8.3一元二次方程根与系数的关系+应用 讲义 2025-2026学年鲁教版（五四制）（2012）数学八年级下册

第八章 一元二次方程学生版 第五节 一元二次方程根与系数的关系 【考点梳理】 考点一 一元二次方程根与系数的关系 如果方程的两个实数根是，那么，。 也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。 注意：只有在方程有根即的前提下才有，。 考点二 有关根与系数的关系的两个重要推论 （1）以，为实数根的一元二次方程（二次项系数为1）的表达式是； （2）如果方程的两个实数根是，，那么，。 【重点题型】 题型一 一元二次方程根与系数的关系 【典例1】若关于的一元二次方程的一个根为2，则另一个根为（ ）。 A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系．熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键． 设另一个根为，由关于x的一元二次方程的一个根为2，可得，计算求解即可． 【详解】解：设另一个根为， ∵关于的一元二次方程的一个根为2， ∴， 解得，， 故选：B． 【变式1-1】若，，则以为根的一元二次方程是（ ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，由此即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴以，为根的一元二次方程是， 故选：A． 【变式1-2】设一元二次方程的两个实数根为和，则下列结论正确的是（ ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．根据进行计算即可． 【详解】解：根据， 得， 故选D． 题型二 由根与系数的关系直接求代数式的值 【典例2】设、是一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ）。 A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程（）的两根时，，．根据根与系数的关系得到，，再将变形得到，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：由题意得，，，所以 ，故选：D． 【变式2-1】关于的一元二次方程的两个根为，且，则的值为（ ）。 A．1 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，根据一元二次方程的根与系数的关系求出两根及m值，代入计算即可得到答案． 【详解】解：∵的两根为， ∴．， ∵， ∴，， ∴， ∴． ∴． 故选：B． 【变式2-2】设一元二次方程的两根为，，则的值为（ ）。 A． B．1 C． D．5 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，是重要考点，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的两个根，，满足，．根据一元二次方程根与系数的关系得出，然后代入求值即可． 【详解】解：， 故选：A． 题型三 由根与系数的关系和方程的解通过降次求代数式的值 【典例3】已知，是方程的两个根，则的值为（ ）。 A． B． C．2024 D．2025 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，一元二次方程根与系数的关系，掌握以上知识是解题的关键． 根据一元二次方程的解得出，根据一元二次方程根与系数的关系得出，代入代数式即可求解． 【详解】解：∵、是方程的两个实数根， ∴，， 即， ∴ ， 故选：A． 【变式3-1】已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为，且，则的值是（ ）。 A．或 B．或2 C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系和根的判别式．由一元二次方程的两个实数根分别为、，可得，，即可得，解得或，再检验根的判别式是否大于0即可得到答案． 【详解】解：一元二次方程的两个实数根分别为、， ，， ， ， ， 解得或， 当时，一元二次方程为，此时△，原方程无实数解，这种情况不存在，舍去； 当时，一元二次方程为，此时△，符合题意； 的值是； 故选：D 【变式3-2】若，且有，及，则的值是（ ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了构造一元二次方程解题，正确构造方程，灵活运用根与系数关系定理是解题的关键．根据，方程除以得，从而得到是方程的两个根，根据根与系数关系定理，得，故是． 【详解】解：根据，方程除以得， 故是方程的两个根， 根据根与系数关系定理，得， 故是． 故选：A． 题型四 由方程两根满足关系求字母的值 【典例4】已知实数，满足，，且，则的值为（ ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，将变形为据此可知，为方程 的两个实数根，根据根与系数的关系得到，，整理得，，代入所求代数式化简即可，熟练掌握根与系数的关系及分式的化简是解题的关键． 【详解】解：，易得，方程两侧同除得： ， 又∵，且， ∴，为方程 的两个实数根， ∴，，整理得，， ∴， 故选：． 【变式4-1】已知关于的一元二次方程有两个实数，且满足，则的值是（ ）。 A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，由可知，然后根据根与系数的关系代入计算即可；熟知一元二次方程根与系数的关系以及一元二次方程根的判别式是关键． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根，， 经检验时，，符合题意； 故的值为 故选：C． 【变式4-2】若是方程的两个根，则（ ）。 A． B．16 C． D．20 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，由题意得出本题中，，再将变形为，代入计算即可得出答案． 【详解】解：是方程的两个根， ，， ， 故选：C． 题型五 不解方程由根与系数的关系判断根的问题 【典例5】已知关于的一元二次方程一个实根为1，则另一个实根为（ ）。 A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，牢记“是一元二次方程的两根时，”是解题的关键，根据两根之和等于，结合方程的一个根是1，即可求出方程的另一个根． 【详解】解：， ∴方程的两根之和， ∴方程的另一根． 故选：D． 【变式5-1】方程的两根的符号是（ ）。 A．都为正 B．都为负 C．一正一负 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：根据代入数值化简，即可作答． 【详解】解：∵ ∴ 则方程的两根的符号是一正一负， 故选：C 【变式5-2】设是关于的方程的两根，是关于的方程的两根，则的值分别等于（ ）。 A．1， B．1，3 C．， D．，3 【答案】C 【分析】考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键；根据根与系数的关系，可得，，整理可得关于的二元一次方程组，解方程组即可； 【详解】解：是关于x的方程的两根， ， 是关于x的方程的两根， ，，即， 将代入整理得， ，解得， 故选：． 题型六 根与系数的关系和根的判别式的综合应用 【典例6】已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论为何实数，方程总有两个实数根； （2）若一元二次方程有两个根和，且，求的值。 【答案】（1）见解析；（2）的值为0或． 【分析】本题主要考查了根的判别式及根与系数的关系，熟知一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键． （1）利用根的判别式即可解决问题； （2）利用一元二次方程根与系数的关系得出两根之和，再结合，求出两根即可解决问题． 【详解】（1）证明：△， 无论为何实数，方程总有两个实数根； （2）解：由根与系数的关系知， ， 又， 则联立方程组， 解得． 将代入原方程得， ， 解得或， 的值为0或． 【变式6-1】已知关于的一元二次方程． （1）证：不论取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有两个实数根为，，且，求的值。 【答案】（1）见详解；（2） 【分析】（1）根据根的判别式得出，据此可得答案； （2）根据根与系数的关系得出，，代入得出关于的方程，解之可得答案． 本题主要考查根与系数的关系、根的判别式，解题的关键是掌握，是方程的两根时，，． 【详解】（1）证明： ， ∵ 无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）解：由根与系数的关系，得，， 由，得， 解得． 【变式6-2】关于的一元二次方程有实数根。 （1）求的取值范围； （2）如果是符合条件的最大整数，且关于的一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时的值； （3）若方程的两个实数根为，且，求此时的值。 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）解：根据题意得：，     解得； （2）解：∵是符合条件的最大整数， ∴的值为6， ∴方程变形为， 解得， ∵一元二次方程与方程有一个相同的根， ∴当时，，解得； 当时，，解得， ∵， ∴， ∴的值为． （3）解：∵，是方程的两个实数根， ∴，，∵，∴，∴，∵；∴的值为． 题型七 根与系数关系中的新定义问题 【典例7】阅读材料：在一元二次方程中，我们定义方程的判别式为，当时，方程有两个不同的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根。并且当方程有实数根时，两根之和为，两根之积为。 已知关于的方程：。 （1）若方程有两个实数根，求的取值范围； （2）若方程的一个根为1，另一个根为，求和的值； （3）若方程的两个实数根为，且，求的值。 【答案】(1) (2)，或， (3) 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解，一元二次方程根的判别式，正确理解题意是解题的关键： （1）根据判别式大于等于零列不等式求解； （2）将代入方程得，，求出，再根据两根和列方程求出n； （3）由根与系数的关系得到，利用完全平方公式变形即可求出的值． 【详解】（1）解：因为方程有两个实数根， 所以，解得， 所以的取值范围是； （2）将代入方程得，， 解得． 当时，方程为 因为，所以． 当时，方程为 因为，所以． 综上所述，或． （3）因为方程的两个实数根为， 所以． 因为， 所以， 即， 解得． 因为， 所以， 即的值为． 【变式7-1】法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：如果关于的一元二次方程的两个实数根分别为，那么两个根的关系为，。习惯上把这个结论称作“韦达定理”。 小明在探究二次项系数为1的一元二次方程根的特征时发现，此时“韦达定理”可表述为：，。借此结论，小明进行了对“倍根方程”和“方根方程”的根的特征的探究。 定义： 倍根方程：如果关于的一元二次方程有两个实数根（都不为0），且其中一个根等于另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”。 方根方程：如果关于的一元二次方程有两个实数根（都不为0），且其中一个根的平方等于另外一个根，则称这样的方程为“方根方程”。 （1）请你判断：方程是______（填“倍根方程”或“方根方程”）； （2）若一元二次方程是“倍根方程”，求的值； （3）根据探究，小明想设计一个一元二次方程，使这个方程既是“倍根方程”又是“方根方程”，请你先帮他算一算，这个方程的根是多少？ 【答案】（1）倍根方程；（2）的值是8；（3）方程的两个根是，或， 【分析】（1）求出方程的解，再判断是否为倍根方程； （2）设方程的两个根为，，由倍根方程”的定义可知，利用根与系数的关系即可求得的值； （3）设一元二次方程，的两个实数根分别为、，由题意可知，或，，即可得到方程的根是2、4或、． 本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程的一般形式，新定义“倍根方程”或“方根方程”的意义，理解“倍根方程”或“方根方程”的意义和掌握根与系数的关系是解决问题的关键． 【详解】（1）解：解方程得： ，， ， 方程是倍根方程； 故答案为：“倍根方程”； （2）解：程的两个根为，， 一元二次方程是“倍根方程”， ， ，， ，， ， ； （3）解：元二次方程，的两个实数根分别为、， 这个方程既是“倍根方程”又是“方根方程”， ，， ， 解得或（舍去）， ， 或，， ， 解得或（舍去）， ， 这个方程的根是2、4或、． 【变式7-2】如果关于 的一元二次方程有两个实数根，且，那么称这样的方程为“邻近根方程”，例如，一元二次方程的两个根是，，，则方程是“邻近根方程”。 （1）判断方程是否是“邻近根方程”； （2）若关于的方程（是常数）是“邻近根方程”，求的最大值。 【答案】（1）是；（2）48 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了二次函数的性质． （1）先利用求根公式得到，，再计算出，从而可判断方程是“邻近根方程”； （2）设一元二次方程两个实数根，则利用根与系数的关系得，，，再利用得到，所以，从而得到，所以，然后根据二次函数的性质解决问题． 【详解】（1）解：（1）∵，，， 则， ∴， ∴，， ∴， ∴方程是“邻近根方程”； （2）设一元二次方程两个实数根，， 根据根与系数的关系得，， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴当时，有最大值，最大值为48． 【基础训练】 1、若关于的方程的一个根为1，则它的另一个根为（ ）。 A．25 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查根与系数的关系，设方程的另一个根为，根据根与系数的关系，得到，进行求解即可． 【详解】解：设方程的另一个根为，由题意，得：，∴；故选C． 2、已知，是方程的两个实数根，则式子的值为（ ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的解、一元二次方程根与系数的关系．首先根据，是方程的两个实数根，可得，根据是一元二次方程的根可知，然后整体代入代数式求值即可． 【详解】解：，是方程的两个实数根， ， 把代入方程可得：， ， ． 故选：D． 3、已知方程的两个实数根分别是，，则的值为（ ）。 A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系．熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键．根据一元二次方程的根与系数的关系求解作答即可． 【详解】解：∵方程的两个实数根分别是，， ∴， 故选：A． 4、若关于的方程的两根之和为，两根之积为，则关于的方程的两根之积是 。 【答案】 【分析】本题考查根与系数的关系，设关于的方程的两个根为，得到，，设，则利用换元法，得到的两个根为，再进行求解即可． 【详解】解：设关于的方程的两个根为，则：，， ∴关于y的方程的两根为，， ∴； 故答案为：． 5、已知实数，是方程的两根，则 。 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此可得答案． 【详解】解：∵实数，是方程的两根， ∴，故答案为：． 6、已知，是一元二次方程的两根，则 。 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则．据此求解，即可解题． 【详解】解： m，n是一元二次方程的两根， ， 故答案为：． 7、已知关于的一元二次方程。 （1）当是方程的一个根时，求方程的另一个根； （2）若，是方程的两个不相等的实根，且，满足，求的值。 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，一元二次方程解的定义，解一元二次方程等等，熟知一元二次方程的相关知识是解题的关键． （1）直接根据根与系数的关系求出另一个根即可； （2）根据根与系数的关系得到，再利用判别式求出，结合已知条件推出，即， 解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：设另一个根为，则，解得 ∴另一个根为； （2）解：由题意得：， 同时满足即， ∴， ∵，． ∴ ∴， 解得， ∴的值为． 8、已知等腰的三条边长分别是，其中，和是关于的方程的两根。 （1）求的值； （2）求等腰三角形的周长。 【答案】(1)24或25：(2)14 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，三角形三边关系，等腰三角形的性质，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． （1）由一元二次方程根与系数的关系可得，，分为腰长和底边长两种情况，分别求出相应的m的值，继而利用三角形三边关系进行验证后即可得答案； （2）由（1）得到为腰长时，三角形三边分别为4，4，6和为底边长时，三角形三边分别为4，5，5，进而分别求解即可． 【详解】（1）解：∵、是关于的方程的两个根， ∴，， ∴当为腰长时，，（或，）， ∴此时； ∵，故4，4，6可组成三角形， ∴符合题意； 当为底边长时， ∵，， ∴， ∴， ∵，故4，5，5可组成三角形， ∴符合题意， 综上所述，m的值为24或25； （2）解：由（1）得，当为腰长时，三角形三边分别为4，4，6， ∴周长为； 当为底边长时，三角形三边分别为4，5，5， ∴周长为； 综上所述，等腰三角形的周长为14． 9、已知关于的方程。 （1）若该方程有两个实数根，求的取值范围； （2）若方程有一个根为，求的值及方程的另一个根。 【答案】(1)；(2)，另一个根为3 【分析】本题主要考查了根与系数的关系及根的判别式． （1）根据一元二次方程根的判别式即可解决问题． （2）将代入方程即可求出m的值，再利用一元二次方程根与系数的关系求出另一个根即可． 【详解】（1）解：因为关于x的方程有两个实数根， 将所给方程整理成一般式得，， 所以， 解得， 所以m的取值范围是； （2）解：将代入原方程得， ， 解得， 又因为两根之和为1， 所以方程的另一个根为3． 10、【阅读材料】若关于的一元二次方程的两根为、，则，。这就是一元二次方程根与系数的关系．根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： （1）【材料理解】一元二次方程的两根为、，则_____，_____； （2）【类比运用】已知关于的一元二次方程。 ①求证：无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根； ②若方程的两个实数根为、，满足，求的值。 【答案】(1)， (2)①见解析；②或 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的判别式，完全平方公式的变形计算，解一元二次方程等，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据一元二次方程根与系数的关系进行计算即可； （2）①证明即可； ②通过一元二次方程根与系数的关系表示出两根和，以及两根乘积，然后代入解方程即可． 【详解】（1）解：， ，，， ，， 故答案为：，； （2）解：① 无论为何实数，， ， 无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根； ②由根与系数的关系得出，， ， ， 化简得， 解得或． 【巩固训练】 1、已知和是方程的两个解，则的值为（ ）。 A．2020 B．2024 C．2026 D．2028 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的解和根与系数关系、代数式求值．先根据方程的解满足方程以及根与系数关系求得，，再代值求解即可． 【详解】解：∵a和b是方程的两个解， ∴，， ∴， ∴， 故选：D． 2、若是一元二次方程的两个根，则的值是（ ）。 A．7 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握根与系数的关系的计算是解题的关键．根据题意，运用一元二次方程根与系数的关系“”即可求解． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个根， ∴， 故选：B ． 3、是一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ）。 A．4 B． C．3 D．1 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，根据题意，由一元二次方程根与系数的关系得到，代入求值即可得到答案，熟记一元二次方程根与系数的关系是解决问题的关键． 【详解】解：是一元二次方程的两个实数根， ， ， 故选：C． 4、已知关于的一元二次方程的一个根是-7，则另一个根是 。 【答案】2 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，解题的关键是掌握：对于有两个实数根的一元二次方程，，． 利用即可解答． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根为，另一个根为a， ∴， 解得：， 则另一根是2． 故答案为：2． 5、如果、是一元二次方程的两个根，那么的值是 。 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，即一元二次方程的两根之和是，两根之积是．根据一元二次方程的根与系数的关系得到两根之和，即可求解． 【详解】解：、是一元二次方程的两个根， ， 故答案为：． 6、设，是方程的两个实数根，则的值为 。 【答案】2023 【分析】此题主要考查了根与系数的关系，二元一次方程的解，由于m，n是方程的两个实数根，根据根与系数的关系可以得到，并且，然后把可以变为，把前面的值代入即可求出结果． 【详解】解：∵m，n是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：2023． 7、关于的一元二次方程有两个不相等实根，。 （1）求实数的取值范围； （2）若方程两实根，满足，求的值。 【答案】(1)；(2)2 【分析】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，根据根与系数的关系找出关于的一元二次方程是解题的关键． （1）由方程的系数结合根的判别式即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出实数的取值范围； （2）由根与系数的关系可得、，结合即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出值，再根据即可确定的值． 【详解】（1）解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得：． 实数的取值范围为． （2）解：由根与系数的关系，得：，， ， ， 解得：或， 又， ． 8、已知关于的方程。 （1）求证：无论取任何实数，方程总有实数根； （2）若等腰三角形的一边长为4，另两边长恰好是这个方程的两个根，求此时的值。 【答案】(1)详见解析；(2) 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根；也考查了解一元二次方程，根与系数的关系：一元二次方程两实数根为、，则，． （1）分和时两种情况求解即可；（2）分三角形的腰长为4和底边为4两种情形讨论即可． 【详解】（1）解：当时，原方程变为，解得，故符合题意； 当时， ∵， ∴无论k取任何非零实数，方程总有实数根． （2）解：当三角形的腰长为4时，设底边为a， ∴是的一根， ∴， ∴， ∴， ∴由根与系数的关系可知：，∴， 此时，能够组成三角形，满足题意； ∴当底边为4时，设腰长为b， ∴有两个相同的根， ∴，∴， ∴原方程为 ∴该方程的解为：． ∴，不能组成三角形，故舍去，综上所述，． 9、在解一元二次方程时，小马同学粗心地将二次项的系数与一次项系数对换了，得到了一个新的方程。他正确地解出了这个新的方程，其中一个根是3，另一根等于原方程的一个根。 （1）求这两个方程相同的根； （2）求原方程两根之和。 【答案】(1)1：(2) 【分析】本题考查一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系： （1）令，结合，可得两方程相同的根； （2）结合（1）中结论，利用一元二次方程根与系数的关系求解． 【详解】（1）解：原方程为，小马解的方程为， 令， 化简得， ， ，， ， 即这两个方程相同的根是1． （2）解：由（1）可知新方程的两个根为3，1， ， ， 原方程为两根之和为． 10、阅读材料：对于一个关于的一元二次方程（其中，为常数）的两根分别为，我们有如下发现：①若为整数，则这个一元二次方程的判别式一定为完全平方数；②满足韦达定理：即，；③韦达定理也有逆定理，即如果两数和满足如下关系：，，那么这两个数和是方程的两个根。请应用上述材料解决以下问题： （1）若实数是关于的一元二次方程的两个根， ①当时，则 ， ； ②若均为整数且，求的值； （2）已知实数满足求的值。 【答案】(1)①，；②无解；(2)39 【分析】（1）①根据韦达定理即可得出结论； ②先表示出判别式，再判断出，即可得出结论； （2）根据韦达定理的逆定理写出方程，即可得出结论． 此题主要考查了材料的理解和应用，一元二次方程的解、一元二次方程的根与系数的关系，判别式的应用，理解和灵活应用韦达定理是解本题的关键． 【详解】（1）解：①当时，关于的一元二次方程，即为， ，， 故答案为，； ②、为整数， ∴， 是整数，且， ∴， 即 此时无解； （2）解：∵，， 又∵，和可以看成是方程的两个根， 解方程得，或， ，或，， ①当，，和可以看作是方程的两根， 此时，符合题意， ； ②当，，和可以看作是方程的两根， 此时，方程无解，不符合题意； ． 【拔高训练】 1、已知，是方程的两根，则的值为（ ）。 A．5 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了根与系数的关系，方程根的定义，利用一元二次方程根与系数的关系得到，再根据一元二次方程根的定义得到，最后整体代入即可解决问题． 【详解】解：，是方程的两根， ∴，，即， ∴ ． 故选：D． 2、若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ）。 A．2002 B．2003 C．2004 D．2005 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的根及根与系数的关系，关键是根据根的定义及根与系数的关系得出关于的方程后变形代入目标代数式，解题技巧体现为代入时“降次”（例如：）．根据 是一元二次方程的两个实数根，分别把代入，得出关于的方程，利用这些方程结合目标代数式变形，利用根与系数的关系即可． 【详解】解： 是一元二次方程的两个实数根， ，， ∴，， 给左右两边同乘以得：， ∴， ， 根据一元二次方程的根与系数的关系可得： ，代入上式，得 ， 故选：D． 3、已知是方程的两根，则的值为（ ）。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】直接利用根与系数的关系作答． 此题主要考查了根与系数的关系，一元二次方程的根与系数的关系为： 【详解】解：是方程的两根， ， 故选：C． 4、若，是方程的两个实数根，则的值为 。 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义以及根与系数的关系，根据已知可得，，整体代入代数式，即可求解． 【详解】解：∵，是方程的根， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 5、设，是的两个实数根，则的值是 。 【答案】5 【分析】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的解等知识点,若是一元二次方程的两根时，则，． 由根与系数的关系可得，由方程的解的定义可得，最后整体代入计算即可． 【详解】解：∵，是的两个实数根， ∴，， ∴． 故答案为：5． 6、若，是方程的两个根，则的值是 。 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，根据题意得，，再代入代数式计算即可．解题的关键是掌握：如果的两个实数根是，那么，． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴，， ∴， ∴的值是． 故答案为：． 7、已知关于的一元二次方程。 （1）试说明：对于任意实数，该方程总有实数根； （2）若这个一元二次方程的两根分别为，，且，则的值为多少？ 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】本题考查了根的判别式及解一元二次方程． （1）根据一元二次方程判别式为即可解答； （2）解方程，求得，，根据题意得到，解不等式即可． 【详解】（1）证明：∵关于x的一元二次方程， ∴， ∴对于任意实数m，该方程总有实数根； （2）解：根据题意得，， ∵， ∴， 即， 整理后得， ∴． 8、已知关于的一元二次方程。 （1）当为何值时，方程有两个实数根； （2）若、是方程的两根，且，求的值。 【答案】（1）且；（2） 【分析】本题考查根与系数关系，根的判别式，解题的关键是： （1）根据不等式组解决问题即可； （2）构建方程求解即可． 【详解】（1）解：一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得且， 且时方程有两个实数根； （2）、是方程的两根， ，． ， ， ， 经检验，的值为． 9、已知的两边的长是关于的一元二次方程的两个根，第三边的长是13。 （1）求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）当为何值时，是以为斜边的直角三角形。 【答案】（1）证明见解析；（2）的值为5 【分析】本题考查了根的判别式，根与系数的关系，勾股定理． （1）根据题意直接列出根的判别式，即可证明； （2）根据根与系数的关系用表示出，，再利用勾股定理，变式得到，代入即可得到关于的方程，解之即可得到答案． 【详解】（1）证明：， ， 无论为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：是的两个根， ，， 是以为斜边的直角三角形， ， ， ， 即，解得（，不合题意，舍去）， 的值为5． 10、材料：若关于的一元二次方程的两个根为，，则，。如：一元二次方程的两个实数根分别为，，则，；又如：一元二次方程的两个实数根分别为，，则，。 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题。 （1）一元二次方程的两个根分别为，，则______，______； （2）已知一元二次方程的两根分别为，，求的值； （3）思维拓展：已知实数、分别满足，其中且，求的值。 【答案】（1），；（2）；（3）-2 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，读懂材料是解题的关键． （1）用材料中给出的，直接计算即可； （2）将变形为，即可求解； （3）将变形为，则可看作一元二次方程的两个根，根据根与系数的关系可得，，即可解答． 【详解】（1）解：由题意知，，，故答案为：，； （2）解：由题意知，，，则； （3）解：∵且，∴， ∴，即，∴ ， ∴可看作一元二次方程的两个根， ∴，， ∴，，即， ∴ ． 第六节 一元二次方程的应用 【考点梳理】 考点一 列一元二次方程解应用题的一般步骤 （1）审题，（2）设未知数，（3）列方程，（4）解方程，（5）检验，（6）作答。 关键点：找出题中的等量关系。 （1）“审”指读懂题目、审清题意，明确已知和未知，以及它们之间的数量关系。这一步是解决问题的基础； （2）“设”是指设元，设元分直接设元和间接设元，所谓直接设元就是问什么设什么，间接设元虽然所设未知数不是我们所要求的，但由于对列方程有利，因此间接设元也十分重要。 （3）“列”是列方程，这是非常重要的步骤，列方程就是找出题目中的等量关系，再根据这个相等关系列出含有未知数的等式，即方程。找出相等关系列方程是解决问题的关键； （4）“解”就是求出所列方程的解； （5）检验：应注意的是一元二次方程的解，有可能不符合题意，如线段的长度不能为负数，降低率不能大于等等。因此，解出方程的根后，一定要进行检验。 （6）作答。 考点二 几何类题 ①等积变形，②动态几何问题，③梯子问题，④航海问题，⑤几何与图表信息，⑥探索存在问题，⑦平分几何图形的周长与面积问题，⑧利用图形探索规律。 ①面积一定，两直角边和（和为）一定：设其中一边为，另一边为，则 ②面积一定，两直角边差（差为）一定：设其中一边为，另一边为或，则或 ③斜边一定，两直角边和（和为）一定：设其中一边为，另一边为，则 ④斜边一定，两直角边差（差为）一定：设其中一边为，另一边为或，则或。 考点三 用一元二次方程解与增长率（或降低率）有关的问题 增长率问题的有关公式： （1）增长数（增长了多少）=基数×增长率　　 （2）实际数（增长后的值）=基数＋增长数 增长率问题与降低率问题的数量关系及表示法： 若基数为，增长率为，则一次增长后的值为，两次增长后的值为； 若基数为，降低率为，则一次降低后的值为，两次降低后的值为。 两次增长后的总和=基数+第一次降低后的值+第二次降低后的值 考点四 与市场经济有关的问题：如：营销问题、水电问题、水利问题等 与利润相关的常用关系式有： （1）每件利润=销售价-成本价； （2）利润率=（销售价—进货价）÷进货价×100%； （3）销售额=售价×销售量。 考点五 数与数字的关系 1、两位数=（十位数字）×10＋个位数字 2、三位数=（百位数字）×100＋（十位数字）×10＋个位数字 3、连续的整数：设其中一数为，另一数为；。 4、连续的奇数：设其中一数为，另一数为；。 5、连续的偶数：设其中一数为，另一数为；。 6、和一定的两数（和为）：设其中一数为，另一数为 7、差一定的两数（差为）：设其中一数为，另一数为 8、积一定的两数（积为）：设其中一数为，另一数为 9、商一定的两数（商为）：设其中一数为，另一数为 考点六 传播问题和循环问题 1、传播问题： 传染源：1个【 每一轮1个可传染给个】【前后轮患者数的比例为】 患者： 第一轮后：共个； 第二轮后：共，即个； 第三轮后：共，即个； 第轮后：共个。 注意：上面列举的是传染源为“1”的情况得到的结论。若传染源为，则第轮后患者共为：个。 2、赛制循环问题：【单循环比双循环少了一半】 单循环：设参加的球队为，则全部比赛共场； 双循环：设参加的球队为，则全部比赛共场； 注：双循环公式，单循环公式，其实也就可以理解为单循环循环赛就是和每个对手比赛1次（对手数量=参赛队数量-1），而每场比赛有2队参加，就得除以2。双循环比赛场次是单循环的2倍。 3、类似于本题其它题型如： （1）相互握手； （2）铁路沿线有个站点要设计多少种车票； （3）一条线段上有个点（含两个端点），①该线段上共有条有向线段，②该线段上共有条线段。 【重点题型】 题型一 增长率问题 【典例1】为了培养学生多读书，读好书、好读书的习惯，某校举办了校园阅读节活动。据统计，该校七年级学生三月份借阅图书600本，四、五月份共借阅图书1600本，设四、五月份借阅的图书每月平均增长率为，则根据题意列出的方程是（ ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是得到相应的等量关系，注意四、五月份借出图书量是在三月份借出图书量的基础上得到的． 首先表示出四月份借出图书本，五月份借出图书本，然后根据四、五月份共借出图书1600本列出方程即可． 【详解】解：设四、五月份借出的图书每月平均增长率为，则四月份借出图书本，五月份借出图书本， 根据题意列出的方程是，故选：B． 【变式1-1】某景区游客人数逐年攀升，成为“网红打卡地”。2022年接待游客25万人次，2024年预计达到36万人次，则游客人数年平均增长率为___________。 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设游客人数年平均增长率为x，根据2022年及2024年的游客人数，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设游客人数年平均增长率为x， ∴， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴游客人数年平均增长率为；故答案为：． 【变式1-2】据乘用车市场信息联席会数据显示，我国新能源车发展迅速，2024年4月至6月，新能源车月销量由68.3万辆增加到82.7万辆。设2024年4月至6月新能源车销量的月平均增长率为，则可列方程________________。 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设2024年4月至6月新能源车销量的月平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程，即可求解． 【详解】解：设2024年4月至6月新能源车销量的月平均增长率为x，依题意得， ， 故答案为：． 【变式1-3】现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展。据调查，某家小型快递公司，今年7月份与9月份完成投递的快递总件数分别约为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同。 （1）求该快递公司投递总件数的月平均增长率； （2）如果平均每人每月最多可投递0.9万件，那么该公司现有的16名快递投递业务员能否完成今年10月份的快递投递任务？请回答并说明理由。 【答案】(1)；(2)能，理由见解析 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用（增长率问题），直接开平方法解一元二次方程，有理数四则混合运算的实际应用，有理数乘法的实际应用，有理数大小比较的实际应用等知识点，根据题目给出的条件找出合适的等量关系列方程求解是解题的关键． （1）设该快递公司投递总件数的月平均增长率为，根据“今年7月份与9月份完成投递的快递总件数分别约为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同”建立方程，解方程即可得出答案； （2）首先求出今年10月份的快递投递任务，再求出该公司现有的16名快递投递业务员能完成的快递投递任务，进行比较即可得出结论． 【详解】（1）解：设该快递公司投递总件数的月平均增长率为，根据题意可得： ， 解得：，（不符合题意，故舍去）， ， 该快递公司投递总件数的月平均增长率为； （2）解：能，理由如下： 今年10月份的快递投递任务是： （万件）， 平均每人每月最多可投递0.9万件， 该公司现有的16名快递投递业务员能完成的快递投递任务是： （万件）， ， 该公司现有的16名快递投递业务员能完成今年10月份的快递投递任务， 答：该公司现有的16名快递投递业务员能完成今年10月份的快递投递任务． 题型二 营销问题 【典例2】某体育球类专卖店将进货单价为100元的某品牌篮球按零售价135元一个售出时，每天能卖出100个。若这种篮球的零售价在一定范围内每降价1元，其日销量就增加4个，要使顾客尽量得到实惠，且每天获得的利润为3596元，每个篮球需降价（ ）。 A．4元 B．6元 C．4元或6元 D．5元 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键．设每个篮球需降价x元，根据总利润单件利润销售量列方程求解即可． 【详解】解：设每个篮球需降价x元， 根据题意，得， 整理，得， 解得，， ∵要使顾客尽量得到实惠， ∴，即每个篮球需降价6元，故选：B． 【变式2-1】宾馆有60间房供游客居住，当每间房每天定价为170元时，宾馆会住满；当每间房每天的定价每增加10元时，就会空闲一间房，如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出15元的费用，当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为10890元？设房价定为元，则有（ ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题列出一元二次方程，设房价定为元，根据利润房间的净利润入住的房间数即可得解，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． 【详解】解：设房价定为元． 由题意可得：，故选：A． 【变式2-2】某网店销售医用外科口罩，每盒售价元，每星期可卖盒。为了便民利民，该网店决定降价销售，市场调查反映：每降价元，每星期可多卖盒。已知该款口罩每盒成本价为元，若该网店某星期获得了元的利润，且尽快减少库存，那么该网店这星期销售该款口罩__________盒。 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找出等量关系，列出方程． 根据每降价1元，每星期多卖盒，该网店想一星期获利元，列出一元二次方程，求解即可． 【详解】解：设该网店降价元， 则根据题意可得：， 整理得：，解得：， ∵尽快减少库存， ∴当降价元时，这星期预期销售盒口罩，故答案为． 【变式2-3】友谊书店经销一种学生双肩包，已知这种双肩包的成本价为30元/个。调查发现，这种双肩包每天的销售量（个）与单价（元/个）有如下关系：（，为整数）。设这种双肩包每天的销售利润为元。 （1）求出与之间的函数解析式； （2）这种双肩包的销售单价定为多少元/个时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ （3）如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不能高于45元/个，该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为多少元/个？ 【答案】(1)；(2)销售单价定为45元/个时，最大利润是225元；(3)每天要获得200元的销售利润，销售单价定为40元/个 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用等知识点， （1）由每天的销售利润＝每天的销售量×每件产品的利润列式，即可得解； （2）根据配方法和二次函数的性质，即可得答案； （3）根据自变量与函数值的对应关系，列方程，解方程，即可得解； 正确得到每天的销售利润的关系式是解决本题的关键． 【详解】（1） ， ∴w与x之间的函数解析式； （2）根据题意得：， ∵， ∴当时，w有最大值，最大值是225， 答：这种双肩包的销售单价定为45元/个时，每天的销售利润最大？最大利润是225元； （3）当时，，解得，， ∵，∴（不符合题意，舍）， 答：该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为40元． 题型三 与图形有关的问题 【典例3】为更好地落实劳动课程，学校将实践基地“分田到班”，九（1）班分到如图所示一块长为，宽为的矩形空地，计划分割出两块完全相同的矩形菜地（阴影部分）用来种植蔬菜，菜地四周空白部分为宽度相等的人行道，若菜地的面积之和为。设人行道的宽度为，则列出关于的方程应为（ ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的应用．正确的识图，确定矩形的长和宽，列出方程，是解题的关键．人行道的宽度都为，根据两块完全相同的矩形的面积之和为，列出方程即可． 【详解】解：若人行道的宽度都为， 由题意，得：；故选：B． 【变式3-1】如图，某农户准备建一个长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，若墙长为，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长，围成长方形的养鸡场四周不能有空隙。有下列结论： ①要围成养鸡场的面积为，则养鸡场的宽为； ②围成养鸡场的面积能达到； ③围成养鸡场的最大面积为 其中，正确结论的个数是（ ）。 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查了与图形有关的一元二次方程的应用，二次函数的应用，根据题意列出方程或函数关系式是解题的关键；设养鸡场的宽为，则长为；当时，求得x的值，可判定①；当时，求得x的值，可判定②；设围成养鸡场的面积为，则，利用二次函数的性质即可判断③．最后可作出判断． 【详解】解：设养鸡场的宽为，则长为； ①由题意得：，解得：， 当时，， 即长超过了墙长，不合题意，故， 即养鸡场的宽为； 故①错误； ②由题意得：， 整理得：； 而， 即一元二次方程无实数解； 故围成养鸡场的面积能达到； 故②错误； ③设围成养鸡场的面积为； 由题意得：， 由于，则围成养鸡场的最大面积为； 故③正确； 综上，正确的只有一个；故选：B． 【变式3-2】园林绿化处有一块长、宽的矩形空地。现计划在矩形空地的中间设计横竖道路，各与矩形的一条边平行，且横竖道路的宽度比为，余下的种草坪，其中草坪的面积占这块空地面积的四分之一，若设横向道路的宽为，可列方程为____________________。 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设横向道路的宽为，，则纵向道路的宽度为，余下的部分的面积等同于长为、宽为的矩形的面积，结合草坪的面积占这块空地面积的四分之一，可列出关于的一元二次方程，即可求出结论． 【详解】解：设横向道路的宽为，，则纵向道路的宽度为，余下的部分的面积等同于长为、宽为的矩形的面积， 根据题意得：． 故答案为：． 【变式3-3】某建筑工程队，在工地一边的靠墙处（利用墙，墙长50米），用130米长的建筑材料围成一个占地总面积为825平方米的3个长方形仓库（如图），为了便于搬运货物，现决定在与墙平行的边上，每个仓库预留出1个长度为1米的门，求与墙垂直的边的长。 【答案】与墙垂直的边的长为25 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是理解题意，列出方程并计算求解，本题根据面积列出方程求解即可． 【详解】解：设与墙垂直的边的长为x． ∴长为米， ；解得：， ∵，∴，∴， 答：与墙垂直的边的长为25 ． 【变式3-4】综合与实践 如图1，有一张长，宽的长方形硬纸片，截去四个大小相同小正方形之后，折成如图2所示的长方体形的无盖纸盒，设截取的小正方形边长为。 （1）用含有的代数式分别表示无盖纸盒底面的长（________），宽（________）； （2）若纸盒的底面积为，求小正方形边长为的值； （3）求出（2）中长方体纸盒的容积。 【答案】(1)，；(2)5；(3) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，长方体的平面展开图等知识点， （1）根据长两个小正方形的长，宽两个小正方形的宽即可得到答案； （2）根据面积＝长×宽，列出关于x的一元二次方程，解之即可； （3）利用长方体的体积公式计算即可； 根据题意找出等量关系，列出方程是解决此题的关键． 【详解】（1）根据题意得：长：，宽：； 故答案为：，； （2）根据题意得： 整理得： 解得：（舍去），， ∴小正方形边长为x的值为5； （3）∵， ∴，， ∴根据题意得：（2）中长方体纸盒的容积为：． 题型四 传播问题 【典例4】一个同学经过培训后会做某项实验，回到班级后第一节课他教会了若干个同学，第二节课会做的同学每人又教会了同样多的同学，这样全班共有36人会做这项实验，若设1人每次能教会名同学，则可列方程为（ ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设平均每节课一人教会x人，根据题意表示出两节课教会的人数，进而得出答案． 【详解】解：设平均每节课一人教会x人，根据题意可得： ，即：，故选：B． 【变式4-1】有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，每轮传染中平均一个人传染的人数满足的方程为（ ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，认真审题，找到等量关系是解题关键． 每轮传染中平均一个人传染的人数为x人,即经过第一轮有人感染,则经过第二轮有 人被感染,根据两次一共有100被感染即可列出方程． 【详解】解：由题可知．故选：A． 【变式4-2】某人用手机发短信，获得信息人也按他的发送人数发送该条短信，经过两轮短信的发送，共有90人手机上获得同一条信息，则每轮发送短信中，平均一个人向个人发送短信。则根据题意列出的方程是_____________。 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意是解答的关键．根据每一轮中发送人数与接收人数列方程即可． 【详解】解：设每轮发送短信平均一个人向个人发送短信，则，故答案为： 【变式4-3】某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮被感染后就会有144台电脑被感染。每轮感染中平均一台电脑会感染________台电脑。 【答案】11 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑，根据“经过两轮被感染后就会有144台电脑被感染”，即可得出关于的一元二次方程，解方程即可得出答案，理解题意，正确列出一元二次方程是解此题的关键． 【详解】解：设每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑， 根据题意列方程得：， 解得（不符合题意，舍去）， 即每轮感染中平均一台电脑会感染11台电脑． 【变式4-4】研究所在研究某种流感病毒发现，若一人携带此病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有144人患病（假设每轮每人传染的人数相同）。 （1）每轮传染中平均每个人传染了几个人？ （2）如果这些病毒携带者，未进行有效隔离，按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有多少人患病？ 【答案】(1)11个；(2)1728人 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设每轮传染中平均每个人传染了x个人，根据“若一人携带此病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有144人患病”，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）利用经过三轮传染后患病的人数＝经过两轮传染后患病的人数，即可求出结论． 【详解】（1）解：设每轮传染中平均每个人传染了x个人． 依题意，得， 解得（不符合题意，舍去）． 答：每轮传染中平均每个人传染了11个人． （2）解：（人）． 答：按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有1728人患病． 题型五 数字问题 【典例5】若一个两位数比它的十位数字与个位数字和的平方少2，且个位数字比十位数字大1，则这个两位数是（ ）。 A．23 B．34 C．23或34 D．或 【答案】A 【分析】此题考查一元二次方程的实际运用，设十位数字为，个位数字为，根据这两个数字之积等于它们数字和的2倍列方程求出其解即可，找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关键． 【详解】解：设十位数字为，则个位数字为，依题意得： ， 整理得：， ∴ 解得：（舍去），， ∴， ∴， ∴这个两位数是，故选：A． 【变式5-1】两个数的差等于，积等于，则这两个数为（ ）。 A．， B．， C．， D．，或， 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设这两个数中的大数为，则小数为 ，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设这两个数中的大数为，则小数为 ， 由题意得，,解得，， ∴小数为或，∴这两个数为，或，，故选：． 【变式5-2】两个连续偶数的积为48，设较大的偶数为，则得到关于的方程是__________。 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的运用，要注意两个连续的偶数相差2而不是1．两个连续的偶数相差2，设较大的偶数为x，则较小的数为，再根据两数的积为48即可得出答案． 【详解】解：设较大的偶数为x，则较小的数为， 根据题意得：。故答案为：． 【变式5-3】如图所示的是2024年1月的日历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，请解答下列问题。 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 （1）若虚线方框中最大数与最小数的乘积为180，求最小数。 （2）虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为124吗？若能，请求出最小数；若不能，请说明理由。 【答案】(1)10；(2)方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为124，理由见详解 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设最小数是x，则最大数是，根据题意列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）假设方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为124，设最小数为y，则另外三个数分别是，，，根据题意列出关于y的一元二次方程，解之可得出y的值，由在最后一列，可得出假设不成立，即方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为124． 【详解】（1）解：设最小数是x，则最大数是， 根据题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去） 答：最小数是10； （2）方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为124，理由如下： 假设方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为124，设最小数为y，则另外三个数分别是，，， 根据题意得：，整理得：， 解得：（不符合题意，舍去） 在最后一列， 假设不成立， 即方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为124． 题型六 动态几何问题 【典例6】如图，在中，，，。动点从点开始以的速度沿边向点运动；动点从点开始以的速度沿边向点运动。如果，两点分别从，两点同时出发，设运动时间为秒。 ①当时，的面积为；②有两个不同的值，都使的面积为； ③面积的最大值为： 其中，正确结论的个数是（ ）。 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，根据题意和三角形的面积列出函数关系进而判断①②，根据二次函数的性质，即可判断③ 【详解】解：①由题意得：根据题意得：，， ∴， ∴， 当时，故①正确； 当时， ，解得：，， ∵， ∴出发时间有两个不同的值满足△BPQ的面积为，故②正确； ∵ ∴当时，△BPQ的面积最大，且最大值为，故③错误 故选：C． 【变式6-1】如图，在矩形中，，，点从点沿方向向点以运动，点从点沿方向向点以运动，若、从点同时出发，（ ）秒钟时的面积是。 A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是根据图形，得出数量关系，列出方程求解．设当运动时间为时，，，，根据，解方程即可求解； 【详解】，． 当运动时间为时，，，，， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，不符合题意，舍去， 秒时的面积是．故选：B． 【变式6-2】如图，在矩形中，，，动点从点出发，沿向终点以的速度移动，动点从点出发沿向终点C以的速度移动，如果，分别从点，同时出发，其中一个动点到达终点，另一个动点也随之停止移动。若点移动的时间为秒。 （1）当点在移动时，的长为__________。（用含的式子表示） （2）当以，，为顶点的三角形的面积为时，的值为__________。 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次方程的应用以及列代数式． （1）利用的长的长−点的运动速度运动时间求解即可； （2）分Q在和上讨论，根据三角形的面积构建方程求解即可． 【详解】解：（1）根据题意，得， ∴， 故答案为：； （2）当Q在上时，此时， 根据题意，得， 解得，（不符合题意，舍去）； 当Q在上时，此时， 根据题意，得， （不符合题意，舍去）， 综上，，故答案为：． 【变式6-3】如图，中，，，，点从点开始沿向点以的速度运动，点从点开始沿边向点以的速度移动。如果、分别从、同时出发，那么________秒后，线段将分成面积的两部分。 【答案】2或4 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找出等量关系正确列方程是解题关键．设运动时间为，根据题意可得，，再根据三角形面积公式分两种情况求解即可． 【详解】解：设运动时间为，则，， ∵，， ∴cm， ∵线段将△ABC分成面积的两部分， ∴或， ∴，或， 整理得：或（无实数解），     解得，， 即线段将△ABC分成面积的两部分，运动时间为2或4秒．故答案为：2或4． 【变式6-4】如图，在矩形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动。如果，分别从，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动。设运动时间为秒。 （1）当为何值时，的长度等于？ （2）连接，是否存在的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由。 【答案】2或4 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找出等量关系正确列方程是解题关键．设运动时间为，根据题意可得，，再根据三角形面积公式分两种情况求解即可． 【详解】解：设运动时间为，则，， ∵，，∴cm， ∵线段将△ABC分成面积的两部分， ∴或， ∴，或， 整理得：或（无实数解），     解得，， 即线段将△ABC分成面积的两部分，运动时间为2或4秒．故答案为：2或4． 题型七 工程问题 【典例7】为了提升干线公路美化度，相关部门拟定派一个工程队对39000米的公路进行路面“白改黑”工程。该工程队计划使用一大一小两种型号设备交替的方式施工，原计划小型设备每小时铺设路面30米，大型设备每小时铺设路面60米。 （1）由于小型设备工作效率较低，该工程队计划使用大型设备的时间比使用小型设备的时间多，当这个工程完工时，小型设备的使用时间为多少小时？ （2）通过勘察、又新增了部分支线公路美化，结果此工程的实际施工里程比最初拟定的里程39000米多了9000米，于是在实际施工中，小型设备在铺设公路效率不变的情况下，使用时间比原计划增加了小时，同时，因为新增的工人操作大型设备不够熟练，使得比原计划每小时下降了米，使用时间增加了小时，求的值。 【答案】(1)300；(2)5 【分析】（1）设小型设备的使用时间为x小时，则大型设备的使用时间为小时，根据题意列出方程，即可求解； （2）由（1）得：大型设备的原来使用时间为小时，根据题意可得小型设备的使用时间为小时，大型设备铺设公路每小时为米，大型设备的使用时间为小时，根据题意列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：设小型设备的使用时间为x小时，则大型设备的使用时间为小时，根据题意得：，解得：， 答：小型设备的使用时间为300小时； （2）解：由（1）得：大型设备的原来使用时间为小时， 根据题意得：小型设备的使用时间为小时，大型设备铺设公路每小时为米，大型设备的使用时间为小时， ∴， 整理得：，解得：（舍去）．即m的值为5． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 【变式7-1】某市创建“绿色发展模范城市”，针对境内长江段两种主要污染源：生活污水和沿江工厂污染物排放，分别用“生活污水集中处理”（下称甲方案）和“沿江工厂转型升级”（下称乙方案）进行治理，若江水污染指数记为，沿江工厂用乙方案进行一次性治理（当年完工），从当年开始，所治理的每家工厂一年降低的值都以平均值计算，第一年有40家工厂用乙方案治理，共使值降低了12。经过三年治理，境内长江水质明显改善。 （1）求的值； （2）从第二年起，每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数，三年来用乙方案治理的工厂数量共190家，求的值，并计算第二年用乙方案新治理的工厂数量。 【答案】（1）；（2），60家 【分析】（1）直接利用第一年有40家工厂用乙方案治理，共使Q值降低了12，列出关于n的一元一次等式，从而求出答案； （2）从第二年起，每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数m，三年来用乙方案治理的工厂数量共190家，列出关于m的一元二次等式，从而求出m及第二年用乙方案新治理的工厂数量． 【详解】解：(1)由题意可得：， 解得； (2)由题意可得：， 解得：，（舍去）， ∴第二年用乙方案新治理的工厂数量为：（家）． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程和一元二次方程的实际应用，解题的关键是要读懂题目的意思，根据所给条件，找出合适的等量关系，列出方程从而求解． 【变式7-2】“端午临中夏，时清日复长”。临近端午节，一网红门店接到一批3200袋粽子的订单，决定由甲、乙两组共同完成。已知甲组3天加工的粽子数比乙组2天加工的粽子数多300袋。两组同时开工，甲组原计划加工10天、乙组原计划加工8天就能完成订单。 （1）求甲、乙两组平均每天各能加工多少袋粽子； （2）两组人员同时开工2天后，临时又增加了500袋的任务，甲组人员从第3天起提高了工作效率，乙组的工作效率不变。经估计，若甲组平均每天每多加工100袋粽子，则甲、乙两组就都比原计划提前1天完成任务。已知甲、乙两组加工的天数均为整数，求提高工作效率后，甲组平均每天能加工多少袋粽子？ 【答案】(1)甲、乙两组平均每天各能加工200袋、150袋粽子；(2)400 【分析】（1）设甲、乙两组平均每天各能加工袋、袋粽子，根据甲乙两个小组的工作情况列出二元一次方程组，从而解决问题． （2）根据“甲组平均每天每多加工100袋粽子，则甲、乙两组就都比原计划提前1天完成任务”，考虑设“甲组平均每天比原计划平均每天多加工袋粽子”，再根据实际总工作量等于甲乙两组实际工作量之和，列出方程． 【详解】（1）解：设甲、乙两组平均每天各能加工袋、袋粽子 由题意得：解得： 答：甲、乙两组平均每天各能加工200袋、150袋粽子． （2）解：设提高效率后，甲组平均每天比原计划平均每天多加工袋粽子 由题意得：，整理得： 解得：，， 又∵甲、乙两组加工的天数均为整数，∴ ∴200+100×2=400（袋） 答：提高工作效率后，甲组平均每天能加工400袋粽子． 【点睛】本题考查了运用二元一次方程组、一元二次方程解决实际问题，理清题意，正确计算是解题的关键． 【变式7-3】城开高速公路即重庆市城口县至开州区的高速公路，是国家高速银百高速公路（银川至百色）的一段，线路全长公里，甲、乙两工程队共同承建该高速公路某隧道工程，隧道总长2100米，甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米。因地质结构不同，两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样。甲每合格完成1米隧道施工成本为8万元；乙每合格完成1米隧道施工成本为9万元。 （1）若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米？ （2）实际施工开始后地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化。甲每合格完成1米隧道施工成本增加万元时，则每天可多挖米，乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米，若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值。 【答案】(1)甲最多施工900米；(2)的值为2 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用等知识点，审清题意、弄清量之间的关系、正确列出不等式和方程是解题的关键． （1）设甲工程队施工x米，则乙工程队施工米，根据不等关系“工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的”列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可解答； （2）根据“最终每天实际总成本比计划多万元”即可得出关于的一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：设甲施工米， 由题意可得：， 解得：． 答：甲最多施工900米． （2）解：由题意可得：， 整理得， 解得． 答：的值为2． 题型八 路程问题 【典例8】甲，乙两人分别骑车从两地相向而行，甲先行1小时后，乙才出发，又经过4小时两人在途中的C地相遇。相遇后两人按原来的方向继续前进，乙在由C地到达A地的途中因故障停了20分钟，结果乙由C地到达A地比甲由C地到达B地还提前了40分钟。已知乙比甲每小时多行驶4千米，则甲、乙两人骑车的速度分别为（    ）千米/时。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设甲的速度为x千米/时，则乙的速度为千米/时，根据题意得到乙所用的时间比甲少一小时，列出关于x的分式方程，求出方程的解即可得到结果． 【详解】解：设甲每小时行驶x千米，则有乙每小时行驶千米， 根据题意得：， 去分母得： ，即， 解得：或（舍去）， 经检验分式方程的解，且符合题意， ， 则甲、乙两人骑车的速度分别为千米/时， 故选：C． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，准确找出等量关系布列分式方程是解题的关键． 【变式8-1】《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率六，乙行率四，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为6，乙的速度为4，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，甲、乙各走了多少步？”请问乙走的步数是（ ）。 A．36 B．26 C．24 D．10 【答案】C 【分析】设甲、乙两人相遇的时间为t，则乙走了步，甲斜向北偏东方向走了步，利用勾股定理即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出t值，将其值代入中即可求出结论． 【详解】解：设甲、乙两人相遇的时间为t，则乙走了步，甲斜向北偏东方向走了步， 依题意得：，整理得：， 解得：（不合题意，舍去）， ∴． 故乙走的步数是．故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【变式8-2】甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为每秒1.5米，乙的速度为每秒1米，乙一直向东走，甲先向南走10米，后又朝北偏东某个方向走了一段后与乙相遇，则乙走了__________米。 【答案】24 【分析】本题一元二次方程的实际应用，勾股定理，设两人走了秒，利用勾股定理列出方程进行求解即可． 【详解】解：设两人走了秒，则：乙的路程为米，甲在北偏东某个方向走的路程为：米， 由题意，得：，解得：或（舍去）； ∴乙的路程为米，故答案为：24． 【变式8-3】今年年初一美丽的白鹅潭江而进行了以“活力湾区，新彩广州”为主题的烟花汇演，甲、乙两人从各自家前往最佳观赏点之一的洲头咀公园观看烟花汇演，由于当晚该公园附近路段实施了交通管制，甲先将车开到距离自己家20千米的停车场后，再步行2千米到达目的地，共花了1小时。此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的10倍。 （1）求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？ （2）乙是骑车前往与他家相距8千米的目的地，若乙骑车的平均速度比甲步行的平均速度快千米/小时（），乙骑车时间比甲开车时间多小时，求的值。 【答案】(1)甲开车的平均速度是40千米/小时，步行的平均速度是4千米/小时；(2)的值为 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用． （1）设甲步行的平均速度是千米小时，则甲开车的平均速度是千米小时，利用时间路程速度，结合甲到达目的地共花了1小时，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出甲步行的平均速度，再将其代入中，即可求出甲开车的平均速度； （2）利用路程速度时间，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）设甲步行的平均速度是千米小时，则甲开车的平均速度是千米小时， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， （千米小时）． 答：甲开车的平均速度是40千米小时，甲步行的平均速度是4千米小时； （2）根据题意得：，即， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：的值为． 题型九 图表信息问题 【典例9】为丰富学生的学习生活，某校九年级组织学生参加春游活动，所联系的旅行收费标准如下：    春游活动结束后，该班共支付给该旅行社活动费用2800元，请问该班共有多少人参加这次春游活动？ 【答案】该班参加这次春游活动的人数为35名. 【分析】判断得到这次春游活动的人数超过25人，设人数为名，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果． 【详解】解：∵25人的费用为2500元<2800元， ∴参加这次春游活动的人数超过25人， 设该班参加这次春游活动的人数为x名， 根据题意,得[100−2(x−25)]x=2800， 整理,得 解得：   时,100−2(x−25)=70<75，不合题意，舍去； 时,100−2(x−25)=80>75， 答：该班共有35人参加这次春游活动. 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，找出题中的等量关系列出方程是解题的关键. 【变式9-1】近年来，随着城市居民入住率的增加，污水处理问题成为城市的难题。某城市环境保护局协同自来水公司为鼓励居民节约用水，减少污水排放，规定：居民用水量每月不超过吨时，只需交纳10元水费，如果超过吨，除按10元收费外，超过部分，另按每吨元收取水费（水费＋污水处理费）． （1）某市区居民2018年3月份用水量为8吨，超过规定水量，用的代数式表示该用户应交水费多少元； （2）下表是这户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况； 月份 用水量（吨） 交水费总金额（元） 4 7 70 5 5 40 根据上表数据，求规定用水量的值。 【答案】（1）用户应交水费10+40a﹣5a2元；（2）a的值为3． 【分析】（1）根据总费用＝10+超出费用列出代数式即可； （2）根据题意分别列出5a（7﹣a）+10＝70，5a（5﹣a）+10＝40，取满足两个方程的a的值即为本题答案． 【详解】解：（1）3月份应交水费10+5a（8﹣a）＝（10+40a﹣5a2）元； （2）由题意得：5a（7﹣a）+10＝70， 解得：a＝3或a＝4 5a（5﹣a）+10＝40 解得：a＝3或a＝2， 综上，规定用水量为3吨． 则规定用水量a的值为3． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是了解本题的水费收取标准． 【变式9-2】某商店购进800个旅游纪念品，进价为每个50元，第一周以每个80元的价格售出200个，第二周若按每个80元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出10个，但售价不得低于进价），单价降低元销售，销售一周后，商店对剩余旅游纪念品以及清仓处理，以每个40元的价格全部售出，如果这批旅游纪念品共获利9000元。 （1）填表（结果需化简）    时间   第一周     第二周     清仓时 单价（元）    80          40 销售量（件）    200 （2）求第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？ 【答案】（1）填表见解析；（2）第二周每个旅游纪念品的销售价格为70元． 【分析】（1）第二周的单价=第一周的单价-降低的价格，销售量=200+10×降低的单价；清仓时的销售量为：800-第一周的销售量-第二周的销售量； （2）等量关系为：总售价-总进价=9000．把相关数值代入计算即可． 【详解】解：（1）填表（结果需化简）    时间    第一周     第二周    清仓时 单价（元）      80     80-x     40 销售量（件）      200    200+10x    400-10x 故答案为：80-x，200+10x，400-10x； （2）80×200+（80-x）（200+10x）+40×(400-10x）-800×50=9000， x2-20x+100=0， 解得：x1=x2=10， 当x=10时，80-x=70． 答：第二周每个旅游纪念品的销售价格为70元． 【点睛】本题主要考查了列代数式以及一元二次方程的应用，找出相等关系列一元二次方程求解是解题的关键． 【变式9-3】乌克兰危机发生之后，外交战线按照党中央的部署紧急行动，在战火纷飞中已将5200多名同胞安全从乌克兰撤离，电影《万里归途》正是“外交为民”的真实写照，如表是该影片票房的部分数据，（注：票房是指截止发布日期的所有售票累计收入） 影片《万里归途》的部分统计数据 发布日期 10月8日 10月11日 10月12日 发布次数 第1次 第2次 第3次 票房 10亿元 12.1亿元 （1）平均每次累计票房增长的百分率是多少？ （2）在（1）的条件下，若票价每张40元，求10月11日卖出多少张电影票。 【答案】(1)10%；(2)2500000张 【分析】（1）设平均每次累计票房增长的百分率是，利用第3次累计票房=第1次累计票房（1+平均每次累计票房增长的百分率），即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）利用数量=总结单价，即可求出结论； 【详解】（1）解：设平均每次累计票房增长的百分率是， 依题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：平均每次累计票房增长的百分率是10%． （2）解： （张）． 答：10月11日卖出2500000张电影票． （或（张）．） 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及统计表，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 题型十 握手、循环赛问题 【典例10】组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，设比赛组织者应邀请个队参赛，则满足的关系式为（ ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关系式为：球队总数每支球队需赛的场数，把相关数值代入即可． 【详解】解：每支球队都需要与其他球队赛场，但2队之间只有1场比赛， 所以可列方程为：，即．故选：B． 【变式10-1】某校组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排15场比赛，则班级的个数为（ ）。 A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，得到比赛总数的等量关系．设有x个班级参加比赛，根据题目中的比赛规则，可得一共进行了场比赛，即可列出方程，求解即可． 【详解】解：设有x个班级参加比赛， ， ， 解得：（舍）， 则共有6个班级参加比赛，故选：C． 【变式10-2】一次座谈会上，每两个参加会议的人都互相握手一次，经统计，一共握手36次，则这次会议与会人数是共___________人。 【答案】9 【分析】设这次参加座谈会的有x人，已知见面时两两握手一次，那么每人应握（x-1）次手，所以x人共握手x（x-1）次，又知共握手36次，以握手总次数作为等量关系，列出方程求解． 【详解】解：设这次参加座谈会的有x人，则每人应握（x-1）次手， 由题意得：，即：x2-x-72=0， 解得：x1=9，x2=-8（不符合题意舍去） 所以，这次参加座谈会的有9人．故答案为：9． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，关键在于理解清楚题意，找出等量关系，列出方程求解． 【变式10-3】学校要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都只比赛一场。若共进行了28场比赛，则学校有个___________队参赛。 【答案】8 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．根据题意找出等量关系，列出方程是解答本题的关键． 【详解】解：设x个队伍参赛， 依题意可列方程：， 整理得：， 解得：，（舍）； 故应邀请8个队伍参赛．故答案为：8． 【变式10-4】以下是我市热点新闻，请你从中挖掘数学信息，解决相关问题： （1）热点新闻1：2024年国庆期间，我市某景区接待游客约64.8万人次，接待游客量再创新高，继续推动我市旅游业高质量发展。 数据显示，2022年该景区接待游客约45万人次，若该景区每年接待游客人数的增长率相同，则年平均增长率为多少？ （2）热点新闻2：2024“望陶杯”江西省首届“NBA”篮球选拔赛在景德镇市成功举办，经历小组赛、淘汰赛的多轮角逐，黑猫集团代表队夺得了本次比赛的冠军。 小组赛赛制为单循环制（每两队之间赛一场），已知小组赛共进行比赛28场，则此次参赛一共有多少个球队？ 【答案】(1)平均增长率为；(2)此次参赛一共有8个球队 【分析】本题考查一元二次方程的应用． （1）设每年接待游客人数的增长率为，根据题意可得，求解得到合适的x值； （2）设此次参赛一共有个球队，根据题意可得，求解得到合适的x值即可． 【详解】（1）解：设每年接待游客人数的增长率为， 可列方程：，解得（舍去） 答：平均增长率为． （2）解：设此次参赛一共有个球队， 可列方程：，解得，（舍去） 答：此次参赛一共有8个球队． 题型十一 其他问题 【典例11】俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看。”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘。假设每天“遗忘”的百分比为，根据“两天不练丢一半”，可列方程（ ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，由题意得：一天后记得的知识为：，两天后记得的知识为：，即可求解； 【详解】解：由题意得：一天后记得的知识为：，两天后记得的知识为：， ∴，故选：A 【变式11-1】某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了21条航线，则这个航空公司共有个飞机场，根据题意，可列方程为（ ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，设这个航空公司共有个飞机场，根据题意，列出一元二次方程，即可求解． 【详解】解：设这个航空公司共有个飞机场，根据题意，得：；故选：D． 【变式11-2】《李白饮酒》数谜诗——李白每天不离酒，三餐依次增一斗；三餐斗数两两乘，乘积相加一四六；要知酒仙量如何，求出每餐饮几斗。则早餐饮________斗。 【答案】6 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意；设早餐饮酒x斗，则午餐饮酒斗，晚餐饮酒斗，然后根据题意可列方程进行求解 【详解】设早餐饮酒x斗，则午餐饮酒斗，晚餐饮酒斗，根据题意，得： ， 解得（不合题意，舍去）； 故答案为6． 【变式11-3】开展盐碱地综合利用对保障国家粮食安全、端牢中国饭碗具有重要战略意义。我市某农业科技小组对，两个小麦品种进行抗盐碱实验种植对比研究。去年、两个品种各种植了20亩，收获后发现，品种的平均亩产量比品种高100千克，且、两个品种总产量为14000千克。 （1）求、两个品种去年平均亩产量分别是多少千克？ （2）今年，科技小组优化了小麦的种植方法，预计、两个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加30千克和千克。由于品种深受市场欢迎，今年决定对两个品种的种植面积进行调整，品种种植面积比去年增加亩，且保持总种植面积与去年相同，使总产量达到15200千克，求的值。 【答案】(1)A、B两个品种去年平均亩产量分别为300千克和400千克 (2)5 【分析】本题考查一元一次方程的应用，一元二次方程的应用，正确的理解题意，列出方程是解题的关键． （1）设A品种去年平均亩产量为x千克，B品种去年平均亩产量为千克，根据A、B两个品种总产量为14000千克．列方程，求解即可． （2）根据预计A、B两个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加30千克和千克．则A品种平均亩产量为千克，B品种平均亩产量为千克，根据B品种种植面积比去年增加m亩，则B品种种植面积为亩，又根据保持总种植面积与去年相同，所以A品种种植面积为亩，则A品种总产量为千克，B品种总产量为千克，根据A品种总产量品种总产量今年总产量，列方程求解即可． 【详解】（1）解：设A品种去年平均亩产量为x千克，B品种去年平均亩产量为千克 ；解得： 答：A、B两个品种去年平均亩产量分别为300千克和400千克． （2）解：根据题意，得 ， 解得：，（舍去） ∴m的值为5． 【变式11-4】综合与实践 【主题】三角点阵前行的点数计算 【素材】如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，……，第行有个点，……，如果要用试验的方法，由上而下地逐行相加其点数，容易发现，前行的点数和是，可以发现，把两个中括号中的第一项相加，第二项相加，……，第项相加，上式等号的右边变形为这个小括号都等于，整个式子等于，于是得到。这就是说，三角点阵中前行的点数和是。 【实践探索】请你根据上述材料回答下列问题： （1）三角点阵中前行的点数和能是600吗？如果能，求出；如果不能，请说明道理。 【拓展探索】 （2）如果把图中的三角点阵中各行的点数依次换成2，4，6，…，，…，请探究出前行的点数和满足的规律． （3）在（2）的条件下，这个三角点阵中前行的点数和能是600吗？如果能，求出；如果不能，请说明道理。 【答案】（1）三角形点阵中前行的点数之和不可能是600，理由见解析；（2）前行的点数之和为；（3） 【分析】本题考查了图形类规律探索和一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． （1）根据规律，令，计算即可； （2）结合题意知，再根据题目中的规律即可求解； （3）根据规律，令，计算即可． 【详解】解：（1）解：三角形点阵中前行的点数之和不可能是600． 理由：设三角形点阵中前行的点数之和是600， 根据题意，得， 整理得， ， 解方程，得，， 该方程没有正整数根， 所以三角形点阵中前行的点数之和不可能是600； （2）由题意得： ， ∴前行的点数之和为． （3）依题意得：， 整理得：，即， ∴（舍去），， 即：． 【基础训练】 1、《九章算术》中有一题：“今有二人同所立。甲行率七，乙行率三。乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会。问甲行几何。”大意是说：已知甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3。乙一直往东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇。那么相遇时甲走了多远（ ）。 A．步 B．步 C．步 D．步 【答案】C 【分析】题目主要考查一元二次方程的应用，勾股定理的运用，根据题意作出如下图所示，设经秒二人在处相遇，可得：，，，然后利用勾股定理列出方程求解，然后即可得出甲走的步数． 【详解】设经x秒二人在B处相遇，这时乙共行走：， 甲共行走：， ， ， 又， ， ， 解得：（舍去）或， ， ， 即甲走了步， 故选：C． 2、2024年官渡区运动会（中学生篮球项目）暨昆明市中学生“希望杯”篮球三级联赛在新亚洲体育城举办某学校为选拔篮球运动员参赛，要组织一场篮球邀请赛，参赛的每两个队伍之间都只比赛一场。根据场地和时间等条件要安排45场比赛，组织者应邀请多少个队参赛？设组织者应邀请个队参赛，则可列方程为：（ ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程．关系式为：球队总数×每支球队需赛的场数，把相关数值代入即可． 【详解】解：根据题意，得， 故选：A． 3、如图，在长为，宽为的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是，根据题意，设小路的宽度为，则可列方程为（ ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是设小路的宽是，则余下的部分可合成长为，宽为的长方形，根据花圃的面积是，可列出关于的一元二次方程． 【详解】解：设小路的宽度为， 由题意得， 故选：D． 4、某小区有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81个人患了流感。 （1）每轮传染中平均一个人传染了几个人？ （2）如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后，累计患流感的人数能否超过800？ 【答案】(1)每轮传染中平均一个人传染8个人 (2)经过三轮传染后，累计患流感的人数不能超过800 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用： （1）设每轮传染中平均一个人传染x个人，根据两轮传染后共有81个人患了流感，列出方程进行求解即可； （2）用81加上第三轮传染的人数，求出总人数，进行判断即可． 【详解】（1）解：设每轮传染中平均一个人传染x个人．根据题意得， ， 解得（不合题意，舍去）． 答：每轮传染中平均一个人传染8个人； （2）经过三轮传染后，累计患流感的人数不能超过800． 人， ， ∴经过三轮传染后，累计患流感的人数不能超过800． 5、某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同。 （1）求每次下降的百分率。 （2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，但商场规定每千克涨价不能超过8元，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克。现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元? 【答案】(1)每次下降的百分率为；(2)每千克应涨价5元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． （1）设每次下降的百分率为x，根据相等关系列出方程，可求每次下降的百分率； （2）设涨价x元，根据总盈余每千克盈余数量，可列方程，可求解． 【详解】（1）解：设每次下降的百分率为a，根据题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）或， 答：每次下降的百分率为； （2）解：设每千克应涨价x元，则每千克盈利元，每天可售出千克， 由题意得：， 整理，得， 解得： ， ∵商场规定每千克涨价不能超过8元， ∴， 答：每千克应涨价5元． 6、某超市计划购进一批单价为20元的洗衣液。经市场调查发现：该洗衣液以30元的价格出售时，平均每月售出500桶，且洗衣液的售价每提高1元，某月销售量就减少10桶。 （1）若售价定为35元，每月可售出多少桶？ （2）若洗衣液的月销售量为200桶，则每桶洗衣液的定价为多少元？ （3）当超市每月有8000元的销售利润时，为体现“薄利多销”的销售原则，你认为销售价格应定为多少？ 【答案】(1)每月可售出桶 (2)每桶洗衣液的定价为元 (3)销售价格应定为元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元二次方程的应用，解题的关键是分别表示出销量和单价，用销量乘以单价表示出利润即可． （1）由“洗衣液的售价每提高1元，其销售量就减少10桶”进行解答； （2）设销售价格应定为x元，根据“洗衣液的售价每提高1元，，其销售量就减少10桶”列出方程并解答； （3）设销售价格应定为y元，根据“每月有8000元的销售利润”列出方程并解答结合“薄利多销”取合适的值即可． 【详解】（1）解：当售价为35元时， 每月可以售出（桶）； （2）解：设销售价格应定为x元，则 ， 解得， 答：销售量为200桶，则每桶洗衣液的定价为60元； （3）解：设销售价格应定为y元，则 ， 整理得：， 解得：或， 为体现“薄利多销”的销售原则， ， 答：销售价格应定为元． 7、如图所示，中，，，。 （1）点从点开始沿边向以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．如果、分别从，同时出发，线段能否将分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由。 （2）若点沿射线方向从点出发以的速度移动，点沿射线方向从点出发以的速度移动，、同时出发，问几秒后，的面积为？ 【答案】(1)不能，理由见解析 (2)秒、5秒或秒 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用， 对于（1），设经过秒，线段能否将分成面积相等的两部分，根据面积之间的等量关系和判别式即可求解； 对于（2），分三种情况：①点在线段上，点在线段上；②点在线段上，点在线段上；③点在射线上，点在射线上；进行讨论即可求解． 【详解】（1）解：设经过秒，线段能将分成面积相等的两部分 由题意知：，，则， ， ， ， 此方程无解， 线段不能将分成面积相等的两部分； （2）设秒后，的面积为， ①当点在线段上，点在线段上时 此时 由题意知：， 整理得：， 解得：（不合题意，应舍去），； ②当点在线段上，点在线段的延长线上时 此时， 由题意知：， 整理得：， 解得：； ③当点在线段的延长线上，点在线段的延长线上时， 此时， 由题意知：， 整理得：， 解得：，，（不合题意，应舍去）， 综上所述，经过秒、5秒或秒后，的面积为. 8、甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，计划每天各施工米。已知甲乙每天施工所需成本共万元。因地质情况不同，甲每合格完成米桥梁施工成本比乙每合格完成米的桥梁施工成本多万元。 （1）分别求出甲，乙每合格完成米的桥梁施工成本； （2）实际施工开始后，甲每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖。乙每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖米。若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值。 【答案】(1)甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元 (2)的值为 【分析】（1）设乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元，则甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，根据题意列方程即可求解； （2）根据题意分别表示出甲、乙每天的实际工作量，实际成本，根据数量关系列方程即可求解． 【详解】（1）解：设乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元，则甲每合格完成米桥梁施工成本为万元， ∴，解得，， ∴甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元． （2）解：由（1）可知，甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元， ∴实际施工开始后，甲每合格完成米隧道施工成本增加万元，则甲每合格完成米实际成本为万元，且每天多挖，则甲每天实际完成量为米，乙每合格完成米隧道施工成本增加万元，则乙每合格完成米实际成本为万元，且每天多挖米，则乙每天实际完成量为米，终每天实际总成本比计划多万元，则最终每天的实际总成本为万元， ∴，整理得，，解得，，（不符合题意，舍去）， ∴的值为． 【点睛】本题主要考查方程与实际问题的综合，理解题目中的数量关系，掌握列方程的方法，解一元一次方程，一元二次方程的方法是解题的关键． 9、为切实推进广大青少年学生走向操场、走进大自然、走到阳光下，积极参加体育锻炼，阳光体育长跑是如今学校以及当代年轻人选择最多的运动。学生坚持长跑，不仅能够帮助身体健康，还能够收获身心的愉悦。周末，小明和小齐相约一起去天府绿道跑步。若两人同时从地出发，匀速跑向距离处的地，小明的跑步速度是小齐跑步速度的1.2倍，那么小明比小齐早5分钟到达地。 根据以上信息，解答下列问题： （1）小明每分钟跑多少米？ （2）若从地到达地后，小明以跑步形式继续前进到地（整个过程不休息）。据了解，从他跑步开始，前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小明共消耗2300卡路里的热量，小明从地到地锻炼共用多少分钟？ 【答案】(1)480米；(2)70分钟 【分析】（1）设小齐每分钟跑米，则小明每分钟跑米，根据题意建立分式方程，解方程即可得； （2）设小明从地到地锻炼共用分钟，再根据热量的消耗规律建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：设小齐每分钟跑米，则小明每分钟跑米， 由题意得：， 解得：， 经检验，既是所列分式方程的解也符合题意， 则， 答：小明每分钟跑480米． （2）解：设小明从地到地锻炼共用分钟， 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：小明从地到地锻炼共用70分钟． 【点睛】本题考查了分式方程和一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． 10、为美化市容，某广场用规格为的灰、白两色的广场砖铺设图案，设计人员画出的一些备选图案如图所示。 【观察思考】 图1灰砖有1块，白砖有8块；图2灰砖有4块，白砖有12块；以此类推。 【规律总结】 （1）图5灰砖有________块，白砖有________块；图灰砖有________块，白砖有________块； 【问题解决】 （2）是否存在白砖数恰好比灰砖数少56的情形，请通过计算说明你的理由。 【答案】（1），；，；（2）存在白砖数恰好比灰砖数少56的情形，理由见解析 【分析】本题考查数字规律和一元二次方程的相关知识，解题的关键是掌握数字规律的分析方法和一元二次方程的性质． （1）根据图形算出图3白砖和灰砖的数量，再根据图形规律算出图5白砖和灰砖的数量，通过图1到图4的数字规律得出图n白砖和灰砖的数量； （2）假设存在图n白砖数恰好比灰砖数少56的情形，根据白砖和灰砖的数量建立方程，方程有解证明假设成立． 【详解】解：（1）图3的灰砖数量应为，白砖数量为； 图4的灰砖数量应为，白砖应比图3上下各多一行得图4白砖的数量为：； 图5的灰砖数量应为，白砖应比图4上下各多一行得图5白砖的数量为：； 图1灰砖的数量为1 图2灰砖的数量为4 图3灰砖的数量为9 图4灰砖的数量为16 得图灰砖的数量为 图1白砖的数量为 图2白砖的数量为 图3白砖的数量为 图4白砖的数量为 得图白砖的数量为 故答案为：25，24；，． （2）假设存在，设图n白砖数恰好比灰砖数少56， 白砖数量为，灰砖数量为 ∴ ∴ ∴ ∴，或（舍去） 故当时，白砖的数量为，灰砖的数量为，白砖比灰砖少56， ∴存在白砖数恰好比灰砖数少56的情形． 【巩固训练】 1、《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率六，乙行率四，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为6，乙的速度为4，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，甲、乙各走了多少步？”请问乙走的步数是（ ）。 A．36 B．26 C．24 D．10 【答案】C 【分析】设甲、乙两人相遇的时间为t，则乙走了步，甲斜向北偏东方向走了步，利用勾股定理即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出t值，将其值代入中即可求出结论． 【详解】解：设甲、乙两人相遇的时间为t，则乙走了步，甲斜向北偏东方向走了步， 依题意得：， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去）， ∴． 故乙走的步数是． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 2、一个同学经过培训后会做某项实验，回到班级后第一节课他教会了若干个同学，第二节课会做的同学每人又教会了同样多的同学，这样全班共有36人会做这项实验，若设1人每次能教会名同学，则可列方程为（ ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设平均每节课一人教会x人，根据题意表示出两节课教会的人数，进而得出答案． 【详解】解：设平均每节课一人教会x人，根据题意可得： ， 即：， 故选：B． 3、如图，在一块长，宽的矩形耕地上修建两横一纵三条等宽的道路（其中有两条横向和一条纵向，横向与纵向道路互相垂直），把耕地分成六块作为试验田，要使试验田总面积为，设道路的宽为，依题意列方程为（ ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设道路宽，分别表示出除去道路之后矩形的长和宽，然后根据试验田总面积为，列方程即可． 【详解】解：设道路宽，则除去道路之后矩形的长和宽分别为，， 由题意得，．故选：C． 4、研究所在研究某种流感病毒发现，若一人携带此病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有144人患病（假设每轮每人传染的人数相同）。 （1）每轮传染中平均每个人传染了几个人？ （2）如果这些病毒携带者，未进行有效隔离，按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有多少人患病？ 【答案】(1)11个；(2)1728人 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设每轮传染中平均每个人传染了x个人，根据“若一人携带此病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有144人患病”，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）利用经过三轮传染后患病的人数＝经过两轮传染后患病的人数，即可求出结论． 【详解】（1）解：设每轮传染中平均每个人传染了x个人． 依题意，得， 解得（不符合题意，舍去）． 答：每轮传染中平均每个人传染了11个人． （2）解：（人）． 答：按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有1728人患病． 5、某商场于今年年初以每件60元的进价购进一批商品。当商品售价为每件80元时，一月份销售64件，二、三月该商品十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，三月底的销售量达到100件，设二、三这两个月的销售量月平均增长率不变。 （1）求第二、三这两个月的销售量月平均增长率； （2）从四月份起，在三月份销量的基础上，商场决定降价促销。经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加10件。为尽可能让利顾客，赢得市场，问：该商品售价定为多少时，商场当月获利2160元？ 【答案】(1) (2)72元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设二、三这两个月的销售量月平均增长率为，根据题意即可得出关于的一元二次方程，进行计算即可得； （2）设该商品售价定为元，则每件的销售利润为元，当月的销售量为件，根据总利润每件的销售利润月销售量，即可得出关于的一元二次方程，再结合“要尽可能让利顾客，赢得市场”，即可得出该商品售价应定为72元． 【详解】（1）解：设二、三这两个月的销售量月平均增长率为， 依题意得， ， ， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：二、三这两个月的销售量月平均增长率为； （2）解：设该商品售价定为元，则每件的销售利润为元，当月的销售量为件， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， 又要尽可能让利顾客，赢得市场， ， 即该商品售价定为72元时，商场当月获利2160元． 6、某商场销售某手机时发现，当手机售价元时，日平均销售量可以达到每日件，售价每下降元，日平均销售量会提升件，手机的成本为元。 （1）当手机售价为多少元时，日平均利润能恰好达到元？ （2）某公司到该商场批量购买手机，总预算元，请求出购买手机的数量与手机单价之间的函数关系式；并直接写出商场出售手机利润率不低于时出售给公司的手机数量的取值范围。 【答案】(1)售价为3850元时，日平均利润恰好达到5000元 (2)（且为正整数）或（且y为正整数） 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，列函数关系式，求函数值的取值范围； （1）设手机降价元日平均利润恰好达到元，则，解方程，即可求解； （2）根据总预算400000元，列出函数关系式，再由商场出售手机利润率不低于得出出售给公司的手机数量的取值范围，即可求解． 【详解】（1）解：设手机降价元日平均利润恰好达到元，则 解得：， 元 答：售价为元时，日平均利润恰好达到元 （2）根据题意得：， ∴ ∵商场出售手机利润率不低于 ∴ ∴ 解得： 又∵ ∴ ∴出售给公司的手机数量的取值范围为且为正整数（或且为正整数） 7、如图，在矩形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果，分别从，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动。设运动时间为秒。 （1）当为何值时，的长度等于？ （2）连接，是否存在的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由。 【答案】(1)；(2) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理： （1）先求出，，再利用勾股定理建立方程，解方程即可得到答案； （2）先求出，再根据三角形面积计算公式得到方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意知，，， 矩形中，， 由勾股定理知， ， 解得，（舍）， 即时，的长度等于； （2）解：如图， 由题意知， ， 的面积等于， ， ， 解得（舍），， 即时，的面积等于． 8、甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，桥梁总长5000米。甲，乙分别从桥梁两端向中间施工。计划每天各施工5米，因地质情况不同，两支队伍每合格完成1米桥梁施工所需成本不一样。甲每合格完成1米桥梁施工成本为10万元，乙每合格完成1米桥梁施工成本为12万元。 （1）若工程结算时，乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米。 （2）实际施工开始后，因地质情况及实际条件比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化，甲每合格完成1米隧道施工成本增加万元时，则每天可多挖米。乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米。若最终每天实际总成本在少于150万元的情况下比计划多万元。求的值。 【答案】(1)甲最多施工2500米；(2)a的值为6 【分析】（1）设甲工程队施工x米，则乙工程队施工（5000-x）米，由工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论； （2）根据总成本=每米施工成本×每天施工的长度结合甲每合格完成1米隧道施工成本增加a万元时，则每天可多挖米．乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米，即可得出关于a的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设甲工程队施工x米，则乙工程队施工（5000-x）米， 依题意，得：12（5000-x）≥×10x， 解得：x≤2500，答：甲最多施工2500米． （2）依题意，得： ， 整理，得：， 解得：，， 当时，总成本为：（万元）， ∵， ∴不符合题意舍去； 当时，总成本为：（万元）， ∵， ∴符合题意； 答：a的值为6． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 9、“铁路建设助推经济发展”，近年来我国政府十分重视铁路建设。渝利铁路通车后，从重庆到上海比原铁路全程缩短了320千米，列车设计运行时速比原铁路设计运行时速提高了120千米/小时，全程设计运行时间只需8小时，比原铁路设计运行时间少用16小时。 （1）渝利铁路通车后，重庆到上海的列车设计运行里程是多少千米？ （2）专家建议：从安全的角度考虑，实际运行时速要比设计时速减少，以便于有充分时间应对突发事件，这样，从重庆到上海的实际运行时间将增加小时，求的值。 【答案】（1）1600；（2）20． 【分析】（1）利用“从重庆到上海比原铁路全程缩短了320千米，列车设计运行时速比原铁路设计运行时速提高了l20千米/小时，全程设计运行时间只需8小时，比原铁路设计运行时间少用16小时”，分别得出等式组成方程组求出即可； （2）根据题意得出：进而求出即可． 【详解】（1）设原时速为xkm/h，通车后里程为ykm，则有：， 解得：， 答：渝利铁路通车后，重庆到上海的列车设计运行里程是1600千米； （2）由题意可得出：， 解得：，（不合题意舍去）， 答：m的值为20． 10、如图，将形状、大小完全相同的“·”和线段按照一定规律摆成下列图形，图①中“·”的个数是3，图②中“·”的个数是8，图③中“·”的个数是15，图④中“·”的个数是24，按此规律…… 请仔细观察，并回答下列问题： （1）图⑤中“·”的个数是________。 （2）图ⓝ中“·”的个数能是255吗？如果能，求出；如果不能，请说明理由。 【答案】(1) (2)图ⓝ中“·”的个数能是255，此时． 【分析】本题考查图形类规律探索，一元二次方程的应用． （1）根据图形中“·”的个数得出数字变化规律，即可图⑤中“·”的个数； （2）根据题意列得一元二次方程，据此解答即可． 【详解】（1）解：由图可知： 图1中“·”的个数为3，， 图2中“·”的个数为8，， 图3中“·”的个数为15，， …… 以此类推，图ⓝ中“·”的个数为， 因此图⑤中“·”的个数是， 故答案为：； （2）解：由题意得， 整理得，即， 解得，（舍去）， 答：能，图ⓝ中“·”的个数是255，此时． 【拔高训练】 1、甲，乙两人分别骑车从两地相向而行，甲先行1小时后，乙才出发，又经过4小时两人在途中的地相遇。相遇后两人按原来的方向继续前进，乙在由地到达地的途中因故障停了20分钟，结果乙由地到达地比甲由地到达地还提前了40分钟。已知乙比甲每小时多行驶4千米，则甲、乙两人骑车的速度分别为（ ）千米/时。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设甲的速度为x千米/时，则乙的速度为千米/时，根据题意得到乙所用的时间比甲少一小时，列出关于x的分式方程，求出方程的解即可得到结果． 【详解】解：设甲每小时行驶x千米，则有乙每小时行驶千米， 根据题意得：， 去分母得： ， 即， 解得：或（舍去）， 经检验分式方程的解，且符合题意， ， 则甲、乙两人骑车的速度分别为千米/时， 故选：C． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，准确找出等量关系布列分式方程是解题的关键． 2、秋冬季是支原体肺炎的感染高发期，佩戴口罩是遏制支原体肺炎病毒传播的一种有效途径。若有一个人患了支原体肺炎，经过两轮传染后共有81人患了支原体肺炎（假设每个人每轮传染的人数同样多）。设每轮传染中平均一个人传染了个人，可列方程为（ ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据经过两轮传染后共有81人患了支原体肺炎，列出方程即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人， 由题意，得：； 故选D． 3、如图，在长为、宽为的矩形油画四周镶嵌同样宽的装饰，若装饰后的画面的面积为。求镶嵌的装饰部分的宽度？若设镶嵌的装饰部分的宽度为。则可列的一元二次方程是（ ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的运用，理解数量关系，正确列式表示是解题的关键． 设镶嵌的装饰部分的宽度为，则镶嵌后的长为，镶嵌后的宽为，因为镶嵌后的面积为为，根据矩形面积的计算方法即可求解． 【详解】解：矩形长为、宽为，设镶嵌的装饰部分的宽度为， ∴镶嵌后的长为，镶嵌后的宽为， ∴一元二次方程是， 故选：B． 4、某卫生部门为了控制某流行病的传染，对该传染病进行研究后发现，若一人患了该病，经过两轮传染后共有121人患该病。 （1）请问：每轮一人传染了多少人？ （2）若按这样的传染速度，第三轮有多少人患了该病？ 【答案】(1)每轮一人传染了10人 (2)第三轮有1331人患了该病 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键： （1）设每轮一人传染的人数为x人，根据两轮传染后共有121人患该病，列出方程进行求解即可； （2）根据（1）中计算的结果即可解决问题． 【详解】（1）解：设每轮一人传染的人数为x人， 则， 解得，舍去， 答：每轮一人传染了10人． （2）由知， 人， 所以第三轮有1331人患了该病． 5、“玫瑰香”葡萄品种是农科院研制的优质新品种，在被广泛种植，某葡萄种植基地2020年种植100亩，到2022年的种植面积达到144亩。 （1）求该基地这两年“玫瑰香”种植面积的平均增长率。 （2）某超市调查发现，当“玫瑰香”的售价为8元/千克时，每周能售出400千克，售价每上涨1元，每周销售量减少20千克，已知该超市“玫瑰香”的进价为6元/千克，为了维护消费者利益，物价部门规定，该水果售价不能超过15元。若使销售“玫瑰香”每周获利2240元，则“玫瑰香”葡萄每千克售价应定为多少元？ 【答案】(1) (2)14元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）设该基地这两年“玫瑰香”种植面积的平均增长率为，根据2022年的种植面积2020年的种植面积建立方程，解方程即可得； （2）设售价应上涨元，则每周的销售量为千克，根据利润（售价进价）销售量建立方程，解方程可得的值，再根据该水果售价不能超过15元/千克即可得． 【详解】（1）解：设该基地这两年“玫瑰香”种植面积的平均增长率为， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：该基地这两年“玫瑰香”种植面积的平均增长率为． （2）解：设售价应上涨元，则每周的销售量为千克， 由题意得：， 解得或， ∵为了维护消费者利益，物价部门规定，该水果售价不能超过15元/千克， ， 解得， 所以， ∴（元）． 答：“玫瑰香”葡萄每千克售价应定为14元． 6、某汽车销售公司9月份销售某厂汽车，在一定范围内，每辆汽车的进价与销售量有如下关系：若当月仅售出1辆汽车，则该辆汽车的进价为30万元；每多售出1辆，所有售出的汽车的进价均降低万元。月底厂家一次性返利给销售公司，每辆返利万元。 （1）若该公司当月售出3辆汽车，则每辆汽车的进价为多少万元？ （2）如果汽车的售价为每辆31万元，该公司计划当月盈利12万元，那么需要售出多少辆汽车？ 【答案】(1)万元 (2)6辆 【分析】（1）根据“当月仅售出1辆汽车，则该部汽车的进价为30万元；每多售出1辆，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/辆”即可求得结果； （2）设需要售出x辆汽车，根据盈利销售利润返利列出方程，解方程即可. 本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，销售问题的数量关系是：盈利销售利润返利，解答时根据销售问题的数量关系建立方程是解决问题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得万元． 答：每辆车进价为万元． （2）解：需要售出x辆汽车，根据题意，得 ， 整理，得. ， 解得（舍去）， 答：需要销售6辆汽车． 7、中，，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动，如果点、分别从点、同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒。 （1）填空： ， （用含的代数式表示）； （2）当为何值时，的长度为？ 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据路程=速度×时间就可以表示出，，再用就可以求出的长． （2）利用（1）的结论，根据三角形面积公式建立方程，解方程即可． 【详解】（1）解：由题意，得：，， 故答案为：，； （2）解：∵当点Q运动到点C时，两点停止运动， ∴， ∴， 由勾股定理得：， 解得：，， ∴当，时，的长度为． 8、为了提升干线公路美化度，相关部门拟定派一个工程队对39000米的公路进行路面“白改黑”工程．该工程队计划使用一大一小两种型号设备交替的方式施工，原计划小型设备每小时铺设路面30米，大型设备每小时铺设路面60米。 （1）由于小型设备工作效率较低，该工程队计划使用大型设备的时间比使用小型设备的时间多，当这个工程完工时，小型设备的使用时间为多少小时？ （2）通过勘察、又新增了部分支线公路美化，结果此工程的实际施工里程比最初拟定的里程39000米多了9000米，于是在实际施工中，小型设备在铺设公路效率不变的情况下，使用时间比原计划增加了18m小时，同时，因为新增的工人操作大型设备不够熟练，使得比原计划每小时下降了米，使用时间增加了小时，求的值。 【答案】(1)300；(2)5 【分析】（1）设小型设备的使用时间为x小时，则大型设备的使用时间为小时，根据题意列出方程，即可求解； （2）由（1）得：大型设备的原来使用时间为小时，根据题意可得小型设备的使用时间为小时，大型设备铺设公路每小时为米，大型设备的使用时间为小时，根据题意列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：设小型设备的使用时间为x小时，则大型设备的使用时间为小时，根据题意得： ， 解得：， 答：小型设备的使用时间为300小时； （2）解：由（1）得：大型设备的原来使用时间为小时， 根据题意得：小型设备的使用时间为小时，大型设备铺设公路每小时为米，大型设备的使用时间为小时， ∴， 整理得：， 解得：（舍去）． 即m的值为5． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 9、今年年初一美丽的白鹅潭江上进行了以“活力湾区，新彩广州”为主题的烟花汇演，甲、乙两人从各自家前往最佳观赏点之一的洲头咀公园观看烟花汇演，由于当晚该公园附近路段实施了交通管制，甲先将车开到距离自己家20千米的停车场后，再步行2千米到达目的地，共花了1小时。此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的10倍。 （1）求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？ （2）乙是骑车前往与他家相距8千米的目的地，若乙骑车的平均速度比甲步行的平均速度快千米/小时（），乙骑车时间比甲开车时间多小时，求的值。 【答案】(1)甲开车的平均速度是40千米/小时，步行的平均速度是4千米/小时 (2)的值为 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用． （1）设甲步行的平均速度是千米小时，则甲开车的平均速度是千米小时，利用时间路程速度，结合甲到达目的地共花了1小时，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出甲步行的平均速度，再将其代入中，即可求出甲开车的平均速度； （2）利用路程速度时间，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）设甲步行的平均速度是千米小时，则甲开车的平均速度是千米小时， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， （千米小时）． 答：甲开车的平均速度是40千米小时，甲步行的平均速度是4千米小时； （2）根据题意得：，即， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：的值为． 10、综合与实践 观察与思考： 规律发现：请用含的式子填空： （1）第个图案中小圆圈的个数为____________； （2）第1个图案中小星星的个数可表示为，第2个图案中的小星星的个数可表示为，第3个图案中小星星的个数可表示为，，第个图案中小星星的个数可表示为_____________； 规律应用： （3）结合图案中小星星的排列方式及上述规律，求正整数，使得连续的偶数之和等于第个图案中小圆圈的个数的4倍。 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】本题考查了图形类规律，解一元二次方程，找到规律是解题的关键． （1）根据前几个图案的规律，即可求解； （2）根据题意，结合图形规律，即可求解． （3）根据题意，列出一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】解：（1）第1个图案中有个， 第2个图案中有个， 第3个图案中有个， 第4个图案中有个， …… ∴第个图案中有个， 故答案为：； （2）第1个图案中“★”的个数可表示为， 第2个图案中“★”的个数可表示为， 第3个图案中“★”的个数可表示为， 第4个图案中“★”的个数可表示为，……， 第n个图案中“★”的个数可表示为， 故答案为：； （3）依题意，， ∴， 第个图案中有个， ∴， 解得：（舍去）或． 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第八章 一元二次方程学生版 第五节 一元二次方程根与系数的关系 【考点梳理】 考点一 一元二次方程根与系数的关系 如果方程的两个实数根是，那么，。 也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。 注意：只有在方程有根即的前提下才有，。 考点二 有关根与系数的关系的两个重要推论 （1）以，为实数根的一元二次方程（二次项系数为1）的表达式是； （2）如果方程的两个实数根是，，那么，。 【重点题型】 题型一 一元二次方程根与系数的关系 【典例1】若关于的一元二次方程的一个根为2，则另一个根为（ ）。 A． B． C． D．2 【变式1-1】若，，则以为根的一元二次方程是（ ）。 A． B． C． D． 【变式1-2】设一元二次方程的两个实数根为和，则下列结论正确的是（ ）。 A． B． C． D． 题型二 由根与系数的关系直接求代数式的值 【典例2】设、是一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ）。 A．4 B．5 C．6 D．7 【变式2-1】关于的一元二次方程的两个根为，且，则的值为（ ）。 A．1 B． C．3 D． 【变式2-2】设一元二次方程的两根为，，则的值为（ ）。 A． B．1 C． D．5 题型三 由根与系数的关系和方程的解通过降次求代数式的值 【典例3】已知，是方程的两个根，则的值为（ ）。 A． B． C．2024 D．2025 【变式3-1】已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为，且，则的值是（ ）。 A．或 B．或2 C．2 D． 【变式3-2】若，且有，及，则的值是（ ）。 A． B． C． D． 题型四 由方程两根满足关系求字母的值 【典例4】已知实数，满足，，且，则的值为（ ）。 A． B． C． D． 【变式4-1】已知关于的一元二次方程有两个实数，且满足，则的值是（ ）。 A． B． C． D．或 【变式4-2】若是方程的两个根，则（ ）。 A． B．16 C． D．20 题型五 不解方程由根与系数的关系判断根的问题 【典例5】已知关于的一元二次方程一个实根为1，则另一个实根为（ ）。 A．2 B．3 C． D． 【变式5-1】方程的两根的符号是（ ）。 A．都为正 B．都为负 C．一正一负 D．无法确定 【变式5-2】设是关于的方程的两根，是关于的方程的两根，则的值分别等于（ ）。 A．1， B．1，3 C．， D．，3 题型六 根与系数的关系和根的判别式的综合应用 【典例6】已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论为何实数，方程总有两个实数根； （2）若一元二次方程有两个根和，且，求的值。 【变式6-1】已知关于的一元二次方程． （1）证：不论取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有两个实数根为，，且，求的值。 【变式6-2】关于的一元二次方程有实数根。 （1）求的取值范围； （2）如果是符合条件的最大整数，且关于的一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时的值； （3）若方程的两个实数根为，且，求此时的值。 题型七 根与系数关系中的新定义问题 【典例7】阅读材料：在一元二次方程中，我们定义方程的判别式为，当时，方程有两个不同的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根。并且当方程有实数根时，两根之和为，两根之积为。 已知关于的方程：。 （1）若方程有两个实数根，求的取值范围； （2）若方程的一个根为1，另一个根为，求和的值； （3）若方程的两个实数根为，且，求的值。 【变式7-1】法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：如果关于的一元二次方程的两个实数根分别为，那么两个根的关系为，。习惯上把这个结论称作“韦达定理”。 小明在探究二次项系数为1的一元二次方程根的特征时发现，此时“韦达定理”可表述为：，。借此结论，小明进行了对“倍根方程”和“方根方程”的根的特征的探究。 定义： 倍根方程：如果关于的一元二次方程有两个实数根（都不为0），且其中一个根等于另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”。 方根方程：如果关于的一元二次方程有两个实数根（都不为0），且其中一个根的平方等于另外一个根，则称这样的方程为“方根方程”。 （1）请你判断：方程是______（填“倍根方程”或“方根方程”）； （2）若一元二次方程是“倍根方程”，求的值； （3）根据探究，小明想设计一个一元二次方程，使这个方程既是“倍根方程”又是“方根方程”，请你先帮他算一算，这个方程的根是多少？ 【变式7-2】如果关于 的一元二次方程有两个实数根，且，那么称这样的方程为“邻近根方程”，例如，一元二次方程的两个根是，，，则方程是“邻近根方程”。 （1）判断方程是否是“邻近根方程”； （2）若关于的方程（是常数）是“邻近根方程”，求的最大值。 【基础训练】 1、若关于的方程的一个根为1，则它的另一个根为（ ）。 A．25 B． C． D． 2、已知，是方程的两个实数根，则式子的值为（ ）。 A． B． C． D． 3、已知方程的两个实数根分别是，，则的值为（ ）。 A． B．1 C． D．2 4、若关于的方程的两根之和为，两根之积为，则关于的方程的两根之积是 。 5、已知实数，是方程的两根，则 。 6、已知，是一元二次方程的两根，则 。 7、已知关于的一元二次方程。 （1）当是方程的一个根时，求方程的另一个根； （2）若，是方程的两个不相等的实根，且，满足，求的值。 8、已知等腰的三条边长分别是，其中，和是关于的方程的两根。 （1）求的值； （2）求等腰三角形的周长。 9、已知关于的方程。 （1）若该方程有两个实数根，求的取值范围； （2）若方程有一个根为，求的值及方程的另一个根。 10、【阅读材料】若关于的一元二次方程的两根为、，则，。这就是一元二次方程根与系数的关系．根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： （1）【材料理解】一元二次方程的两根为、，则_____，_____； （2）【类比运用】已知关于的一元二次方程。 ①求证：无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根； ②若方程的两个实数根为、，满足，求的值。 【巩固训练】 1、已知和是方程的两个解，则的值为（ ）。 A．2020 B．2024 C．2026 D．2028 2、若是一元二次方程的两个根，则的值是（ ）。 A．7 B． C．2 D． 3、是一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ）。 A．4 B． C．3 D．1 4、已知关于的一元二次方程的一个根是-7，则另一个根是 。 5、如果、是一元二次方程的两个根，那么的值是 。 6、设，是方程的两个实数根，则的值为 。 7、关于的一元二次方程有两个不相等实根，。 （1）求实数的取值范围； （2）若方程两实根，满足，求的值。 8、已知关于的方程。 （1）求证：无论取任何实数，方程总有实数根； （2）若等腰三角形的一边长为4，另两边长恰好是这个方程的两个根，求此时的值。 9、在解一元二次方程时，小马同学粗心地将二次项的系数与一次项系数对换了，得到了一个新的方程。他正确地解出了这个新的方程，其中一个根是3，另一根等于原方程的一个根。 （1）求这两个方程相同的根； （2）求原方程两根之和。 10、阅读材料：对于一个关于的一元二次方程（其中，为常数）的两根分别为，我们有如下发现：①若为整数，则这个一元二次方程的判别式一定为完全平方数；②满足韦达定理：即，；③韦达定理也有逆定理，即如果两数和满足如下关系：，，那么这两个数和是方程的两个根。请应用上述材料解决以下问题： （1）若实数是关于的一元二次方程的两个根， ①当时，则 ， ； ②若均为整数且，求的值； （2）已知实数满足求的值。 【拔高训练】 1、已知，是方程的两根，则的值为（ ）。 A．5 B． C．4 D． 2、若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ）。 A．2002 B．2003 C．2004 D．2005 3、已知是方程的两根，则的值为（ ）。 A．1 B．2 C．3 D．4 4、若，是方程的两个实数根，则的值为 。 5、设，是的两个实数根，则的值是 。 6、若，是方程的两个根，则的值是 。 7、已知关于的一元二次方程。 （1）试说明：对于任意实数，该方程总有实数根； （2）若这个一元二次方程的两根分别为，，且，则的值为多少？ 8、已知关于的一元二次方程。 （1）当为何值时，方程有两个实数根； （2）若、是方程的两根，且，求的值。 9、已知的两边的长是关于的一元二次方程的两个根，第三边的长是13。 (1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)当为何值时，是以为斜边的直角三角形。 10、材料：若关于的一元二次方程的两个根为，，则，。如：一元二次方程的两个实数根分别为，，则，；又如：一元二次方程的两个实数根分别为，，则，。 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题． （1）一元二次方程的两个根分别为，，则______，______； （2）已知一元二次方程的两根分别为，，求的值； （3）思维拓展：已知实数、分别满足，其中且，求的值。 第六节 一元二次方程的应用 【考点梳理】 考点一 列一元二次方程解应用题的一般步骤 （1）审题，（2）设未知数，（3）列方程，（4）解方程，（5）检验，（6）作答。 关键点：找出题中的等量关系。 （1）“审”指读懂题目、审清题意，明确已知和未知，以及它们之间的数量关系。这一步是解决问题的基础； （2）“设”是指设元，设元分为直接设元和间接设元，所谓直接设元就是问什么设什么，间接设元虽然所设未知数不是我们所要求的，但由于对列方程有利，因此间接设元也十分重要。 （3）“列”是列方程，这是非常重要的步骤，列方程就是找出题目中的等量关系，再根据这个相等关系列出含有未知数的等式，即方程。找出相等关系列方程是解决问题的关键； （4）“解”就是求出所列方程的解； （5）检验：应注意的是一元二次方程的解，有可能不符合题意，如线段的长度不能为负数，降低率不能大于等等。因此，解出方程的根后，一定要进行检验。 （6）作答。 考点二 几何类题 ①等积变形，②动态几何问题，③梯子问题，④航海问题，⑤几何与图表信息，⑥探索存在问题，⑦平分几何图形的周长与面积问题，⑧利用图形探索规律。 ①面积一定，两直角边和（和为）一定：设其中一边为，另一边为，则 ②面积一定，两直角边差（差为）一定：设其中一边为，另一边为或，则或 ③斜边一定，两直角边和（和为）一定：设其中一边为，另一边为，则 ④斜边一定，两直角边差（差为）一定：设其中一边为，另一边为或，则或。 考点三 用一元二次方程解与增长率（或降低率）有关的问题 增长率问题的有关公式： （1）增长数（增长了多少）=基数×增长率　　 （2）实际数（增长后的值）=基数＋增长数 增长率问题与降低率问题的数量关系及表示法： 若基数为，增长率为，则一次增长后的值为，两次增长后的值为； 若基数为，降低率为，则一次降低后的值为，两次降低后的值为。 两次增长后的总和=基数+第一次降低后的值+第二次降低后的值 考点四 与市场经济有关的问题：如：营销问题、水电问题、水利问题等 与利润相关的常用关系式有： （1）每件利润=销售价-成本价； （2）利润率=（销售价—进货价）÷进货价×100%； （3）销售额=售价×销售量。 考点五 数与数字的关系 1、两位数=（十位数字）×10＋个位数字 2、三位数=（百位数字）×100＋（十位数字）×10＋个位数字 3、连续的整数：设其中一数为，另一数为；。 4、连续的奇数：设其中一数为，另一数为；。 5、连续的偶数：设其中一数为，另一数为；。 6、和一定的两数（和为）：设其中一数为，另一数为 7、差一定的两数（差为）：设其中一数为，另一数为 8、积一定的两数（积为）：设其中一数为，另一数为 9、商一定的两数（商为）：设其中一数为，另一数为 考点六 传播问题和循环问题 1、传播问题： 传染源：1个【 每一轮1个可传染给个】【前后轮患者数的比例为】 患者： 第一轮后：共个； 第二轮后：共，即个； 第三轮后：共，即个； 第轮后：共个。 注意：上面列举的是传染源为“1”的情况得到的结论。若传染源为，则第轮后患者共为：个。 2、赛制循环问题：【单循环比双循环少了一半】 单循环：设参加的球队为，则全部比赛共场； 双循环：设参加的球队为，则全部比赛共场； 注：双循环公式，单循环公式，其实也就可以理解为单循环循环赛就是和每个对手比赛1次（对手数量=参赛队数量-1），而每场比赛有2队参加，就得除以2。双循环比赛场次是单循环的2倍。 3、类似于本题其它题型如： （1）相互握手； （2）铁路沿线有个站点要设计多少种车票； （3）一条线段上有个点（含两个端点），①该线段上共有条有向线段，②该线段上共有条线段。 【重点题型】 题型一 增长率问题 【典例1】为了培养学生多读书，读好书、好读书的习惯，某校举办了校园阅读节活动。据统计，该校七年级学生三月份借阅图书600本，四、五月份共借阅图书1600本，设四、五月份借阅的图书每月平均增长率为，则根据题意列出的方程是（ ）。 A． B． C． D． 【变式1-1】某景区游客人数逐年攀升，成为“网红打卡地”。2022年接待游客25万人次，2024年预计达到36万人次，则游客人数年平均增长率为___________。 【变式1-2】据乘用车市场信息联席会数据显示，我国新能源车发展迅速，2024年4月至6月，新能源车月销量由68.3万辆增加到82.7万辆。设2024年4月至6月新能源车销量的月平均增长率为，则可列方程________________。 【变式1-3】现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展。据调查，某家小型快递公司，今年7月份与9月份完成投递的快递总件数分别约为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同。 （1）求该快递公司投递总件数的月平均增长率； （2）如果平均每人每月最多可投递0.9万件，那么该公司现有的16名快递投递业务员能否完成今年10月份的快递投递任务？请回答并说明理由。 题型二 营销问题 【典例2】某体育球类专卖店将进货单价为100元的某品牌篮球按零售价135元一个售出时，每天能卖出100个。若这种篮球的零售价在一定范围内每降价1元，其日销量就增加4个，要使顾客尽量得到实惠，且每天获得的利润为3596元，每个篮球需降价（ ）。 A．4元 B．6元 C．4元或6元 D．5元 【变式2-1】宾馆有60间房供游客居住，当每间房每天定价为170元时，宾馆会住满；当每间房每天的定价每增加10元时，就会空闲一间房，如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出15元的费用，当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为10890元？设房价定为元，则有（ ）。 A． B． C． D． 【变式2-2】某网店销售医用外科口罩，每盒售价元，每星期可卖盒。为了便民利民，该网店决定降价销售，市场调查反映：每降价元，每星期可多卖盒。已知该款口罩每盒成本价为元，若该网店某星期获得了元的利润，且尽快减少库存，那么该网店这星期销售该款口罩__________盒。 【变式2-3】友谊书店经销一种学生双肩包，已知这种双肩包的成本价为30元/个。调查发现，这种双肩包每天的销售量（个）与单价（元/个）有如下关系：（，为整数）。设这种双肩包每天的销售利润为元。 （1）求出与之间的函数解析式； （2）这种双肩包的销售单价定为多少元/个时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ （3）如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不能高于45元/个，该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为多少元/个？ 题型三 与图形有关的问题 【典例3】为更好地落实劳动课程，学校将实践基地“分田到班”，九（1）班分到如图所示一块长为，宽为的矩形空地，计划分割出两块完全相同的矩形菜地（阴影部分）用来种植蔬菜，菜地四周空白部分为宽度相等的人行道，若菜地的面积之和为。设人行道的宽度为，则列出关于的方程应为（ ）。 A． B． C． D． 【变式3-1】如图，某农户准备建一个长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，若墙长为，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长，围成长方形的养鸡场四周不能有空隙。有下列结论： ①要围成养鸡场的面积为，则养鸡场的宽为； ②围成养鸡场的面积能达到； ③围成养鸡场的最大面积为 其中，正确结论的个数是（ ）。 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式3-2】园林绿化处有一块长、宽的矩形空地。现计划在矩形空地的中间设计横竖道路，各与矩形的一条边平行，且横竖道路的宽度比为，余下的种草坪，其中草坪的面积占这块空地面积的四分之一，若设横向道路的宽为，可列方程为____________________。 【变式3-3】某建筑工程队，在工地一边的靠墙处（利用墙，墙长50米），用130米长的建筑材料围成一个占地总面积为825平方米的3个长方形仓库（如图），为了便于搬运货物，现决定在与墙平行的边上，每个仓库预留出1个长度为1米的门，求与墙垂直的边的长。 【变式3-4】综合与实践 如图1，有一张长，宽的长方形硬纸片，截去四个大小相同小正方形之后，折成如图2所示的长方体形的无盖纸盒，设截取的小正方形边长为。 （1）用含有的代数式分别表示无盖纸盒底面的长（________），宽（________）； （2）若纸盒的底面积为，求小正方形边长为的值； （3）求出（2）中长方体纸盒的容积。 题型四 传播问题 【典例4】一个同学经过培训后会做某项实验，回到班级后第一节课他教会了若干个同学，第二节课会做的同学每人又教会了同样多的同学，这样全班共有36人会做这项实验，若设1人每次能教会名同学，则可列方程为（ ）。 A． B． C． D． 【变式4-1】有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，每轮传染中平均一个人传染的人数满足的方程为（ ）。 A． B． C． D． 【变式4-2】某人用手机发短信，获得信息人也按他的发送人数发送该条短信，经过两轮短信的发送，共有90人手机上获得同一条信息，则每轮发送短信中，平均一个人向个人发送短信。则根据题意列出的方程是_____________。 【变式4-3】某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮被感染后就会有144台电脑被感染。每轮感染中平均一台电脑会感染________台电脑。 【变式4-4】研究所在研究某种流感病毒发现，若一人携带此病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有144人患病（假设每轮每人传染的人数相同）。 （1）每轮传染中平均每个人传染了几个人？ （2）如果这些病毒携带者，未进行有效隔离，按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有多少人患病？ 题型五 数字问题 【典例5】若一个两位数比它的十位数字与个位数字和的平方少2，且个位数字比十位数字大1，则这个两位数是（ ）。 A．23 B．34 C．23或34 D．或 【变式5-1】两个数的差等于，积等于，则这两个数为（ ）。 A．， B．， C．， D．，或， 【变式5-2】两个连续偶数的积为48，设较大的偶数为，则得到关于的方程是__________。 【变式5-3】如图所示的是2024年1月的日历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，请解答下列问题。 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 （1）若虚线方框中最大数与最小数的乘积为180，求最小数。 （2）虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为124吗？若能，请求出最小数；若不能，请说明理由。 题型六 动态几何问题 【典例6】如图，在中，，，。动点从点开始以的速度沿边向点运动；动点从点开始以的速度沿边向点运动。如果，两点分别从，两点同时出发，设运动时间为秒。 ①当时，的面积为；②有两个不同的值，都使的面积为； ③面积的最大值为： 其中，正确结论的个数是（ ）。 A．0 B．1 C．2 D．3 【变式6-1】如图，在矩形中，，，点从点沿方向向点以运动，点从点沿方向向点以运动，若、从点同时出发，（ ）秒钟时的面积是。 A． B． C．或 D． 【变式6-2】如图，在矩形中，，，动点从点出发，沿向终点以的速度移动，动点从点出发沿向终点C以的速度移动，如果，分别从点，同时出发，其中一个动点到达终点，另一个动点也随之停止移动。若点移动的时间为秒。 （1）当点在移动时，的长为__________。（用含的式子表示） （2）当以，，为顶点的三角形的面积为时，的值为__________。 【变式6-3】如图，中，，，，点从点开始沿向点以的速度运动，点从点开始沿边向点以的速度移动。如果、分别从、同时出发，那么________秒后，线段将分成面积的两部分。 【变式6-4】如图，在矩形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动。如果，分别从，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动。设运动时间为秒。 （1）当为何值时，的长度等于？ （2）连接，是否存在的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由。 题型七 工程问题 【典例7】为了提升干线公路美化度，相关部门拟定派一个工程队对39000米的公路进行路面“白改黑”工程。该工程队计划使用一大一小两种型号设备交替的方式施工，原计划小型设备每小时铺设路面30米，大型设备每小时铺设路面60米。 （1）由于小型设备工作效率较低，该工程队计划使用大型设备的时间比使用小型设备的时间多，当这个工程完工时，小型设备的使用时间为多少小时？ （2）通过勘察、又新增了部分支线公路美化，结果此工程的实际施工里程比最初拟定的里程39000米多了9000米，于是在实际施工中，小型设备在铺设公路效率不变的情况下，使用时间比原计划增加了小时，同时，因为新增的工人操作大型设备不够熟练，使得比原计划每小时下降了米，使用时间增加了小时，求的值。 【变式7-1】某市创建“绿色发展模范城市”，针对境内长江段两种主要污染源：生活污水和沿江工厂污染物排放，分别用“生活污水集中处理”（下称甲方案）和“沿江工厂转型升级”（下称乙方案）进行治理，若江水污染指数记为，沿江工厂用乙方案进行一次性治理（当年完工），从当年开始，所治理的每家工厂一年降低的值都以平均值计算，第一年有40家工厂用乙方案治理，共使值降低了12。经过三年治理，境内长江水质明显改善。 （1）求的值； （2）从第二年起，每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数，三年来用乙方案治理的工厂数量共190家，求的值，并计算第二年用乙方案新治理的工厂数量。 【变式7-2】“端午临中夏，时清日复长”。临近端午节，一网红门店接到一批3200袋粽子的订单，决定由甲、乙两组共同完成。已知甲组3天加工的粽子数比乙组2天加工的粽子数多300袋。两组同时开工，甲组原计划加工10天、乙组原计划加工8天就能完成订单。 （1）求甲、乙两组平均每天各能加工多少袋粽子； （2）两组人员同时开工2天后，临时又增加了500袋的任务，甲组人员从第3天起提高了工作效率，乙组的工作效率不变。经估计，若甲组平均每天每多加工100袋粽子，则甲、乙两组就都比原计划提前1天完成任务。已知甲、乙两组加工的天数均为整数，求提高工作效率后，甲组平均每天能加工多少袋粽子？ 【变式7-3】城开高速公路即重庆市城口县至开州区的高速公路，是国家高速银百高速公路（银川至百色）的一段，线路全长公里，甲、乙两工程队共同承建该高速公路某隧道工程，隧道总长2100米，甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米。因地质结构不同，两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样。甲每合格完成1米隧道施工成本为8万元；乙每合格完成1米隧道施工成本为9万元。 （1）若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米？ （2）实际施工开始后地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化。甲每合格完成1米隧道施工成本增加万元时，则每天可多挖米，乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米，若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值。 题型八 路程问题 【典例8】甲，乙两人分别骑车从两地相向而行，甲先行1小时后，乙才出发，又经过4小时两人在途中的C地相遇。相遇后两人按原来的方向继续前进，乙在由C地到达A地的途中因故障停了20分钟，结果乙由C地到达A地比甲由C地到达B地还提前了40分钟。已知乙比甲每小时多行驶4千米，则甲、乙两人骑车的速度分别为（    ）千米/时。 A． B． C． D． 【变式8-1】《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率六，乙行率四，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为6，乙的速度为4，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，甲、乙各走了多少步？”请问乙走的步数是（ ）。 A．36 B．26 C．24 D．10 【变式8-2】甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为每秒1.5米，乙的速度为每秒1米，乙一直向东走，甲先向南走10米，后又朝北偏东某个方向走了一段后与乙相遇，则乙走了__________米。 【变式8-3】今年年初一美丽的白鹅潭江而进行了以“活力湾区，新彩广州”为主题的烟花汇演，甲、乙两人从各自家前往最佳观赏点之一的洲头咀公园观看烟花汇演，由于当晚该公园附近路段实施了交通管制，甲先将车开到距离自己家20千米的停车场后，再步行2千米到达目的地，共花了1小时。此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的10倍。 （1）求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？ （2）乙是骑车前往与他家相距8千米的目的地，若乙骑车的平均速度比甲步行的平均速度快千米/小时（），乙骑车时间比甲开车时间多小时，求的值。 题型九 图表信息问题 【典例9】为丰富学生的学习生活，某校九年级组织学生参加春游活动，所联系的旅行收费标准如下：    春游活动结束后，该班共支付给该旅行社活动费用2800元，请问该班共有多少人参加这次春游活动？ 【变式9-1】近年来，随着城市居民入住率的增加，污水处理问题成为城市的难题。某城市环境保护局协同自来水公司为鼓励居民节约用水，减少污水排放，规定：居民用水量每月不超过吨时，只需交纳10元水费，如果超过吨，除按10元收费外，超过部分，另按每吨元收取水费（水费＋污水处理费）． （1）某市区居民2018年3月份用水量为8吨，超过规定水量，用的代数式表示该用户应交水费多少元； （2）下表是这户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况； 月份 用水量（吨） 交水费总金额（元） 4 7 70 5 5 40 根据上表数据，求规定用水量的值。 【变式9-2】某商店购进800个旅游纪念品，进价为每个50元，第一周以每个80元的价格售出200个，第二周若按每个80元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出10个，但售价不得低于进价），单价降低元销售，销售一周后，商店对剩余旅游纪念品以及清仓处理，以每个40元的价格全部售出，如果这批旅游纪念品共获利9000元。 （1）填表（结果需化简）    时间   第一周     第二周     清仓时 单价（元）    80          40 销售量（件）    200 （2）求第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？ 【变式9-3】乌克兰危机发生之后，外交战线按照党中央的部署紧急行动，在战火纷飞中已将5200多名同胞安全从乌克兰撤离，电影《万里归途》正是“外交为民”的真实写照，如表是该影片票房的部分数据，（注：票房是指截止发布日期的所有售票累计收入） 影片《万里归途》的部分统计数据 发布日期 10月8日 10月11日 10月12日 发布次数 第1次 第2次 第3次 票房 10亿元 12.1亿元 （1）平均每次累计票房增长的百分率是多少？ （2）在（1）的条件下，若票价每张40元，求10月11日卖出多少张电影票。 题型十 握手、循环赛问题 【典例10】组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，设比赛组织者应邀请个队参赛，则满足的关系式为（ ）。 A． B． C． D． 【变式10-1】某校组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排15场比赛，则班级的个数为（ ）。 A．4 B．5 C．6 D．7 【变式10-2】一次座谈会上，每两个参加会议的人都互相握手一次，经统计，一共握手36次，则这次会议与会人数是共___________人。 【变式10-3】学校要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都只比赛一场。若共进行了28场比赛，则学校有个___________队参赛。 【变式10-4】以下是我市热点新闻，请你从中挖掘数学信息，解决相关问题： （1）热点新闻1：2024年国庆期间，我市某景区接待游客约64.8万人次，接待游客量再创新高，继续推动我市旅游业高质量发展。 数据显示，2022年该景区接待游客约45万人次，若该景区每年接待游客人数的增长率相同，则年平均增长率为多少？ （2）热点新闻2：2024“望陶杯”江西省首届“NBA”篮球选拔赛在景德镇市成功举办，经历小组赛、淘汰赛的多轮角逐，黑猫集团代表队夺得了本次比赛的冠军。 小组赛赛制为单循环制（每两队之间赛一场），已知小组赛共进行比赛28场，则此次参赛一共有多少个球队？ 题型十一 其他问题 【典例11】俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看。”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘。假设每天“遗忘”的百分比为，根据“两天不练丢一半”，可列方程（ ）。 A． B． C． D． 【变式11-1】某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了21条航线，则这个航空公司共有个飞机场，根据题意，可列方程为（ ）。 A． B． C． D． 【变式11-2】《李白饮酒》数谜诗——李白每天不离酒，三餐依次增一斗；三餐斗数两两乘，乘积相加一四六；要知酒仙量如何，求出每餐饮几斗。则早餐饮________斗。 【变式11-3】开展盐碱地综合利用对保障国家粮食安全、端牢中国饭碗具有重要战略意义。我市某农业科技小组对，两个小麦品种进行抗盐碱实验种植对比研究。去年、两个品种各种植了20亩，收获后发现，品种的平均亩产量比品种高100千克，且、两个品种总产量为14000千克。 （1）求、两个品种去年平均亩产量分别是多少千克？ （2）今年，科技小组优化了小麦的种植方法，预计、两个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加30千克和千克。由于品种深受市场欢迎，今年决定对两个品种的种植面积进行调整，品种种植面积比去年增加亩，且保持总种植面积与去年相同，使总产量达到15200千克，求的值。 【变式11-4】综合与实践 【主题】三角点阵前行的点数计算 【素材】如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，……，第行有个点，……，如果要用试验的方法，由上而下地逐行相加其点数，容易发现，前行的点数和是，可以发现，把两个中括号中的第一项相加，第二项相加，……，第项相加，上式等号的右边变形为这个小括号都等于，整个式子等于，于是得到。这就是说，三角点阵中前行的点数和是。 【实践探索】请你根据上述材料回答下列问题： （1）三角点阵中前行的点数和能是600吗？如果能，求出；如果不能，请说明道理。 【拓展探索】 （2）如果把图中的三角点阵中各行的点数依次换成2，4，6，…，，…，请探究出前行的点数和满足的规律． （3）在（2）的条件下，这个三角点阵中前行的点数和能是600吗？如果能，求出；如果不能，请说明道理。 【基础训练】 1、《九章算术》中有一题：“今有二人同所立。甲行率七，乙行率三。乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会。问甲行几何。”大意是说：已知甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3。乙一直往东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇。那么相遇时甲走了多远（ ）。 A．步 B．步 C．步 D．步 2、2024年官渡区运动会（中学生篮球项目）暨昆明市中学生“希望杯”篮球三级联赛在新亚洲体育城举办某学校为选拔篮球运动员参赛，要组织一场篮球邀请赛，参赛的每两个队伍之间都只比赛一场。根据场地和时间等条件要安排45场比赛，组织者应邀请多少个队参赛？设组织者应邀请个队参赛，则可列方程为：（ ）。 A． B． C． D． 3、如图，在长为，宽为的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是，根据题意，设小路的宽度为，则可列方程为（ ）。 A． B． C． D． 4、某小区有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81个人患了流感。 （1）每轮传染中平均一个人传染了几个人？ （2）如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后，累计患流感的人数能否超过800？ 5、某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同。 （1）求每次下降的百分率。 （2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，但商场规定每千克涨价不能超过8元，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克。现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元? 6、某超市计划购进一批单价为20元的洗衣液。经市场调查发现：该洗衣液以30元的价格出售时，平均每月售出500桶，且洗衣液的售价每提高1元，某月销售量就减少10桶。 （1）若售价定为35元，每月可售出多少桶？ （2）若洗衣液的月销售量为200桶，则每桶洗衣液的定价为多少元？ （3）当超市每月有8000元的销售利润时，为体现“薄利多销”的销售原则，你认为销售价格应定为多少？ 7、如图所示，中，，，。 （1）点从点开始沿边向以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．如果、分别从，同时出发，线段能否将分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由。 （2）若点沿射线方向从点出发以的速度移动，点沿射线方向从点出发以的速度移动，、同时出发，问几秒后，的面积为？ 8、甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，计划每天各施工米。已知甲乙每天施工所需成本共万元。因地质情况不同，甲每合格完成米桥梁施工成本比乙每合格完成米的桥梁施工成本多万元。 （1）分别求出甲，乙每合格完成米的桥梁施工成本； （2）实际施工开始后，甲每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖。乙每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖米。若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值。 9、为切实推进广大青少年学生走向操场、走进大自然、走到阳光下，积极参加体育锻炼，阳光体育长跑是如今学校以及当代年轻人选择最多的运动。学生坚持长跑，不仅能够帮助身体健康，还能够收获身心的愉悦。周末，小明和小齐相约一起去天府绿道跑步。若两人同时从地出发，匀速跑向距离处的地，小明的跑步速度是小齐跑步速度的1.2倍，那么小明比小齐早5分钟到达地。 根据以上信息，解答下列问题： （1）小明每分钟跑多少米？ （2）若从地到达地后，小明以跑步形式继续前进到地（整个过程不休息）。据了解，从他跑步开始，前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小明共消耗2300卡路里的热量，小明从地到地锻炼共用多少分钟？ 10、为美化市容，某广场用规格为的灰、白两色的广场砖铺设图案，设计人员画出的一些备选图案如图所示。 【观察思考】 图1灰砖有1块，白砖有8块；图2灰砖有4块，白砖有12块；以此类推。 【规律总结】 （1）图5灰砖有________块，白砖有________块；图灰砖有________块，白砖有________块； 【问题解决】 （2）是否存在白砖数恰好比灰砖数少56的情形，请通过计算说明你的理由。 【巩固训练】 1、《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率六，乙行率四，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为6，乙的速度为4，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，甲、乙各走了多少步？”请问乙走的步数是（ ）。 A．36 B．26 C．24 D．10 2、一个同学经过培训后会做某项实验，回到班级后第一节课他教会了若干个同学，第二节课会做的同学每人又教会了同样多的同学，这样全班共有36人会做这项实验，若设1人每次能教会名同学，则可列方程为（ ）。 A． B． C． D． 3、如图，在一块长，宽的矩形耕地上修建两横一纵三条等宽的道路（其中有两条横向和一条纵向，横向与纵向道路互相垂直），把耕地分成六块作为试验田，要使试验田总面积为，设道路的宽为，依题意列方程为（ ）。 A． B． C． D． 4、研究所在研究某种流感病毒发现，若一人携带此病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有144人患病（假设每轮每人传染的人数相同）。 （1）每轮传染中平均每个人传染了几个人？ （2）如果这些病毒携带者，未进行有效隔离，按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有多少人患病？ 5、某商场于今年年初以每件60元的进价购进一批商品。当商品售价为每件80元时，一月份销售64件，二、三月该商品十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，三月底的销售量达到100件，设二、三这两个月的销售量月平均增长率不变。 （1）求第二、三这两个月的销售量月平均增长率； （2）从四月份起，在三月份销量的基础上，商场决定降价促销。经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加10件。为尽可能让利顾客，赢得市场，问：该商品售价定为多少时，商场当月获利2160元？ 6、某商场销售某手机时发现，当手机售价元时，日平均销售量可以达到每日件，售价每下降元，日平均销售量会提升件，手机的成本为元。 （1）当手机售价为多少元时，日平均利润能恰好达到元？ （2）某公司到该商场批量购买手机，总预算元，请求出购买手机的数量与手机单价之间的函数关系式；并直接写出商场出售手机利润率不低于时出售给公司的手机数量的取值范围。 7、如图，在矩形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果，分别从，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动。设运动时间为秒。 （1）当为何值时，的长度等于？ （2）连接，是否存在的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由。 8、甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，桥梁总长5000米。甲，乙分别从桥梁两端向中间施工。计划每天各施工5米，因地质情况不同，两支队伍每合格完成1米桥梁施工所需成本不一样。甲每合格完成1米桥梁施工成本为10万元，乙每合格完成1米桥梁施工成本为12万元。 （1）若工程结算时，乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米。 （2）实际施工开始后，因地质情况及实际条件比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化，甲每合格完成1米隧道施工成本增加万元时，则每天可多挖米。乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米。若最终每天实际总成本在少于150万元的情况下比计划多万元。求的值。 9、“铁路建设助推经济发展”，近年来我国政府十分重视铁路建设。渝利铁路通车后，从重庆到上海比原铁路全程缩短了320千米，列车设计运行时速比原铁路设计运行时速提高了120千米/小时，全程设计运行时间只需8小时，比原铁路设计运行时间少用16小时。 （1）渝利铁路通车后，重庆到上海的列车设计运行里程是多少千米？ （2）专家建议：从安全的角度考虑，实际运行时速要比设计时速减少，以便于有充分时间应对突发事件，这样，从重庆到上海的实际运行时间将增加小时，求的值。 10、如图，将形状、大小完全相同的“·”和线段按照一定规律摆成下列图形，图①中“·”的个数是3，图②中“·”的个数是8，图③中“·”的个数是15，图④中“·”的个数是24，按此规律…… 请仔细观察，并回答下列问题： （1）图⑤中“·”的个数是________。 （2）图ⓝ中“·”的个数能是255吗？如果能，求出；如果不能，请说明理由。 【拔高训练】 1、甲，乙两人分别骑车从两地相向而行，甲先行1小时后，乙才出发，又经过4小时两人在途中的地相遇。相遇后两人按原来的方向继续前进，乙在由地到达地的途中因故障停了20分钟，结果乙由地到达地比甲由地到达地还提前了40分钟。已知乙比甲每小时多行驶4千米，则甲、乙两人骑车的速度分别为（ ）千米/时。 A． B． C． D． 2、秋冬季是支原体肺炎的感染高发期，佩戴口罩是遏制支原体肺炎病毒传播的一种有效途径。若有一个人患了支原体肺炎，经过两轮传染后共有81人患了支原体肺炎（假设每个人每轮传染的人数同样多）。设每轮传染中平均一个人传染了个人，可列方程为（ ）。 A． B． C． D． 3、如图，在长为、宽为的矩形油画四周镶嵌同样宽的装饰，若装饰后的画面的面积为。求镶嵌的装饰部分的宽度？若设镶嵌的装饰部分的宽度为。则可列的一元二次方程是（ ）。 A． B． C． D． 4、某卫生部门为了控制某流行病的传染，对该传染病进行研究后发现，若一人患了该病，经过两轮传染后共有121人患该病。 （1）请问：每轮一人传染了多少人？ （2）若按这样的传染速度，第三轮有多少人患了该病？ 5、“玫瑰香”葡萄品种是农科院研制的优质新品种，在被广泛种植，某葡萄种植基地2020年种植100亩，到2022年的种植面积达到144亩。 （1）求该基地这两年“玫瑰香”种植面积的平均增长率。 （2）某超市调查发现，当“玫瑰香”的售价为8元/千克时，每周能售出400千克，售价每上涨1元，每周销售量减少20千克，已知该超市“玫瑰香”的进价为6元/千克，为了维护消费者利益，物价部门规定，该水果售价不能超过15元。若使销售“玫瑰香”每周获利2240元，则“玫瑰香”葡萄每千克售价应定为多少元？ 6、某汽车销售公司9月份销售某厂汽车，在一定范围内，每辆汽车的进价与销售量有如下关系：若当月仅售出1辆汽车，则该辆汽车的进价为30万元；每多售出1辆，所有售出的汽车的进价均降低万元。月底厂家一次性返利给销售公司，每辆返利万元。 （1）若该公司当月售出3辆汽车，则每辆汽车的进价为多少万元？ （2）如果汽车的售价为每辆31万元，该公司计划当月盈利12万元，那么需要售出多少辆汽车？ 7、中，，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动，如果点、分别从点、同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒。 （1）填空： ， （用含的代数式表示）； （2）当为何值时，的长度为？ 8、为了提升干线公路美化度，相关部门拟定派一个工程队对39000米的公路进行路面“白改黑”工程．该工程队计划使用一大一小两种型号设备交替的方式施工，原计划小型设备每小时铺设路面30米，大型设备每小时铺设路面60米。 （1）由于小型设备工作效率较低，该工程队计划使用大型设备的时间比使用小型设备的时间多，当这个工程完工时，小型设备的使用时间为多少小时？ （2）通过勘察、又新增了部分支线公路美化，结果此工程的实际施工里程比最初拟定的里程39000米多了9000米，于是在实际施工中，小型设备在铺设公路效率不变的情况下，使用时间比原计划增加了18m小时，同时，因为新增的工人操作大型设备不够熟练，使得比原计划每小时下降了米，使用时间增加了小时，求的值。 9、今年年初一美丽的白鹅潭江上进行了以“活力湾区，新彩广州”为主题的烟花汇演，甲、乙两人从各自家前往最佳观赏点之一的洲头咀公园观看烟花汇演，由于当晚该公园附近路段实施了交通管制，甲先将车开到距离自己家20千米的停车场后，再步行2千米到达目的地，共花了1小时。此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的10倍。 （1）求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？ （2）乙是骑车前往与他家相距8千米的目的地，若乙骑车的平均速度比甲步行的平均速度快千米/小时（），乙骑车时间比甲开车时间多小时，求的值。 10、综合与实践 观察与思考： 规律发现：请用含的式子填空： （1）第个图案中小圆圈的个数为____________； （2）第1个图案中小星星的个数可表示为，第2个图案中的小星星的个数可表示为，第3个图案中小星星的个数可表示为，，第个图案中小星星的个数可表示为_____________； 规律应用： （3）结合图案中小星星的排列方式及上述规律，求正整数，使得连续的偶数之和等于第个图案中小圆圈的个数的4倍。 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $