18.1 分式及其基本性质 寒假巩固2025-2026学年人教版数学八年级上册

人教版（2024）八年级上册 18.1 分式及其基本性质 寒假巩固 【题型1】分式的辨别 【典型例题】下列式子，不是分式的是（　　） A. B. C. D. 下列式子中是分式的是（ ） A. B. C. D. 下列各式中是分式的是（ ） A. B. C. D. 【举一反三3】按一定规律排列的式子：﹣，，﹣，，……第n个式子是 　                  　． 【举一反三4】下列各式中中分式 有　 　个． 【举一反三5】在式子，，（m+n），，，，xy，，﹣4x中，是整式的有哪些？是分式的有哪些？ 【举一反三6】将下列式子表示为分式： （1）3÷x； （2）2ax÷by； （3）（x2+1）÷x； （4）2x÷（3x+5）． 【题型2】分式有意义的条件 【典型例题】下列各式中，不论字母取何值时分式都有意义的是（　　） A. B. C. D. 【举一反三1】无论a取何值，下列分式总有意义的是（　　） A. B. C. D. 【举一反三2】要使分式有意义，x应满足的条件是　　　　. 如果有意义，那么的取值范围是      ． 【举一反三4】求下列分式有意义的x的取值范围： （1）； （2）； （3）． 【题型3】分式无意义的条件 当时，分式无意义，则所表示的代数式可以是（ ） A. B. C.x D.3x 若分式 无意义，则的值为（ ） A. B. C. D. 【举一反三2】要使分式有意义，则x的取值应满足（　　） A.x＝2024 B.x≠2024 C.x＞2024 D.x＜2024 【举一反三3】若当x＝﹣1时，分式无意义，则a的值为 　     　． 【举一反三4】已知：式子．当m为何值时，该式无意义？ 【举一反三5】当x为何值时，分式无意义？ 【题型4】分式值为0的条件 【典型例题】已知x＝1时，分式无意义；x＝4时，分式的值为0，则a+b的值为（　　） A.2 B.﹣2 C.1 D.﹣1 【举一反三1】当x=2时，下列各式的值为0的是（　　） A. B. C. D. 如果分式 的值为0，那么x的值为          . 【举一反三3】当x＝　   　时，分式的值为0． 【举一反三4】如果分式无意义，的值为0，求x﹣2y的值． 【举一反三5】当x取什么值时，分式．（1）没有意义？（2）有意义？（3）值为零？ 【题型5】求分式的值 【典型例题】若分式的值不存在，则x的值为（　　） A.﹣1 B.2 C.﹣2 D.1 【举一反三1】如果分式中的x＝2、y＝1，那么这个分式的值（　　） A.3 B.4 C.5 D.6 【举一反三2】若关于x的不等式（m+2）x＞2m+4的解集为x＜2，且分式的值为整数，则满足上述条件的整数m的值是 　     　． 【举一反三3】（1）若a、b互为相反数，c、d互为倒数，并且m的立方等于它的本身．求+cd的值． （2）已知当x＝﹣1时，ax3﹣bx+c＝5，则当x＝﹣1时，求式子7+ax4﹣bx2﹣c的值． 【题型6】由分式值的正负确定字母的取值范围 【典型例题】已知a，b，c，d都是正数，且|x1+a|+|x2+b|+|x3+c|+|x4+d|＝0，则的值（　　） A.正数 B.0 C.负数 D.负数或0 【举一反三1】若分式的值为正，则x的取值范围为(　　) A.x≥－ B.x≤－ C.x>－且x≠0 D.x＜－ 【举一反三2】若分式的值为正数，则a的取值范围是(　　) A.a>3 B.a≠2 C.a<2 D.a>3或a<2 【举一反三3】若使分式的值是整数，则所有符合条件的整数m的和为　　　　. 阅读下列材料：我们知道，分子比分母小的数叫作“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫作“假分数”.类似地，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”. 如：，这样的分式就是假分式：再如：，这样的分式就是真分式， 假分数可以化成带分数1＋的形式，类似地，假分式也可以化为带分式.如：＝1－. 解决下列问题： (1)分式是　　　　；(填“真分式”或“假分式”) (2)假分式可化为带分式的形式为　　　　　　　　　　　　　； (3)如果分式的值为整数，求满足条件的整数x的值； (4)若分式的值为m，则m的取值范围是　　　　　　　.(直接写出结果) 【举一反三5】阅读例题，尝试解决下列问题： (1)平行运用：解不等式x2－9>0； (2)类比运用：若分式 的值为负数，求x的取值范围． 【题型7】分式中规律型问题 已知一列数，，…，它们满足关系式，，，，当时，则等于（ ） A. B. C. D. 【举一反三1】给定下面一列分式：，，，……，（其中）根据你发现的规律，其中第7个分式应是（    ） A. B. C. D. 【举一反三2】已知：关于x的方程的两个解为x1＝a，x2＝，方程的两个解为x1＝a，x2＝，方程的两个解为x1＝a，x2＝，则关于x的方程的两个解为              ． 【举一反三3】观察下列等式，，，…根据其中的规律，猜想       （用含的代数式表示）． 【举一反三4】观察下列等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， …… 请解答下列问题： (1)按以上规律列出第个等式： ； (2)用含有的代数式表示第个等式并证明（为正整数）． 【举一反三5】观察下列等式： ；① ；② ；③ … (1)请写出第四个等式：_____________； (2)观察上述等式的规律，猜想第个等式（用含的式子表示），并验证其正确性． 【题型8】用分式表示实际问题中的量 【典型例题】某校修建一条400米长的跑道，开工后每天比原计划多修10米，结果提前完成了任务．设原计划每天修x米，那么原计划完成任务所用的时间是（） A. B. C. D. 【举一反三1】已知甲种糖果每千克售价为m元，乙种糖果每千克售价为n元，取甲种糖果a千克和乙种糖果b千克，混合后的糖果每千克售价为（　　） A. B. C. D. 【举一反三2】为美化城市环境，计划种植树木10万棵，由于志愿者的加入，实际每天种植比原计划多20%，结果提前5天完成任务，设原计划每天种植树木x万棵．根据题意“提前5天完成任务”可用式子表示为（　　）天. A.- B.- C.- D.- 【举一反三3】体育锻炼能促进青少年享受乐趣、增强体质、健全人格、锻炼意志．某校积极开展“阳光体育”活动．在一次体育活动中，小超和小明进行1000米测试，小超的速度是小明的1.25倍，小超比小明快30秒到达终点．若设小明的速度是x米/秒，填空： （1）小超的速度是              米/秒， （2）小超到达终点所用时间为       秒，小明到达终点所用时间为       秒. 【举一反三4】《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为x天，请填写下列要求： （1）根据题意可知慢马的速度为      ，快马的速度为       ， （2）再根据快马的速度是慢马的倍，用慢马的速度表示快马的速度为          . 【举一反三5】列代回答下列问题： （1）打字员要打一份12000字的文件，第一天她打字2h，打字速度为w字/min，第二天打字速度比第一天快了10字/min，两天打完全部文件，第二天她打字用了多长时间？ （2）某村种植了m hm2玉米，总产量为n kg；水稻的种植面积比玉米的种植面积多p hm2，水稻的总产量比玉米总产量的2倍多q kg．写出表示玉米和水稻的单位面积产量（单位：kg/hm2）的式子． （3）有四块小场地，第一块是边长为a米的正方形，第二块是边长b米的正方形，其余两块都是长a米，宽b米的长方形．另有一块大长方形场地，它的面积等于上面四块场地面积的和，它的长为2（a+b）米，用最简单的式子表示出大长方形的宽． 【举一反三6】列式表示下列各量： （1）某村有n个人，耕地40hm2，则人均耕地面积为　    　hm2． （2）△ABC的面积为S，BC边的长为a，则高AD为　  　． （3）一辆汽车b h行驶了a km，则它的平均速度为　   　km/h；一列火车行驶a km比这辆汽车少用1h，则它的平均速度为　　    km/h． 【题型9】判断分式变形是否正确 若把变形为，则下列方法正确的是 A.分子与分母同时乘 B.分子与分母同时除以 C.分子与分母同时乘 D.分子与分母同时除以 【举一反三1】根据分式的基本性质可知，＝（　　） A.a2 B.b2 C.ab D.ab2 【举一反三2】，，（　　）中应填入为　 　，　 　． 【举一反三3】根据分式的基本性质填空： （1）； （2）； （3）； （4）． 【题型10】分式的分子、分母及分式本身正负号变化规律 【典型例题】下列分式中，与分式的值相等的是（　　） A. B. C.﹣ D.﹣1 【举一反三1】下列变形正确的是(　　) A.＝－ B.＝ C.＝ D.＝ 【举一反三2】与分式相等的是（　　） A. B.﹣ C. D. 【举一反三3】不改变分式的值，将分式的分子与分母的最高次项的系数化为正数． （1）＝　                  　 （2）＝　                  　． 【举一反三4】不改变分式的值，使分式的分子和分母的最高次项的系数是正数　                  　． 不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“－”号. (1)；(2)；(3)；(4). 不改变分式的值，使分式的分子和分母的最高次项的系数均为正数． (1)； (2). 【题型11】不改变分式值将分式分子与分母各项系数化为整数 【典型例题】下列各式从左到右的变形中正确的是（　　） A.＝ B. C.﹣＝ D. 【举一反三1】不改变分式的值，将分式中的分子与分母的各项系数化为整数，正确的是（　　） A. B. C. D. 【举一反三2】不改变分式的值，把分子、分母中各项系数化为整数，结果是（　　） A. B. C. D. 【举一反三3】不改变分式的值，将分式的分子、分母的各项系数都化为整数：　                  　． 【举一反三4】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母中各项的系数化为整数． （1） （2）． 【题型12】将分式分子与分母中字母扩大或缩小后判断分式值的变化 【典型例题】等式中的未知的分母是（　　） A.a2+1 B.a2+a+1 C.a2+2a+1 D.a﹣1 【举一反三1】若分式中的x和y都扩大为原来的3倍后，分式的值不变，则A可能是（　　） A.3x+2y B.3x+3 C.2xy D.3 如果把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值(　　) A.扩大3倍   B.缩小3倍 C.不变   D.扩大9倍 【举一反三3】将分式中的x、y的值同时扩大为原来的2倍，则分式的值（　　） A.保持不变 B.扩大为原来的2倍 C.缩小为原来一半 D.无法确定 【题型13】分式的约分 【典型例题】化简：，括号内应填（　　） A.4xy B.2y C.2xy D.2x 【举一反三1】化简分式的结果为（　　） A. B. C. D. 【举一反三2】化简分式：=　    　． 约分：＝　　　　. 【举一反三4】化简约分 （1）； （2）； （3）． 【举一反三5】约分： （1）．（2）．（3）．（4）． 【题型14】最简分式 要将化成最简分式，应将分式的分子分母同时约去它们的公因式，这个公因式为(　　) A.x    B.5x C.xy    D.5xy 【举一反三1】下列分式中，最简分式有（　　） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【举一反三2】要将分式化成最简分式，应将分子分母同时约去它们的公因式，这个公因式是 　      　． 【举一反三3】若m为实数，分式不是最简分式，则m＝　       　． 【举一反三4】指出下列分式中的最简分式： ，，，． 【题型15】约分与整体思想综合求分式的值 【典型例题】已知ab＝3（b﹣a），则的值是（　　） A.﹣3 B.﹣ C.3 D. 【举一反三1】如图，若x为正整数，则表示分式的值落在（　　） A.线①处 B.线②处 C.线③处 D.线④处 【举一反三2】已知x，y，z满足，则分式的值为 　      　． 若，则分式的值为      ． 【举一反三4】已知＝2，求的值． 【题型16】最简公分母 【典型例题】对分式通分时，最简公分母是（　　） A.4x2y B.2xy C.4xy D.4xy2 下列三个分式，，的最简公分母是（ ） A. B. C. D. 【举一反三2】分式，，的最简公分母是　         　． 【举一反三3】对分式，和的最简公分母为　       　． 【举一反三4】求下列各组分式的最简公分母 （1），， （2），， （3），， （4），，． 【题型17】分式的通分 【典型例题】若将分式与通分，则分式的分子应变为（　　） A.6m2﹣6mn B.6m﹣6n C.2（m﹣n） D.2（m﹣n）（m+n） 化简分式过程中开始出现错误的步骤是（ ） . A.① B.② C.③ D.④ 【举一反三2】对分式，，通分以后，的结果是（　　） A. B. C. D. 【举一反三3】分式的分母经过通分后变成2(a-b)2(a+b)，那么分子应变为　　　　. 【举一反三4】将，，通分后，它们分别是                       . 通分： (1)与； (2)与； (3)与； (4)与. 【举一反三6】通分： （1），； （2），． （3）与； （4），，． 人教版（2024）八年级上册 18.1 分式及其基本性质 寒假巩固（参考答案） 【题型1】分式的辨别 【典型例题】下列式子，不是分式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解：符合分式的定义，它是分式，则A不符合题意； 符合分式的定义，它是分式，则B不符合题意； 符合分式的定义，它是分式，则C不符合题意； 不符合分式的定义，它不是分式，则D符合题意； 故选：D． 下列式子中是分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 下列各式中是分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【举一反三3】按一定规律排列的式子：﹣，，﹣，，……第n个式子是 　                  　． 【答案】（﹣1）n•． 【解析】解：3b，8b，15b，24b…，分子可表示为：n（n+2）b． 1，3，5，7，…分母可表示为a2n﹣1， 则第n个式子为：（﹣1）n•． 故答案为：（﹣1）n•． 【举一反三4】下列各式中中分式 有　 　个． 【答案】3 【解析】解：中分式为：、+1，﹣共3个． 故答案为：3． 【举一反三5】在式子，，（m+n），，，，xy，，﹣4x中，是整式的有哪些？是分式的有哪些？ 【答案】解：整式有：，（m+n），，xy， 分式有：，，，，﹣4x． 【举一反三6】将下列式子表示为分式： （1）3÷x； （2）2ax÷by； （3）（x2+1）÷x； （4）2x÷（3x+5）． 【答案】解：（1）3÷x＝； （2）2ax÷by＝； （3）（x2+1）÷x＝； （4）2x÷（3x+5）＝． 【题型2】分式有意义的条件 【典型例题】下列各式中，不论字母取何值时分式都有意义的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解：∵2x2+1＞1，∴不论字母取何值都有意义， 故选：D． 【举一反三1】无论a取何值，下列分式总有意义的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：A、当a＝0时，分式无意义，故此选项错误； B、无论a为何值，分式都有意义，故此选项正确； C、当a＝±1时，分式无意义，故此选项错误； D、当a＝﹣1时，分式无意义，故此选项错误； 故选：B． 【举一反三2】要使分式有意义，x应满足的条件是　　　　. 【答案】x≠3 【解析】∵分式有意义， ∴x-3≠0， ∴x≠3. 如果有意义，那么的取值范围是      ． 【答案】 且 【解析】 由题意，得 解得且. 【举一反三4】求下列分式有意义的x的取值范围： （1）； （2）； （3）． 【答案】解：（1）当分母x-1≠1．即x≠1时，分式有意义； （2）当分母|x|-4≠0即x≠±4时，分式有意义； （3）当分母（x-1）（x+5）≠0，即x≠1或x≠-5时，分式有意义． 【题型3】分式无意义的条件 当时，分式无意义，则所表示的代数式可以是（ ） A. B. C.x D.3x 【答案】A 若分式 无意义，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【举一反三2】要使分式有意义，则x的取值应满足（　　） A.x＝2024 B.x≠2024 C.x＞2024 D.x＜2024 【答案】B 【解析】解：由题意得：x﹣2024≠0， 解得：x≠2024， 故选：B． 【举一反三3】若当x＝﹣1时，分式无意义，则a的值为 　     　． 【答案】﹣1． 【解析】解：由题可知， 当x＝﹣1时，分式无意义， 即x﹣a＝0＝﹣1﹣a＝0， 解得a＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【举一反三4】已知：式子．当m为何值时，该式无意义？ 【答案】解：∵式子无意义， ∴m+1＝0， ∴m＝﹣1； 【举一反三5】当x为何值时，分式无意义？ 【答案】解：要使分式无意义， 则3x﹣2＝0， 解得x＝； 【题型4】分式值为0的条件 【典型例题】已知x＝1时，分式无意义；x＝4时，分式的值为0，则a+b的值为（　　） A.2 B.﹣2 C.1 D.﹣1 【答案】D 【解析】解：∵当x＝1时，分式无意义， ∴x﹣a＝x﹣1＝0， 即a＝1， ∵当x＝4时，分式﹣的值为0， ∴x+2b＝x﹣4＝0， ∴2b＝﹣4， ∴b＝﹣2， ∴a+b＝1+（﹣2）＝﹣1． 故选：D． 【举一反三1】当x=2时，下列各式的值为0的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：A.∵当x=2时，2+2≠0，∴分式的值不为0，故本选项错误； B.∵当x=2时，2-2=0，∴分式无意义，故本选项错误； C.∵当x=2时，2x-4=0，∴分式的值为0，故本选项正确； D.∵当x=2时，x2-3x-2=0，∴分式无意义，故本选项错误． 故选C． 如果分式 的值为0，那么x的值为          . 【答案】 2 【解析】 由题意得2x-4=0且x+1≠0． ∴x=2． 【举一反三3】当x＝　   　时，分式的值为0． 【答案】1 【解析】解：∵分式的值为0， ∴，由①得，x＝1或x＝﹣2； 由②得，x≠﹣2，x≠3， ∴此不等式组的解集为：x＝1． 故答案为：1． 【举一反三4】如果分式无意义，的值为0，求x﹣2y的值． 【答案】解：∵分式无意义， ∴2x+4＝0， ∴x＝﹣2； ∵的值为0， ∴y+4＝0且y2+2≠0， ∴y＝﹣4； ∴x﹣2y＝﹣2﹣2×（﹣4）＝﹣2+8＝6． 【举一反三5】当x取什么值时，分式．（1）没有意义？（2）有意义？（3）值为零？ 【答案】解：（1）∵分式没意义， ∴x﹣1＝0，解得x＝1； （2）∵分式有意义， ∴x﹣1≠0，即x≠1； （3）∵分式的值为0， ∴，解得x＝﹣2． 【题型5】求分式的值 【典型例题】若分式的值不存在，则x的值为（　　） A.﹣1 B.2 C.﹣2 D.1 【答案】C 【解析】解：根据题意得：x+2＝0 解得：x＝﹣2． 故选：C． 【举一反三1】如果分式中的x＝2、y＝1，那么这个分式的值（　　） A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】D 【解析】解：∵x＝2、y＝1， ∴＝＝6． 故选：D． 【举一反三2】若关于x的不等式（m+2）x＞2m+4的解集为x＜2，且分式的值为整数，则满足上述条件的整数m的值是 　     　． 【答案】﹣3． 【解析】解：∵关于x的不等式（m+2）x＞2m+4的解集为x＜2， ∴m+2＜0， ∴m＜﹣2， ∵分式的值为整数， ∴m+1＝±1、±2， ∴m＝0、﹣2、1、﹣3， ∴m＝﹣3． 【举一反三3】（1）若a、b互为相反数，c、d互为倒数，并且m的立方等于它的本身．求+cd的值． （2）已知当x＝﹣1时，ax3﹣bx+c＝5，则当x＝﹣1时，求式子7+ax4﹣bx2﹣c的值． 【答案】解：（1）∵a、b互为相反数，c、d互为倒数，并且m的立方等于它的本身， ∴a+b＝0，cd＝1，m＝﹣1，0或1． ∴+cd＝+cd＝+1＝1． （2）∵当x＝﹣1时，ax3﹣bx+c＝﹣a+b+c＝5， ∴当x＝﹣1时，7+ax4﹣bx2﹣c＝7+a﹣b﹣c＝7﹣（﹣a+b+c）＝7﹣5＝2． 【题型6】由分式值的正负确定字母的取值范围 【典型例题】已知a，b，c，d都是正数，且|x1+a|+|x2+b|+|x3+c|+|x4+d|＝0，则的值（　　） A.正数 B.0 C.负数 D.负数或0 【答案】A 【解析】解：∵a，b，c，d都是正数， ∴ab＞0，cd＞0， ∵|x1+a|+|x2+b|+|x3+d|+|x4+d|＝0，|x1+a|≥0，|x2+b|≥0，|x3+d|≥0，|x4+d|≥0， ∴x1+a＝0，x2+b＝0，x3+d＝0，x4+d＝0， ∴x1＝﹣a，x2＝﹣b，x3＝﹣c，x4＝﹣d， ∴＞0，即的值是正数， 故选：A． 【举一反三1】若分式的值为正，则x的取值范围为(　　) A.x≥－ B.x≤－ C.x>－且x≠0 D.x＜－ 【答案】C 【解析】解： 【举一反三2】若分式的值为正数，则a的取值范围是(　　) A.a>3 B.a≠2 C.a<2 D.a>3或a<2 【答案】D 【解析】解：由题意得或 解得a>3或a<2. 【举一反三3】若使分式的值是整数，则所有符合条件的整数m的和为　　　　. 【答案】1 【解析】要使分式的值是整数，则2m-1是4的因数， 故2m-1=±1，±2，±4， 但2m-1是奇数，则2m-1=±1， ∴m=1或0， ∴1+0=1. 阅读下列材料：我们知道，分子比分母小的数叫作“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫作“假分数”.类似地，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”. 如：，这样的分式就是假分式：再如：，这样的分式就是真分式， 假分数可以化成带分数1＋的形式，类似地，假分式也可以化为带分式.如：＝1－. 解决下列问题： (1)分式是　　　　；(填“真分式”或“假分式”) (2)假分式可化为带分式的形式为　　　　　　　　　　　　　； (3)如果分式的值为整数，求满足条件的整数x的值； (4)若分式的值为m，则m的取值范围是　　　　　　　.(直接写出结果) 【答案】 解　(1)根据新定义可得是真分式. (2)＝1＋. (3)∵＝1－，且为整数，x为整数， ∴x－2＝－2或x－2＝－1或x－2＝1或x－2＝2， 解得x＝0或x＝1或x＝3或x＝4. (4)∵m＝＝3＋， 而x2＋1≥1， ∴0<≤1， ∴0<≤5， ∴3<3＋≤8， ∴3<m≤8. 【举一反三5】阅读例题，尝试解决下列问题： (1)平行运用：解不等式x2－9>0； (2)类比运用：若分式 的值为负数，求x的取值范围． 【答案】解：(1)解不等式x2－9>0， 即为解(x＋3)(x－3)>0, 根据“两数相乘，同号得正” 得①或② 解不等式组①得，x>3， 解不等式组②得，x＜－3， 所以原不等式的解集为x>3或x＜－3. (2)由题意得不等式<0， 根据“两数相除，同号得正，异号得负” 得①或② 解不等式组①得，－1<x<2， 解不等式组②，无解， 所以原不等式的解集为－1<x<2. 【题型7】分式中规律型问题 已知一列数，，…，它们满足关系式，，，，当时，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 ∵，，，， ∴，，， ∴每3个为一个循环. ∵2023÷3=674……1， ∴. 【举一反三1】给定下面一列分式：，，，……，（其中）根据你发现的规律，其中第7个分式应是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解：第奇数个式子是正数，偶数个是负数， 分母是第几个式子就是y的几次方； 分子是第几个式子就是x的（第几×2+1）次方． 所以第七个分式是． 故选：D． 【举一反三2】已知：关于x的方程的两个解为x1＝a，x2＝，方程的两个解为x1＝a，x2＝，方程的两个解为x1＝a，x2＝，则关于x的方程的两个解为              ． 【答案】x1＝a，x2＝ 【解析】解：∵关于x的方程的两个解为x1＝a，x2＝，方程的两个解为x1＝a，x2＝，方程的两个解为x1＝a，x2＝，， ∴依规律，得x－1＝a－1或x－1＝， 解得：x1＝a，x2＝． 故答案为：x1＝a，x2＝． 【举一反三3】观察下列等式，，，…根据其中的规律，猜想       （用含的代数式表示）． 【答案】 【解析】解：∵， ∴， ， ， …… ∴每3个数为一周期循环， ∵， ∴， 故答案为：． 【举一反三4】观察下列等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， …… 请解答下列问题： (1)按以上规律列出第个等式： ； (2)用含有的代数式表示第个等式并证明（为正整数）． 【答案】解：（1）按规律列出第个等式：， 故答案为：； （2）． 证明：右边 ． ∴． 【举一反三5】观察下列等式： ；① ；② ；③ … (1)请写出第四个等式：_____________； (2)观察上述等式的规律，猜想第个等式（用含的式子表示），并验证其正确性． 【答案】解：（1） ． 故答案为∶ ； （2）第个等式是． 左边右边， 等式成立． 【题型8】用分式表示实际问题中的量 【典型例题】某校修建一条400米长的跑道，开工后每天比原计划多修10米，结果提前完成了任务．设原计划每天修x米，那么原计划完成任务所用的时间是（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】解：设原计划每天修x米，则实际每天修（x+10）米． 由题意，可知原计划用的时间为天，实际用的时间为：天， 故选：A． 【举一反三1】已知甲种糖果每千克售价为m元，乙种糖果每千克售价为n元，取甲种糖果a千克和乙种糖果b千克，混合后的糖果每千克售价为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：∵商店有甲种糖果a千克，每千克售价m元；乙种糖果b千克，每千克售价n元， ∴甲乙两种糖果混合后共有（a+b）千克，甲乙两种糖果共售（am+bn）元， ∴将甲乙两种糖果混合出售，每千克售价应为； 故选：C． 【举一反三2】为美化城市环境，计划种植树木10万棵，由于志愿者的加入，实际每天种植比原计划多20%，结果提前5天完成任务，设原计划每天种植树木x万棵．根据题意“提前5天完成任务”可用式子表示为（　　）天. A.- B.- C.- D.- 【答案】A 【解析】解：设原计划每天种植树木x万棵．根据题意提前5天完成任务”可用式子表示为(-)天. 故选：A． 【举一反三3】体育锻炼能促进青少年享受乐趣、增强体质、健全人格、锻炼意志．某校积极开展“阳光体育”活动．在一次体育活动中，小超和小明进行1000米测试，小超的速度是小明的1.25倍，小超比小明快30秒到达终点．若设小明的速度是x米/秒，填空： （1）小超的速度是              米/秒， （2）小超到达终点所用时间为       秒，小明到达终点所用时间为       秒. 【答案】解：（1）小超的速度是小明的1.25x米/秒， （2）小超到达终点所用时间为秒，小明到达终点所用时间为秒． 【举一反三4】《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为x天，请填写下列要求： （1）根据题意可知慢马的速度为      ，快马的速度为       ， （2）再根据快马的速度是慢马的倍，用慢马的速度表示快马的速度为          . 【答案】解：由题意可得， （1）根据题意可知慢马的速度为，快马的速度为， （2）再根据快马的速度是慢马的倍，用慢马的速度表示快马的速度×， 【举一反三5】列代回答下列问题： （1）打字员要打一份12000字的文件，第一天她打字2h，打字速度为w字/min，第二天打字速度比第一天快了10字/min，两天打完全部文件，第二天她打字用了多长时间？ （2）某村种植了m hm2玉米，总产量为n kg；水稻的种植面积比玉米的种植面积多p hm2，水稻的总产量比玉米总产量的2倍多q kg．写出表示玉米和水稻的单位面积产量（单位：kg/hm2）的式子． （3）有四块小场地，第一块是边长为a米的正方形，第二块是边长b米的正方形，其余两块都是长a米，宽b米的长方形．另有一块大长方形场地，它的面积等于上面四块场地面积的和，它的长为2（a+b）米，用最简单的式子表示出大长方形的宽． 【答案】解：（1）由题知， 第二天打的字数为：12000﹣120w， 又第二天的打字速度为（w+10）字/min， 所以第二天她打字用的时间为： min． （2）因为玉米种植面积为m hm2， 且玉米的总产量为n kg， 所以玉米的单位面积的产量为： kg/hm2． 因为水稻的种植面积为（m+p）hm2， 且水稻的总产量为（2n+q）kg， 所以水稻的单位面积的产量为： kg/hm2． （3）这四块场地面积的和为：a2+2ab+b2＝（a+b）2， ∵大长方形的面积等于这四块场地面积的和， ∴大长方形的宽＝＝（米）． 【举一反三6】列式表示下列各量： （1）某村有n个人，耕地40hm2，则人均耕地面积为　    　hm2． （2）△ABC的面积为S，BC边的长为a，则高AD为　  　． （3）一辆汽车b h行驶了a km，则它的平均速度为　   　km/h；一列火车行驶a km比这辆汽车少用1h，则它的平均速度为　　    km/h． 【答案】解：（1）某村有n个人，耕地 40hm2，则人均耕地面积为 hm2， 故答案为：． （2）△ABC的面积为S，BC边的长为a，则高AD为， 故答案为：． （3）一辆汽车b h行驶了a km，则它的平均速度为 km/h； 一列火车行驶a km比这辆汽车少用1h，则它的平均速度为 km/h． 故答案为：； ． 【题型9】判断分式变形是否正确 若把变形为，则下列方法正确的是 A.分子与分母同时乘 B.分子与分母同时除以 C.分子与分母同时乘 D.分子与分母同时除以 【答案】B 【举一反三1】根据分式的基本性质可知，＝（　　） A.a2 B.b2 C.ab D.ab2 【答案】C 【解析】解：根据分式的基本性质可知：＝， 故选：C． 【举一反三2】，，（　　）中应填入为　 　，　 　． 【答案】A2+ab、x． 【解析】解：根据分式的性质可得：（　　）中应填入为a2+ab，x．故答案为a2+ab、x． 【举一反三3】根据分式的基本性质填空： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】解：（1）＝； （2）＝； （3）＝＝； （4）＝． 故答案为2x2y；a；4m2；a+b． 【题型10】分式的分子、分母及分式本身正负号变化规律 【典型例题】下列分式中，与分式的值相等的是（　　） A. B. C.﹣ D.﹣1 【答案】C 【解析】解：＝． 故选：C． 【举一反三1】下列变形正确的是(　　) A.＝－ B.＝ C.＝ D.＝ 【答案】D 【解析】解：A选项，原式＝－，故A选项错误，不符合题意； B选项，原式＝，故B选项错误，不符合题意； C选项，原式＝，故C选项错误，不符合题意； D选项，原式＝，故D选项正确，符合题意． 【举一反三2】与分式相等的是（　　） A. B.﹣ C. D. 【答案】A 【解析】解：A．＝＝，故本选项符合题意； B．﹣≠，故本选项不符合题意； C．＝＝﹣≠，故本选项不符合题意； D．＝≠，故本选项不符合题意； 故选：A． 【举一反三3】不改变分式的值，将分式的分子与分母的最高次项的系数化为正数． （1）＝　                  　 （2）＝　                  　． 【答案】解：（1）＝ （2）＝， 故答案为：﹣，． 【举一反三4】不改变分式的值，使分式的分子和分母的最高次项的系数是正数　                  　． 【答案】 【解析】解：原式＝＝． 故答案为：． 不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“－”号. (1)；(2)；(3)；(4). 【答案】 解　(1).(2)＝－. (3)＝－.(4)＝－. 不改变分式的值，使分式的分子和分母的最高次项的系数均为正数． (1)； (2). 【答案】 解 (1). (2). 【题型11】不改变分式值将分式分子与分母各项系数化为整数 【典型例题】下列各式从左到右的变形中正确的是（　　） A.＝ B. C.﹣＝ D. 【答案】A 【解析】解：A、根据分式的基本性质可得：分式的分子分母同时乘以2，分式的值不变，故此选项正确； B、根据分式的基本性质可得：分式的分子分母同时乘以5，分式的值不变，即原式＝，故此选项错误； C、根据分式的基本性质可知：分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变，即原式＝，故此选项错误； D、分式的两边互为相反数，不是相等关系，故此选项错误； 故选：A． 【举一反三1】不改变分式的值，将分式中的分子与分母的各项系数化为整数，正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解： == 故选：D． 【举一反三2】不改变分式的值，把分子、分母中各项系数化为整数，结果是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解：分式的分子和分母乘以6，原式=．故选D． 【举一反三3】不改变分式的值，将分式的分子、分母的各项系数都化为整数：　                  　． 【答案】． 【解析】解：＝＝， 故答案为：． 【举一反三4】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母中各项的系数化为整数． （1） （2）． 【答案】解：（1）原式＝； （2）原式＝． 【题型12】将分式分子与分母中字母扩大或缩小后判断分式值的变化 【典型例题】等式中的未知的分母是（　　） A.a2+1 B.a2+a+1 C.a2+2a+1 D.a﹣1 【答案】D 【解析】解：原式=，故选D. 【举一反三1】若分式中的x和y都扩大为原来的3倍后，分式的值不变，则A可能是（　　） A.3x+2y B.3x+3 C.2xy D.3 【答案】A 【解析】解：当A＝3x+2y时，分式中的x和y都扩大为原来的3倍后，分式的值不变，故选项A符合题意； 当A＝3x+3时，分式中的x和y都扩大为原来的3倍后，分式的值改变，故选项B不符合题意； 当A＝2xy时，分式中的x和y都扩大为原来的3倍后，分式的值改变，故选项C不符合题意； 当A＝3时，分式中的x和y都扩大为原来的3倍后，分式的值改变，故选项D不符合题意； 故选：A． 如果把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值(　　) A.扩大3倍   B.缩小3倍 C.不变   D.扩大9倍 【答案】C 【解析】 根据题意，得， 所以分式的值不变. 【举一反三3】将分式中的x、y的值同时扩大为原来的2倍，则分式的值（　　） A.保持不变 B.扩大为原来的2倍 C.缩小为原来一半 D.无法确定 【答案】A 【解析】解：∵， ∴将分式中的x、y的值同时扩大为原来的2倍，则分式的值不变， 故选：A． 【题型13】分式的约分 【典型例题】化简：，括号内应填（　　） A.4xy B.2y C.2xy D.2x 【答案】C 【解析】解：＝＝， 故选：C． 【举一反三1】化简分式的结果为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解：＝＝． 故选：D． 【举一反三2】化简分式：=　    　． 【答案】 【解析】解：原式==． 故答案为． 约分：＝　　　　. 【答案】 【举一反三4】化简约分 （1）； （2）； （3）． 【答案】解：（1）＝； （2） ＝ ＝； （3） ＝ ＝． 【举一反三5】约分： （1）．（2）．（3）．（4）． 【答案】解：（1）＝＝． （2）＝﹣＝﹣2（y﹣x）2． （3）＝＝． （4）＝＝． 【题型14】最简分式 要将化成最简分式，应将分式的分子分母同时约去它们的公因式，这个公因式为(　　) A.x    B.5x C.xy    D.5xy 【答案】D 【举一反三1】下列分式中，最简分式有（　　） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】A 【解析】解：，不是最简分式； ，不是最简分式； 是最简分式； ，不是最简分式； 故选：A． 【举一反三2】要将分式化成最简分式，应将分子分母同时约去它们的公因式，这个公因式是 　      　． 【答案】5mn． 【解析】解：要将分式化成最简分式，应将分子分母同时约去它们的公因式，这个公因式是5mn， 故答案为：5mn． 【举一反三3】若m为实数，分式不是最简分式，则m＝　       　． 【答案】0，-4. 【解析】解：∵分式不是最简分式， ∴m＝0或﹣4时，都可以化简分式． 故答案为：0，﹣4． 【举一反三4】指出下列分式中的最简分式： ，，，． 【答案】解：∵＝，＝， ∴最简分式有：，． 【题型15】约分与整体思想综合求分式的值 【典型例题】已知ab＝3（b﹣a），则的值是（　　） A.﹣3 B.﹣ C.3 D. 【答案】A 【解析】解：∵ab＝3（b﹣a）， ∴ab＝﹣3（a﹣b）， ∴＝﹣3． 故选：A． 【举一反三1】如图，若x为正整数，则表示分式的值落在（　　） A.线①处 B.线②处 C.线③处 D.线④处 【答案】B 【解析】解：∵ ＝ ∵x为正整数，且最小正整数为1 ∴分母x+1比分子x大1. ∴当x=1时，原式=0.5 当x=2时，原式= 当x=3时，原式= 当x无限大时，原式的值接近于1，但不等于1 ∴原式的最小值是0.5，最大值接近于1，而不等于1. 故选：B． 【举一反三2】已知x，y，z满足，则分式的值为 　      　． 【答案】． 【解析】解：∵， ∴y＝2x，z＝4x， ∴原式＝ ＝ ＝． 故答案为：． 若，则分式的值为      ． 【答案】 【解析】 ， ， . 【举一反三4】已知＝2，求的值． 【答案】解：∵＝2 ∴原式= ＝ ＝ ＝ ∴的值为． 【题型16】最简公分母 【典型例题】对分式通分时，最简公分母是（　　） A.4x2y B.2xy C.4xy D.4xy2 【答案】C 【解析】解：最简公分母是：4xy． 故选C． 下列三个分式，，的最简公分母是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【举一反三2】分式，，的最简公分母是　         　． 【答案】36a4b2 【解析】解：分式，，的最简公分母是36a4b2， 故答案为36a4b2． 【举一反三3】对分式，和的最简公分母为　       　． 【答案】12a3b3c3 【解析】解：2a2bc3、3ab3、4a3bc中，2、3、4的最小公倍数为12，字母a、b、c的最高次幂均为3，所以它们的最简公分母为：12a3b3c3 故答案为：12a3b3c3 【举一反三4】求下列各组分式的最简公分母 （1），， （2），， （3），， （4），，． 【答案】解：（1）7﹣7a＝7（1﹣a），1﹣2a+a2＝（1﹣a）2，a2﹣1＝（a+1）（a﹣1），则它们的公分母是：7（1﹣a）2（1+a）． （2）x2﹣4x﹣5＝（x﹣5）（x+1），x2+3x+2＝（x+1）（x+2），x2﹣3x﹣10＝（x+2）（x﹣5），则它们的公分母是：（x﹣5）（x+1）（x+2）． （3）a2﹣ab＝a（a﹣b），b2﹣ab＝b（b﹣a），a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），则它们的公分母是：ab（a﹣b）（a+b）． （4）x2﹣18x+81＝（x﹣9）2，81﹣x2＝（x+9）（x﹣9），x2﹣18x+81＝（x+9）2，则它们的公分母是：（x+9）2（x﹣9）2． 【题型17】分式的通分 【典型例题】若将分式与通分，则分式的分子应变为（　　） A.6m2﹣6mn B.6m﹣6n C.2（m﹣n） D.2（m﹣n）（m+n） 【答案】A 【解析】解：分式与的公分母是2（m+n）（m﹣n），则分式的分子应变为6m（m﹣n）＝6m2﹣6mn． 故选：A． 化简分式过程中开始出现错误的步骤是（ ） . A.① B.② C.③ D.④ 【答案】B 【举一反三2】对分式，，通分以后，的结果是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：分式，，的最简公分母是（a+b）（a﹣b）， 所以通分以后，的结果是． 故选：B． 【举一反三3】分式的分母经过通分后变成2(a-b)2(a+b)，那么分子应变为　　　　. 【答案】6a(a-b) 【解析】==. 【举一反三4】将，，通分后，它们分别是                       . 【答案】、、 【解析】解：由三个分式的最简公分母是3ab，故通分后它们分别是：、、． 通分： (1)与； (2)与； (3)与； (4)与. 【答案】 解　(1)最简公分母为9a2b， ，. (2)最简公分母为(n－2)(n＋3)， ， . (3)最简公分母为a(a＋3)(a－3)， ， . (4)最简公分母为2(x－1)2， ，. 【举一反三6】通分： （1），； （2），． （3）与； （4），，． 【答案】解：（1）∵两个分式分母分别为3x2，12xy未知数系数的最小公倍数为12， ∵x，y的最高次数分别为2，1， ∴最简公分母为12x2y， ∴＝， ＝； （2）x2+x＝x（x+1），x2﹣x＝x（x﹣1）， ∴最简公分母为x（x+1）（x﹣1）， ∴＝＝， ＝＝． （3）分母2ab3，5a2b2c的最简公分母是10a2b3c. ∴＝，＝； （4）x2+2x+1=(x+1)2，x2-1=(x+1)(x-1)，x2-2x+1=(x-1)2，它们最简公分母是(x+1)2(x-1)2. ∴＝， ＝，＝． 学科网（北京）股份有限公司 $