精品解析：宁夏师范大学附属中学2025-2026学年第一学期期末考试高一数学试卷

宁师大银川附中2025~2026学年度第一学期期末考试 高一年级数学试卷 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 已知全集，集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则“”是“”的（　　） A. 充分必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则（ ） A. 1 B. 3 C. D. 5. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，点在角的终边上，则=（   ） A. B. C. D. 7. 定义在上的函数既是偶函数又是周期函数，若的最小正周期是，且当时，，则的值为 A. B. C. D. 8. 已知函数是定义在上的偶函数，对任意不相等的两个正实数，，恒成立，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分） 9. 下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 在上单调递减 C. D. 的定义域为 11. 已知关于x的不等式的解集为，则（ ） A. B. 点在第二象限 C. 的最小值为2 D. 关于的不等式的解集为 第二部分 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 计算：_______． 13. 已知函数（且）的图象恒过定点，点在幂函数的图象上，则______. 14. 中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴．一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为，圆面中剩余部分的面积为，当与的比值为时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为_________ 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知，且为第二象限角． （1）求，的值； （2）求的值． 16. 已知函数（，且），且． （1）求； （2）若，求实数m的取值范围． 17. 若是定义在上的偶函数，当时，． （1）画出函数的图象并求出函数的解析式； （2）若关于的方程有2个不同的实数解，求实数的取值范围． 18. 函数的部分图象如下图所示． （1）求函数的解析式； （2）求函数的单调递增区间； （3）将函数的图象向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数的图象，求在区间上的最值． 19. 剪纸是中国传统民间艺术，起源于汉朝，具有构图饱满、造型夸张、题材广泛、地域风格多样等艺术特点.现需在半径，面积为的扇形纸张内剪一个矩形，如图所示，是扇形弧上的动点，在线段上，均在线段上. （1）求圆心角的大小（用弧度表示）； （2）设，且，求的长； （3）求矩形面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宁师大银川附中2025~2026学年度第一学期期末考试 高一年级数学试卷 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 已知全集，集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由集合交、补运算即可求解； 【详解】由条件可得， 所以, 故选：B 2. 函数的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由，求解即可. 【详解】由，得函数的最小正周期为 故选：A 3. 已知，则“”是“”的（　　） A. 充分必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】由，结合求解，再由充分条件、必要条件的概念即可判断. 【详解】（1）因为，所以， 又，由，可得， 所以； （2）因为，又， 当时，，由，可得，此时， 当时，，由，可得，此时， 综上，，则“”是“”的充分不必要条件， 故选：C 4. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则（ ） A. 1 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意求出，再由函数的奇偶性代值计算即得. 【详解】因函数是定义在上的奇函数，当时， 则，解得，则当时，， 故. 故选：C. 5. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数、对数函数及正弦函数的性质判断即可. 【详解】，，， 所以. 故选：B. 6. 已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，点在角的终边上，则=（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据三角函数的定义求，再利用诱导公式求的值. 【详解】因为，所以. 又根据诱导公式，. 故选：D 7. 定义在上的函数既是偶函数又是周期函数，若的最小正周期是，且当时，，则的值为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】分析：要求，则必须用来求解，通过奇偶性和周期性，将变量转化到区间上，再应用其解析式求解 详解：的最小正周期是 是偶函数 ， 当时，， 则 故选 点睛：本题是一道关于正弦函数的题目，掌握正弦函数的周期性是解题的关键，考查了函数的周期性和函数单调性的性质． 8. 已知函数是定义在上的偶函数，对任意不相等的两个正实数，，恒成立，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题可知在上单调递增，在上单调递减，且，可得的解集为. 【详解】对任意不相等的两个正实数，，恒成立， 不妨设，，，， ，在上单调递增， 是定义在上的偶函数，在上单调递减， ，的解集为． 故选：D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分） 9. 下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用二倍角公式和两角和差公式求解即可. 【详解】，A正确； ，B错误； ，C正确； ，D正确； 故选：ACD 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 在上单调递减 C. D. 的定义域为 【答案】AC 【解析】 【分析】考查正切函数的图像与性质易得AC正确. 【详解】解：因为， 对于A：的最小正周期为，故A正确； 对于B：当时，，因为在上单调递增， 故在上单调递增，故B错误； 对于C：因为的最小正周期为，所以，故C正确； 对于D：令，，解得，，所以的定义域为，故D错误． 故选：AC． 11. 已知关于x的不等式的解集为，则（ ） A. B. 点在第二象限 C. 的最小值为2 D. 关于的不等式的解集为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，由原不等式的解集可得，，即可判断ABD，然后再由基本不等式即可判断C. 【详解】原不等式等价于，因为其解集为，所以且 ，，故A正确； 因为，则点在第一象限，故B错误； 由可得，，当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为2，故C正确； 由可得，不等式即为，化简可得 ，则其解集为，故D正确； 故选：ACD 第二部分 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 计算：_______． 【答案】 【解析】 【分析】运用对数的运算公式进行求解即可. 【详解】. 故答案为： 13. 已知函数（且）的图象恒过定点，点在幂函数的图象上，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据对数函数的基本性质求出定点的坐标，然后令，将点的坐标代入函数的解析式，求出的值，可得出函数的解析式，由此可得出的值. 【详解】对于函数（且）， 令，可得，此时，， 所以，函数（且）的图象恒过定点， 因为函数为幂函数，设，则，解得， 所以，，故. 故答案为：. 14. 中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴．一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为，圆面中剩余部分的面积为，当与的比值为时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为_________ 【答案】 【解析】 【分析】根据，以及扇形与剩余部分的圆心角的弧度数之和为，简单计算即可. 【详解】设扇形的圆心角的弧度数为，剩余部分的圆心角为 所以，由与的比值为 则，所以 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知，且为第二象限角． （1）求，的值； （2）求的值． 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据为第二象限角，运用同角三角函数的基本关系直接计算可得； （2）利用诱导公式化简，然后代入函数值计算即可. 【小问1详解】 因为，且为第二象限角， 所以， 【小问2详解】 原式. 16. 已知函数（，且），且． （1）求； （2）若，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）根据已知条件 ，结合对数函数的运算法则求出 的值，进而得到 的表达式； （2）先根据（1）中求出的 的表达式判断其单调性，再根据单调性列出不等式组求解 的取值范围. 【小问1详解】 已知 ，则， 所以， 因为 ，即， 由对数的定义可得，即， 将 代入 ， 可得. 【小问2详解】 由（1）可知 ，因为底数 ，所以 在 上单调递增， 因为 ，根据函数的单调性可得不等式组： 解不等式 ，得 ， 解不等式 ，得 ， 解不等式 ，得 ， 综合以上三个不等式的解，取交集可得：， 所以实数 的取值范围是：. 17. 若是定义在上的偶函数，当时，． （1）画出函数的图象并求出函数的解析式； （2）若关于的方程有2个不同的实数解，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）结合二次函数对称轴及偶函数性质作图即可；求出当时对应的函数解析式，结合是定义在上的偶函数，以分段函数形式写出解析式即可； （2）将方程有2个不同的实数解转化为函数图象交点问题，观察图象即可得到范围. 【小问1详解】 当时，，所以， 又是定义在上的偶函数，所以当时，， 综上，函数的解析式为； 【小问2详解】 若有2个不同的实数解，即函数与直线有2个交点， 所以由（1）中图象可知，实数的取值范围为或， 即. 18. 函数的部分图象如下图所示． （1）求函数的解析式； （2）求函数的单调递增区间； （3）将函数的图象向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数的图象，求在区间上的最值． 【答案】（1）； （2）； （3）最大值为3，最小值为0. 【解析】 【分析】（1）根据给定的函数图象，结合五点法作图方法求出解析式. （2）利用正弦函数的性质求出单调递增区间. （3）利用三角函数图象变换求出，再利用正弦函数性质求出指定区间上的最值. 【小问1详解】 观察函数的图象，得，最小正周期，解得， 由，得，而，则， 所以函数的解析式是. 【小问2详解】 由（1）知，， 由，得， 所以函数的单调递增区间为. 【小问3详解】 依题意，， 当时，，则当，即时，； 当或，即或时，. 所以在区间上的最大值为3，最小值为0. 19. 剪纸是中国传统民间艺术，起源于汉朝，具有构图饱满、造型夸张、题材广泛、地域风格多样等艺术特点.现需在半径，面积为的扇形纸张内剪一个矩形，如图所示，是扇形弧上的动点，在线段上，均在线段上. （1）求圆心角的大小（用弧度表示）； （2）设，且，求的长； （3）求矩形面积的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由扇形的面积公式建立方程，即可求出圆心角的大小； （2）由（1）知，代入条件得到的值，由平方和关系求得，然后由和差角公式求得，从而求得的长； （3）设，由直角三角形边角的关系分别表示出边长，然后表示出矩形的面积，利用二倍角公式和辅助角公式化简，再利用正弦函数性质求出最大值. 【小问1详解】 设扇形的圆心角，由扇形的面积，得， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，，则， 由，得， 因此， 所以. 【小问3详解】 设，在中，，， 在中，， 则， 因此矩形的面积 ，由，得， 则当，即时，矩形的面积取得最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $