21.3.3正方形课后培优提升训练 2025—2026学年人教版八年级数学下册

21.3.3正方形课后培优提升训练人教版2025—2026学年八年级下册 一、选择题 1．若顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是菱形，则该四边形一定是（   ） A．矩形 B．菱形 C．对角线相等的四边形 D．对角线互相垂直的四边形 2．若四边形的对角线互相垂直平分且相等，则它一定是（   ）． A．菱形 B．正方形 C．等腰梯形 D．以上说法均不正确 3．如图，在正方形中，点为对角线上一点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．下列命题中，真命题是（　　） A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直平分的四边形是菱形 C．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 D．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形 5．如图，四边形是正方形，是等边三角形，的度数为（    ） A． B． C． D． 6．如图，正方形中，边长为8，E为线段上一点，将沿翻折到，连接，则的最小值为（   ）． A． B． C． D． 7．如图，由边长相同的9个小正方形组成的图形，则的度数为（   ） A． B． C． D． 8．数学社团课上，学习小组从我国古代数学家刘徽设计的“青朱出入图”受到启发，开展“剪拼正方形”活动，将如图所示两个边长不等的正方形纸片，剪拼成一个大正方形纸片，过程要求无损耗、无重叠．若，，则等于（   ） A． B． C． D．3 二、填空题 9．如图，四边形为正方形，点E为对角线上一点，连接，过点E作 交边于点 F，以为邻边作矩形，连接．若，则 ． 10．如图，是由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形与正方形，连接．若正方形的面积为6，，则的长为 ． 11．如图，已知点是正方形外的一点，连接若，，则的长为 ．    12．如图，在边长为10的正方形中，点G是边的中点，E，F分别是和边上的点，则四边形周长的最小值为 ．    三、解答题 13．已知：如图，在中，，点D在上，，垂足为F，且，点E为线段的中点，过点F作交射线于G，连接． (1)求证：； (2)求证：四边形是菱形． (3)当时，求证：四边形是正方形． 14．如图，在矩形中，，，点O为对角线的中点，动点P从点A出发，沿向终点C运动．连结，当点P不与点B重合时，作点P关于的对称点E，顺次连结O、P、B、E四个点，组成四边形． (1)______； (2)求证：； (3)当四边形的面积为20时，求出此时的长． (4)在点P运动过程中，当四边形是菱形时，请直接写出此时的值． 15．如图，正方形的边长为2，点分别在边上，连接，已知． (1)求证：； (2)求的长． 16．如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．（如图1） (1)概念理解：在平行四边形，矩形，菱形，正方形中，一定是垂美四边形的是 ； (2)性质证明：如图1，四边形是垂美四边形，请写出其两组对边，与，之间的数量关系 ；并给出证明． (3)问题解决：如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，，已知，，求的长． 17．如图，，，平分，平分，，，. (1)求证：四边形是正方形． (2)连接，若，求线段的长度． 18．如图1，正方形的边长为，在中，，连接，且． (1)若，求的长； (2)如图2，连接交于点O，若O是的中点，求证：； (3)在（2）问的条件下，连接，求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 一、选择题 1．C 2．B 3．B 4．B 5．A 6．B 7．B 8．B 二、填空题 9． 10． 11． 12．30 三、解答题 13．【解】（1）证明：∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，； （2）证明：∵， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴， 由（1）知：，， ∴， ∴四边形是菱形． （3）证明：∵，， ∴， 由（1）知，， ∴， ∵为的中点，， ∴， ∴， ∴， 由（1）知：， ∴， ∵四边形是菱形， ∴四边形是正方形． 14．【解】（1）解：在矩形中，， ∴，， ∴， ∵点O为对角线的中点， ∴， 故答案为：5 （2）证明：∵点P关于的对称点为点E， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵， ∴ ∵四边形的面积为20， ∴， ∵点O为对角线的中点， ∴，， 当点P在边上时，过点O作，如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴； 当点P在边上时，过点O作于点G， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的长为或； （4）解：设， 如图，当点P在边上时，设交于点N， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， 由（2）得：，， 在中，， ∴， 解得：， 即； 当点P在边上时，延长交于点M， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， 由（2）得：，， 在中，， ∴， 解得：， 即； 综上所述，的值为或． 15．【解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴，即； （2）解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 16．【解】（1）解：∵在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，两条对角线互相垂直的四边形是菱形、正方形， ∴菱形和正方形一定是垂美四边形， 故答案为：菱形、正方形； （2）解：，理由如下， 如图所示，设与交于点O，   四边形是垂美四边形， ， ， 由勾股定理，得：，，，， ∴，， ； （3）解：如图，连接，．   ， ， 即． 又∵，， ， ， 又， ． 又， ， ， 四边形是垂美四边形． 由（2）可知， ∵，， 由勾股定理，得，，， ， ． 17．【解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴四边形是菱形， 又∵， ∴菱形是正方形. 即四边形是正方形. （2）解：过点E作，如图所示， ∵四边形是正方形， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在中，设，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴. 18．【解】（1）解：∵正方形的边长为， ， ， ， ， ； （2）证明：， ， ， ， ∵O是的中点， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ； （3）解：连接，如下图， 在中，， ， ∵四边形是平行四边形， ， ∵， ， ， 在正方形中，， ， 在中，， 在中，， ， 在中，， ∵， ， ， ． $