辽宁大连育文中学等校2024-2025学年 八年级下学期3月学情自测数学试题

2024-2025学年度第二学期月度检测 八年级 数学 答案 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1.D 2.C 3.C 4.D 5.D 6.B 7.D 8.B 9.C 10.A 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 10 12. 4 13. 5 14. (﹣3，1) 15. 三、解答题（本题共8小题，共75分） 16．解：（1）原式＝323﹣1 2； （2）原式＝（2） ＝3 ＝9 ＝8． 17．解：∵BE平分∠ABC， ∴∠EBF∠ABC＝40°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ADC＝∠ABC＝80°，AD∥BC， 又∵DF∥BE， ∴四边形BFDE是平行四边形， ∴∠EDF＝∠EBF＝40°， ∴∠1＝∠ADC﹣∠EDF＝40°． 18．解：由题意得∠ACB’=90°，B′C=5 设水深AC为x尺，则芦苇AB′长（x+1）尺． 在Rt△AB′C中，由勾股定理得：AB′2=AC2+B′C2 50x2+52＝（x+1）2． 解得x＝12． ∴x+1＝13． 答：水深12尺；芦苇长13尺． 19．解：（1），证明如下， ， （2），证明如下， ； （3）由条件可知a＝8，b＝a2﹣1， ∴b＝82﹣1＝63， ∴a+b＝8+63＝71 20．解：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC50（米）， （2）∵CD2+AD2＝302+402＝2500，AC2=502＝2500， ∴CD2+AD2＝AC2， ∴△ACD为直角三角形，∠D＝90°， ∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACDAB•BCAD•CD48×1430×40＝936（平方米）， ∴购买运动型塑胶地板的费用为：936×250＝234000（元）， 答：购买运动型塑胶地板的费用需要234000元． 21．（1）证明：∵O是对角线AC的中点， ∴AO＝CO， ∵四边形ABCD是矩形 ∴AD∥BC，∠B＝90° ∴∠ACB＝∠CAD， ∵EF⊥AC， ∴∠AOE＝∠COF＝90°， 在△AOE和△COF中， ∵， ∴△AOE≌△COF（ASA）， ∴AE＝CF， 又∵AE∥CF， ∴四边形AFCE是平行四边形， ∵EF⊥AC， ∴四边形AFCE是菱形； （2）解：∵四边形ABCD是矩形 ∴∠B＝90° ∵AE＝10cm，四边形AFCE是菱形， ∴AF＝AE＝10cm， ∵△ABF的面积为24cm2， ∴AB•BF24， ∴AB•BF48， 在Rt△ABF中，根据勾股定理，AB2+BF2＝AF2＝102=100， ∴(AB+BF)2＝AB2+BF2+2AB•BF=196， ∴AB+BF＝14 所以，△ABF的周长＝AB+BF+AF=14+10＝24cm． 22．（1）由题意得，AD=AE，∠AEB＝90° 在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC10 S△ABCAB•BCAC•BE ∴BE= 在Rt△ABC中，AE===3.6 ∵翻折 ∴AD=AE=3.6 （2） 设A′B′交BC于点M。 ∵平移 ∴A′D′=AD=3.6， AB∥A′B′，∠D′A′B′=∠DAB ∴∠B′A′C=∠BAE， ∠A′MC=∠ABC=90° ∴∠A′MD′=180°∠A′MC=90°=∠A′MC ∵翻折 ∴∠BAE=∠BAD ∴∠D′A′B′=∠B′A′C 又∵ ∠A′MC=∠A′MD′=90° ∴180°∠D′A′B′∠A′MD′=180°∠B′A′C∠A′MC ∴∠A′D′C=∠C ∴A′C=A′D′=3.6 （3）在Rt△ABD中，∵AB＝6，∠ABD＝30°， ∴AD=3，BD=＝3 ①如图，当CM＝CN时，在AD′上取一点H使得AH＝HN． ∵∠MCN＝30°， ∴∠AND′＝75°， ∵∠AD′N＝90°， ∴∠HAN＝∠HNA＝15° ∴∠NHD′＝30°，设D′N＝x，则AH＝HN＝2x，HD′x， ∴2xx＝3， ∴x＝6， ∴D′N＝6． ②如图，当CN＝MN时，∠ACB＝∠CMN＝30°， ∴∠AND′＝60°，∴∠NAD′＝30°,AN=2ND′ ∴D′N=． ③如图，当CM＝CN时，∠ANB′＝∠B′AN＝15°， ∴AB′＝B′N， ∴D′N＝D′B′+B′A＝36． 综上所述，当△MCN是等腰三角形时，D′N的值为6﹣3或或36． 23．（1）证明：如图， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠B＝∠BAD＝90°，BA＝AD=BC， ∴∠BAN+∠BNA＝90°， ∵DM⊥AN， ∴∠BAN+∠DMA＝90°， ∴∠BNA＝∠DMA， ∴△ANB≌△DMA（AAS）， ∴AM＝BN， ∵BA＝BC， ∴BA﹣AM＝BC﹣BN， ∴BM＝CN （2） 解：①△OPQ是等腰直角三角形，理由如下. 如图2，连接BD、AC， ∵点O为正方形ABCD的对角线交点， ∴OA＝OD，∠BAC＝∠BDA＝45°，∠AOB＝∠AOD＝90°， 由（1）知：△ANB≌△DMA， ∴AN＝DM，∠BAN＝∠ADM， ∴∠BAC﹣∠BAN＝∠BDA﹣∠ADM， 即∠OAQ＝∠ODP， ∵NQ＝MP， ∴AN﹣NQ＝DM﹣MP，即AQ＝DP， ∴△AOQ≌△DOP， ∴OQ＝OP，∠AOQ＝∠DOP， ∵∠AOP+∠DOP＝90°， ∴∠AOP+∠AOQ＝90°， 即∠POQ＝90°， ∴△OPQ是等腰直角三角形， ②由①知△OPQ是等腰直角三角形， ∴PQOP， ∴当PQ取得最小值时，OP最小，根据垂线段最短，得：当OP⊥DM时，OP最小， ∵BM＝AM＝4， ∴BA＝AD＝BC＝8，OB＝OA＝OD＝OC＝4， 如图，连接OM， ∵点M、O分别是BA、AC的中点， ∴MO是△ABC的中位线， ∴OMBC＝4＝AM，OM∥BC∥AD， ∴∠AMO＝∠ABC＝90°， 在Rt△ADM中，DM4， 设MP＝x，则DP＝4x， ∵OM2﹣MP2＝OD2﹣DP2， ∴42﹣x2＝（4）2﹣（4x）2， 解得：x， ∴MP， 在Rt△OMP中，OP， 即OP的最小值为， ∴PQOP， 故PQ的最小值为； （3）连接BD、AC、BQ，如图， ∵点O为正方形ABCD的对角线交点， ∴点O是BD的中点， ∵点H是DQ的中点， ∴OH是△BDQ的中位线， ∴OH∥BQ， ∴∠BQO＝∠POQ＝90°， ∵△ANB≌△DMA， ∴AN＝DM，∠BAN＝∠ADM，即∠BAQ＝∠ADP， ∵NQ＝MP， ∴AN﹣NQ＝DM﹣MP，即AQ＝DP， ∴△BAQ≌△ADP， ∴BQ＝AP， ∵△OPQ是等腰直角三角形， ∴PQ2＝2OQ2，即OQ2PQ2， ∵四边形ABCD是正方形， ∴OB2BD2AD2， 在Rt△BOQ中，BQ2+OQ2＝OB2， ∴AP2PQ2AD2， ∴正方形ABCD的面积=AD2=2AP2PQ2=2m2n2． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第二学期月度检测 八年级 数学 注意事项： 1、请准备好必要的答题工具在答题卡上作答，在试卷上作答无效。 2、本试卷共三大题，23小题，满分120分。考试时间120分钟。 第一部分 选择题（共30分） 一．选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的为（　　） A． B． C． D． 2．下列各式中，正确的是（　　） A． B． C． D． 3．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，添加下列一个条件后，一定能判定四边形ABCD是平行四 边形的是（　　） A．AB＝BC B．AD＝BC C．∠A＝∠C D．∠B+∠C＝180° （第3题） （第6题） 4．若代数式有意义，则实数x的取值范围是（　　） A．x≠2，x≠1 B．x≥0 C．x＞0 D．x≥0且x≠2 5．下列各组数中，是一组勾股数的是（　　） A．1，1， B． C．0.3，0.4，0.5 D．5，12，13 6．一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知∠ACB＝90°，点D为边AB的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则CD＝（　　） A．3.5cm B．3cm C．4.5cm D．6cm 7．如图，在□ABCD中，AB＝4，BC＝10，AC的垂直平分线交AD于点E，则△CDE的周长是（　　） A．9 B．10 C．13 D．14 （第7题） （第8题） 8．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD，若AC＝4，则四边形CODE的周长为（　　） A．4 B．8 C．6 D．10 9．下列说法中正确的是（　　） A．对角线互相垂直的四边形是正方形 B．对角线相等的四边形是矩形 C．矩形的对角线相等且互相平分 D．平行四边形的对角线平分一组对角 10．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，P是AD上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足为E，F，则PE+PF的值为（　　） A． B． C．5 D． （第10题） （第11题） 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11．如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的边长为 　 　 ． 12. 如图，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，点D恰好落在边AC上．若AB＝2，AE＝6．则CD的长为 　 　 ． （第12题） （第15题） 13．已知最简二次根式与可以合并，则a的值为　 　 ． 14．在平面直角坐标系中，点A（3，﹣1）关于原点对称的点坐标是　 　 ． 15．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E，F分别为边AB，BC的中点，连接AF，DE，点G，H分别为DE，AF的中点，连接GH，则GH的长为 　 　 ． 三、解答题（本题共8小题，共75分） 16．（本小题8分） （1）(1)×(1)； （2）()2． 17．（本小题8分） 如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC＝80°，∠ABC的平分线 BE交AD于E，DF∥BE，交BC于F． 求∠1的大小． 18．（本小题9分） 《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何？” 题意是：有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B'（如图）．水深和芦苇长各多少尺？ 19．（本小题8分） 【阅读材料】 先来看一个有趣的现象：，这个根号里的2经过适当的演变，竟然可以“跑”到根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”．具有这现象的数还有许多． 【例如】 等． 【猜想】 （1）　 　 ，并证明你的猜想； 【推理证明】 （2）请你用一个正整数n（n为“穿墙”数，n≥2）表示含有上述规律的等式，并给出证明． 【创新应用】 （3）按此规律，若（a，b为正整数），则a+b的值为　 　 ． 20．（本小题8分） 某社区有一块位于居民楼旁的四边形闲置场地ABCD，社区决定对其进行全面改建，以此来满足居民们多样化的运动需求。在施工前，专业的测量人员对四边形ABCD的各边长度和角度进行了精确测量。经测量发现，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝48米，BC＝14米，CD＝30米，AD＝40米． （1）求AC的长度； （2）已知这种高品质的运动型塑胶地板每平方米250元，要将整个四边形ABCD地面上全部铺设运动型塑胶地板，请计算购买运动型塑胶地板的费用需要多少元？ 21．（本小题10分） 已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD＞AB），O是对角线AC的中点，过点O的直线EF⊥AC交AD边于E，交BC边于F． （1）求证：四边形AFCE是菱形； （2）若AE＝10cm，△ABF的面积为24cm2，求△ABF的周长． 22．（本小题12分） 【问题初探】 （1）数学课上，老师出示了如下问题．如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，将△ABD沿着AB进行翻折，AD恰好可以落在AE处，请求出AD的长．小明同学认为，可以借助勾股定理的有关内容完成解答，请你帮他完成求解过程. 【问题探究】 （2）李老师在该问题上进行了变式，如图2，在（1）的条件下，将△ADB沿着线段AC平移得到△A′D′B′，在平移过程中，小王同学发现当点D的对应点D'平移到边BC上时，能求出此时A′C的长，请你帮他完成求解过程． 【拓展提升】 （3）李老师在该问题上进行了拓展，若在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，∠ABD＝∠C＝30°，其他条件不变，通过几何变换，能否尝试探究出变换后的新的图形的性质.如图3，将△ABD绕点A顺时针旋转角度α（0°＜α＜180°），得到△AB′D′.在旋转过程中，直线B′D′与BC的交点为M，与AC的交点为N.小李同学发现，存在M、N使得△CMN为等腰三角形，请你通过画图计算求出此时D′N的长度. 图1 图2 图3 23．（本小题12分） 【问题背景】 数学活动课上，王老师出示了如下问题．如图1，在正方形ABCD中，在AB上取点M，连接DM，过点A作AN⊥DM交BC于点N.求证：BM＝CN； 【问题初探】 （1）请解答王老师提出的问题； 【解决问题】 （2）在原有问题条件不变的基础上，王老师提出新问题，请你解答. 如图2，点O为正方形ABCD的对角线交点，P，Q分别在边DM，AN上，满足NQ＝MP，连接OP，QP，QO； ①判断△OPQ的形状，并说明理由； ②若BM＝AM＝4，求PQ的最小值； 【深入研究】 （3）数学活动小组同学对上述问题进行特殊化研究之后发现，在（2）的条件下，如图3，连接DQ，AP，DQ与OP交于点H，使QH=DH，若AP=m，PQ=n，请求出正方形ABCD的面积（用含有m，n的式子表示）． 图1 图2 图3 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $