精品解析：广东江门市2025-2026学年第一学期义务教育质量监测 人教版 九年级数学试卷

2025－2026学年度第一学期义务教育质量监测九年级数学 注意事项： 1．满分120分，答题时间为120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 下列函数中，是反比例函数的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列交通标识中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，点关于原点O对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，将绕顶点A逆时针旋转得到，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法错误的是（ ） A. 直径是圆中最长的弦 B. 半圆是弧 C. 长度相等的两段弧是等弧 D. 圆上各点到圆心的距离相等 6. 若一个圆内接正多边形的中心角是，则这个正多边形的边数是（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 6 7. 若反比例函数的图像经过二，四象限，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 将抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的新的抛物线是（ ） A. B. C. D. 9. 在同一平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在等边中，是边的中点，以点为圆心，的长为半径作圆，交边于点，交边于点，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 成语“旭日东升”，从数学的观点看，成语中描述的事件是________________事件．（填“必然”“不可能”或“随机”） 12. 若关于的一元二次方程有一个根是0，则的值为______________． 13. 在一个不透明的口袋中装有红球和白球共30个，它们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则口袋中红球可能有______________个． 14. 如图，点A，B，C都在上．若，则______________． 15. 若点在反比例函数的图象上，则的大小关系是______．（用“”连接） 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 对于解方程，小明的做法如下． 解：原方程变形为步骤① 两边同除以，得步骤② 原方程的解为步骤③ （1）已知小明的解答是错误的，开始出现错误的步骤是_______________（填序号）． （2）请给出正确的解答过程， 17. 如图，小明想要用撬棍撬动一块大石头，已知阻力为，阻力臂长为，设动力为，动力臂长为．（杠杆平衡时，动力×动力臂＝阻力×阻力臂，图中撬棍本身所受的重力忽略不计） （1）求y关于x的函数表达式； （2）当动力臂长为时，撬动石头至少需要多大的力？ 18. 某班为元旦晚会设计了一个抽卡表演节目的环节．规则如下：在一个不透明的箱子中，装着分别写有“唱歌”“跳舞”“朗诵”的卡片各一张，三张卡片分别用编号A，B，C来表示（这些卡片的外观完全相同），搅匀后，同学们从中随机抽取一张，记录后放回． （1）甲同学抽到“C．朗诵”卡片的概率为____________________． （2）求甲、乙两位同学都抽到写有相同内容的卡片的概率．（用画树状图法或列表法） 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 已知关于的一元二次方程（为常数）． （1）求证：无论取何值，方程总有实数根． （2）若m，n为该方程的两个实数根，且满足，求的值． 20. 如图，是的直径，是的弦，于点E，C是的中点，连接． （1）求证：． （2）若，求的半径． 21. 一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加利润，该商店采取了降价措施，在保障每件商品的利润不少于30元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件． （1）若商场每天要获得销售利润1050元，则每件商品应降价多少元？ （2）当每件商品降价多少元时，该商店每天的销售利润最大？最大利润为多少元？ 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 如图，将矩形绕着点C按顺时针方向旋转，得到矩形，点B与点E对应，点E恰好落在边上，于点H，其中，． （1）求证：． （2）连接，交于点O，求的长． （3）过点O作，交于点I．求证：四边形是正方形． 23. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． （1）求抛物线的函数解析式． （2）如图2，为抛物线上的一点，且位于直线上方，连接．当的面积最大时，求点的坐标及最大面积． （3）如图3，为直线上的一点，是线段上的一动点，过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点．在平面内是否存在点，使四边形为正方形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度第一学期义务教育质量监测九年级数学 注意事项： 1．满分120分，答题时间为120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 下列函数中，是反比例函数的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数，解答即可． 本题考查了反比例函数的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得是反比例函数，其余都不是， 故选：B． 2. 下列交通标识中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形与中心对称图形的概念，熟练掌握概念是解决本题的关键． 根据轴对称图形的概念，即如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；再根据中心对称图形的概念，在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，由此判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，是中心对称图形，故符合题意； B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； C、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意； 故选：A． 3. 在平面直角坐标系中，点关于原点O对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了关于原点的对称的点的坐标，知道关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数是解决本题的关键． 关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，据此求解即可． 【详解】解：∵点关于原点对称， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标为． 故选C． 4. 如图，将绕顶点A逆时针旋转得到，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，先找到旋转角，再根据进行计算即可求解． 【详解】解：根据题意可知旋转角， 所以． 故选：C． 5. 下列说法错误的是（ ） A. 直径是圆中最长的弦 B. 半圆是弧 C. 长度相等的两段弧是等弧 D. 圆上各点到圆心的距离相等 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆的相关概念，熟练掌握有关圆的相关概念是解题的关键．根据圆的定义、弦、弧及等弧的定义，逐项判断即可． 【详解】解：选项A、直径是圆中最长的弦，这是圆的性质，则A正确，不符合题意； 选项B、半圆属于弧，则B正确，不符合题意； 选项C、等弧需在同圆或等圆中长度相等且能够重合，仅长度相等不一定是等弧，则C错误，符合题意； 选项D、圆上各点到圆心的距离都相等，都等于半径，这是圆的定义，则D正确，不符合题意； 故选：C． 6. 若一个圆内接正多边形的中心角是，则这个正多边形的边数是（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据正多边形的中心角的计算公式计算即可． 【详解】解：设这个多边形的边数是， 由题意得，， 解得，， ∴这个正多边形的边数是9， 故选：B． 【点睛】本题考查的是正多边形和圆的有关知识，掌握正多边形的中心角的计算公式是解题的关键． 7. 若反比例函数的图像经过二，四象限，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的图象是双曲线，当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限是解答此题的关键． 根据反比例函数的性质列出关于k的不等式求解即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过第二、四象限， ∴，解得：． 故选B． 8. 将抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的新的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的平移．根据函数平移规则“左加右减，上加下减”进行变换即可． 【详解】解：将抛物线先向左平移2个单位长度，得到， 再向上平移1个单位长度，得到． 故选：B． 9. 在同一平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象及性质和一次函数图象及性质，解题的关键是先根据反比例函数所在的象限判断出的符号，再根据一次函数的性质进行解答．分别根据反比例函数及一次函数图象的特点对四个选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A．由反比例函数的图象在二、四象限可知，，，一次函数的图象应该经过一、三、四象限，故本选项不符合题意； B．由反比例函数的图象在一、三象限可知，，，一次函数的图象应该经过一、二、四象限，故本选项不符合题意； C．由反比例函数的图象在一、三象限可知，，，一次函数的图象应该经过一、二、四象限，故本选项符合题意； D．由反比例函数的图象在一、三象限可知，，，一次函数的图象应该经过一、二、四象限，故本选项不符合题意； 故选：C． 10. 如图，在等边中，是边的中点，以点为圆心，的长为半径作圆，交边于点，交边于点，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了求不规则图形的面积，等边三角形的性质，勾股定理，30度角的性质． 连接，根据等边三角形的性质得到，，，，根据30度角的性质得到，根据勾股定理得到，即，根据图中阴影部分的面积计算即可． 【详解】解：如图，连接， ∵在等边中，是边的中点， ∴，，，， ∴， ∴， ∵以点为圆心，的长为半径作圆，交边于点，交边于点， ∴， ∴图中阴影部分的面积 ． 故选：D． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 成语“旭日东升”，从数学的观点看，成语中描述的事件是________________事件．（填“必然”“不可能”或“随机”） 【答案】必然 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类．根据事件的定义，必然事件是指在一定条件下必然会发生的事件；“旭日东升”描述太阳从东方升起，是自然规律，必然发生． 【详解】解：“旭日东升”指太阳从东方升起，这是基于地球自转的确定性自然现象，在任何条件下都会发生，因此从数学观点看，它属于必然事件． 故答案为：必然． 12. 若关于的一元二次方程有一个根是0，则的值为______________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解． 将根代入方程，求解的值即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有一个根是0， ∴， 即， 解得． 故答案为：3． 13. 在一个不透明的口袋中装有红球和白球共30个，它们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则口袋中红球可能有______________个． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了根据频率估计概率，利用概率求数量．根据摸到红球的频率得到摸到红球的概率，用总球数乘以摸到红球的概率可得红球数量． 【详解】解：∵摸到红球的频率稳定在附近， ∴摸到红球的概率约为， ∴口袋中红球可能有（个）． 故答案为：6． 14. 如图，点A，B，C都在上．若，则______________． 【答案】##55度 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，知道同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半是解题的关键． 直接根据圆周角定理进行解答即可． 【详解】解：∵在中， ， ∴ 故答案为： 15. 若点在反比例函数的图象上，则的大小关系是______．（用“”连接） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，分别把点的横坐标代入解析式求出纵坐标，进而即可求解，正确计算是解题的关键． 【详解】解：∵点，，在反比例函数的图象上， ∴，，， ∴， 故答案为． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 对于解方程，小明的做法如下． 解：原方程变形为步骤① 两边同除以，得步骤② 原方程的解为步骤③ （1）已知小明的解答是错误的，开始出现错误的步骤是_______________（填序号）． （2）请给出正确的解答过程， 【答案】（1）② （2） 解：， ， 或， 解得． 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程． （1）小明在步骤②中未考虑的情况，即开始出现错误的步骤是②； （2）根据因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：小明在步骤②中未考虑的情况，即开始出现错误的步骤是②； 故答案为：②； 【小问2详解】 略 17. 如图，小明想要用撬棍撬动一块大石头，已知阻力为，阻力臂长为，设动力为，动力臂长为．（杠杆平衡时，动力×动力臂＝阻力×阻力臂，图中撬棍本身所受的重力忽略不计） （1）求y关于x的函数表达式； （2）当动力臂长为时，撬动石头至少需要多大的力？ 【答案】（1） （2）当动力臂长为时，撬动石头至少需要的力 【解析】 【分析】此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出y与x之间的关系是解题关键． （1）根据动力×动力臂=阻力×阻力臂，即可得出y关于x的函数表达式； （2）将代入，即可得出y的值． 【小问1详解】 解：由题意，得， 则， ∴y关于x的函数解析式为． 【小问2详解】 解：由（1）得， ∴当时，， 故当动力臂长为时，撬动石头至少需要的力． 18. 某班为元旦晚会设计了一个抽卡表演节目的环节．规则如下：在一个不透明的箱子中，装着分别写有“唱歌”“跳舞”“朗诵”的卡片各一张，三张卡片分别用编号A，B，C来表示（这些卡片的外观完全相同），搅匀后，同学们从中随机抽取一张，记录后放回． （1）甲同学抽到“C．朗诵”卡片的概率为____________________． （2）求甲、乙两位同学都抽到写有相同内容的卡片的概率．（用画树状图法或列表法） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． （1）根据概率公式计算即可得出结果； （2）画树状图得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可得：甲同学抽到“C．朗诵”卡片的概率为； 【小问2详解】 解：画树状图如下． 共有9种等可能的结果，其中甲、乙两位同学都抽到写有相同内容的卡片的结果有3种， ∴甲、乙两位同学都抽到写有相同内容的卡片的概率为． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 已知关于的一元二次方程（为常数）． （1）求证：无论取何值，方程总有实数根． （2）若m，n为该方程的两个实数根，且满足，求的值． 【答案】（1） 证明：方程为， ， ， ∴无论取何值，方程总有实数根． （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）计算得出，即可得证； （2）由一元二次方程根与系数的关系可得，，代入计算即可得出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，为方程的两个实数根， ，． 又， ， ． 20. 如图，是的直径，是的弦，于点E，C是的中点，连接． （1）求证：． （2）若，求的半径． 【答案】（1） 证明：是的直径，于点， ． 是的中点， ， ， ． （2）5 【解析】 【分析】本题考查了圆心角定理，垂径定理，熟练掌握圆心角定理及垂径定理是关键． （1）根据垂径定理，得到，即可证明，根据圆心角定理，即可证明结论； （2）连接OD，根据垂径定理及勾股定理，即可列方程求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接OD， 由（1）可知，， 是的直径，于点， ， 设的半径为，则， 在Rt中，， 即， 解得， 的半径为5． 21. 一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加利润，该商店采取了降价措施，在保障每件商品的利润不少于30元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件． （1）若商场每天要获得销售利润1050元，则每件商品应降价多少元？ （2）当每件商品降价多少元时，该商店每天的销售利润最大？最大利润为多少元？ 【答案】（1）5 （2）当每件商品降价10元时，该商店每天的销售利润最大，最大利润为1200元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的销售利润，列代数式，二次函数的图象性质，一元二次方程的销售利润，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设每件商品降价元，则每件盈利元，平均每天可售出件，依题意得：，解出的值，即可作答． （2）设每件商品降价元，商店可获得利润为元，根据题意得：， 因为，，当时，即有最大值，最大值为1200， 【小问1详解】 解：设每件商品降价元，则每件盈利元，平均每天可售出元， ， ， ，， ， ， ． 答：当每件商品降价5元时，该商店每天销售利润为1050元； 【小问2详解】 解：设每件商品降价元，商店可获得利润为元， ， ，， 当时，即有最大值，最大值为1200， 答：当每件商品降价10元时，商店可获得最大利润，最大利润为1200元． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 如图，将矩形绕着点C按顺时针方向旋转，得到矩形，点B与点E对应，点E恰好落在边上，于点H，其中，． （1）求证：． （2）连接，交于点O，求的长． （3）过点O作，交于点I．求证：四边形是正方形． 【答案】（1）见解析 （2） （3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据矩形性质和旋转性质得到相等的边和角，利用证明； （2）根据得到，再根据勾股定理求出长，即可得到的长； （3）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明四边形是矩形，再找一组邻边相等，即可证明结论． 【小问1详解】 证明：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴． ∵， ∴． ∵将矩形绕着点C按顺时针方向旋转，得到矩形， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵矩形绕着点C按顺时针方向旋转，得到矩形， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，． ∵，， ∴， 在中，， 由勾股定理得：． ∵， ∴． 在中，由勾股定理得：， ∵， ∴； 【小问3详解】 证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴四边形是矩形． ∵矩形绕着点C按顺时针方向旋转，得到矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是正方形． 23. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． （1）求抛物线的函数解析式． （2）如图2，为抛物线上的一点，且位于直线上方，连接．当的面积最大时，求点的坐标及最大面积． （3）如图3，为直线上的一点，是线段上的一动点，过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点．在平面内是否存在点，使四边形为正方形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）点的坐标为，最大值为， （3）存在，点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）过点作轴，交于点，求得直线的函数解析式，设点，则点，用的代数式表示出，利用二次函数的性质即可求解； （3）求得点的坐标为，点的坐标为，根据题意得到，解得；再分情况讨论即可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于点，与轴交于点， ，解得， ∴抛物线的函数解析式为； 【小问2详解】 解：如图1，过点作轴，交于点， 设直线的函数解析式为， 将点代入得， 解得， ∴直线的函数解析式为， 设点，则点． ， ． ， ∴当时，的面积最大，最大值为，此时点的坐标为； 【小问3详解】 解：为直线上的一点， ，解得， ∴点的坐标为． ∵点，且轴， ∴点的坐标为，点的坐标为． 若四边形是正方形，，则轴，由此可得： ， 解之得：； ①当时，如图2， ， 计算可得：， ∴点N的坐标为； ②当时，如图3 ， 计算可得：， ∴点N的坐标为． 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题为二次函数综合题，考查利用待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，一次函数的应用，一元二次方程的应用等知识，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $