的两条渐近线夹角的余弦值为________． 7. 已知函数，则__________． 8. 设为抛物线上任意一点，若的最小值为，则的值为____________． 9. 若在上单调递增，则的取值范围是________． 10. 已知双曲线的左焦点为，右焦点为.若双曲线的右支上存在一点，使得直线与以双曲线的实轴为直径的圆相切，切点为线段的中点，则该双曲线的离心率为________. 11. 某同学画“切面圆柱体”（用与圆柱底面不平行的平面切圆柱，底面与切面之间的部分叫做切面圆柱体），发现切面与圆柱侧面的交线是一椭圆（如图所示）．若该同学所画的椭圆的离心率为，则“切面”所在平面与底面所成锐二面角的大小为__________． 12. 定义在上的函数满足，且，当不等式有解，则正实数的最大值为______. 二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13. “”是“方程表示的曲线是双曲线”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 已知函数的导函数为，若存在使得，则称是的一个“巧值点”．下列四个函数中，没有“巧值点”的是（ ）. A. B. C. D. 15. 函数的图象如图所示，为函数的导函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 16. 已知圆锥曲线的对称中心为原点，若对于上的任意一点，均存在上两点，，使得原点到直线，和的距离都相等，则称曲线为“完美曲线”．现有如下两个命题： ①任意椭圆都是“完美曲线”；②存在双曲线是“完美曲线”． 下列判断正确的是（ ） A. ①是真命题，②是假命题 B. ①是假命题，②是真命题 C. ①②都是真命题 D. ①②都是假命题 三、解答题（本大题共5题，共78分） 17. 已知，动点满足，设动点的轨迹为曲线. （1）求曲线的标准方程； （2）求过点且与曲线相切的直线的方程. 18. 如图，在四棱锥中平面ABCD，E为PD的中点，，，． （1）求证：平面平面 （2）求直线EC与平面PAC所成角的正弦值． 19. 为响应国家“乡村振兴”政策，某村在对口帮扶单位的支持下拟建一个生产农机产品的小型加工厂.经过市场调研，生产该农机产品当年需投入固定成本万元，每年需另投入流动成本（万元）与成正比（其中（台）表示产量），并知当生产台该产品时，需要流动成本万元，每件产品的售价与产量（台）的函数关系为（万元）（其中）.记当年销售该产品台获得的利润（利润销售收入生产成本）为万元. （1）求函数的解析式； （2）当产量为何值时，该工厂的年利润最大？最大利润是多少？（结果精确到0.1） 20. 已知双曲线，是双曲线上一点. （1）若椭圆以双曲线的顶点为焦点，长轴长为，求椭圆的标准方程； （2）设是第一象限中双曲线渐近线上一点，是双曲线上一点，且，求的面积（为坐标原点）； （3）当直线：（常数）与双曲线的左支交于、两点时，分别记直线、的斜率为、，求证：为定值. 21. 若函数在处取得极值，且（常数），则称是函数的“相关点”. （1）若函数存在“相关点”，求的值； （2）若函数（常数）存在“1相关点”，求的值： （3）设函数的表达式为（常数且），若函数有两个不相等且均不为零的“2相关点”，过点存在3条直线与曲线相切，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 莘庄中学2025-2026学年第一学期高二年级数学期末 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 已知向量，若，则实数__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据平面向量共线的坐标公式计算即可. 【详解】因为，， 所以，解得. 故答案为：. 2. 已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，则其侧面积为______________. 【答案】 【解析】 【分析】根据圆柱的侧面积公式，即可求得该圆柱的侧面积，得到答案. 【详解】由题意，圆柱的底面半径为1，母线长为2， 根据圆柱的侧面积公式，可得其侧面积为. 【点睛】本题主要考查了圆柱的侧面积公式的应用，其中解答中熟记圆柱的侧面积公式，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 3. 直线与圆相交所得的弦长为______． 【答案】 【解析】 【分析】首先确定圆心和半径，应用点线距离公式求圆心到直线的距离，再利用几何法求相交弦长即可. 【详解】由，即， 所以圆心为，半径为， 所以到的距离， 综上，直线与圆的相交弦长为. 故答案为： 4. 已知是正方形，点是的中点，点在对角线上，且则的大小为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，求出点的坐标，利用数量积即可求解. 【详解】以点为坐标原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，设， 则有，由有，所以， 所以，所以， 即，所以， 故答案为：. 5. 函数的驻点为_________. 【答案】 【解析】 【详解】由题意得，，令，解得或（舍）， 则有驻点 故答案为：. 6. 双曲线的两条渐近线夹角的余弦值为________． 【答案】##0.6 【解析】 【分析】根据双曲线方程得出两条渐近线方程，由两方程斜率与倾斜角的关系结合两直线夹角范围得出夹角，根据两角差的正切公式得出夹角的正切值，即可由同角三角函数关系结合范围得出答案. 【详解】由双曲线方程可得，，，且焦点在轴上， 则双曲线的两条渐近线为， 作大致图形如下， , 的方程为， ,则， ， 两直线的夹角范围为， 为两条渐近线的夹角， ， 则由，解得， ， ， 故答案为：. 7. 已知函数，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】首先计算，当时，即可求值. 【详解】， ， . 故答案为： 8. 设为抛物线上任意一点，若的最小值为，则的值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】依题意可得，则，结合二次函数的性质计算可得. 【详解】因为为抛物线上任意一点，所以，， 所以， 所以当时取得最小值，依题意可得，所以. 故答案为： 9. 若在上单调递增，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】求得导函数，根据导函数在给定区间上大于等于0恒成立，求得的取值范围. 【详解】∵，∴， ∵函数在区间上单调递增， ∴在区间上恒成立， 由于在区间上单调递增， ∴必须且只需 解得， 故答案为：. 10. 已知双曲线的左焦点为，右焦点为.若双曲线的右支上存在一点，使得直线与以双曲线的实轴为直径的圆相切，切点为线段的中点，则该双曲线的离心率为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，求得，再结合双曲线定义，求得，结合△为直角三角形，利用勾股定理，建立的等量关系，进而求解即可. 【详解】设中点为，连接，作图如下所示： 在△中，因为分别为的中点，故//，且； 由题可知，，且，故，且； 根据双曲线定义可知，，又， 故在△中，由勾股定理，也即， 整理得，故，也即该双曲线的离心率为. 故答案为：. 11. 某同学画“切面圆柱体”（用与圆柱底面不平行的平面切圆柱，底面与切面之间的部分叫做切面圆柱体），发现切面与圆柱侧面的交线是一椭圆（如图所示）．若该同学所画的椭圆的离心率为，则“切面”所在平面与底面所成锐二面角的大小为__________． 【答案】 【解析】 【分析】如图，“切面”所在平面与底面所成的角为，设圆的半径为，，，，由离心率求得，从而可得的余弦值，得角的大小． 【详解】如图，“切面”所在平面与底面所成的角为，设圆的半径为， 则,,, 由题意得，即， 所以，即， 所以，即. 即“切面”所在平面与底面所成锐二面角的大小为. 故答案为：． 12. 定义在上的函数满足，且，当不等式有解，则正实数的最大值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据导数法则可知，由求得，然后分离参数得，令，利用导数法求其最值即可得解. 【详解】， ， 在有解，， 令，则， 增 极大值 减 故答案为： 二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13. “”是“方程表示的曲线是双曲线”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线的标准方程，结合充分、必要条件的概念即可求解. 【详解】若，则，所以方程表示双曲线； 若方程表示双曲线，则，解得或， 所以“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件. 故选：A 14. 已知函数的导函数为，若存在使得，则称是的一个“巧值点”．下列四个函数中，没有“巧值点”的是（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意得，函数若存在巧值点，则有，分别对四个选项求导后令，若有解，则说明此函数有巧值点，若无解，则说明此函数没有巧值点，额外的，对于A选项，需要使用零点存在性定理来证明有解. 【详解】A，，令，即， 设，易得是在上连续不间断的曲线， 且有，， 由零点存在性定理，在上必有零点，故函数有巧值点； B，，令，即，即，此时无解，故函数没有巧值点； C，，令，即，解得，故函数有巧值点； D，，令，即，解得，故函数有巧值点； 故选：B 15. 函数的图象如图所示，为函数的导函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先判断的符号，由此求得不等式的解集. 【详解】由图象可知，在区间上， 在区间上， 所以不等式的解集为. 故选：C 16. 已知圆锥曲线的对称中心为原点，若对于上的任意一点，均存在上两点，，使得原点到直线，和的距离都相等，则称曲线为“完美曲线”．现有如下两个命题： ①任意椭圆都是“完美曲线”；②存在双曲线是“完美曲线”． 下列判断正确的是（ ） A. ①是真命题，②是假命题 B. ①是假命题，②是真命题 C. ①②都是真命题 D. ①②都是假命题 【答案】A 【解析】 【分析】对于命题①，通过考虑以原点为圆心的圆与椭圆上直线的位置关系来判断； 对于命题②，通过取双曲线顶点，分析以原点为圆心的圆与双曲线相关直线的位置关系来判断. 【详解】判断命题①： 已知过椭圆上任意一点作以原点为圆心的圆的切线，分别交椭圆于，两点，连接. 根据直线与圆的位置关系，当与圆相切时，满足给定条件. 当与圆相交时，因为圆的圆心是固定的原点，我们可以通过缩小圆的半径，使得圆逐渐靠近，直到与圆相切；同理，当与圆相离时，扩大圆的半径，也能使圆靠近直至相切.所以从直线与圆位置关系的动态调整角度可知，一定能找到合适的圆半径使得与圆相切，故①正确. 判断命题②： 当在双曲线顶点时，过作圆的切线，交双曲线于另外两点，. 由双曲线的性质可知，双曲线在顶点附近的形状特点决定了，过顶点作圆的切线与双曲线相交得到的线段，其整体位置与以原点为圆心的圆是相离的.这是因为双曲线的渐近线性质以及顶点处的曲线走向，使得从顶点出发的切线与双曲线相交形成的线段不会与圆相切，所以②不正确. 故选：A. 三、解答题（本大题共5题，共78分） 17. 已知，动点满足，设动点的轨迹为曲线. （1）求曲线的标准方程； （2）求过点且与曲线相切的直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）设，根据得到方程，整理得到曲线的标准方程； （2）曲线是以为圆心，1为半径的圆，当斜率不存在时，满足要求，当斜率存在时，设出直线方程，利用圆心到直线距离等于半径得到方程，求出答案. 【小问1详解】 设，则， 故， 化简整理得， 故曲线的标准方程为； 【小问2详解】 曲线是以为圆心，1为半径的圆， 当过点的直线斜率不存在时，直线方程为， 此时到的距离为1，故与圆相切，满足要求， 当过点的直线斜率存在时，设切线方程为，即， 圆心到的距离， 解得，故切线方程为，即， 综上，过点且与曲线相切的直线方程为或. 18. 如图，在四棱锥中平面ABCD，E为PD的中点，，，． （1）求证：平面平面 （2）求直线EC与平面PAC所成角的正弦值． 【答案】（1）证明：因为平面，平面，所以， 由题知，，，所以，又 由余弦定理得， 所以，， 即，因为平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）将问题转化为证明平面，利用已知，结合勾股定理即可得证； （2）利用（1）中结论判断线面角，结合直角三角形性质将所求转化为即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，在平面内的射影为，所以在平面内的射影也为， 故直线EC与平面PAC所成角即为. 因为，所以， 所以，又因为E为PD的中点，所以， 所以，所以. 19. 为响应国家“乡村振兴”政策，某村在对口帮扶单位的支持下拟建一个生产农机产品的小型加工厂.经过市场调研，生产该农机产品当年需投入固定成本万元，每年需另投入流动成本（万元）与成正比（其中（台）表示产量），并知当生产台该产品时，需要流动成本万元，每件产品的售价与产量（台）的函数关系为（万元）（其中）.记当年销售该产品台获得的利润（利润销售收入生产成本）为万元. （1）求函数的解析式； （2）当产量为何值时，该工厂的年利润最大？最大利润是多少？（结果精确到0.1） 【答案】（1） （2）台，万元 【解析】 【分析】（1）先通过待定系数法求解出与的关系，然后根据利润定义表示出即可； （2）利用导数分析的单调性，从而可求的最大值以及对应的值. 【小问1详解】 设，代入可得，所以， 所以， 所以. 【小问2详解】 因为， 所以， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以万元， 所以当时有最大利润为万元. 20. 已知双曲线，是双曲线上一点. （1）若椭圆以双曲线的顶点为焦点，长轴长为，求椭圆的标准方程； （2）设是第一象限中双曲线渐近线上一点，是双曲线上一点，且，求的面积（为坐标原点）； （3）当直线：（常数）与双曲线的左支交于、两点时，分别记直线、的斜率为、，求证：为定值. 【答案】（1） （2） （3） 设， 联立可得， 所以，， 且，即， 又因为为左支上两点，所以，所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以为定值. 【解析】 【分析】（1）先确定双曲线的顶点坐标，由此求解出的值，结合的值可求，则椭圆方程可求； （2）先设出点坐标，然后表示出点坐标，将点坐标代入双曲线可求坐标，计算出以及到的距离则可求； （3）设出坐标，联立直线与双曲线得到对应韦达定理形式，然后将表示为坐标形式，结合韦达定理完成证明. 【小问1详解】 因为双曲线的方程为，所以双曲线的左右顶点为， 设椭圆方程为，所以， 所以，所以椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 因为双曲线的渐近线方程为，不妨设， 又，所以，所以， 又因为是双曲线上一点，所以，解得， 所以，所以， 又到直线的距离， 所以； 【小问3详解】 略 【点睛】关键点睛：本题考查椭圆与双曲线性质的综合运用，其中涉及共焦点问题、三角形面积问题以及定值问题，难度较大.解答本题第三问定值问题的关键在于：利用联立思想得到的坐标的韦达定理形式去化简. 21. 若函数在处取得极值，且（常数），则称是函数的“相关点”. （1）若函数存在“相关点”，求的值； （2）若函数（常数）存在“1相关点”，求的值： （3）设函数的表达式为（常数且），若函数有两个不相等且均不为零的“2相关点”，过点存在3条直线与曲线相切，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）函数在 上单调递减，在上单调递增，可得为函数的极值点，进而结合题意即可求解； （2）由题意可得，即得，设，结合导数可得函数在上单调递增，且，进而求解； （3）由，可得，设，为函数的“2相关点”，则，，进而可得，，，故，再结合导数的几何意义求解即可. 【小问1详解】 函数的对称轴为， 且函数在 上单调递减，在上单调递增， 所以为函数的极值点， 因为函数存在“相关点”， 由题意可得，，解得. 【小问2详解】 由，则 ， 由题意可得，，即，即， 设，则， 所以函数在上单调递增，且， 所以方程存在唯一实数根1，即，即， 此时，则， 令，即；令，即， 即函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的极值点为1，所以1是函数的“1相关点”， 所以. 【小问3详解】 由，得，即， 设，为函数的“2相关点”，则， 另一方面，，所以， 所以且，解得，，， 故，则， 因为过点存在3条直线与曲线相切， 设其中一个切点为，则， 整理得， 设，且函数有三个不同的零点， 则， 令，则；令，则或. 所以函数在和上单调递减，在上单调递增， 所以，即，即实数的取值范围为. 【点睛】方法点睛:新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $